2第2章- 量子力学的基本原理
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n
2
得到不同的本征值 Fn 。对某一次测量，若测到本征值 Fn ，则测量后体 系 “塌缩” 到本征态 n （量子态的概率诠释和测量导致量子态的 “塌 缩”是哥本哈根学派的核心思想） 。 cn 满足
c
n
2
n
1
这与态矢量的归一化相一致，即
* cm m m
c
n
n
* * n cm cn m n cm cn mn cn 1 。 2 m,n m,n n
ˆ 的本 态塌缩为 到 Q （ Q
(
ˆ 的本征态) 为Q
征值 ）
顺便，多世界解释等。
2.3.1 两个力学量具有共同本征态的条件 （两个力学量可以同时具有确定值的条件） 在经典物理中，同时测量体系的任何物理量均可得到确定值。例 如，在经典力学中，任意时刻被测体系的位置和速度均有确定值；在 经典电磁学中， 任意时刻被测电磁场的电场强度和磁场强度均有确定 值。但在量子力学中并非如此。
第二章、 量子力学的基本原理 第一章介绍了所谓的早期量子论或旧量子论 （普朗克的黑体辐射理 论；爱因斯坦的光电效应理论；玻尔的氢原子理论） 。在方法论方面， 这些早期量子论的共同特点是：为了解释已有的实验结果，提出了新 的假设和概念，并在其基础上建立新的理论。从科学的发展来看，这 些早期量子论有其成功的一面，但也存在严重的缺陷。在其后量子论 的发展过程中，理论走在实验的前面。主要沿两种思路发展： (1) 德布罗意-薛定谔，量子力学的波动形式（波动力学）; (2) 海森堡-波恩-约尔旦，量子力学的矩阵形式（矩阵力学） ； 两种形式由狄拉克统一， 证明矩阵力学和波动力学都只是量子力学 普遍形式的两种具体形式。 下面我们将不按量子力学的历史发展讲授，而根据本人的教学和 科研经历认为较好的逻辑次序讲授。 由于 Dirac 形式（Dirac 符号法）的简洁性、紧凑性、普适性，以 及在科技文献中的广泛应用，本章我们将从 Dirac 符号法出发，讨论 量子力学基本原理的一般形式。在下一章，将过渡到具体表象。当过 渡到离散表象时，可得到量子力学的矩阵形式（海森堡形式） ；当过 渡到连续表象时，可得到量子力学的波动形式（薛定谔形式） 。
ˆ = F ˆ = F ˆ+ F
* +
算符之和的共轭：
ˆ +B ˆ A
ˆ +B ˆ A
算符乘积的共轭：
ˆ ˆ AB
ˆ ， ˆA B
ˆ ˆ ˆ ABC
ˆ B ˆ ˆA C
证明：按定义
ˆ ˆ = AB ˆ ˆ = AB ˆˆ AB
*
*
+
+
另一方面，
ˆ ˆ = A ˆ B ˆ AB
*
ˆ B
ˆ B ˆ ˆ A A
5
ˆ ˆ B ˆ 。证完。 ˆA 可见， AB
9）
厄密算符：若算符满足
mn
ˆ ˆ A, B mn 0
可见，两个算符具有共同本征态的条件是他们彼此对易。在此共同本 征态中，他们均有确定的值（本征值） 。若两个算符彼此不对易，会 有什么结果呢？
2.3.2 不 确 定 性 原 理 （ Uncertainty principle ） ，不确定度关系 （Uncertainty relation） ，早期译为测不准关系 算符的平均值（期望值）
F n Fn n
取上式的共轭， 利用 F 为厄密算符， 其本征值必为实数， 并将下标 n 换 作 m ，则有
6
m F Fm m
对 F n Fn n 左乘 m 得
m F n Fn m n
对 m F Fm m 右乘 n 得
m F n Fm m n
本章内容: 2.1 状态(量子态)与态矢量 2.2 力学量（物理量）与算符
1
2.3 量子力学中的测量问题、不确定度关系 2.4 薛定谔方程与态叠加原理 2.5 力学量（物理量）平均值的时间演化和守恒量
2.1 状态与态矢量 在经典力学中，用物体的位置和速度描述其状态；在经典电磁学 中，用电磁场的电场强度和磁场强度描述其状态。在量子力学中，用 什么描述体系的状态？ 1） 量子力学的第一条基本假设： 量子体系的状态用多维矢量空间
（普通矢量的内积： A B ） 。内积为 c 数，且满足
*
若内积 0 ，则称态矢量 和 是正交的（对普通矢量，若
A B 0 ，则两矢量彼此垂直-正交） 。另外，要求态矢量是归一化的，
即
2
1
这与波函数的物理诠释及归一化是密切相关的。
ˆ 和B ˆ 具有共同本征态 ，即 设算符 A mn
ˆ A mn am mn ˆ B mn bn mn ˆˆ ˆ BA mn am B mn am bn mn
9
ˆˆ ˆ AB mn bn A mn bn am mn
两式相减得
ˆ ˆ BA ˆ ˆ AB
取上式的复数共轭则有
另一方面，
n
F n
*
Fn* n n
n
F n
*
n F n n F n Fn n n
其中第二个等号利用了 F Байду номын сангаасF 。比较可得
Fn* Fn
即 F 的本征值 Fn 为实数。证完。
定理 2：厄密算符的属于不同本征值的本征态彼此正交。 证明：设算符 F 为厄密算符，其本征方程为
7
I
2.3 量子力学中的测量问题 在经典物理中，测量不会引起被测体系状态的改变，换句话说， 测量过程对体系的扰动可以忽略不计。但在量子力学中并非如此。 量子力学的第三条基本假设：关于测量的假设 这条假设与波函数的概率诠释密切相关，也与厄密算符及其本征 值和本征态的性质密切相关。当体系处于任意量子态时，测量体系的 某个力学量，只能得到该力学量的本征值。注意到测量结果一定是实 数，而厄密算符的本征值必为实数，因此，描述可观测力学量的算符 必为厄密算符。 若体系处于厄密算符 F 的本征态 n ， 测量该力学量 F 得到相应的 本征值 Fn ，测量后体系仍处于本征态 n ；若体系处于任意态（本征 态的线性叠加态） 测量力学量 F 时， 将以不同的概率 cn cn n ，
上两式等号左边相等，因此有
Fm Fn m n
按假设， Fm Fn ，因此只能
m n 0
0
证完。 再考虑到对任意态矢量的归一化要求 1 ，算符本征态的正 交、归一性可统一用下式表示，
m n mn =
1, m n 0, m n
ˆ 的平均值记为 在任意态矢量 中任意算符 A
ˆ A ˆ A A
ˆ 平方的平均值为 A
ˆ2 A ˆ2 A2 A
引入
ˆA ˆ A ˆ A
则方差(表示不确定度)为
ˆ A
2
ˆ A ˆ A
2
ˆ2 A ˆ A
2
ˆ 和B ˆ ，有 下面将证明，对任意厄密算符 A
F
类似于， 3） 设
d 2 x 2x 。 dx
线性算符
cn n
n
其中 cn 为 c 数。若算符 F 满足
F cn F n
n
则称 F 为线性算符。显然，微分、积分算符为线性算符，而开方算符 不是线性算符。算符的线性性质与态叠加原理密切相关。 4） 算符加法
ˆ 和B ˆ ，算符加法满足交换律 设有算符 A
2.2 力学量（物理量）与算符 1） 量子力学的第二条基本假设：量子体系的力学量（物理量）用
算符表示。常见的力学量有坐标、动量、角动量、能量等。算符 只有作用在态矢量上才有意义，因此下列有关公式应理解为算符 作用在态矢量上。
3
2）
一般来说，算符作用于态矢量，将其变为另一个态矢量（下面
将讨论的算符的本征方程是一种重要的例外情况） 。设有力学量算 符 F ，则
ˆ A
2
ˆ B
2
1 ˆ ˆ A, B 4
的共轭矢量记为
,
形象地， 称为左矢（bra） ， 称为右矢（ket）[注意：, “括弧” 的英文为 bracket ]。 3） 普通的数 c （一般为复数）常称为 c 数（可理解为 classical） ，
相应地，表示力学量（物理量）的算符有时也称为 q 数（可理解为 quantum） 。
上述论述可用下表概括：
8
测量前的状态
测量的物理量 测量结果
测量后的状态
n （ F 的本征态 ） F
Fn （ F 的本征
n
值 ）
cn n
n
F
以概率 cn 得 到 Fn
2
若测得 Fn ，则 态塌缩为 n
n （ F 的本征
ˆ Q
以概率 d 得
2
若测得 Q ，则
态 ）, n d
ˆ B ˆ ˆ B ˆA A
5）
算符乘法
ˆ 和B ˆ ，一般来说，算符乘法不满足交换律，即 设有算符 A
ˆ ˆ BA ˆˆ AB
这点不同于 c 数的乘法，而类似于矩阵的乘法。 6） 算符的对易关系式记为
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A , B AB BA
ˆ 之间的对易关系满足 ˆ 、B ˆ 、C 容易验证，算符 A
7）
算符的本征方程： 若
F n Fn n n 1, 2,...
其中 Fn 为 c 数， 则上式称为算符 F 的本征方程， n 称为本征态，Fn 称 为本征值。 8） 共轭算符：算符 F 的共轭算符记为 F ，
F 的共轭定义为：
F F
算符 F 的共轭算符 F 由下式定义
F =F
则算符 F 称为厄密算符。 下面证明关于厄密算符本征值和本征态的两 条重要定理。 定理 1：厄密算符的本征值必为实数。 证明：设算符 F 为厄密算符，其本征方程为
F n Fn n n 1, 2,...
左乘 n 则有
n F n n Fn n Fn n n
2
c 数的厄密共轭等于其复数共轭，例如，
若 c x iy （这里 x 和 y 为实数） ， 则 c c* x iy
c 数与态矢量的乘积满足交换律
c c
其厄米共轭为
* * c c c c
4）
态矢量 与 的内积记为
（Hilbert space）的矢量来描述，这种矢量称为态矢量，简称态矢， 记为 （与普通空间的矢量 A 类比） 。在 中写入不同的字母以表
示不同的态，例如，
， , x , p , k
k ,
nlm
nlm ,...
这种描述量子态的方法称为 Dirac 符号法。 2） 厄密共轭矢量（简称共轭矢量）
4
ˆ ˆ A ˆ ˆ , B B, A ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A , B C A, B A, C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B, C A, C B, C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A , BC =B A, C + A, B C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AB ，C =A B, C + A, C B
作为量子力学的一条基本假设，认为算符的本征态的集合构成所 谓的完备集，任何态矢量 都可以用这组完备集来展开，即
cn n n cn
n n
这里
cn n
将 cn 的表达式代入 的表达式可得
n
n
n I
上式是本征态完备性的数学表示，其中 I 称为恒等算符（或单位算 符） 。恒等算符 I 具有如下性质：对任意态矢量
2
得到不同的本征值 Fn 。对某一次测量，若测到本征值 Fn ，则测量后体 系 “塌缩” 到本征态 n （量子态的概率诠释和测量导致量子态的 “塌 缩”是哥本哈根学派的核心思想） 。 cn 满足
c
n
2
n
1
这与态矢量的归一化相一致，即
* cm m m
c
n
n
* * n cm cn m n cm cn mn cn 1 。 2 m,n m,n n
ˆ 的本 态塌缩为 到 Q （ Q
(
ˆ 的本征态) 为Q
征值 ）
顺便，多世界解释等。
2.3.1 两个力学量具有共同本征态的条件 （两个力学量可以同时具有确定值的条件） 在经典物理中，同时测量体系的任何物理量均可得到确定值。例 如，在经典力学中，任意时刻被测体系的位置和速度均有确定值；在 经典电磁学中， 任意时刻被测电磁场的电场强度和磁场强度均有确定 值。但在量子力学中并非如此。
第二章、 量子力学的基本原理 第一章介绍了所谓的早期量子论或旧量子论 （普朗克的黑体辐射理 论；爱因斯坦的光电效应理论；玻尔的氢原子理论） 。在方法论方面， 这些早期量子论的共同特点是：为了解释已有的实验结果，提出了新 的假设和概念，并在其基础上建立新的理论。从科学的发展来看，这 些早期量子论有其成功的一面，但也存在严重的缺陷。在其后量子论 的发展过程中，理论走在实验的前面。主要沿两种思路发展： (1) 德布罗意-薛定谔，量子力学的波动形式（波动力学）; (2) 海森堡-波恩-约尔旦，量子力学的矩阵形式（矩阵力学） ； 两种形式由狄拉克统一， 证明矩阵力学和波动力学都只是量子力学 普遍形式的两种具体形式。 下面我们将不按量子力学的历史发展讲授，而根据本人的教学和 科研经历认为较好的逻辑次序讲授。 由于 Dirac 形式（Dirac 符号法）的简洁性、紧凑性、普适性，以 及在科技文献中的广泛应用，本章我们将从 Dirac 符号法出发，讨论 量子力学基本原理的一般形式。在下一章，将过渡到具体表象。当过 渡到离散表象时，可得到量子力学的矩阵形式（海森堡形式） ；当过 渡到连续表象时，可得到量子力学的波动形式（薛定谔形式） 。
ˆ = F ˆ = F ˆ+ F
* +
算符之和的共轭：
ˆ +B ˆ A
ˆ +B ˆ A
算符乘积的共轭：
ˆ ˆ AB
ˆ ， ˆA B
ˆ ˆ ˆ ABC
ˆ B ˆ ˆA C
证明：按定义
ˆ ˆ = AB ˆ ˆ = AB ˆˆ AB
*
*
+
+
另一方面，
ˆ ˆ = A ˆ B ˆ AB
*
ˆ B
ˆ B ˆ ˆ A A
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ˆ ˆ B ˆ 。证完。 ˆA 可见， AB
9）
厄密算符：若算符满足
mn
ˆ ˆ A, B mn 0
可见，两个算符具有共同本征态的条件是他们彼此对易。在此共同本 征态中，他们均有确定的值（本征值） 。若两个算符彼此不对易，会 有什么结果呢？
2.3.2 不 确 定 性 原 理 （ Uncertainty principle ） ，不确定度关系 （Uncertainty relation） ，早期译为测不准关系 算符的平均值（期望值）
F n Fn n
取上式的共轭， 利用 F 为厄密算符， 其本征值必为实数， 并将下标 n 换 作 m ，则有
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m F Fm m
对 F n Fn n 左乘 m 得
m F n Fn m n
对 m F Fm m 右乘 n 得
m F n Fm m n
本章内容: 2.1 状态(量子态)与态矢量 2.2 力学量（物理量）与算符
1
2.3 量子力学中的测量问题、不确定度关系 2.4 薛定谔方程与态叠加原理 2.5 力学量（物理量）平均值的时间演化和守恒量
2.1 状态与态矢量 在经典力学中，用物体的位置和速度描述其状态；在经典电磁学 中，用电磁场的电场强度和磁场强度描述其状态。在量子力学中，用 什么描述体系的状态？ 1） 量子力学的第一条基本假设： 量子体系的状态用多维矢量空间
（普通矢量的内积： A B ） 。内积为 c 数，且满足
*
若内积 0 ，则称态矢量 和 是正交的（对普通矢量，若
A B 0 ，则两矢量彼此垂直-正交） 。另外，要求态矢量是归一化的，
即
2
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这与波函数的物理诠释及归一化是密切相关的。
ˆ 和B ˆ 具有共同本征态 ，即 设算符 A mn
ˆ A mn am mn ˆ B mn bn mn ˆˆ ˆ BA mn am B mn am bn mn
9
ˆˆ ˆ AB mn bn A mn bn am mn
两式相减得
ˆ ˆ BA ˆ ˆ AB
取上式的复数共轭则有
另一方面，
n
F n
*
Fn* n n
n
F n
*
n F n n F n Fn n n
其中第二个等号利用了 F Байду номын сангаасF 。比较可得
Fn* Fn
即 F 的本征值 Fn 为实数。证完。
定理 2：厄密算符的属于不同本征值的本征态彼此正交。 证明：设算符 F 为厄密算符，其本征方程为
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I
2.3 量子力学中的测量问题 在经典物理中，测量不会引起被测体系状态的改变，换句话说， 测量过程对体系的扰动可以忽略不计。但在量子力学中并非如此。 量子力学的第三条基本假设：关于测量的假设 这条假设与波函数的概率诠释密切相关，也与厄密算符及其本征 值和本征态的性质密切相关。当体系处于任意量子态时，测量体系的 某个力学量，只能得到该力学量的本征值。注意到测量结果一定是实 数，而厄密算符的本征值必为实数，因此，描述可观测力学量的算符 必为厄密算符。 若体系处于厄密算符 F 的本征态 n ， 测量该力学量 F 得到相应的 本征值 Fn ，测量后体系仍处于本征态 n ；若体系处于任意态（本征 态的线性叠加态） 测量力学量 F 时， 将以不同的概率 cn cn n ，
上两式等号左边相等，因此有
Fm Fn m n
按假设， Fm Fn ，因此只能
m n 0
0
证完。 再考虑到对任意态矢量的归一化要求 1 ，算符本征态的正 交、归一性可统一用下式表示，
m n mn =
1, m n 0, m n
ˆ 的平均值记为 在任意态矢量 中任意算符 A
ˆ A ˆ A A
ˆ 平方的平均值为 A
ˆ2 A ˆ2 A2 A
引入
ˆA ˆ A ˆ A
则方差(表示不确定度)为
ˆ A
2
ˆ A ˆ A
2
ˆ2 A ˆ A
2
ˆ 和B ˆ ，有 下面将证明，对任意厄密算符 A
F
类似于， 3） 设
d 2 x 2x 。 dx
线性算符
cn n
n
其中 cn 为 c 数。若算符 F 满足
F cn F n
n
则称 F 为线性算符。显然，微分、积分算符为线性算符，而开方算符 不是线性算符。算符的线性性质与态叠加原理密切相关。 4） 算符加法
ˆ 和B ˆ ，算符加法满足交换律 设有算符 A
2.2 力学量（物理量）与算符 1） 量子力学的第二条基本假设：量子体系的力学量（物理量）用
算符表示。常见的力学量有坐标、动量、角动量、能量等。算符 只有作用在态矢量上才有意义，因此下列有关公式应理解为算符 作用在态矢量上。
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2）
一般来说，算符作用于态矢量，将其变为另一个态矢量（下面
将讨论的算符的本征方程是一种重要的例外情况） 。设有力学量算 符 F ，则
ˆ A
2
ˆ B
2
1 ˆ ˆ A, B 4
的共轭矢量记为
,
形象地， 称为左矢（bra） ， 称为右矢（ket）[注意：, “括弧” 的英文为 bracket ]。 3） 普通的数 c （一般为复数）常称为 c 数（可理解为 classical） ，
相应地，表示力学量（物理量）的算符有时也称为 q 数（可理解为 quantum） 。
上述论述可用下表概括：
8
测量前的状态
测量的物理量 测量结果
测量后的状态
n （ F 的本征态 ） F
Fn （ F 的本征
n
值 ）
cn n
n
F
以概率 cn 得 到 Fn
2
若测得 Fn ，则 态塌缩为 n
n （ F 的本征
ˆ Q
以概率 d 得
2
若测得 Q ，则
态 ）, n d
ˆ B ˆ ˆ B ˆA A
5）
算符乘法
ˆ 和B ˆ ，一般来说，算符乘法不满足交换律，即 设有算符 A
ˆ ˆ BA ˆˆ AB
这点不同于 c 数的乘法，而类似于矩阵的乘法。 6） 算符的对易关系式记为
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A , B AB BA
ˆ 之间的对易关系满足 ˆ 、B ˆ 、C 容易验证，算符 A
7）
算符的本征方程： 若
F n Fn n n 1, 2,...
其中 Fn 为 c 数， 则上式称为算符 F 的本征方程， n 称为本征态，Fn 称 为本征值。 8） 共轭算符：算符 F 的共轭算符记为 F ，
F 的共轭定义为：
F F
算符 F 的共轭算符 F 由下式定义
F =F
则算符 F 称为厄密算符。 下面证明关于厄密算符本征值和本征态的两 条重要定理。 定理 1：厄密算符的本征值必为实数。 证明：设算符 F 为厄密算符，其本征方程为
F n Fn n n 1, 2,...
左乘 n 则有
n F n n Fn n Fn n n
2
c 数的厄密共轭等于其复数共轭，例如，
若 c x iy （这里 x 和 y 为实数） ， 则 c c* x iy
c 数与态矢量的乘积满足交换律
c c
其厄米共轭为
* * c c c c
4）
态矢量 与 的内积记为
（Hilbert space）的矢量来描述，这种矢量称为态矢量，简称态矢， 记为 （与普通空间的矢量 A 类比） 。在 中写入不同的字母以表
示不同的态，例如，
， , x , p , k
k ,
nlm
nlm ,...
这种描述量子态的方法称为 Dirac 符号法。 2） 厄密共轭矢量（简称共轭矢量）
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ˆ ˆ A ˆ ˆ , B B, A ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A , B C A, B A, C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B, C A, C B, C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A , BC =B A, C + A, B C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AB ，C =A B, C + A, C B
作为量子力学的一条基本假设，认为算符的本征态的集合构成所 谓的完备集，任何态矢量 都可以用这组完备集来展开，即
cn n n cn
n n
这里
cn n
将 cn 的表达式代入 的表达式可得
n
n
n I
上式是本征态完备性的数学表示，其中 I 称为恒等算符（或单位算 符） 。恒等算符 I 具有如下性质：对任意态矢量