奥数：方阵问题

教学内容:第十一讲方阵问题

在日常生活中，我们经常见到把人或物排成正方形的形状,比如用花盆摆成正方形，同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,解放军排着整齐的方队接受检阅等,无论是训练或接受检阅，都要按一定的规则排成一定的队形，于是就产生了这一类的数学问题，在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题。掌握这类问题的解题规律,可以提高我们的解题能力,培养思维的灵活性。今天我们将共同研究和分析这类问题。

士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,恰好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵（亦叫乘方问题)。在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它中实方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它中空方阵。观察中实方阵,我们不难发现方阵的基本特点:

①方阵的每行物体个数与每列物体个数相等。

②去掉横竖各一排时,有且只有１个物体是同时属于被减去的一行和一列。

③如果把最外圈形成的正方形叫第一层,再向里一圈叫第二层的话,会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为2,相邻两层相差总个数为８。

④每边人(或物)数和四周人(或物）数的关系

四周人(或物)数＝[每边人(或物)数－1]×４

每边人（或物)数＝四周人(或物)数÷4+1

⑤中实方阵的总人数（或物)=每边人（或物)数×每边人(或物)数

观察中空方阵，我们不难发现方阵的基本特点:

中空方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数-中空方阵的层数)×中空方阵的层数×4

下面我们就利用以上特点进

例1参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列,如果去掉一行一列,请问:要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？

分析与解答:如上图表示的是一个４行4列的实心正方形队列,从图中可以看出正方形队列的特点:

(1)正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数=每行人数×每列人数。

(2)去掉横竖各一排时,有且只有１人是同时属于被减去的一行和一列的,如图中点Ａ所示。

因此去掉的总人数=原每行人数×2－1,或去掉的总人数=减少后每行人数×2＋1。

本题中所求,即去掉的人数=7×2-1＝13(人)

或去掉的人数=(７-1)×2+1=13(人)

还剩的人数=(7-1)×(7-1)=３6(人）

或还剩的人数=７×7-13＝４９－13=3６(人)

答:如果去掉一行一列，要去掉１3名学生,还剩下３６名学生。

例2 小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵,最外层每边摆6枚,请问:要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子?最外一层的棋子总数是多少?

分析与解答:如图,最外一层每边摆6枚,根据方阵每行每列个数相等特点,因此一共有6×6=3６枚棋子。

最外一层每边有6枚,如果用６×4=2４枚，就认为是最外一层棋子数的答案的话,那就错了。

因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列，这样棋子在计算总数时就被多数了一次,这样的顶点一共有4个,需要把多数的减去,才能得到正确的结果。列式是6×4-４=20枚。说明:这道题还可以这样想：数每边棋子时,可以按上图先划分成4个相等的块,这样每边就有5枚了,因此用5×4=20枚,也可以得到正确答案。按照划分块的方法不同,至少还有两种方法,请同学们试一试。

例3有一队士兵排成一个中实方阵,最外一层有10０人,请问：方阵中一共有士兵多少人?

分析与解答：要想求出方阵中一共有多少士兵,就应先求出方阵的最外层每边有多少人。已知方阵最外一层有1０0人,用100÷４=25人,每边是不是25人呢?不是的,因为平均分

成４份后,还需要再加上１,才正好是每边上的人数,列式应该为1０0÷4＋１=26人。因此方阵中一共有26×２6=６7６人。

答:一共有６76人。

说明：这道题关键是求出每边人数。在求每边人数时,不要认为和“知道了正方形周长,求边长”一样,还必须要加上1。例4若干名同学排成中实方阵则多12人,若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满,请问:原有学生多少人?

分析与解:由于纵横两个方向各增加1人,因此不但将剩余12人摆上,而且还差9人,说明一横行与一竖行的人数总和是12＋９＝21人。

又由于纵横两个方向各增加1人，因此只有1人同属于横行与纵行,在数每边上的人数时，总被多数一次,因此可以用21人先加上被重复数过的1人,再除以2,也就得到每边人数。列式为(21+1)÷２＝１１人。求出每边人数，就可求出假设排满后的人数,列式为1１×11=1２1人,用1２１人减去差的9人就是原来人数,列式为12１-9=１12人。也可以根据原来的方阵再加上1２,请你试一试。

答:原有学生112人。

前四个例题涉及的都是实心方阵问题。下面我们来研究中空方阵问题。

例５游行队伍中,手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵,最外边一层每边12人,请问:彩车周围的少先队员共有多少人?

分析与解答1:请同学们自己画一个图,下图是一个三层中空方阵的示意图,不难发现，有如下特点:

（１)外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2；（2)每相邻两层之间,点的总数相差8个。

最外层队员的总数：1２×4-4=44(人)

三层共有队员的总数:4４＋(44-8）+(44-8×2)

＝44+36+28＝108(人）

分析与解答2：如下图可分成相等的四部分,每一部分的人数:

(1２-3)×3＝9×3=27（人)

三层共有队员数:２7×4=10８(人)

答：彩车周围的少先队员共有１０８人。

这个问题还有别的解法,请同学们自己试着做一下。

例6 小明用围棋子摆了一个五层中空方阵,一共用了200枚棋子,请问:最外边一层每边有多少枚棋子？

分析与解答1:利用“相邻两层之间，每层的总数相差8”的特点,可知最外层共有棋子数:

（200＋8+8×2+8×3＋８×4)÷5＝５6(个）