信号与系统概念复习题参考答案

信号与系统复习题

1、描述某系统的微分方程为 y ”(t) + 5y ’(t) + 6y(t) = f (t)

y(0_)=2，y ’(0_)= -1 y(0_)= 1，y ’(0_)=0 求系统的零输入响应。 求系统的冲击相应

求系统的单位阶跃响应。 解：

2、系统方程 y (k)+ 4y (k – 1) + 4y (k – 2) = f (k)

已知初始条件y (0)=0，y (1)= – 1；激励k

k f 2)(=，k ≥0。求方程的解。 解：特征方程为 λ2 + 4λ+ 4=0 可解得特征根λ1=λ2= – 2，其齐次解 y h(k )=(C 1k +C 2) (– 2)k 特解为 y p(k )=P (2)k , k ≥0

代入差分方程得 P (2)k +4P (2)k –1+4P (2)k –2= f (k ) = 2k ， 解得 P =1/4

所以得特解： y p(k )=2k –2 , k ≥0

故全解为 y (k )= y h+y p = (C 1k +C 2) (– 2)k + 2k –2 , k ≥0 代入初始条件解得 C 1=1 , C 2= – 1/4

3、系统方程为 y (k) + 3y (k –1) + 2y (k –2) = f (k)

已知激励k

k f 2)(=, k ≥0，初始状态y (–1)=0, y (–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：：（1）y zi(k )满足方程

y zi(k ) + 3y zi(k –1)+ 2y zi(k –2)= 0

y zi(–1)= y (–1)= 0, y zi(–2) = y (–2) = 1/2 首先递推求出初始值y zi(0), y zi(1),

y zi(k )= – 3y zi(k –1) –2y zi(k –2) y zi(0)= –3y zi(–1) –2y zi(–2)= –1 y zi(1)= –3y zi(0) –2y zi(–1)=3 特征根为λ1= –1 ，λ2= – 2

解为 y zi(k )=C zi1(– 1)k + C zi2(–2)k 将初始值代入 并解得 C zi1=1 , C zi2= – 2

y zi(k )=(– 1)k – 2(– 2)k , k ≥0

（2）零状态响应y zs(k ) 满足：y zs(k ) + 3y zs(k –1) + 2y zs(k –2) = f (k ) y zs(–1)= y zs(–2) = 0 递推求初始值 y zs(0), y zs(1)，

y zs(k ) = – 3y zs(k –1) – 2y zs(k –2) + 2k , k ≥0 y zs(0) = – 3y zs(–1) – 2y zs(–2) + 1 = 1 y zs(1) = – 3y zs(0) – 2y zs(–1) + 2 = – 1

分别求出齐次解和特解，得

y zs(k) = C zs1(–1)k + C zs2(–2)k + y p(k)

= C zs1(– 1)k + C zs2(– 2)k + (1/3)2k

代入初始值求得

C zs1= – 1/3 , C zs2=1

y zs(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k，k≥0

4、系统的方程:

()()()()()1

2

2

1

3-

+

=

-

+

-

+k

f

k

f

k

y

k

y

k

y

()()()()()0

1

2=

=

-

=y

y

k

k

f kε

求系统的零输入响应。

解：

5、已知单位阶跃函数的傅里叶变换：

ω

ω

πδ

ε

j

t

1

)

(

)(+

=←→

求下面矩形脉冲(门函数）的傅里叶变换，并画出其频谱图。

)

2

Sa(

)

2

sin(

2

)

(j

ωτ

τ

ω

ωτ

ω=

=

F

解：

6、求函数)(

)(t

e

t

f tεα

=，α >0的傅里叶变换，并画出其频谱图。

7、已知矩形脉冲()t

g

τ

的傅里叶变换如为()⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

⋅

=

2

j

ωτ

τ

ω

τ

Sa

G，其中τ为脉冲宽度。求信号()()()t

t

g

t

f

cosω

τ

=的傅里叶变换。

8、已知系统的微分方程为y´(t) + 2y(t) = f(t)，

求系统的频率响应函数)

(ωj

H。

求)

(

)

(t

e

t

f tε-

=时零状态响应y(t)。

解：由H(j w)的定义

则有：

则解的

()[()]()j

H j F h t h e d

ωτ

ωττ

∞-

-∞

==⎰

)

(

)

(

2

)

(

3

)

(

)

(2ω

ω

ω

ω

ω

ωj

F

j

Y

j

Y

j

j

Y

j

f

f

f

=

+

+

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

j

F

j

Y

j

H f

=

2

)

(3

)

(

1

2+

+

=

ω

ωj

j