第八讲 因式分解与恒等变形

第七讲 因式分解（十字相乘与分组分解）

知识点归纳

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时也把这一过程叫分解因式 因式分解和整式的乘法有互逆关系

一个多项式中每一项都含有相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式 把公因式提出取出来进行因式分解的方法，叫做提公因式法 提取公因式的一般步骤：

1、确定应提取的公因式

2、用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式

3、把多项式写成两个因式的积形式

提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式

添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积

()()b a b a b a

-+=-2

2

两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方

()b a b a ab +=++2

2

2

2 ()

b a b

a

ab -=+-2

2

2

2

利用公式把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法 十字相乘法： 引入：乘法公式

()()()ab x b a b x a x x +++=++2

应用这个公式，我们可以得到分解形如

q px x

++2

的二次三项式的方法：

如果可以得到两个数a 、b ，使得常数项为两者的积，同时一次项系数为两者的和，也即ab=q,a+b=p,如下图： 1 a

1 b 例1分解因式（1）342

++x x （2）672++x x

（3）672+-x x

（4）652+-x x

（5）652-+x x （6）652

--x x

例2分解因式（1）822

+--x x

（2）x

x --220

（3）2532

+-x x

（4）3842++x x

（5）24762

--x x

（6）66132--x x

例3分解因式 （1）22

107y xy x ++ （2）222410y xy x --

（4）22

32y xy x

-- （4）22412y xy x -+

例4分解因式 （1）xy

y x 2514422

-+ （2）22

4258b ab a

--

（3）22

151112y xy x

--

例5分解因式 （1）28324

-+x x （2）()()1242

-+-+y x y x

（4）()b

x b x

++-12

（4）()3322

-+-+k x k kx

例6分解因式 （1）32)1(32

-+--m x m mx （2）k

x x k +--2)2(2

（3）n x n m mx

++-)(2

例7 分解因式（1）233222

+++-+y x y xy x （2）38844322--+-+y x y xy x

例8 分解因式 ()22231032b ab a x b a x -+-++

例9分解因式 （1）43522+++-y x y x （2）22--++y x y xy

例10分解因式 22220232656z yz xz y xy x -----

当堂检测

1．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a +1的是（ ） A ．a 2﹣1 B ．a 2+a

C ．a 2+a ﹣2

D ．（a +2）2﹣2（a +2）+1

2．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ） ①x 2﹣10x +25；②4a 2+4a ﹣1；③x 2﹣2x ﹣1；④

；⑤

．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

3．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）

A ．x （a ﹣b ）=ax ﹣bx

B ．x 2﹣1+y 2=（x ﹣1）（x +1）+y 2

C ．y 2﹣1=（y +1）（y ﹣1）

D ．ax +by +c=x （a +b ）+c

4．把8a 3﹣8a 2+2a 进行因式分解，结果正确的是（ ） A ．2a （4a 2﹣4a +1） B ．8a 2（a ﹣1） C ．2a （2a ﹣1）2 D ．2a （2a +1）2

5．将下列各式因式分解：

（1）x 2﹣9 （2）﹣3ma 2+12ma ﹣9m

（3）4x 2﹣3y （4x ﹣3y ） （4）（a +2b ）2+2（a +2b ﹣1）+3．

6．已知：x 2﹣x ﹣1=0，则﹣x 3+2x 2+2002的值为 ．

7．若m 2=n +2，n 2=m +2（m ≠n ），则m 3﹣2mn +n 3的值为 ．

8．要使二次三项式x 2+mx ﹣6能在整数范围内分解因式，则m 可取的整数为 ． 9．阅读下列文字与例题

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．

例如：（1）am +an +bm +bn=（am +bm ）+（an +bn ） （2）x 2﹣y 2﹣2y ﹣1=x 2﹣（y 2+2y +1）

=m （a +b ）+n （a +b ） =x 2﹣（y +1）2

=（a +b ）（m +n ） =（x +y +1）（x ﹣y ﹣1）

试用上述方法分解因式a 2+2ab +ac +bc +b 2= ．

10．下面是某同学对多项式（x 2﹣4x +2）（x 2﹣4x +6）+4进行因式分解的过程．

解：设x 2﹣4x=y ，

原式=（y +2）（y +6）+4 （第一步） =y 2+8y +16 （第二步） =（y +4）2（第三步） =（x 2﹣4x +4）2（第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．