优选第六章静态线性系统最优化模型及求解方法

求得原问题的一个基解
X B B1b 其相应的检验数为 CN CB B1N与 CB B1。 令Y CB B1 代入BY YS1 CB 得出YS1 0 代入N Y YS 2 CN 得出YS 2 CN (CB B1N )
6.6.2影子价格
由单纯形法知，目标函数值 CB B1b ，当b增加一 个单位时，Z增加 CB B1 ，CB B1 称为单纯形乘
max Z CX
AX b
X
0
min w Y b AY C Y 0
设B是原问题的一个可行基，
于是A B N ;
原问题可以改写为：
max Z CB X B CN X N BXB NX N IX S b XB, XN, XS 0
对偶问题问题可表示为
min w Yb BY YS1 CB N Y YS 2 CN Y ,YS1,YS 2 0
y1+2y2≤2
①
y1-y2≤3
②
2y1+3y2≤5
③
y1+y2≤2
④
3y1+y2≤3
⑤
y1，y2≥0
原问题和对偶问题最优解之间的关系
X 原问题 B
XN
判断数行 0 CN CB B1 AN
对偶问题 YS1
YS 2
XS
CB B1
Y
原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解。
设原问题
原问题与对偶问题的对应关系
原问题（对偶问题）
目标函数minZ
约
约束条件数为m
束
约束条件为≥
条
约束条件为≤
件
约束条件为=
变量数为n个
变 变量xi为自由变量
量
变量xi≥0
变量xi≤0
约束的系数矩阵为A
约束常数项为b
指标因素为C
对偶问题（原问题）
目标函数maxZ
对偶变量数为m个
变
对偶变量为yj≥0
量
对偶变量yj≤0
优选第六章静态线性系统最优化 模型及求解方法
② 在处理问题时，经常需从不同角度来研究。
如某建材厂生产两种产品，其单位消耗量及单位 利润见表，现欲安排生产计划。
原料A 原料B 单位利润
甲产品 2 0.5
250
乙产品 2.5 1 500
拥有量 1000 600
max Z 250x1 500x2 s.t. 2x1 2.5x2 1000
对偶变量yj为自由变量
约
约束条件为n个
束
约束条件为=
条
约束条件为≤
件
约束条件为≥
约束的系数矩阵为AT
约束常数项为C
指标因素为b
求下述线性规划原问题的对偶问题
min z 2x1 3x2 5x3 x4
x1 x2 3x3 x4 5
2x1
2x3 x4 4
x2 x3 x4 6
2.5y1 y2 500 y1, y2 0
③ 在研究问题中，经常需要分析某种资源的增加或 减少对目标值的影响程度。有些资源的增减并不 影响目标值，这类资源是长线资源，某些资源的 增减对目标值影响很大，这种资源是较稀缺的资 源，称为短线资源。为了确定资源的长短程度， 需要一种评价方法。
6.6.1线性规划的对偶理论
② 原问题的检验数 C CB B1A ，对应于对偶问题的 一组基解，基矩阵B为最优基，则最优基下的检 验数对应于对偶问题的最优解。
③ 对偶问题的最优解是原问题的最优基下的检验 数。
④ 在线性规划最优解中，若对应的某一约束条件的 对偶变量值非零，则该约束条件取严格等式，如 果约束条件取严格不等式，则对应的对偶变量一 定为零。
0.5x1 x2 600 x1 , x2 0
如果从另一个角度研究，现将原料出售，又不低于 产品生产所获得的利润，两种原料出售的最低利润 （在成本的基础上的加价）应为多少合算？
原料Baidu Nhomakorabea 原料B 单位利润
甲产品 2 0.5
250
乙产品 2.5 1 500
拥有量 1000 600
设：y1、y2为两种原料的最低利润 min S 1000y1 600y2 s.t. 2 y1 0.5y2 250
0
b
矩阵形式描述与单纯形表
区分 基变量XB
系数矩阵 B1B I
非基变量
XN
XS
B 1 N
B1
检验数
0
CN CB B1N CB B1
CN CB B1AN是非基变量的系数， 基变量的系数均为零
C CB B1A 0
等式右端 RHS
B1b
CB B1b
C CB B1A 0
令Y CB B1 0
子。
它体现了资源增加一个单位时，目标函数的增长 量，起到了资源参考价格的作用，因此又称为影子 价格。又称为机会成本、会计价格、隐含价格、最 优计划价格、完全竞争条件下的市场价格以及最优 分工协作方案的实现价格等。是经济管理中相当重 要的参数之一。
由判断准则 C CBB1A 0 知，在最优基时只有非 基变量所对应的判断数才大于零，基变量的判断数 均为零。因此对原问题来说，松弛变量不为零，则 它一定是基变量，且在基矩阵中，因基变量的判断 数为零，故根据对偶原理，它的影子价格为零，这 种资源增长不会使目标值增加，故它是长线资源。 如果松弛变量为非基变量，其值为零，且判断数大 于零，这说明系统取最优解时，该资源已用尽，其 数量的增加可使目标函数值增加，它的影子价格就 是它所对应的判断数。
max Z 250x1 500x2 s.t. 2x1 2.5x2 1000
0.5x1 x2 600 x1 , x2 0
min S 1000y1 600y2 s.t. 2 y1 0.5y2 250
2.5 y1 y2 500 y1, y2 0
目标要求 变量数与约束数 C与b 系数矩阵
C Y A 0 AY C
Y CB B1 两边同时乘以 b Y b CB B1b ~z
Y CBB1 （0 表示Y无限大） Y b只能存在最小值
min w Y b AY C Y 0
原问题
max Z CX
AX b
X
0
对偶理论
① 一对对偶问题，是一个问题的两个侧面，其目标 是一致的，若原问题有最优解，那么对偶问题也 有最优解，且目标函数值相等；若原问题解无 界，对偶问题无可行解。
已知线性规划问题
min w 2x1 3x2 5x3 2x4 3x5
x1 x2 2x3 x4 3x5 4 2x1 x2 3x3 x4 x5 4 x1, x2 , x3, x4 , x5 0
已知其对偶问题的最优解为y1*
4 5
,
y2*
3 5
,
z
5。
求其原问题的最优解。
max z=4y1+3y2
1 y1 2 y2 3 y3
x1 0, x2 , x3 0, x4无约束
max z' 5 y1 4 y2 6 y3
y1 2 y2
2
y1 3 y1
2 y2
y3 y3
3 5
y1 y2 y3 1
y1 0, y2 0, y3无约束
目标函数：max Z CX
约束条件： XAX