动态型问题2017

三、解答题

1. (2017四川广安，26，10分)如图，已知抛物线y ＝－x ²+bx +c 与y 轴相交于点A (0，3)，与x 正半轴相交于点B ，

对称轴是直线x ＝1． (1)求此抛物线的解析式以及点B 的坐标．(3分)

(2)动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，同时动点N 从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿y 轴正方向运动，当N 点到达A 点时，M 、N 同时停止运动．过支点M 作x 轴的垂线交线段AB 于点Q ，交抛物线于点P ，设运动的时间为t 秒．

①当t 为何值时，四边形OMPN 为矩形．(3分)

②当t >0时，△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．(4分)

解：(1)∵知抛物线y ＝c bx x ++-2

与y 轴交于点A (0，3)， ∴c ＝3，

∵对称轴是直线x ＝1， ∴1)

1(2=-⨯-

b

，解得b ＝2，

∴抛物线的解析式为：y ＝322

++-x x ； 令y ＝0，得322

++-x x ＝0，

解得1x ＝3，2x ＝－1(不合题意，舍去)， ∴点B 的坐标为(3，0)．

(2)①由题意得ON ＝3t ，OM ＝2t ，则点P (2t ，3442

++-t t )， ∵四边形OMPN 为矩形，

∴PM ＝ON ，即3442

++-t t ＝3t ， 解得1t ＝1，2t ＝4

3

-

(不合题意，舍去)， ∴当t ＝1秒时，四边形OMPN 为矩形；

②能，在Rt △AOB 中OA ＝3，OB ＝3，∴∠B ＝45°， 若△BOQ 为等腰三角形，有三种情况： (I)若OQ ＝BQ ，如答图1所示： 则M 为OB 中点，OM ＝

21OB ＝2

3，

∴t ＝

23÷2＝4

3； (II)若OQ ＝OB 时， ∵OA ＝3，OB ＝3，

∴点Q 与点A 重合，即t ＝0(不合题意，舍去)； (III)若OB ＝BQ 时，如答图2所示： ∴BQ ＝3，

∴BM ＝BQ ·cos 45°＝3×

2

2＝223，

∴OM ＝OB －BM ＝3－

223＝2

236-， ∴t ＝

2236-÷2＝4

2

36-． 综上所述，当t 为

4

3

秒或4236-秒时，△BOQ 为等腰三角形．

2. （2017浙江丽水·23·10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿折线

A －C －

B 运动，点Q 从点A 出发以a (cm/s)的速度沿AB 运动．P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动.设运动时间为x (s)，△APQ 的面积为y (cm 2)，y 关于x 的函数图象由

C 1，C 2两段组成，如图2所示. （1）求a 的值；

（2）求图2中图象C 2段的函数表达式；

（3）当点P 运动到线段BC 上某一段时△APQ 的面积，大于当点P 在线段AC 上任意一点时△APQ 的面积，求x 的取值范围.

解：过点P 作PD ⊥AB 于点D ．

（1）在图1中，∵∠A ＝300，P A ＝2x ，∴PD ＝P A ·sin 300＝2x ·21＝x ，∴y ＝22

12121ax x ax PD AQ =⋅=⋅.由图象得，当x ＝1时，y ＝

21，则2

11212

=⋅a ，∴a ＝1.

（2）当点P 在BC 上时（如图2），PB ＝5×2－2x ＝10－2x .∴PD ＝PB ·sinB ＝(10－2x )·sin B ．∴·y ＝

B x x PD AQ sin )210(2121⋅-⋅=⋅.由图象得，当x ＝4时，y ＝34，∴14

4(108)sin 23B ⨯⨯-=，∴sinB ＝3

1，∴

y ＝x x x x 3

53131)210(212+-=⋅-⋅.

（3）由C 1，C 2的函数表达式，得x x x 3

5

312122+-=，解得x 1＝0（舍去）

，x 2＝2.由图象得，当x ＝2时，函数y ＝221x 的最大值为y ＝22⨯21＝2.将y ＝2代入函数y ＝x x 35312+-，得2＝x x 3

5

312+-，解得x 1＝2，x 2＝3，

∴由图象得，x 的取值范围是2＜x ＜3.

3. （2017浙江丽水·24·12分）如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一个动点，连结BE ，作点A 关于BE

的对称点F ，且点F 落在矩形ABCD 的内部.连结AF ，BF ，EF ，过点F 作GF ⊥AF 交AD 于点G ，设AE

AD

＝n .

（1）求证：AE ＝GE ；

（2）当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示

AB

AD

的值； （3）若AD ＝4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值.

解：设AE ＝a ，则AD ＝n A ．

（1）由对称得AE ＝FE ，∴∠EAF ＝∠EF A ．∵GF ⊥AF ，∴∠EAF ＋∠FGA ＝∠EF A ＋∠EFG ＝900.∴∠FGA ＝∠EFG ，∴FG ＝EF ．∴AE ＝EG .

（2）当点F 落在AC 上时（如图1），由对称得BE ⊥AF ，∴∠ABE ＋∠BAC ＝900，∵∠DAC ＋∠BAC ＝90°，∴∠ABE ＝∠DA C ．又∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DAC ，∴DC

AE

DA AB =

.∵AB ＝D C ．∴AB 2＝AD ·AE ＝na ·a ＝na 2.∵AB ＞0，∴AB ＝n a ，∴

n a

n na

AB AD ==.

（3）若AD ＝4AB ，则AB ＝

a n 4．当点F 落在线段BC 上时（如图2）

，EF ＝AE ＝AB ＝A ．此时a n

4

＝a ，∴n ＝4.∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4．∵点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上，∴∠FCG ＜∠BCD ，∴∠FCG ＜90°.

①若∠CFG ＝900，则点F 落在AC 上，由（2）得

n AB

AB

n AB AD ==4,即，∴n ＝16. ②若∠CGF ＝900

（如图3），则∠CGD ＋∠AGF ＝90°.∵∠F AG ＋∠AGF ＝90°，∴∠CGD ＝∠F AG ＝∠ABE ，

∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DG C ．∴

DC AE DG AB =

.∴AB ·DC ＝DG ·AE ，即a a n a n ⋅-=)2()4

(2

，解得n 1＝8＋42，n 2＝8－42＜4（不合题意，舍去）.∴当n ＝16或n ＝8＋42时，以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形.