反比例函数的图像及性质
反比例函数的图像和性质的综合应用
解析
根据题意，将点 A（-2 ，3）和点 B（3，-2 ）分别代入两个函数中 ，得到关于 m、k、b 的方程组，解方程组求 得 m、k、b 的值，即 可得到两个函数的解析
式。
05
反比例函数在几何图形中应用
相似三角形判定定理推广
预备定理
平行于三角形的一边，并且和 其他两边相交的线段，所截得 的三角形的三边与原三角形三 边对应成比例。
反比例函数图像在平面直角坐标系中 ，沿y轴方向平移，函数表达式不变， 图像沿y轴平移。
伸缩变换规律
01
当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而减小；
02
当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而增大。
03
k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数； k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3
平行四边形面积问题
通过已知相邻两边及其夹角求解面积，或已知面 积和一边长度及夹角求解另一边长度，应用反比 例函数进行求解。
速度、时间、距离关系分析
匀速直线运动问题
通过已知速度和时间求解距离，或已 知距离和时间求解速度，利用反比例 关系建立方程。
变速直线运动问题
曲线运动问题
通过已知速度和方向的变化规律，求 解某时刻的速度或某段时间内的平均 速度及运动轨迹，结合反比例函数进 行综合分析。
解析
根据题意，将点（-2， -1）代入两个函数中， 得到关于 k、m、n 的 方程组，解方程组求得 k、m、n 的值，即可 得到两个函数的解析式 。再将 x = 3 代入两个 函数中，得到关于 k、 m、n 的另一个方程， 与前面的方程组联立求 解，即可得到最终的解
反比例函数图象的性质
当k>0时，图象分别位于第一、三象 限；当k<0时，图象分别位于第二、 四象限。
反比例函数图象的变化规律
随着x的增大，y值逐渐减小或增 大，取决于k的符号。
当k>0时，在第一象限和第三象 限内，随着x的增大，y值逐渐减 小；在第二象限和第四象限内，
随着x的增大，y值逐渐增大。
当k<0时，在第一象限和第三象 限内，随着x的增大，y值逐渐增 大；在第二象限和第四象限内， 随着x的增大，y值逐渐减小。
在物理中的应用
1 2 3
电学
在电路分析中，反比例函数可以用于描述电阻、 电容和电感之间的关系，如RC电路和RL电路等。
光学
在光学中，反比例函数可以用于描述光的干涉和 衍射现象，如在计算光束的衍射角和干涉条纹间 距时需要考虑反比例关系。
热力学
在热力学中，反比例函数可以用于描述气体分子 之间的相互作用和分布规律，如理想气体状态方 程和麦克斯韦分布等。
02 反比例函数的图象
反比例函数图象的形状
反比例函数图象是双 曲线，位于两个象限 内。
反比例函数图象关于 原点对称。
当k>0时，图象在第 一、三象限；当k<0 时，图象在第二、四 象限。
反比例函数图象的位置
k的符号决定了反比例函数图象所在的 象限。
无论k的取值如何，反比例函数的图象 都不会与x轴、y轴相交。
反比例函数的图象是关于原点对称的。
当x增大或减小时，y的值会无限接近 于x轴或y轴，但永远不会与之相交。
反比例函数的应用
在物理学、工程学和经济学等领域中，反比例函数有着广泛 的应用。
例如，在电学中，电流与电阻的关系可以用反比例函数表示 ；在经济学中，商品的需求量与其价格之间的关系也可以用 反比例函数表示。
反比例函数反比例函数的图象与性质
2023-11-06
contents
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数 。
反比例函数的积分特性
反比例函数在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上的积分等于常数k。
VS
反比例函数在区间(-∞,x)和(x,+∞)上 的积分等于常数k乘以x。
04
反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题
电力分布
在电力分布问题中，常常 需要使用反比例函数来计 算电力的分布情况，以便 合理规划电力设施。
反比例函数的定义域和值域
定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。
反比例函数的单调性
在区间(-∞,0)和(0,∞)上单调递减。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式
01
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。Biblioteka 反比例函数的解析式02
反比例函数通常被表示为y = k / x的形式，其中k是常数且不
热传导
在热传导中，可以使用反比例函数 来描述热量在介质中的传导规律。
在几何中的应用
圆的面积
在计算圆的面积时，可以使用 反比例函数来描述圆的面积与
半径之间的关系。
球的体积
在计算球的体积时，可以使用 反比例函数来描述球的体积与
半径之间的关系。
光线反射
在光线反射问题中，可以使用 反比例函数来描述光线反射的
反比例函数的图象与性质
应对策略
在解题前仔细检查题目条件，确保 $k$ 不为零。若题目 中未给出 $k$ 的具体值，则需分类讨论 $k$ 的正负情况 。
应对策略
加强对反比例函数图象与性质的理解和记忆，多做相关练 习题以加深印象。在解题时，先根据题目条件判断函数类 型，再运用相应的性质进行求解。
拓展延伸：反比例型复合函数初步认识
面积问题求解策略
矩形面积问题
三角形面积问题
当矩形的长和宽成反比例关系时，可 以通过反比例函数求解面积。
在已知三角形两边长和夹角的情况下 ，利用反比例函数关系求解面积。
平行四边形面积问题
利用平行四边形的底和高，结合反比 例关系求解面积。
速度、时间、距离关系建模
匀速直线运动
在匀速直线运动中，速度、时间和距 离之间满足反比例关系，可以通过反 比例函数进行建模和求解。
反比例函数的图象：反比例函数 的图象是两条分别位于第一、三 象限和第二、四象限的双曲线， 这两条双曲线关于原点对称。
当 $k > 0$ 时，双曲线的两支分 别位于第一、三象限，在每一象 限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小 ；
反比例函数的定义：形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的函数称为反比例函数 。
在描点时，应尽量选择具 有代表性的点，以便更准 确地反映函数的图象。
注意对称性
反比例函数的图象关于原 点对称，因此在描点时应 注意这一点，以提高绘图 的准确性。
平滑连线
在连接各点时，应使用平 滑的曲线，避免出现突兀 的转折。
图象特点总结
图象形状
反比例函数的图象为双曲线，且 以原点为对称中心。
渐近线
当 x 趋近于无穷大或无穷小时， 双曲线将分别趋近于两条与坐标 轴平行的直线，这两条直线称为
反比例函数的图象和性质课件
３.甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地， 把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均
速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（ C ）
反比例函数的性质
y
1.当k>0时,图象的两个分
支分别在第一、三象限内，
x
在每一个象限内，y随x的
0
增大而减小；
y
2.当k<0时,图象的两个分
-4
函数y=kx-k 与 y k k 0在同一条直角坐标系中的 图象
x
可能是
:D
y ox (A)
y ox (B)
y ox (C)
y ox (D)
在每一象限内，Y 随x 的增大而___增___大___.
3. 函数y=—x5— ,当x>0时,图象在第__一__象限, Y 随x 的增大而___减__小____.
4.下列函数中,图象位于第二、四象限的
有 (3)、；(在4)图象所在象限内，y的值随x
的增大而增大的有
(2).、(3)、(5)
(1)y 2 (2)y 2x
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5 -5
-6 -6
y
6
5
y
=-
6 x
4
y
=
6 x
3
2
请大家仔细观察反比例函数
y 6
和
y
6
的函数
x
x
1
图象，找找看，他们有什么共同
-6
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1
23 4
5
6x
-2
的特征？
-3
反比例函数图象与性质(二)
99 2.对于函数 y ,x＜0时,y ＞0 x
,且
y的值随x的增大而
增大
.
老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同
学分别指出了这个函数的一个性质:
甲:函数的图象经过第二象限;
乙:函数的图象经过第四象限;
丙:在每个象限内,y随x的增大而增大.
请你根据他们的叙述构造满足上述性质的 一个函数: .
已知反比例函数的图象经过点A（2，6） （1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大 而如何变化？ 4 1 （2）点B（3，4）、C（-2 ,-4 ）和D（2，5） 5 2 是否在这个函数的图象上？
反比例函数的图象和性质： 1.反比例函数的图象是双曲线; 2.图象性质见下表： k y= K>0 K<0
x
图 象
当k＞0时，双曲线 的两个分支分别在第 一、三象限，在每个 象限内，y随x的增大 而减小. 当k＜0时，双曲线 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 而增大.
性 质
m5 如图是反比例函数 y 的图象的一支，根据 x 图象回答下列问题：
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围 是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A(a1,b1)和 点B(a2,b2),如果a1>a2,那么b1和b2有怎样的大小关 系？
（3）如果a3>0>a1>a2, 那么b3,b1,b2的大小 关系如何？
2
x
5.如图,若正比例函数y=2x与y=ax（a＞0）的图象
k 与反比例函数y= （k＞0）的图象分别交于A、 x
C两点。若Rt△AOB与Rt△COD的面积分别记 为S1、S2，请你分析S1和S2的大小关系.
反比例函数图象和性质
对称性
反比例函数的图象关于原点对称，即 如果点 (x, y) 在图象上，那么点 (-x, y) 也在图象上。利用这一性质，可以 更快地描出图象。
图象特点总结
图象形状
反比例函数的图象是一条双 曲线，且以原点为中心对称 。
渐近线
当 x 趋向于正无穷或负无穷 时，y 趋向于 0。因此，x 轴和 y 轴是反比例函数的渐 近线。
在生物学领域，反比例 关系可以描述生物体内 部某些生理过程之间的 平衡关系。例如，在生 态系统中，捕食者和猎 物之间的数量关系可能
呈现出反比例关系。
THANK YOU
解析法
对于反比例函数f(x)=k/x (k≠0)，可以通过求导来判断其增减性。当k>0时，f'(x)=-k/x^2<0，函数在定义域内 单调递减；当k<0时，f'(x)=-k/x^2>0，函数在定义域内单调递增。
对称性表现形式
中心对称性
反比例函数的图象关于原点对称。即对于任意一点(x,y)在反比例函数的图象上， 其关于原点的对称点(-x,-y)也在反比例函数的图象上。
06
函数图象位于第二象限和第四象限，且关于原点对称。
02
反比例函数图象绘制
列表法绘制步骤
确定函数表达式
列表取值
首先确定反比例函数的表达式 y = k/x (k ≠ 0)。
在自变量 x 的取值范围内，选取一些具有 代表性的点，计算对应的函数值 y。
绘制坐标点
连线成图
在坐标系中，将选取的点用坐标 (x, y) 表示 出来。
变速直线运动
在某些变速直线运动中，速度与时间的关系也可以近似为反 比例关系。此时，可以利用反比例函数来分析和求解相关问 题。
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像与性质反比例函数是一种常见的数学函数类型，其图像非常有特点，具有一些独特的性质。
本文将介绍反比例函数的图像及其性质，以帮助读者更好地理解和应用这一函数类型。
一、反比例函数的图像反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/x，其中 k 为非零常数。
根据这个函数形式，我们可以研究其图像及其性质。
1. 关于 y 轴和 x 轴的对称性：我们可以观察到反比例函数的图像关于 y 轴和 x 轴均具有对称性。
也就是说，如果一个点 (x, y) 在反比例函数的图像上，那么点 (-x, y)、(x, -y)、(-x, -y) 也会在图像上。
2. 渐近线：对于反比例函数 y = k/x，当 x 趋近于 0 时，y 趋于正无穷大或负无穷大。
也就是说，反比例函数的图像会有两个垂直于 x 轴的渐近线，分别位于第一象限和第三象限。
这两条渐近线可以用方程 x = 0 和 y =0 来表示。
3. 变化趋势：反比例函数的图像随着 x 的增大而逐渐趋向于 x 轴正半轴，随着 x的减小而逐渐趋向于x 轴负半轴。
换句话说，当x 趋近于正无穷大时，y 趋于 0；当 x 趋近于负无穷大时，y 也趋于 0。
这一性质可以通过直观的图像来观察和理解。
二、反比例函数的性质除了图像特点外，反比例函数还具有一些性质，对于解题和实际应用有重要意义。
下面我们将介绍一些常见的性质。
1. 定义域和值域：反比例函数 y = k/x 的定义域为除了 x=0 外的所有实数，值域也为除了 y=0 外的所有实数。
这是因为 0 不能作为分母。
2. 增减性：当 x1<x2 时，对于反比例函数，由于 x1 和 x2 在同一侧相对于 0，所以可以推出 y1 和 y2 在同一侧相对于 0。
也就是说，反比例函数在定义域内的不同点上具有相同的增减性。
3. 零点：反比例函数的零点为x=0，即在坐标系的原点处。
当x 不等于零时，反比例函数的值不会等于零，因此没有其他零点。
反比例函数图像和性质ppt课件
活动3：探究反比例函数y k （k ）0 中k值与其图象的关系
x
1.反比例函数
y
5 x的图象大致是（
y
）D
y
A.
o
x
B.
o x
y
y
o
C.
x D.
o x
2.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( C )．
A. y m x
B. y m 1 x
c.
m2 1 y
复习提问
1. 上节课我们学的反比例函数解析式是什么？ y = k （k ≠0，k是常数）
x
自变量x的取值范围是什么？ 函数y的取值范围是什么？
x≠0
，y≠0
2. 下列函数中哪些是反比例函数？
① y = 3x-1
② y = 2x2
③
y =(
1 x
) -1
④y
=
m x
⑤ y = 3x
⑥ y=
1 x
⑦
y
=
x
k>0
k<0
图 象
当k＞0时，函数图象
性
的两个分支分别在第
质
一、三象限，在每个
象限内，y随x的增大
而减小.
当k＜0时，函数图象 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大
而增大.
布置作业
1、教科书第 6 页练习； 2、教科书习题 26.1 第 3 题． 3、作业本第59页。
y ox (A)
y ox (B)
y ox (C)
y ox (D)
练一练
4.已知点A(-2,y1),B(-1,y2) C(4,y3)
反比例函数的图象与性质课件
新课进行时
练一练
1.
反比例函数
y
3 x
的图象大致是
y
y
A.
o
x B.
o
(C )
x
y
C.
o
x D.
y
o x
新课进行时
典例精析 例1：若双曲线y = 2k 1 的两个分支分别在第二、
x
四象限，则 k 的取值范围是( B )
A. k＞ 1 2
C. k= 1 2
B. k＜ 1 2
D.不存在
解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四 象限，则必有2k-1＜0，解得k＜ 1 .故选B.
x
则m的取值范围是__m_＞__2___
2.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有 __(_1_)(_2_)_(3_)_____;
图象位于二、四象限的有___(_4_)______.
(1) y 1 ;(2) y 0.3 ;(3) y 10 ;(4) y 7
2x
x
x
100x
随堂演练
3.如图，已知直线y=mx与双曲线 y k 的一个交点 x
坐标为(-1,3)，则它们的另一个交点坐标是 ( C )
A. (1,3) B. (3,1) C. (1,-3) D. (-1,3)
y
x O
随堂演练
4.
已知反比例函数
y
k x
经过点A(2，3)．
(k为常数，k≠0)的图象
(1)求这个函数的表达式；
解：∵反比例函数y =
k x
(k为常数，k≠0)的
图象经过点 A(2，3)，
y
4 x
的图象.
x
-8
-4
反比例函数图象及性质
2x
2x
4x
800x
3、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是( B )
3
21k3(A) y (B)y (C) y (D) y
x
x
x
x
4、函数 y 1 a2 的图象在第 二、四 象限.
x
例题讲解
2 例1：在反比例函数 y x 的图象上有两点（x1，y1）、
（x2，y2）,若x1>x2 ，则y1>y2吗？
x 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而减小.
当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而增大.
y
6
y=
6 x
5 4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2 -3
-4 -5
-6
观察y 6 和y 6 的图象
x
x
发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？
1、在每一个象限内 2、在整个自变量的取值范围内
如图xB< xA 但yB< yA
y
6
6
5
y x
4
· 3
A
y
· C 6
6
5
y
x
4
3
2
2
xB
1
x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
A
· -2
B
-3
-4 -5
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
3
-1
-2
反比例函数的图像和性质
反比函数的图象和性质是什么？
反比函数的图象是什么？反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：①单调性、②面积、③图想表达、④对称性，以上就是反比函数的图象和性质。
接下来详细的看一下其中的内容吧！
①单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y 是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。
当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。
在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。
②面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。
而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x 轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。
③图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K 越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。
④对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。
反比例函数图像与性质
当 $k > 0$ 时，函数图像位于第一、三象限 ，且在每个象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐减小。
当 $k < 0$ 时，函数图像位于第二、四象限 ，且在每个象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐增大。
反比例函数的值总是趋近于零，但永远不会 等于零。
02
反比例函数图像特征
图像形状及位置
导数法
求反比例函数的导数，通过导数的正负来判断函数的单调性。对于反比例函数f(x)=k/x（k>0），其导数为 f'(x)=-k/x^2，在x>0和x<0的区间内，导数均为负，因此函数在这两个区间内分别单调递减。
奇偶性判断方法
奇函数性质
对于所有x，如果f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。反比例函 数f(x)=k/x（k≠0）满足f(-x)=-k/(-x)=k/x=-f(x)，因此是奇 函数。
感谢您的观看
THANKS
成本效益分析
在经济学中，反比例函数 可用于分析成本效益关系 ，如生产成本与产量之间 的关系。
投资回报
反比例函数可以表示投资 回报率与投资风险之间的 关系。
05
反比例函数与一次函数比较
图像特征比较
反比例函数图像
反比例函数的图像是一条双曲线，该曲线以原点为中心，分布在两个象限内。随着自变量的增大或减小，函数值 分别趋近于正无穷或负无穷。
图像对称性
奇函数的图像关于原点对称。反比例函数的图像同样具有这 一性质，其图像关于原点对称。
周期性讨论
无周期性
反比例函数不具有周期性。即不存在 一个正数T，使得对于所有x，都有 f(x+T)=f(x)。这是因为反比例函数的 图像在整个定义域内都是连续的，并 且没有重复的波形出现。
反比例函数的图象和性质
忆一忆
面积性质（一）
y P(m,n)
oA
x
y
P(m,n)
oA
x
特权福利
特权说明
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年VIP
月VIP
连续包月VIP
（1）求反比例函数和一次函数的解析式。 （2）根据图象写出使反比例函数的值大于一 次函数的值的x的取值范围。
y
M （2，m）
o
x
N （-1，-4）
求（1）一次函数的解析式
（2）根据图像写出使一 次函数的值小于反比例函 数的值的x的取值范围。
y A
O
xBΒιβλιοθήκη 例：已知，关于x的一次函数
和
反比例函数
的图象都经过点（1，-
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反比例函数图象及性质
反比例函数图象及性质【知识点】定义：一般的，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成(k 为常数，k≠0，x≠0），其中k 叫做反比例系数，x 是自变量，y 是x 的函数，x 的取值范围是不等于0的一切实数,且y 也不能等于0。
表达式：y*x=-1,y=x^(-1)*k ，y=kx^-1（k 为常数(k≠0），x 不等于0）函数的图像：当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x 和y 轴，但永远不会与x 轴和y 轴相交.函数的性质：Y 与x 的变化：当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而减小； 当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而增大。
因为在(k≠0)中，x 不能为0，y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交，只能无限接近x 轴，y 轴。
面积：在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|， 反比例函数上一点 向x 、y 轴分别作垂线，分别交于y 轴和x 轴，则QOWM 的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT △OMQ 的面积=½|k|。
对称性：类型一：函数性质，比较大小例1.如果两点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2）在反比例函数xy 1=的图象上，那么y 1与y 2间的关系是（ ） A. y 2＜y 1＜0 B.y 1＜y 2＜0 C.y 2＞y 1＞0 D.y 1＞y 2＞0 例2.对于函数3x ky x+＝（k ＞0）有以下四个结论： ①这是y 关于x 的反比例函数；②当x ＞0时，y 的值随着x 的增大而减小； ③函数图象与x 轴有且只有一个交点；④函数图象关于点（0，3）成中心对称．其中正确的是 。
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人教版数学九年级下册《反比例函数的图象和性质》教学设计一.内容和内容解析1.内容反比例函数的图象和性质2.内容解析本节课是人教版数学九年级下册第二十六章第一节反比例函数的内容，本节分为三课时，这是第二课时的新授课.是在学生已经经历了一次函数、二次函数的研究过程的基础上，在得到反比例函数的概念之后，进一步研究反比例函数的图象，并通过图象的研究和分析，来确定反比例函数的性质.教学过程中首先引导学生用“描点法”画出反比例函数的图象，使反比例函数的解析式表示的函数关系直观化；然后分类观察图象，体现“分类”的思想，首先研究k>0的情况，从特殊k=4,k=6,k=8,k=12的图象观察，进而推广到一般，得出k>0时的反比例函数的图象的特征及反比例函数的特性，体现“从特殊到一般”的思想，然后教师再引导学生从解析式的角度分析图象特征，在整个教学过程中始终贯穿由“数”到“形”再由“形”到“数”的相互转化，让学生体会“数形结合”的数学思想和反比例函数的本质属性所在，对于k<0的研究，完全类比k>0的研究过程，体现“类比”的思想.反比例函数是初中阶段要求学习的三种函数中的最后一种，是继一次函数学习之后，知识的一次扩展，图象由“一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”，由“连续”到“间断”，由与坐标轴“相交”到“渐近”，是学习函数的一般方法和规律的再次强化，也是后续构建反比例函数模型的基础，起着承上启下的作用.本节课学生的学习重点是：用描点法画反比例函数的图象，并根据图象理解反比例函数的性质．学习难点是：对x≠0的理解及图象特征的分析．二．目标和目标解析1.目标（1）能画出反比例函数的图象，探索并理解图象的变化情况.（2）在画出反比例函数的图象，并探究其性质的过程中，体会“类比”、“分类讨论”、“从特殊到一般”以及“数形结合”的数学思想.（3）通过观察反比例函数的图象、探究反比例函数的性质，发展探究、归纳及概括的能力.2.目标解析（1）首先运用描点法画出反比例函数的图象，然后根据图象，通过观察、分析、归纳得出反比例函数的性质，因此正确画出反比例函数图象是前提条件，虽然学生之前用描点法经历过画一次函数、二次函数图象的经验，但是由于反比例函数图象结构复杂，具有自身的特殊性，因此，能用“描点法”画出反比例函数图象并根据图象探究其性质仍是本节课的目标.（2）类比正比例函数的研究方法，通过分类讨论的方式首先研究k>0的情况，在研究过程中从图象和解析式两个角度分析，体现了数形结合的思想，通过类比研究k<0的情况，同样体现从特殊到一般的数学思想.（3）在探究反比例函数的性质的过程中，教师利用几何画板给出一系列函数图象，通过对图象的观察、分析，利用数形结合的数学思想，归纳概括反比例函数的图像和性质，所以整个性质的探索过程发展了分析概括的能力.三．教学问题诊断分析学生已经学习了一次函数、二次函数的图象和性质，反比例函数的解析式，已具有描点法画函数图象的初步经验，但是由于反比例函数的图象结构复杂，具有自身的特殊性，因此在画反比函数的图象这个环节，可能遇到的问题有：1.在列表时没注意到自变量的取值范围是x≠0,或者对自变量x的取值只取正或只取负.2.由于列表时只取了有限的几个点，因此在连线时学生容易只把这几点连线，只画出图象的一部分，有明显端点，没有画出双曲线的延伸趋势.3.学生在画双曲线的延伸趋势时可能出现错误，这是因为学生仅仅是通过描点得出图象，并没有深入从解析式的角度分析问题，教师可以引导学生尝试分析理解.在学习一次函数、二次函数的时候，学生已经历过观察、分析图象的特征，概括函数性质的过程，对研究函数性质所用的探究方法也有一定的了解，因此，通过类比，结合反比例函数的图象和表达式探索性质，从使用的方法上不会存在障碍，但是双曲线的特殊性使学生在探究反比例函数增减性时可能会出现问题，教学中教师应该强调从“数”、“形”两方面统一分析.四．教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用几何画板，快速、准确的绘制反比例函数图象，另外通过动态的演示，观察相关数值的变化，研究图象的变化趋势，进而探索反比例函数的性质.五．教学过程分析（一）创设情境多媒体课件展示华罗庚先生的关于“数形结合”的一首词.设计意图：采用名人名言欣赏的方式进行情景引入，不仅调动了学生的积极性，同时又紧扣主题，为本节课的学习进行了方法上的准备.（二）知识链接1.已经学习了哪些函数？2.正比例函数y=kx(k≠0)的图象和性质是什么？3.反比例函数的定义是什么？4.描点法画图象的步骤是什么？师：了解了反比例函数的解析式，也就是从“数”的角度了解了反比例函数，那么对应的反比例函数的“形”的方面，也就是图象是什么呢？函数性质又是怎样的呢？设计意图：通过复习正比例函数的知识，为学习画反比例函数的图象奠定基础，同时提出问题，明确本节课的学习任务.（三）探究图象分以下5个环节完成.1.试一试：学生独立画出6y=的图象.x2.议一议：小组讨论所画作品，选出他们认为画的最好的作品．3.看一看：展示学生选出的作品，进行问题分析.然后教师示范正确画图过程.4.说一说：同桌互说一遍画图像时的注意事项，并修订已画图象.5.练一练：画出反比例函数6y=-的图象.x设计意图：首先让学生独立画图，充分暴露学生存在问题，关注画图的基本步骤及每个细节的处理，培养学生画图象的能力，通过再次画图，使学生及时巩固已获得的作图经验，并且为后面归纳性质增加感性认识.（四）探究性质探究1. 探究反比例函数6y x =和6y x=-的图象有什么共同特征以及不同点？ 学生活动：主要由学生观察发现，教师适时引导．共同特征：（1 ）它们都由两条曲线组成．反比例函数的图象属于双曲线.（2）随着x 的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴．不同特点：（1） 位置不同（2） 增减性不同教师追问：这些不同特点是由什么因素决定的？生：k 的正负.设计意图：培养学生的观察能力，让学生体会分类的必要性.探究2．利用几何画板再准确作出k =4, k =8, k =12时的三个反比例函数图象．观察这一系列函数图象，思考下列问题：（1）图象形状是什么？（2）图象位于哪几个象限？（3）在每个象限内，y 随x 的变化如何变化?学生活动：先由学生独立思考，然后小组讨论交流，小组代表发言，其他同学补充或质疑.教师板书：形状：双曲线位置：一三象限增减性：在每个象限内，y随x的增大而减小教师追问(1)：哪位同学能从解析式的角度解释第二个和第三个问题?教师设问(2)：第三个问题，如果去掉在每个象限内这个条件，y随x的变化情况还一致吗？为什么？学生活动：学生尝试解释，教师及时点拨，并利用几何画板直观演示．师：把刚才所研究的问题推广到一般，就得到了k >0时的函数图象和性质．设计意图：使学生经历由特殊到一般的过程，体验知识的产生形成过程；教师的追问引导学生从“数”、“形”两方面解决问题，让学生体会数形结合的思想.探究3.观察下列函数图象特征，归纳k=（k<0）性质.yx学生活动：学生发言，教师板书.形状：双曲线位置：二四象限增减性：在每个象限内，y随x的增大而增大设计意图：让学生自己去观察、类比、发现的方式获得知识，培养学生积极参与的意识和自主探索的能力.归纳: 反比例函数y =k x（k 为常数，k ≠0）的图象和性质．（1）反比例函数y=k x （k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线．（2）当k >0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y •值随x 值的增大而减小．（3）当k <0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y •值随x 值的增大而增大．设计意图：培养学生的分类讨论意识和归纳概括能力.探究4.在同一坐标系中反比例函数6y x =与6y x =-的图象之间在位置上有什么对称关系？学生活动：学生观察发现，教师动画演示.师：同学们能再从解析式上分析一下它的对称关系吗？结论：当k 互为相反数时，对应的反比例函数图象既关于x 轴对称，也关于y 轴对称.设计意图：培养学生的观察能力及让学生感知反比例函数图象的对称性和数学美.（五）目标检测1.下列图象中，可以是反比例函数的图象的（ ）．2.若反比例函数的图象经过（-3,4）则此函数的图象应在（ ）．A ．第一、三象限B .第一、二象限C .第二、四象限D .第三、四象限3.已知点A (-2，a ）、B (-1,b ) 、C (3，c ）都在反比例函数y =1x图象上，试比较a 、b 、c 的大小.解：把点A (-2，a ）、B (-1，b ）、C (3，c ）分别带入1y x =中得：1a=-2,b ＝-1,13c = 所以b <a <c .另解：因为k =1>0所以在每个象限内，y 随x 的增大而减小由图知，因为-2<-1<0,所以b <a <0，而c >0所以b <a <c .学生活动：前两题由学生讲解、第三题由学生板书展示.设计意图：通过三个题目巩固反比例函数图像和性质，渗透数形结合的思想方法.（六）课堂小结这节课你有什么收获？有什么疑惑？学生活动：学生发言交流自己的收获，其他同学补充．师：回顾反比例函数的学习过程，我们首先学习了反比例函数的解析式，以解析式为基础，运用数形结合的思想，画出了函数图象，进而研究函数的性质，体现了分类讨论的方法，这其实就是我们研究函数的一般方法.师：同学们，有关反比例函数的知识，经过我们的整理，形成了一颗知识树，像这样让知识体系化，是我们学习数学的一种很好的方法，如果对已每一个知识点，同学们都能进行这样的梳理，那么你就会收获一片知识的森林.设计意图：通过本环节，培养学生分类讨论的思想及归纳概括的能力，通过美丽的知识树，对学生进行了学习方法上的指导，给学生留下深刻印象. （七）分层作业A、习题26.1 第3题B、习题26.1 第8题课外延伸：探究反比例函数k=（k≠0）的图象关于直线y=x与y=-x的对yx称性．设计意图：根据分层教学和因材施教的原则，将作业分成A,B两类，让不同能力的学生在数学上都得到发展.课外延伸让学生带着问题走进课堂，再带着新的问题走出课堂.六、板书设计。