优选第六章静态线性系统最优化模型及求解方法
最优化方法
最优化方法1. 简介最优化方法是一种通过调整变量值以最小化或最大化某个目标函数来优化系统性能的数学方法。
最优化方法广泛应用于各个领域，包括经济学、工程学、计算机科学等。
本文将介绍最优化方法的基本概念、常用算法以及其在实际问题中的应用。
2. 最优化问题最优化问题可以分为无约束最优化和约束最优化问题。
无约束最优化问题是在没有任何限制条件的情况下，寻找使目标函数值最小或最大的变量值。
约束最优化问题则在一定的约束条件下寻找最优解。
在最优化问题中，目标函数通常是一个多元函数，而变量则是目标函数的输入参数。
最优化的目标可以是最小化或最大化目标函数的值。
常见的优化问题包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
3. 常用最优化算法3.1 梯度下降法梯度下降法是最常用的最优化算法之一。
它通过计算目标函数相对于变量的梯度（即偏导数），以负梯度方向更新变量值，逐步接近最优解。
梯度下降法的优点是简单易实现，但可能收敛速度较慢，且容易陷入局部最优解。
3.2 牛顿法牛顿法是一种基于目标函数的二阶导数（即海森矩阵）信息进行更新的最优化算法。
相较于梯度下降法，牛顿法的收敛速度更快，并且对于某些非凸优化问题更具优势。
然而，牛顿法的计算复杂度较高，且可能遇到数值不稳定的问题。
3.3 共轭梯度法共轭梯度法是一种用于解决线性方程组的最优化算法。
它利用共轭方向上的信息以减少最优化问题的迭代次数。
共轭梯度法适用于大规模线性方程组的求解，并且在非线性优化问题中也得到了广泛应用。
3.4 遗传算法遗传算法是一种通过模拟生物进化过程寻找最优解的优化算法。
它通过交叉、变异等操作生成新的解，并通过适应度评估筛选出优秀的解。
遗传算法适用于搜索空间较大、复杂度较高的优化问题。
4. 最优化方法的应用最优化方法在各个领域都有广泛的应用。
在经济学领域，最优化方法可以用于优化生产资源的配置、最小化成本或最大化利润等问题。
它可以帮助决策者制定最优的决策方案，提高效益。
最优化方法线性规划的单纯形法PPT课件
这表明线段AB上的每一点都使目标函数取得同样的最大值， 因而都是最优解。
第18页/共52页
x2 5x1+x2=15
10 C
x1=4
maxZ 10x1 2x 2
Z=
Z x1
，Z x 2
第22页/共52页
例6 max z=x1+2x2 －x1 + 2x2≥1 x1 + x2≤－2 x1、x2≥0
无可行解。
x2
x1 2x2 1
1
A
O 12 －1
x1
x1 x2 2
23
第23页/共52页
以上几种情况的图示如下：
可行域有界—唯一最优解 可行域有界—多个最优解 24 第24页/共52页
x6
100
2x3 2x4 x5 x6 3x7 100
3x1 x2 2x3
3x5 x6 4x8 100
x j 0，j 1,28 且, 为整数
➢ 这是一个下料问题，是在生产任务确定的条件下，合理的组织生产，
使所消耗的资源数最少的数学规划问题。
➢ 满足一组约束条件的同时，寻求变量x1至x8的值,使目标函数取得最 小值。
➢ 满足上述4个特征的规划问题称为线性规划问题
第14页/共52页
线性规划的一般数学模型
目标函数
max(min)Z=c1x1+c2x2 + +cn xn
a11x1 a12x2 a1n xn ( , )b1
满足约束条件
a21x1 a22x2 a2n xn ( , )b2
30x1 2 0x2 160
最优化方法(建模、原理、算法)
26
29
32
里程(km) 501～600 601～700 701～800 801～900 901～1000
运价(万元) 37
44
50
55
60
• 1000km以上每增加1至100km运价增加5 • 公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足
整公里部分按整公里计算）。
SST
• 钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到 点，而是管道全线）。
• （1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划， 使总费用最小（给出总费用)。
• （2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销 价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢 厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用 的影响最大，并给出相应的数字结果。
• （3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树 形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更 一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1） 的要求给出模型和结果。
SST
i 1234567 si 800 800 1000 2000 2000 2000 3000 pi 160 155 155 160 155 150 160 • 1单位钢管的铁路运价如下表：
里程(km) 运价(万元)
≤300 20
301～350 351～400 401～450 451～500
23
平均值 c [c1, c2,, cn ]T，协方差矩阵 V 。
希望利润期望值最大且方差最小，建立多目标优化模型：
v - min [ - c T x, xTVx ]
s. t. Ax b
x0
SST
• 问题扩展 b. 风险投资问题（参考98全国建模赛题）
将前面的产品换成投资项目，考虑投资 Aj 风险损失qj 。
数学建模案例分析__最优化方法建模6动态规划模型举例
§6 动态规划模型举例以上讨论的优化问题属于静态的，即不必考虑时间的变化，建立的模型——线性规划、非线性规划、整数规划等，都属于静态规划。
多阶段决策属于动态优化问题，即在每个阶段（通常以时间或空间为标志）根据过程的演变情况确定一个决策，使全过程的某个指标达到最优。
例如：（1）化工生产过程中包含一系列的过程设备，如反应器、蒸馏塔、吸收器等，前一设备的输出为后一设备的输入。
因此，应该如何控制生产过程中各个设备的输入和输出，使总产量最大。
（2）发射一枚导弹去击中运动的目标，由于目标的行动是不断改变的，因此应当如何根据目标运动的情况，不断地决定导弹飞行的方向和速度，使之最快地命中目标。
（3）汽车刚买来时故障少、耗油低，出车时间长，处理价值和经济效益高。
随着使用时间的增加则变得故障多，油耗高，维修费用增加，经济效益差。
使用时间俞长，处理价值也俞低。
另外，每次更新都要付出更新费用。
因此，应当如何决定它每年的使用时间，使总的效益最佳。
动态规划模型是解决这类问题的有力工具，下面介绍相关的基本概念及其数学描述。
（1）阶段 整个问题的解决可分为若干个相互联系的阶段依次进行。
通常按时间或空间划分阶段，描述阶段的变量称为阶段变量，记为k 。
（2）状态 状态表示每个阶段开始时所处的自然状况或客观条件，它描述了研究过程的状况。
各阶段的状态通常用状态变量描述。
常用k x 表示第k 阶段的状态变量。
n 个阶段的决策过程有1+n 个状态。
用动态规划方法解决多阶段决策问题时，要求整个过程具有无后效性。
即：如果某阶段的状态给定，则此阶段以后过程的发展不受以前状态的影响，未来状态只依赖于当前状态。
（3）决策 某一阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态，这种选择手段称为决策。
描述决策的变量称为决策变量。
决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。
用)(k k x u 表示第k 阶段处于状态k x 时的决策变量，它是k x 的函数，用)(k k x D 表示k x 的允许决策集合。
最优化模型的建立与求解
最优化模型的建立与求解在现代社会中，各种资源的有限性和复杂性给企业和组织带来了难以解决的问题。
通过数学对各个问题进行建模，并对问题进行求解，是现代数学所解决的核心问题之一。
最优化模型的建立与求解，是一种有效的方法，可以帮助企业和组织更好地规划和管理资源。
一、最优化模型的概念与分类最优化模型是指根据给定的约束条件，通过建立数学模型，求解出最优的决策方案的过程。
按照求解的方式，最优化模型可以分为解析求解和数值求解。
解析求解是利用数学公式进行精确求解，其求解过程较为简单，但适用范围受限，只适用于一些简单的问题。
数值求解是通过计算机进行迭代计算得到方程的近似解或最优解的方法，较为适用于复杂的、高维度的问题，但是需要注意求解误差。
在实际的应用中，最常见的最优化模型有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论等。
其中，线性规划是一种最基本的最优化模型。
其建模过程简单，使用广泛，并且可以通过现有的算法求解。
整数规划是指限制决策变量为整数的线性规划问题，其求解过程相对于线性规划较为复杂，但可以处理更加真实的实际问题。
非线性规划是指决策变量在一定条件下满足非线性约束的最优化模型。
动态规划和图论是一种最优化模型，在解决多阶段决策和网络设计等问题中起着重要的作用。
二、最优化模型的建立方法最优化模型的建立是将实际问题转化为数学公式的过程。
建立方法一般分为以下三步。
1. 确定决策变量和约束条件在建立最优化模型时，需要先明确问题的量化指标，即问题包含哪些参量，以及这些参量之间的关系。
在确定决策变量时，需要考虑决策变量的意义、类型、数量以及相互之间的约束关系。
在确定约束条件时，需考虑问题本身的实际情况，遵循可行性原则，不违反现实约束条件。
2. 确定目标函数目标函数是最优化模型中最重要的部分，它描述了最终优化的具体内容和目标。
在确定目标函数时，应优先考虑问题的核心目标，为保证目标函数的正确性，可能需要对其进行重新构造、转化和调整，以使其符合实际情况。
数学建模～最优化模型(课件ppt)
用Matlab编程求解程序如下：
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b) f = -[10 5]; A = [0.3 0.4;0.5 0.2]; B = [9;8];
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b)
X= 10.0000
2
建立无约束优化模型为：min y =- ( 3 2 x ) x ， 0< x <1.5
2
先编写M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为wliti2.m: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval
控制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为： 速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员 的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时.检 验员每错检一次，工厂要损失2元.为使总检验费用最省，该工 厂应聘一级、二级检验员各几名？
解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人, 则应付检验员的工资为：
综上得，
函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f ( x )
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）[x，fval]= fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…）
线性规划与最优化问题的求解算法
线性规划与最优化问题的求解算法线性规划（Linear Programming）是数学中一种重要的优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
在实际应用中，线性规划被广泛运用于工程、经济、管理等领域，是一种强大的决策分析工具。
为了解决线性规划及其他最优化问题，人们开发了多种求解算法。
一、单纯形法（Simplex Method）单纯形法是最常用的线性规划求解方法之一。
它通过不断迭代来寻找问题的最优解。
单纯形法的基本思想是通过交换变量的值来达到更优解的目的。
在每次迭代中，通过选择一个入基变量（进入基本解）和一个出基变量（离开基本解），逐步优化目标函数的值，直到找到最优解。
二、内点法（Interior Point Method）内点法是另一种有效的线性规划求解算法。
与单纯形法不同的是，内点法从问题的内部（可行解域）开始搜索最优解，而不是从边界（顶点）开始。
内点法的核心思想是通过迭代找到目标函数值逼近最优解的过程。
内点法相对于单纯形法在大规模问题上具有更高的求解效率，但在处理一些特殊问题时可能存在较大的挑战。
三、分支定界法（Branch and Bound Method）分支定界法是一种通用的最优化问题求解算法，适用于各种类型的优化问题，包括线性和非线性规划问题。
它通过将问题划分为一系列子问题，并逐步缩小最优解的搜索范围，最终找到全局最优解。
分支定界法具有较高的可行性和可靠性，但在处理大规模问题时存在计算复杂性的问题。
四、梯度下降法（Gradient Descent Method）梯度下降法是一种常用于非线性规划问题的求解方法。
它利用函数的梯度信息来指导搜索方向，并通过迭代逐步优化目标函数的值。
梯度下降法有多种变体，包括批量梯度下降法、随机梯度下降法等。
梯度下降法在非凸问题的求解上具有较好的效果，但可能存在陷入局部最优解和收敛速度慢等问题。
总结：线性规划及最优化问题是现实生活中经常遇到的一类问题，求解这类问题的算法也因此应运而生。
线性规划与优化问题的求解
线性规划与优化问题的求解1. 引言线性规划是一种常见的优化方法，用于解决如生产调度、资源分配、投资组合等问题。
本文将介绍线性规划的基本概念和求解方法，并探讨一些典型的优化问题。
2. 线性规划的基本概念线性规划是数学规划的一种，其数学模型可以表示为：最大化（或最小化）目标函数约束条件其中，目标函数是线性的，表示需要最大化或最小化的目标；约束条件也是线性的，表示问题的限制条件。
3. 线性规划的求解方法线性规划可以使用各种求解方法来求解，包括单纯形法、内点法、分支定界法等。
这些方法都基于不同的思想和算法，但本质上都是通过迭代寻找最优解。
4. 单纯形法单纯形法是线性规划最经典的求解方法之一。
其基本思想是从一个可行解出发，通过迭代交换基变量和非基变量，逐步接近最优解。
内点法是一种相对较新的线性规划求解方法。
其核心思想是通过将线性规划问题转化为一系列的等价问题，通过迭代逐步接近最优解。
6. 分支定界法分支定界法是一种适用于整数线性规划的求解方法。
它将整数线性规划问题划分为一系列子问题，并通过剪枝策略逐步缩小搜索空间，直到找到最优解。
7. 典型的优化问题线性规划可以用于解决各种优化问题，下面介绍几个典型的应用场景。
7.1 生产调度问题在生产调度中，最大化利润或最小化成本是一个重要的目标。
线性规划可以帮助找到最优的生产调度方案，以实现生产效益的最大化。
7.2 资源分配问题在资源有限的情况下，如何合理分配资源是一个重要的问题。
线性规划可以帮助确定资源的最优分配方案，以最大限度地满足需求。
7.3 投资组合问题在投资决策中，如何选择资产组合以最大化收益或最小化风险是一个关键问题。
线性规划可以帮助投资者找到最优的投资组合策略。
本文介绍了线性规划的基本概念和求解方法，并探讨了一些典型的优化问题。
线性规划作为一种常见的优化方法，在实际问题中具有广泛的应用价值。
通过合理地应用线性规划，我们可以优化决策，提高效率，实现最佳效果。
最优化方法求解技巧
最优化方法求解技巧在最优化问题中，我们首先需要定义一个目标函数，这个函数的极值是我们需要求解的最优解。
然后，我们需要确定约束条件，这些条件描述了变量可能的取值范围。
最后，我们使用最优化方法来找到使目标函数取得极值的变量取值。
1. 梯度下降法（Gradient Descent）：梯度下降法是一种基于负梯度方向的迭代方法，通过不断调整变量的取值来降低目标函数的值。
梯度是目标函数对变量的偏导数，负梯度方向是目标函数下降最快的方向。
梯度下降法的一个重要参数是学习率，它决定了每次迭代中变量取值的调整幅度。
学习率太大可能导致无法收敛，学习率太小可能导致收敛速度过慢。
2. 牛顿法（Newton's Method）：牛顿法是一种基于二阶导数的迭代方法，它通过利用目标函数的局部二次近似来求解最优解。
牛顿法的一个重要参数是初始点的选择，不同的初始点可能导致不同的解。
牛顿法在一些问题上可以收敛得很快，但在一些问题上可能会出现不稳定的情况。
3. Levenberg-Marquardt算法：Levenberg-Marquardt算法是用于非线性最小二乘问题的一种优化算法。
它是一种基于梯度的算法，可以有效地处理大规模问题。
Levenberg-Marquardt算法在求解非线性最小二乘问题方面有很强的适应性和鲁棒性。
4. 遗传算法（Genetic Algorithm）：遗传算法是一种模拟自然界进化过程的优化方法。
它从一个随机生成的种群开始，通过交叉、变异和选择等操作来迭代生成新的种群，最终找到最优解。
遗传算法的一个优势是能够在局部最优解附近到全局最优解。
除了上述方法，还有很多其他的最优化方法，如线性规划、整数规划、动态规划等。
不同的方法适用于不同类型的问题，我们可以根据问题的特点选择合适的方法。
在实际应用中，求解最优化问题时，有一些常用的技巧可以提高效率和精度。
以下是一些常见的技巧：1.初始点的选择：初始点的选择对于求解的效果具有很大的影响。
线性规划与最优化模型经典讲义
目标函数 minS =c1 x1 +c2 x2 + + cn xn 数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题 可以缩写为 约束条件
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 , a x + a x + + a x = b , 2n n 2 21 1 22 2 a x + a x + + a x = b , mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 xn ≥ 0,
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
0.45 10 0.45 28 1.05 59 0.40 25 0.50 22 0.50 75 6.00 25
要 求 蔬 菜 提供的营养
2
数 学 建 模 之 营 养 配 餐 问 题
问题分析与模型建立
分别表示在下一周内应当供应的青豆、 设 xi (i =1~ 6) 分别表示在下一周内应当供应的青豆、 胡萝卜、菜花、白菜、甜菜及土豆的量(kg)， 胡萝卜、菜花、白菜、甜菜及土豆的量(kg)，则费用的目标 函数为: 函数为: f = 5x1 + 5x2 +8x3 + 2x4 + 6x5 + 3x6 约束条件： 约束条件： 铁的需求量至少6个单位数： 铁的需求量至少6个单位数：
表1
序 号 蔬 菜 铁 1 2 3 4 5 6 青 豆 胡萝 卜 菜 花 白 菜 甜 菜 土 豆 每份所含营养素单位数 维生素A 维生素 维生素C 磷 维生素 415 9065 2550 75 15 235 17500 8 3 53 27 5 8 245 烟酸 0.30 0.35 0.60 0.15 0.25 0.80 5.00 每千 克费 用 5 5 8 2 6 3
最优化方法线性规划单纯形法ppt(共76张PPT)
◆ 退化基本可行解：某个或某些基变量取零的基本可行解！ 问题：基本可行解与基的对应关系？
◎相对费用系数的经济解释！(合成价格、相对价格)
4. 计算过程－单纯形法
单纯形表：BFS对应规范形的表格＋
既约费用系数和BFS目标值的相反数
单纯形法的步骤
步2 选取 q 满足
最优值：
原问题的极大值：
退化(degenerate)与循环(cycling)
◎退化问题
⊙ 单纯形法可能出现循环！ ⊙ 实际中经常碰到退化问题，但很少出现循环 ⊙ 避免出现循环的措施：摄动法、Bland法则、字典序法
基本可行解是退化的当且仅当单纯形表最后一列有一个或者
多个零！一次转轴是退化的当且仅当目标函数没有发生变化！
B=(a1,a2,a3)
X=(4,3,1,0,0,0)
a4进基
转轴
x=(0,1,3,2,0,0)
3. BFS→目标值减小的相邻BFS
设x是BFS，且规范形如前，则有
◎问题：确定进基变量，转轴后使新BFS的目标值变小？ ⊙ 将Ax=b的任一解用非基变量表示； ⊙ 将目标函数
用非基变量表示. ——选取进基变量的依据
一般形式 转化 标准形
称 松弛(slack)/盈余(surplus)变量；自由变量
例5. 化成标准形
等价表示为
基本解与基变量
其中 满秩假定：m×n矩阵A满足m<n，且A的行向量线性无关
• 在满秩假定下，方程组Ax=b总有解，且至少有一个基本 解
定义： 给定含有n个变量，m个方程的线性方程组Ax=b，设B 是由A 的列组成的任一非奇异m×m子阵，则如果置x的所有与B 无关的n-m个分量为零后，所得方程组的解是Ax=b关于基B的 基本解(basic solution) ，称x中与基B对应的分量为基变量(basic
优化模型及求解
错误码 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
含义 模型中的括号不匹配 在电子表格文件中找不到指定的单元范围名称 运算所需的临时堆栈空间不够 找不到关系运算符（通常是丢了<,=或>） 输入输出时不同对象的大小不一样 集合元素的索引的内存堆栈空间不够 集合的内存堆栈空间不够 索引函数@INDEX使用不当 集合名使用不当 属性名使用不当
2、目标与约束段：这部分没有段的开始和结束标记， 但是一般要用到LINGO的内部函数，尤其是与集合相 关的函数
3、数据段：这部分以“data:”开始，以”enddata”结束， 作用在于对集合的属性输入必要的常数数据。
LINGO的运算符和函数 算术运算符有加、减、乘、除、乘幂 逻辑运算符有以下九种
用最优化方法解决决策问题包括两个基本步骤： 首先，我们需要把实际决策问题翻译、表述成 数学最优化的形式，即用数学建模方法建立决 策问题的优化模型，简称为优化建模；其次， 建立优化模型后，我们需要选择、利用优化方 法和工具求解模型。优化建模方法自然具有一 般的数学建模方法的共同特性，但优化模型又 是一类既重要、又特殊的数学模型，因此优化 建模方法又具有一定的特殊性和专业性。此外， 由于优化模型的种类很多，很多模型目前还没 有有效的求解方法，不同的算法用于求解不同 模型的效果可能差异很大，如何利用优化软件 求解优化模型也有一定的专业性和技巧性。
集合循环函数 集合函数是指对集合上的元素（下标） 进行循环操作的函数。一般用法如下：
@function(setname[(set_index_list)[ | condition]]: expression _list);其中 function是集合函数名，是 for，max,min,prod, sum五种之一 setname是集合名； set_index_list是集合索引列表(不需用时可省略) condition是用逻辑表达式描述的过滤条件， （通常含有索引，无条件时可以省略 ） expression_list是一个表达式，（对@for 函数可以是一组表达式）
静态优化模型
0
1.5
2
2.5
r3
生猪每天增加的体重 r 变大1%，出售时间推迟 3%.
敏感性分析
t ? 4r ? 40g ? 2 rg
估计r=2， g=0.1
研究 r, g微小变化时对模型结果的影响 .
? 设r =2不变
t ? 3 ? 20g , 0 ? g ? 0.15 g
t 对g的（相对）敏感度 30 t
响. w=80+rt ? w = w(t) p=8–gt ? p =p(t)
利润 Q(t) ? p(t)w(t) ? 4t
Q?(t) ? 0
p ?( t ) w ( t ) ? p ( t ) w ?( t ) ? 4
每天收入的增值 每天投入的资金
保留生猪直到每天收入的增值等于每天的费用时出售 .
由
? 假定只有甲乙两种商品供消费者购买， ?建立的模型可以推广到任意多种商品的情况 .
出现缺货，造成损失 .
r
原模型假设： 贮存量降到零时
A
Q ? rT1
Q件立即生产出来 (或立即到货 ). O
T1 B T
t
现假设： 允许缺货 , 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足 .
周期T, t=T 1贮存量降到零
? 一周期
贮存费
c2
T1 q(t)dt
0
? c2 A
? 一周期
缺货费
c3
T q(t)dt ? c3B
第三章 简单的优化模型
--静态优化模型
3.1 存贮模型 3.2 生猪的出售时机 3.3 森林救火 3.4 消费者的选择 3.5 生产者的决策 3.6 血管分支 3.7 冰山运输
简单的优化模型(静态优化)
静态线性规划模型求效率值
静态线性规划模型求效率值
有一个很简单的思路，穷举所有可能的途径，从中选择最短的一条。
这个方法的缺点是速度慢，因为问题规模较大时，穷举全部路径要面临一个天文数字的计算量。
当然这种方法也有优点，在穷举过程中，我们始终保存着一个可行解。
如果不愿意继续计算，停止计算后，总能得到一个不算太差的可行解，运气好的话可能就是最优解。
如果以后有时间了，想接着进行穷举，理论上也是可以的。
这种方法，从一个或多个可行解开始，通过不断迭代对现有可行解优化，最后得到最优解。
这种方法称为静态规划。
线性规划的单纯性解法，是一种静态规划方法。
首先生成线性规划的一个可行解，然后不断迭代优化可行解，最后得到最优解。
在迭代计算过程中，始终保持一个可行解或近优解，这是静态优化的一个显著特征。
忽然想起了机器学习里面有一种所谓的在线式学习方法，大概也是按照这个模式去寻找模型最优解的。
比如各种神经网络模型求解过程应该都属于这类静态划问题。
当然，上面这个问题如果用静态规划的路子求解，可以穷举所有可能的途径，从中选择最短的一条。
如果问题规模比较大，采用穷举的方法性能就太差了，所以才会考虑其他更好的方法。
动态规划就是出于这样一种考虑被发明出来了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对偶变量yj为自由变量
约
约束条件为n个
束
约束条件为=
条
约束条件为≤
件
约束条件为≥
约束的系数矩阵为AT
约束常数项为C
指标因素为b
求下述线性规划原问题的对偶问题
min z 2x1 3x2 5x3 x4
x1 x2 3x3 x4 5
2x1
2x3 x4 4
x2 x3 x4 6
子。
它体现了资源增加一个单位时，目标函数的增长 量，起到了资源参考价格的作用，因此又称为影子 价格。又称为机会成本、会计价格、隐含价格、最 优计划价格、完全竞争条件下的市场价格以及最优 分工协作方案的实现价格等。是经济管理中相当重 要的参数之一。
由判断准则 C CBB1A 0 知，在最优基时只有非 基变量所对应的判断数才大于零，基变量的判断数 均为零。因此对原问题来说，松弛变量不为零，则 它一定是基变量，且在基矩阵中，因基变量的判断 数为零，故根据对偶原理，它的影子价格为零，这 种资源增长不会使目标值增加，故它是长线资源。 如果松弛变量为非基变量，其值为零，且判断数大 于零，这说明系统取最优解时，该资源已用尽，其 数量的增加可使目标函数值增加，它的影子价格就 是它所对应的判断数。
0
b
矩阵形式描述与单纯形表
区分 基变量XB
系数矩阵 B1B I
非基变量
XN
XS
B 1 N
B1
检验数
0
CN CB B1N CB B1
CN CB B1AN是非基变量的系数， 基变量的系数均为零
C CB B1A 0
等式右端 RHS
B1b
CB B1b
C CB B1A 0
令Y CB B1 0
y1+2y2≤2
①
y1-y2≤3
②
2y1+3y2≤5
③
y1+y2≤2
④
3y1+y2≤3
⑤
y1，y2≥0
原问题和对偶问题最优解之间的关系
X 原问题 B
XN
判断数行 0 CN CB B1 AN
对偶问题 YS1
YS 2
XS
CB B1
Y
原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解。
设原问题
原问题与对偶问题的对应关系
原问题（对偶问题）
目标函数minZ
约
约束条件数为m
束
约束条件为≥
条
约束条件为≤
件
约束条件为=
变量数为n个
变 变量xi为自由变量
量
变量xi≥0
变量xi≤0
约束的系数矩阵为A
约束常数项为b
指标因素为C
对偶问题（原问题）
目标函数maxZ
对偶变量数为m个
变
对偶变量为yj≥0
量
对偶变量yj≤0
2.5y1 y2 500 y1, y2 0
③ 在研究问题中，经常需要分析某种资源的增加或 减少对目标值的影响程度。有些资源的增减并不 影响目标值，这类资源是长线资源，某些资源的 增减对目标值影响很大，这种资源是较稀缺的资 源，称为短线资源。为了确定资源的长短程度， 需要一种评价方法。
6.6.1线性规划的对偶理论
C Y A 0 AY C
Y CB B1 两边同时乘以 b Y b CB B1b ~z
Y CBB1 （0 表示Y无限大） Y b只能存在最小值
min w Y b AY C Y 0
原问题
max Z CX
AX b
X
0
对偶理论
① 一对对偶问题，是一个问题的两个侧面，其目标 是一致的，若原问题有最优解，那么对偶问题也 有最优解，且目标函数值相等；若原问题解无 界，对偶问题无可行解。
已知线性规划问题
min w 2x1 3x2 5x3 2x4 3x5
x1 x2 2x3 x4 3x5 4 2x1 x2 3x3 x4 x5 4 x1, x2 , x3, x4 , x5 0
已知其对偶问题的最优解为y1*
4 5
,
y2*
3 5
,
z
5。
求其原问题的最优解。
max z=4y1+3y2
max Z CX
AX b
X
0
min w Y b AY C Y 0
设B是原问题的一个可行基，
于是A B N ;
原问题可以改写为：
max Z CB X B CN X N BXB NX N IX S b XB, XN, XS 0
对偶问题问题可表示为
min w Yb BY YS1 CB N Y YS 2 CN Y ,YS1,YS 2 0
求得原问题的一个基解
X B B1b 其相应的检验数为 CN CB B1N与 CB B1。 令Y CB B1 代入BY YS1 CB 得出YS1 0 代入N Y YS 2 CN 得出YS 2 CN (CB B1N )
6.6.2影子价格
由单纯形法知，目标函数值 CB B1b ，当b增加一 个单位时，Z增加 CB B1 ，CB B1 称为单纯形乘
1 y1 2 y2 3 y3
x1 0, x2 , x3 0, x4无约束
max z' 5 y1 4 y2 6 y3
y1 2 y2
2
y1 3 y1
2 y2
y3 y3
3 5
y1 y2 y3 1
y1 0, y2 0, y3无约束
目标函数：max Z CX
约束条件： XAX
② 原问题的检验数 C CB B1A ，对应于对偶问题的 一组基解，基矩阵B为最优基，则最优基下的检 验数对应于对偶问题的最优解。
③ 对偶问题的最优解是原问题的最优基下的检验 数。
④ 在线性规划最优解中，若对应的某一约束条件的 对偶变量值非零，则该约束条件取严格等式，如 果约束条件取严格不等式，则对应的对偶变量一 定为零。
max Z 250x1 500x2 s.t. 2x1 2.5x2 1000
0.5x1 x2 600 x1 , x2 0
min S 1000y1 600y2 s.t. 2 y1 0.5y2 250
2.5 y1 y2 500 y1, y2 0
目标要求 变量数与约束数 C与b 系数矩阵
优选第六章静态线性系统最优化 模型及求解方法
② 在处理问题时，经常需从不同角度来研究。
如某建材厂生产两种产品，其单位消耗量及单位 利润见表，现欲安排生产计划。
原料A 原料B 单位利润
甲产品 2 0.5
250
乙产品 2.5 1 500
拥有量 1000 600
max Z 250x1 500x2 s.t. 2x1 2.5x2 1000
0.5x1 x2 600 x1 , x2 0
如果从另一个角度研究，现将原料出售，又不低于 产品生产所获得的利润，两种原料出售的最低利润 （在成本的基础上的加价）应为多少合算？
原料A 原料B 单位利润
甲产品 2 0.5
250
乙产品 2.5 1 500
拥有000y1 600y2 s.t. 2 y1 0.5y2 250