第 2 章 二阶张量

⎡ϕi 0 0⎤
[Ω] = ⎢ 0 − ϕi 0⎥
⎢⎣ 0 0 0⎥⎦
⇒ 取 e1 、e2 为垂直于 e3 的平面内的任意一组正交单位矢量，以 e1 、e2 、e3 为基矢量的元素
矩阵满足：第三列为零；反对称；利用在正交标准化基中 Ω 的反对称性和条件η2Ω = ϕ 2 ，
⎡ 0 ϕ 0⎤
可以的推出： [Ω] = ⎢−ϕ 0 0⎥
( ) ⇒ 因为 N 对称，所以 a ⋅ N ⋅ a − a ⋅ N ⋅ a = λ − λ a ⋅ a = 0
⇒ λ − λ = 0 ⇒ λ 为实数。
主方向正交
1) 无重根 λ1 > λ2 > λ3 时： N ⋅ a1 = λ 1a1 → a2 ⋅ N ⋅ a1 = λ1 a2 ⋅ a1 ； N ⋅ a2 = λ 2a2 → a1 ⋅ N ⋅ a2 = λ2 a1 ⋅ a2
第 2 章 二阶张量
研究定义在一个固定点（张量的元素是实常数， gi 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的
不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量的元素
T = Tij g i g j = Ti• j g i g j = T•ii gi g j = T ij gi g j
(2) 正则T 是单射的： u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v (3) 正则T 是满射的： ∀u 所作的线性变换T ⋅ u = v ，必存在唯一的逆变换T −1 ⋅ v = u 定义：正则二阶张量T ，必存在唯一的正则二阶张量T −1 使：T ⋅T −1 = T −1 ⋅T = G
2.3 二阶张量的不变量
同一坐标系下不同的并矢下，其分量也不同： Tij ≠ Ti• j ≠ T•ii ≠ T ij 。
(2) 定义转置张量：
( ) ( ) ( ) ( ) TT =
TT
gig j =
ij
TT
•j i
gi g j
=
TT
i •i
gi g j
=
TT
ij
gi g j
= Tji gi g j
=
T•
j i
gi
g
j
=
T
i =1
i =1
i =1
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = detT [u, v, w]
[ det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中 3 个矢量是否线性相关取决与它们的混合积
是否为零] 正则与退化
det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量
(1) T 为正则 ⇔ u(i) (i=1,2,3) 性无关，则T ⋅ u(i) 也线性无关。
β i′ i
=0;
N
i •
j
−
λδ
i j
βj i′
=0
⇒
使转换系数
βii
′
和
βj i′
有非零解的条件:
N
i •
j
−
λδ
i j
=0
⇒ 求极值的计算等同于求特征值的计算。
2． 实反对称二阶张量 Ω
(1)
定义： Ωij
= −Ω ji 、 Ωij
=
−Ω
ji
、
Ω
i •
j
=
−Ω
•i j
、
Ωi•
j
=
−Ω
j •i
，
张量分量的数值随坐标改变而变化，但其某些组合却是不随坐标变化的标量---不变量。
(1) T 通过与自身 T 、 G 、 ε 进行缩并，得到的标量就是不变量:
G
:T
=
G ⋅⋅T
=
δ
jiT
j i
=
T
i i
T
⋅ ⋅T
=
T
ijT
j i
=
tr(T
⋅T )
εMT
⊗T
⊗T
Mε
=
εε ijk
T lmn
ilT
mj T
(3) 坐标、主分量的求法：
( ) N ⋅a = λ a ⇒
N
i •
j
− λδ
i j
ai = 0 ⇒ a j （主坐标系下，主方向矢量 a 经变换后方向不变）
非零解
Ni •j
−
λδ
i j
=
λ3
−
λ
η2 N 1
+ λη2N
−
ηN 3
=0
三个根均是实根:
设有复根： λ
=
λ1
+ iλ2 ，由
N
i •
j
a
j
=
T
i j
⋅uj
，T
⋅u
≠
u⋅T
但 T ⋅u ≠ u⋅TT
2.2 正则与退化的二阶张量
定理：任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集
【设矢量集 u(i) 线性相关，则存在不全为零的实数α(i) 使：
I
I
I
∑α (i)u(i) = 0 , 0 = T ⋅ ∑α (i)u(i) = ∑α(i) (T ⋅ u(i)) , 所以T ⋅ u(i) 也线性相关】
空间任意一组迪卡尔坐标系均是主坐标系。
4
(4) 对应的线性变换
N 将 N 主方向上的矢量 ai 映射为平行自身方向的矢量，且放大 Ni 倍： N ⋅ ai = Niai
(5) Ni 是对角元的极值：
求对角元的极值：
N i′ •i′
=
β β N i′ j i i i′ • j
且满足：
β βi i′ i′ i
Ω ⋅ u = ϕe3 × (u1e1+u2e2+u3e3) = ϕ(u1e2−u2e1)
将 u 在 e1 、 e2 平面投影，放大ϕ 倍，绕 e3 旋转 π 2 。
变，所以要乘 1/2]
T•11 T•12 T•13
η3 = T•21
T•22
T•23
=
1 3!
εMT
⊗T
⊗TMε
=
1 6
δ limjknT•l iT•mjT•nk
=
1 6
ε
ijk ε lmnT•l iT•mjT•nk
T•31 T•32 T•33
[共有 6 项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零； l, m, n 均顺 序和均逆序的排列有 6 种，同样 i, j, k 也有六种，组合共有 36 种，除去重复的只有 6 种， 所以要乘 1/6]
= Ti′j′ g i′ g j′
= Ti′• j′ g i′ g j′
=
T i′ • i′
gi′
g
j′
= T i′j′ gi′ g j′
同一坐标系 另一坐标系
(1) 不同坐标系中实体不变，但其分量不同： Tij ≠ Ti′j′,
T•j i
≠
T• i′
j′
,
Ti •j
≠
T ,i′ • j′
T ij ≠ T i′j′
i j
βj 1′
δβi1′
=
0
⇒
β N 1′ i i •j
−
λδ
i j
β 1′ i
=
0;
β Nj i 1′ • j
−
λδ
i j
βj 1′
=
0
( ) ( ) ⇒
N•i j
−
λδ
i j
β 1′ i
= 0;
N
i •
j
−
λδ
i j
βj 1′
=0
( ) ( ) ⇒ 同理1′ 推广到 i′ :
N•i j
−
λδ
i j
=
(λ1
+ iλ2 )ai
⇒
ai
必为复数： ai
=αi
+ iβ i
( ) ( ) ⇒
N
i •
j
α
j
+ iβ
j
= (λ1 + iλ2 ) α i + iβ i
( ) ( ) ⇒
N
i •
jα
j
+
iN
i •
j
β
j
=
λ1α i − λ2 β i
+ i λ1β i + λ2α i
( ) ( ) ( ) ( ) ⇒
•i j
gi
g
j
=T
ji gi g j
协、逆变分量指标交换，混变分量互相交换
= Tij g j gi
= Ti• j g j gi
=
Ti •i
g
j
gi
= T ij g j gi
也可以分量不动，并矢交换
(3) 对称张量 N = N T
性质： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji 、 N•i j
=
N
•i j
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
矩：
η1∗ = G : T = trT
η
∗ 2
=
T
⋅ ⋅T
=
tr(T
⋅T
)
=
T•i
jT•
j i
( ) η3∗ = tr T ⋅ T ⋅ T
=
T•i
jT•
j k
T•ki
两者之间的关系：
( ) ( ) η1∗
=
η1
，η
∗ 2
=
η1
2
− 2η2 ，η3∗
= 3η3
+
η1
3
− 3η1η2
(3) 二阶张量的独立不变量有 6 个，对称二阶张量有 3 个，反对称张量 1 个。
= Ti•k
Gkj
=
g
Ti• k
⎤ ⎦
1
(6) 二阶张量的缩并（求迹）： trT = T•ii ，
tr(T + S ) = T•ii + S•ii ， tr(T ⋅ S ) = T ⋅ ⋅S ， tr (T ⋅ ST ) = T : S
(7) 二阶张量与矢量的点积就是线性变换：
w =T ⋅u，
wi
= 1。( i′
不求和)
以
β β N = N 1′
1′ j i
•1′
i 1′ • j
为例：
( ) ⇒
J
=
β β N 1′ j i i 1′ • j
−λ
β βi 1′ 1′ i
−1
→
max
( ) ( ) ⇒ δJ
=
β N 1′ i i •j
−
λδ
βi 1′
ji
δβ1′j
+
β Nj i 1′ • j
−
λδ
(4) [T ⋅ a,b,c] = [a,T ⋅ b,c] = [a,b,T ⋅ c] =η1 [a,b,c] [T ⋅ a,T ⋅ b,c] = [a,T ⋅ b,T ⋅ c] = [a,T ⋅ b,T ⋅ c] =η2 [a,b,c]
[T ⋅ a,T ⋅ b,T ⋅ c] =η3 [a,b,c]
Ω1•3
2
=ϕ2
(3) 主方向：
特征方程： Ω•i j
−
λδ
i j
= λ3 + λη2Ω
=0
⇒ 一个零根： λ3 = 0 ；一对共轭虚根： λ1,2 = ± η2Ω i = ±ϕi ⇒ λ3 = 0 对应的特征方向的单位矢量为 e3 ， Ω ⋅ e3 = λ3e3 = 0
λ1,2 ± ϕi 对应的特征方向的单位矢量设为 g1 、 g2 ，则在 e3 、 g1 、 g2 坐标中，
Ωi •j
≠
−Ω•ij 、 −Ωi • j
=
−Ωj•i
在相同的
(5) 行列式的值：
定义： detT = T•i j ， Tij = g Ti• j = T•i j g = g 2 T ij ， g = Gij
`Tij
= Tij
、 `T ij
= T ij
、 `Ti • j
=
T•
j i
、
⎡ ⎣
Tij
= Ti•k Gkj
k n
(2) T 的不变量由无限多个（不变量的组合仍是不变量），通常关心的有两组：
主不变量（ T 特征多项式的三个系数）
2
η1 = T•11 + T•22 + T•33 = G : T = T•mm = GmnT mn = GmnTmn = Tm•m
( )( ) η2
=
T•11 T•21
T•12 T•22
a1 ⋅ N ⋅ a2 − a2 ⋅ N ⋅ a1 = (λ2 − λ1 )a1 ⋅ a2 = 0 ⇒ a1 ⋅ a2 = 0
2) 二重根时：如设 λ1 = λ2 ≠ λ3 a3 的方向是确定的，与 a3 垂直平面内的任意方向均是主方向。 ( a1 ⋅ a3 = 0 , a2 ⋅ a3 = 0 )
3) 三重根时： λ1 = λ2 = λ3
⎢⎣ 0 0 0⎥⎦
(4) 反偶矢量：定义 ω = − 1 ε : Ω ，称 ω 为 Ω 的反偶矢量 2
Ω = −ε ⋅ ω Ω⋅u = ω×u ω = ϕ e3
(5) 对应的线性变换
Ω ⋅ e1 = ω × e1 = ϕe3 ×e1= ϕe2 Ω ⋅ e2 = ω × e2 = ϕe3 ×e2= −ϕe1 Ω ⋅ e3 = ω × e3 = ϕe3 ×e3= 0
2.4 二阶张量的标准形
1． 实对称张量 N
(1)
定义： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji
、
N
i •
j
=
N
•i j
、
Ni•
j
=
N•ji
，而一般：
N
i •
j
≠
N•ji 、 Ni• j
=
N
•i j
N ⋅u=u⋅N
3
(2) 对任一实对称 2 阶张量，总能找到一组正交标准化基： ei
N = N1e1e1 + N2e2e2 + N3e3e3 ， Ni 为主分量， ei 为主方向。
、 Ni• j
=
N•ji
，
（而一般： N•i j
≠
N
j •i
、Байду номын сангаас
N
• i
j
≠
N •i j
在相同的，混变分量的转置 ≠ 系数矩阵的转置）
N ⋅u=u⋅N
(4) 反对称张量 Ω = −ΩT
性质： Ωij
=
−Ω 、 Ω ij ji
=
−Ω
ji
Ω 、 i •j
=
Ω − Ω 、 •i
•j
j
i
=
−Ω•ij ，
（而一般：
N
i •
jα
j
−
iN
i •
j
β
j
=
λ1α i − λ2β i
− i λ1β i + λ2α i
=
λ1 − iλ2
α i − iβ i
⇒ N ⋅ a = λ a ⇒ λ = λ1 − iλ2 也是复根.
⇒ N ⋅a =λ a → a ⋅ N ⋅a = λ a ⋅a； N ⋅a = λ a → a⋅N ⋅a = λ a ⋅a
而一般： Ωi• j
≠
−Ω
j •i
、
Ω
• i
j
≠
−Ω
•i j
Ω ⋅ u = −u ⋅ Ω
(2) 不变量：
η1Ω = 0 ；η3Ω = 0 (对角元为零)
5
( ) ( ) ( ) η2Ω
=
0 − Ω1•2
Ω1•2 0
+
0 − Ω•23
Ω•23 0
+
0 − Ω1•3
Ω1•3 0
=
Ω1•2
2+
Ω•23
2+