4.2由平行线截得的比例线段
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5 5
C
E
探 究
已知：如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E A AD AE DE 求证： AB AC BC E D
DE//BC
EF//AB
AD AE AB AC
B
F
C
DE AE BF AC BC BF=DE
AD AE DE AB AC BC
例题讲解：
已知：线段ＡＢ 求作：线段ＡＢ的 五等分点。
Ｍ Ｄ Ａ Ｎ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
ＨＣ
Ｉ Ｊ Ｋ
Ｌ
Ｂ
作法：１）作射线ＡＣ。 ２）在射线ＡＣ上顺次截取 ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。 ３）连结ＨＢ。 ４）过点Ｇ、Ｆ、Ｅ、Ｄ分别作ＨＢ的平行线ＧＬ、ＦＫ、 ＥＪ、ＤＩ，分别交ＡＢ于点Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ。 Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ就是所求的五等分点
再 见
L2 L3
L4 L5
L1
L2 L3
L5L4
L1
L2 L3
L5 L4
L1
L2 L3
L5
L4
L1
L2 L3
L5
L4
L1
L2 L3
L5
L4
L1
L2 L3
8字形 L5
E A B
L4 D
L1
L2
C
L3
数学符号语言
DE // BC
E
A
D
AD = AE AB AC
B
C
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2 L3 B
E A
L1
L2 C L3
数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC
数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC
∵
∵
推论：
A
平行于三角形一边的直 D E 线截其他两边(或两边的 延长线），所得的对应 C 线段成比例。 B 推论的数学符号语言： E D
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在 一条直线上截得的线段相等， 那么在其 他直线上截得的线段也相等.
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
求证： DE=EF
证明：
l1 l2 l3
C B
A
D E
F
注意
实际上相邻两平行线间的 距离相等的情况下得到的。
平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段 相等 ，那么在其他直线上截得 的线段也 相等
E C
2、填空题:
E
D
如图:DE∥BC, 2 已知: AD ＝ — 求 : —— 2 AE 5 AB —— —— ＝ — AC 5
A B C
例题2 解: ∵
已知：DE//BC, AB=15,AC=9, BD=4 . 求：AE=?
A
DE∥BC
AB AC ∴ —— ＝ —— （推论） BD CE B 15 9 即 —— ＝ —— 4 CE D 12 ∴ CE ＝ — 5 2 12 ∴ AE= AC+CE=9+ — =11—
l1 l2 l3
A
A1 B1 C1
B E
A
D F
B
C
C
做一做：
b （1）在有横格线的练习本 a l1 画直线a，使得a与横线垂 l2 l3 直 ，观察a被各条横线分成 l4 的线段是否相等。 （2）再画一条直线b，那么b被各条横线 分成的线段有何关系？
猜想：
如果一组平行线在一条直线上截得的线 段相等， 那么在其他直线上截得的线段也 相等. 如何来证明？
D E F
=
BC EF (3) AC DF
下
全
什么是对应线段？
如果平行线间的距离不相等呢？
A B C
a
b D E
L1 L2 L3 L4
AB DE (1) BC EF
上
=
上
下 下 上 AB DE 上 = ( 2) 全 AC DF 全
F
BC EF 下 (3) AC DF 全
下
=
全
两条直线被一组平行线（不少于3条） 所截，所得的对应线段成比例。
∵ DE∥BC AD AE ∴ —— ＝ —— （推论） AB AC B
A
C
练习一: 1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
A
AD ＝ —— AE AD ＝ —— AE ( ) D A: —— B: —— AB AC ( ) BD CE
AD AE AD AB ＝ ＝ —— —— —— —— C: AC ( ) D: ( ) B AB AE AC
C
AB 当 1 BC
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
L4 L5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
L1
L2 L3
L5L4
L1
L2 L3
L5 L4
L1
L2 L3
L5
L4
L1
L2 L3
A字形L5
A
D
L4
L1
E
L2
B
C
L3
数学符号语言
DE // BC
A
D E
AD = AE AB AC
B
C
L4 L5
A B C
D E F
L1
l1 l2
A
D
？E ？F
B C
几何语言:
l3
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC ∴ DE=EF
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC,那么 下列各式成立吗？
AB DE (1) BC EF
AB DE ( 2) AC DF
上 下 上 全 下 全
= =
上
下 上 全
l1 l2 l3
A B C
平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线（不少于3条） 所截，所得的对应线段成比例。
a
几何语言
L1//L2//L3 AB =
DE
C
A B
b D E
L1
L2
F
EF BC (平行线分线段成比例定理)
L3
平行线分线段成比例定理与平行线等分线 段定理有何联系？
A D
B
E
AB 当 1 BC
F
A B
D E
C
E
探 究
已知：如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E A AD AE DE 求证： AB AC BC E D
DE//BC
EF//AB
AD AE AB AC
B
F
C
DE AE BF AC BC BF=DE
AD AE DE AB AC BC
例题讲解：
已知：线段ＡＢ 求作：线段ＡＢ的 五等分点。
Ｍ Ｄ Ａ Ｎ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
ＨＣ
Ｉ Ｊ Ｋ
Ｌ
Ｂ
作法：１）作射线ＡＣ。 ２）在射线ＡＣ上顺次截取 ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。 ３）连结ＨＢ。 ４）过点Ｇ、Ｆ、Ｅ、Ｄ分别作ＨＢ的平行线ＧＬ、ＦＫ、 ＥＪ、ＤＩ，分别交ＡＢ于点Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ。 Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ就是所求的五等分点
再 见
L2 L3
L4 L5
L1
L2 L3
L5L4
L1
L2 L3
L5 L4
L1
L2 L3
L5
L4
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L2 L3
L5
L4
L1
L2 L3
L5
L4
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L2 L3
8字形 L5
E A B
L4 D
L1
L2
C
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数学符号语言
DE // BC
E
A
D
AD = AE AB AC
B
C
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2 L3 B
E A
L1
L2 C L3
数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC
数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC
∵
∵
推论：
A
平行于三角形一边的直 D E 线截其他两边(或两边的 延长线），所得的对应 C 线段成比例。 B 推论的数学符号语言： E D
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在 一条直线上截得的线段相等， 那么在其 他直线上截得的线段也相等.
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
求证： DE=EF
证明：
l1 l2 l3
C B
A
D E
F
注意
实际上相邻两平行线间的 距离相等的情况下得到的。
平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段 相等 ，那么在其他直线上截得 的线段也 相等
E C
2、填空题:
E
D
如图:DE∥BC, 2 已知: AD ＝ — 求 : —— 2 AE 5 AB —— —— ＝ — AC 5
A B C
例题2 解: ∵
已知：DE//BC, AB=15,AC=9, BD=4 . 求：AE=?
A
DE∥BC
AB AC ∴ —— ＝ —— （推论） BD CE B 15 9 即 —— ＝ —— 4 CE D 12 ∴ CE ＝ — 5 2 12 ∴ AE= AC+CE=9+ — =11—
l1 l2 l3
A
A1 B1 C1
B E
A
D F
B
C
C
做一做：
b （1）在有横格线的练习本 a l1 画直线a，使得a与横线垂 l2 l3 直 ，观察a被各条横线分成 l4 的线段是否相等。 （2）再画一条直线b，那么b被各条横线 分成的线段有何关系？
猜想：
如果一组平行线在一条直线上截得的线 段相等， 那么在其他直线上截得的线段也 相等. 如何来证明？
D E F
=
BC EF (3) AC DF
下
全
什么是对应线段？
如果平行线间的距离不相等呢？
A B C
a
b D E
L1 L2 L3 L4
AB DE (1) BC EF
上
=
上
下 下 上 AB DE 上 = ( 2) 全 AC DF 全
F
BC EF 下 (3) AC DF 全
下
=
全
两条直线被一组平行线（不少于3条） 所截，所得的对应线段成比例。
∵ DE∥BC AD AE ∴ —— ＝ —— （推论） AB AC B
A
C
练习一: 1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
A
AD ＝ —— AE AD ＝ —— AE ( ) D A: —— B: —— AB AC ( ) BD CE
AD AE AD AB ＝ ＝ —— —— —— —— C: AC ( ) D: ( ) B AB AE AC
C
AB 当 1 BC
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
L4 L5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
L1
L2 L3
L5L4
L1
L2 L3
L5 L4
L1
L2 L3
L5
L4
L1
L2 L3
A字形L5
A
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L4
L1
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L2
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C
L3
数学符号语言
DE // BC
A
D E
AD = AE AB AC
B
C
L4 L5
A B C
D E F
L1
l1 l2
A
D
？E ？F
B C
几何语言:
l3
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC ∴ DE=EF
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC,那么 下列各式成立吗？
AB DE (1) BC EF
AB DE ( 2) AC DF
上 下 上 全 下 全
= =
上
下 上 全
l1 l2 l3
A B C
平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线（不少于3条） 所截，所得的对应线段成比例。
a
几何语言
L1//L2//L3 AB =
DE
C
A B
b D E
L1
L2
F
EF BC (平行线分线段成比例定理)
L3
平行线分线段成比例定理与平行线等分线 段定理有何联系？
A D
B
E
AB 当 1 BC
F
A B
D E