线性代数 相似矩阵与二次型

4 x1 x2 x3 0
1 4 解得基础解系 p2 1 , 0
1 4 p3 0 1
（k 2 , k3不能同时为零）就是2 3 2对应的特征向量
因 p 0 , 知 0 , 故 A 1 p 1

p , 所以
1

是 A 1的特征值。
结论2：若是A的特征值，则 k 是Ak 特征值
特征值性质
a11 A E a21
a12 0 a22
a11 a 21
a12 a22 2 (a11 a22 ) (a11a22 a12 a21 ) 0
x1 , x2 , x3一般三元二次型
2 2 a11 x12 a22 x2 a33 x3 b12 x1 x2 b13 x1 x3 b23 x2 x3
故f a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3
2 a21 x2 x1 a22 x2 a23 x2 x3 2 a31 x3 x1 a23 x3 x2 a33 x3
对称阵
特征向量不仅线性无关，而且还必存 在一组特征向量相互正交向量长度为1
对称阵相似的充要条件是特征值“完全”相同
东方算术 解决生产生活中的问题 两种思想
线性方程组
没有交集， 直到阿拉伯人 带动东西方
东西方的 文化差异 西方算术
思想交流
探寻数与数之间的规律
二次型（西方算术发展的典范）
二次项 : x 2 , y 2，xy
第五章 相似矩阵与二次型
本章内容：
1.向量内积；正交矩阵 2.特征值与特征向量 3.相似矩阵 4.二次型
向量空间（线性空间）
向量组
1 , 2 , , n
（加法和数乘） 向量空间
1 0 0 e1 0 , e2 1 , e3 0 0 0 1
1 1 2 3 2
1 2 2 2
3 2 2 3
2 2 f ky12 k 2 y2 k 3 y3
k1 0 0
0 k2 0
0 0 k3
二次型 f=xTAx
惟一确定
对称阵A
正交化 相似
？
标准型 f=yTΛy
惟一确定
( 1 )( 2 ) 0
2 (1 2 ) 12 0
1 2 A
1 2 a11 a 22
结论3：特征方程的根与系数关系
例 设3阶方阵A的特征值是1,-1,2，求A 3 A 2 E的特征值
解： 因 Ap p ， A Ap A p A p 故，A p
定理：n阶矩阵A与对角阵相似（即A能对角化）的 充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量
推论:如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等， 则A与对角阵相似
注：若A的特征方程有重根， 当有n个线性无关的特征向量时， 矩阵A仍能对角化
回顾
4 4 p2 1 , p3 0 0 1

i , j 1
a x x
ij i
Baidu Nhomakorabea
3
a11 f ( x1 , x2 , x3 ) a21 a 31
a12 a22 a32
对称阵
a13 x1 a23 x2 a33 x3
j
记作f xT Ax
二次型f
惟一确定 惟一确定
对称阵A
称f 为对称阵A对应的二次型
f xT Ax
称A为二次型f 对应的矩阵
2 2 例：f x12 2 x2 3 x3 x1 x2 3 x1 x3 4 x2 x3
x12
1 3 x1 x2 x1 x3 2 2
1 2 x2 x1 2 x2 2 x2 x3 2 3 2 x3 x1 2 x3 x2 3 x3 2
P 1 AP
AP=PΛ
1 2 A( p1 , p2 , , pn ) ( p1 , p2 , , pn ) n
存在特征向量的矩阵就能相似对角阵吗？
1 2 A( p1 , p2 , , pn ) ( p1 , p2 , , pn ) n
A ~ B，B ~ C A ~ C
1 1 1 0 判断 与 相似 0 1 0 1
相似标准型：对角阵
1 推论：若 n 阶矩阵 A 与对角阵 则 1 , 2 , , n即是 A 的 n 个特征值。
2
相似， n
a11 a21 即 a n1 a12 a1n a11 a22 a2 n a12 an 2 ann a1n a21 an1 1 a22 an 2 0 a2 n ann 0 0 0 1 0 0 1
A p

A
A

p.

p , 3 Ap 3 p , 2 Ep 2 p A
( A 3 A 2 E ) p (

3 2 ) p
当 1 1时，特征值为 - 1； 当 2 -1时，特征值为 - 3； 当 3 2时，特征值为 3
线性变换
矩阵A
相似
对角阵Λ
二次型 f=xTAx 标准型 f=yTΛy
对称阵A
正交化
对角阵Λ
xT Ax y T y
引入x Cy可逆变换，
得xT Ax (Cy )T A(Cy ) y T C T ACy y T (C T AC ) y y T y
定义：对于A, B这种关系B C T AC， 其中A, B为n阶矩阵，矩阵C为可逆矩阵, 称矩阵A, B合同
列向量与自身的内积为1，与其他内积为0
[ i , i ] 1, [ i , j ] 0
矩阵A的 特征值
矩阵A的 特征向量
x1 x2 x n
线性变换：向量 = 数× 向量
一个特征向量对应一个特征值； 一个特征值对应一族特征向量
Ax x 0 ( A E ) x 0
同一个特征值对应一族相差k倍的特征向量
结论1： 特征值不同，特征向量线性无关
证明：（1）因 是 A的特征值，故有 p 0, 使 Ap p.
于是 A ( Ap ) A ( p ) ( Ap) 2 p , 所以 2 是 A 2的特征值
（2）当 A 可逆时，由 Ap p , 有 A 1 Ap A 1 p p A 1 p ,
齐次式 只含有二次项的齐次式（描述性概念）
二次型理论发展
数的平方和 丢番图(246-330)
n x2 y2
特殊的二元二次式 费马(1601-1665) 欧拉(1707-1783)
x 2 xy y 2 n
x 2 ay 2 n
一般的二元二次式
拉格朗日(1736-1813) 高斯(1777-1855)
2 2 1 a1 2 , a2 1, a3 2 1 2 2
三维空间
类比
向量空间
长度与夹角
推广
内积
长度与夹角
将内积推广到n维向量
令
向量的长度
向量之间夹角
两个向量线性关系与几何意义 向量正交：垂直 线性相关：共线 线性无关：不共线
b2
a2
a , b a , b a , b br ar r 1 b1 r 2 b2 r r 1 br 1 b1 , b1 b2 , b2 br 1 , br 1
施密特正交化
单位化
A为方阵; |A|=1或-1; A-1=AT 且AAT=E
1 x ( 1) 2 ( 1) 0
方程( A E ) x 0有2个线性无关的解，即R ( A E ) 1
1 0 1 1 0 1 A E 1 0 x ~ 0 0 x 1 1 0 1 0 0 0 R ( A) 1，故x 1时，矩阵A能对角化
二次型 f=xTAx 标准型 f=yTΛy
对称阵A
正交化
对角阵Λ
xT Ax y T y
正交矩阵P : 既满足PTAP=Λ,且同时满足P-1AP=PTAP
二次型的标准型不唯一
关注对称矩阵的对角化
定理：设1 , 2是对称矩阵A的两个特征值，p1 , p2是对应的特征向量， 若1 2，则p1与p2正交
关注对称矩阵的对角化
定理：设A为n阶对称阵，则必有正交阵P， 使P 1 AP P T AP ，其中是以A的n个特征值为对角元的对角阵。
1.对称阵必相似对角阵 2.P为正交阵（不仅正交且长度为1） 3.必有（一定存在，但存在的不一定是）
0
2 1 (2 ) 0 4 3
1 x1 2 1 1 2 1 0 x2 0 0 4 1 3 1 x3
x1 x3 x2 0
1 1 x1 2 2 0 2 2 0 x2 0 4 1 3 2 x3
矩阵B
B P 1 AP
定义：设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P满足 P-1AP=B,则称矩阵A与B相似，记为A~B。
相似矩阵定义：P 1 AP B
矩阵相似的性质
A~ B A B
A ~ B R ( A) R ( B )
相似不变量
A ~ B 矩阵A, B的特征值相等
分类
ax 2 bxy cy 2 n
ax 2 2dxy cy 2 n
a ( x, y ) d d x c y
(n元二次齐次式)
二次型
x 2 2 (ax dy, dx cy ) ax dxy dxy cy y
1.为什么能保证线性无关？ 2.为什么只能保证线性无关
非对称阵
特征值不相同 时相似对角阵 必相似对 角阵
1 A( p1 , p2 , , pn ) ( p1 , p2 , , pn )
矩阵相似对角阵充要条 件是特征向量线性无关
2
n
基→正交基→规范正交基
正交化：
b3
a3
b3
b2 a2
a2 , b1 b ; b1 , b1 1 a3 , b1 a3 , b2 b3 a3 b1 b2 b1 , b1 b2 , b2
b1 a1 ;
c32
c31
b2
c3 c 2
a1 b1
p2与p3线性无关，故矩阵A可以对角化
-1 2 2
P 1 AP
1 4 4 P 0 1 0 1 0 1
例
0 0 1 设A 1 1 x ,问x为何值时，矩阵A能对角化？ 1 0 0
0 解： A E 1 1 1 0 故1 -1, 2 3 1