线性代数总复习及典型例题 (优选.)
线性代数基本复习题
1.1计算行列式 行列式的求法法一利用定义展开计算:1122111nnni i i i ni ni i i i A a A a A a A =======∑∑∑法二化为三角型行列式:11221122***0**0*0nn nnb b A b b b b ==2323342141344324241332131020102010201020143604560609010330253025301030150311015001523102001033311(5)(3)450053003r r r r r r r r r r r r r r r r r r ↔+↔+-----===+-----=+=⋅⋅⋅-⋅-=---1.2求逆矩阵 逆矩阵的求法法一行变换:()()1A I I A -−−−→ 行变换 法二行列式的方法:*1A A A-=利用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵: (1)122212221⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦32322121232313213219221210203312210012210021212010036210012033221001033011009221122100999212010999221001999r r r r r r r r r r r r r r ------+⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→---→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1122999122212,212999221221999-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦利用行列式的方法求下列矩阵的逆矩阵:*1A A A-=(1)套用公式()10ab d b ad bc cd c a ad bc -⎡⎤⎡⎤=-≠⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 得12525212521211522--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⋅-⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(2)套用上述公式, 得22cos sin cos sin cos sin 1sin cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦1.3利用逆矩阵定义证明 逆矩阵的定义1,AB BA I AB-==⇒=1.6设方阵A 满足矩阵方程220I --=AA , 证明A 及2I +A 都可逆, 并求1-A 及()12I -+A .由220I --=A A 得()12I I -=A A , 故A 可逆, 且()112I -=-AA . 由220I --=A A 也可得(2)(3)I I I+-=-A A 或1(2)(3)4I I I⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦A A , 故2I+A 可逆, 且()12I -+A 1(3)4I =--A . 1.4行列式与逆矩阵的关系 行列式,逆矩阵的关系**AA A A A I==*1*1A A A A AA--=⇔=*111,n A A A A--==1.21设3阶方阵A 的转置伴随矩阵为adj A 且1det 2=A , 求()1det 32(adj )A A -⎡⎤-⎣⎦.()()()()1*11*1*11133111111323232321222116323212333272A A A A I A A A I A E A A IAA A A --------------=-=-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅⋅=-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 或 ()321****1243222...333A A A A A A A -⎛⎫⎛⎫-=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1.5矩阵的运算和运算律 矩阵的运算包括1*,,,,,,T B kA AB A A A A -+A注意特殊的运算律()()111TT Tn AB B A AB B A AB A B kA k A---====以下运算率不成立:00AB BAAB A ==⇒=或B=0所以,下面的公式也不成立:()()222222222()()AB A B A B A AB B A B A B A B =+=++-=+-(2)[]123321⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝35649⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，(3)213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]12-＝241236-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1.4讨论下列命题是否正确: (1)若2=A , 则0=A ; (2)若2=AA, 则0=A 或=A E ;(3)若=AB AC 且0≠A , 则=B C .(1)不对. 反例:01000000⎛⎫⎛⎫=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ,但20000⎛⎫= ⎪⎝⎭A.(2)不对. 反例: 设1000⎛⎫= ⎪⎝⎭A , 则0≠A 且≠A E , 但2=AA.(3)不对. 反例: 设1000⎛⎫=⎪⎝⎭A ,0002⎛⎫= ⎪⎝⎭B ,0003⎛⎫= ⎪⎝⎭C , 则有=AB AC 且0≠A , 但=B C(1)1101n⎛⎫⎪⎝⎭, (2)100100nλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2311111112,0101010111111213,010101011111111.01010101n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭分块对角矩阵计算AB,1,A A-11112222A O B O A B O OA OB OA B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122A OA A OA =1111122A O A O O A OA ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.1判断线性无关或相关方法1:利用线性无关和线性相关的定义 方法2:利用秩和行列式判断 方法3:利用定理证明(1) 123(2,1,0),(1,1,3),(1,0,3)=-=-=ααα(2) 12(1,3,4),(2,0,1)=-=αα (1)()12123131212333211011110,,110110011033000000r r r r T T Tr r r r +↔----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→-→ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα 可见{}123,,23R m =<=ααα, 故向量组线性相关.总结：计算秩来判断线性关系，证明题的时候才考虑用定义和定理 (2)()21312321312412020010,3010100141010100r r r T Tr r r r -+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αα可见{}12,22R m ===αα, 故向量组线性无关.当A 是方阵的时候用行列式来判断线性关系(1) 12123131212333*********,,1101100110033000000r r r r T T Tr r r r A +↔----==-=-=-=ααα可见0A =, 故向量组线性相关(1)设向量组123,,ααα线性无关, 则下列向量组线性相关的是 C . (A)11213,,++ααααα (B)112123,,+++αααααα (C)123123,,+++αααααα (D)121331,,++-αααααα(B)不是线性相关的, 因为()()()()11212312312312323300k k k k k k k k k +++++=+++++=ααααααααα123123233000000k k k k k k k k k ++==⎧⎧⎪⎪⇒+=⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩(C)是线性相关的, 因为()()()112233123131232233()0()0k k k k k k k k k +++++=+++++=ααααααααα131232323010110k k k k k k k k k +==⎧⎧⎪⎪⇒+=⇒=⎨⎨⎪⎪=-+=⎩⎩(B)112123,,+++αααααα []112323111,,011001αβββαα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()3R =A(C)123123,,+++αααααα[]112323101101,,011011011000αβββαα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2R =A2.2求秩定义法和行阶梯形阵方法 2.3方程组有解的条件1111221211222211220(1)0(2)0()n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x m ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ 线性方程组齐次方程组有唯一零解()R n ⇔=A当A 是方阵时，0A A ⇔≠⇔可逆A ⇔行向量或者列向量线性无关有无穷多解()R n ⇔<A当A 是方阵时，0A A ⇔=⇔不可逆A ⇔行向量或者列向量线性相关 非齐次方程组有唯一解()()R R B n ⇔==A当A 是方阵时，0()()A R R B n ⇔≠==且A有无穷多解()R(B)R n ⇔<＝A 当A 是方阵时，0()()A R R B n ⇔===且A无解()R(B)R ⇔≠A2.4**求最大无关组与线性表示----找出最大无关组，包括利用最大无关组进行线性表示方法：利用列向量组成矩阵进行行变换，目标是行最简形矩阵 例题2.7求下列向量组的最大无关组，并把其他向量用此无关组线性表示。
线性代数复习第1-6章典型例题
按最后一列展开再提取每列的公因子
-8-
Dn = ( −1) n+1 (a1 − a n )(a 2 − a n )⋯(a n−1 − a n ) ×
1 a1
2 a1
1 a2
2 a2
⋯
1
1 a n −1
2 a n −1
⋯ a n− 2
2 ⋯ a n− 2
⋮
n a1 − 2
⋮
⋮
⋮
n− 2 a n −1 ( n −1 )
n
x2 ⋯ xn a2 ⋱ an
xk yk ) = a 2 a 3 ⋯ a n (a1 − ∑ k = 2 ak
-6-
n
例9
范德蒙德(Vandermonde)行列式 行列式 范德蒙德
1 a1 Dn =
2 a1
1 a2
2 a2
⋯
1
2 a n −1
1 an
2 an
− an − an
⋯ a n −1 ⋯ ⋮
n n− 2 a 2 − 2 ⋯ a n− 2
Dn = ( a n − a1 )(a n − a 2 )⋯(a n − a n−1 ) Dn −1
Dn − 1 = (a n − 1 − a1 )(a n − 1 − a 2 ) ⋯ (a n − 1 − a n − 2 ) Dn − 2
⋯⋯
D3 = (a 3 − a1 )(a 3 − a 2 ) D2 D2 = (a 2 − a1 ) D1 = a 2 − a1
-17-
例8
设 n 阶方阵 A 满足 A2 = E ,
证明 r ( E + A) + r ( E − A) = n
证
A 2 = E ⇒ ( A + E )( A − E ) = O
《线性代数》复习要点及练习
第一章 行列式复习要点：1. 会计算逆序数，余子式，代数余子式2. 熟练掌握行列式的性质，并能利用性质计算行列式3. 掌握克莱姆法则练习题：1. 排列1 6 5 3 4 2的逆序数是（ ）.A. 8 B ．9 C ．7 D ． 62122.431235-的代数余子式12A 是（ ）.A 2143-- B2143- C 4125--D4125-3. 排列32514的逆序数是（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 64.关于行列式，下列命题错误的是（ ）.A. 行列式第一行乘以2，同时第二列除以2，行列式的值不变 B ．互换行列式的第一行和第三行，行列式的值不变 C ．互换行列式的任意两列，行列式仅仅改变符号 D ． 行列式可以按任意一行展开 5. 关于行列式，下列命题正确的是（ ）.A. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等B ．互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等C ．如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零D ． 以上命题都不对6. 关于行列式，下列正确的是（ ）.A. 如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零.B. 互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等.C. 行列式中有两行对应成比例，则此行列式为零.D. 行列式与它的转置行列式互为相反数.7. 下列命题错误的是（ ）.A. 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组有唯一解 B ．如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组无解 C ．如果齐次线性方程组的系数行列式等于零，则该方程组有非零解 D ．如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组只有零解8212431235-的余子式32M =————，代数余子式32A =—————— 9. 已知k341k 000k 1-=，则k =__________.10. 若52k 74356=，则k =__________.11. 计算行列式|12345006|=_________ 12. 计算行列式|1111123413610141020| 13.计算行列式53-120172520-23100-4-14002350D =14. 计算行列式1234248737124088D =15.计算行列式x yyxx x y y yx x y+++第二章 矩阵复习要点：1. 掌握矩阵的线性运算，矩阵乘法运算律，转置矩阵的运算律，2. 掌握矩阵的初等变换3. 掌握方阵行列式的性质，转置矩阵的性质，逆矩阵的性质4. 会求逆矩阵.了解待定系数法和伴随矩阵法，掌握用初等变换求解逆矩阵相关问题.能够证明矩阵的可逆性.5. 会用初等行变换求矩阵的秩6. 会求解矩阵方程练习题：1. 设A ，B 均为n 阶可逆阵，则下列公式成立的是( ). A T T T B A AB =)( B T T T B A B A +=+)( C 111)(---=B A AB D 111)(---+=+B A B A2. A,B 均为n 阶方阵，若要22(A B)(A B)A B +-=-不成立，需满足（ ）.A. A=E B ．B=O C ．A=B D ． AB ≠BA 3. 若方阵2A A,=A 不是单位方阵，则（ ）.A. A 0= B ． A 0≠ C ．A O = D ．A O ≠4.若矩阵111A 121231⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪λ+⎝⎭的秩为2，则λ=（ ）. A. 0 B ． 2 C ．1 D ． -15.矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=32015431A 的秩是（ ） 6. 110201211344⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 的秩是（ ）7. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321212113A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111012111B 求AB 和BA8. 设矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1021A 求32A A ，. 9. 设矩阵521320A ,B 341201--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求T T T(1)AB ;(2)B A;(3)A A.10.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=210111121A ，求逆矩阵11. 223110121⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.，求逆矩阵 12. 求矩阵X , 使B AX =, 其中.341352,343122321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A13. 求解矩阵方程,X A AX += 其中.010312022⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A.B AX X ,B ,A . 132231 11312221414=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=使求设15. 已知n 阶方阵A 满足矩阵方程2A 3A 2E O --=,其中A 给定，E 为n 阶单位矩阵，证明A 可逆，并求1A -. 16. 设A 、B 为n 阶矩阵，2A B AB E --=，2A A =，其中E 为n 阶单位矩阵.证明：A B -为可逆矩阵，并求()1A B --.17. 设方阵A 满足22A A E O --=，证明A 及2A E +都可逆.第三章 线性方程组复习要点：1. 熟练掌握方程组解无解/有解/有唯一解/有无穷多解的充要条件2. 会求向量组的秩；能够验证向量组的线性相关性；会求向量组的极大线性无关组，并可以将其他向量用极大无关组线性表示.3. 熟练掌握基础解系的求解3. 会求解齐次线性方程组的通解，会求非齐次线性方程组的通解和特解练习题：1. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 23124010012⎛⎫ ⎪→λλ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭，当常数λ=（ ）时，此线性方程组有唯一解.A. -1 B ．0 C ．1 D ． 22. 已知n 元线性方程组b Ax =，其增广矩阵为B ，当（ ）时，线性方程组有解.A. ()n B r =B. ()n B r ≠C. ()()B r A r =D. ()()B r A r ≠3. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 23124010012⎛⎫ ⎪→λλ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭，当常数λ=（ ）时，此线性方程组有唯一解.A. -1 B ．0 C ．1 D ． 24. 设A 为m×n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充分必要条件是 系数矩阵的秩r (A )（ ）A. 小于mB. 小于nC. 等于mD. 等于n5. 已知向量组1,,m αα线性相关，则（ ）.A 、该向量组的任何部分组必线性相关.B 、该向量组的任何部分组必线性无关.C 、该向量组的秩小于m .D 、该向量组的最大线性无关组是唯一的.6. 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D _____0. ( = 或 ≠)7. 已知线性方程组Ax b =有解，若系数矩阵A 的秩r(A)=4,则增广矩阵B 的r(B)=__________.8. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 312400120012⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪λ⎝⎭，则当常数λ=__________时，此线性方程组有无穷多解.9. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 300200a 11⎛⎫→ ⎪+⎝⎭，则当常数a =__________时，此线性方程组无解.10.λ取何值时，非齐次线性方程组 1231232123+1++x x x x x x x x x λλλλλ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解？ 取何值时，线性方程组当 11..λ ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3313123321321321x λλx x λλx x λλx λx x x λ 有唯一解、无解、无穷多解？当方程组有无穷多解时求出它的解.12.求下列方程组的通解.236222323754325432154321⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-+++=++++x x x x x x x x x x x x x x13. 判断下列向量组的线性相关性：（1）1234=-1,3,2,5=3-1,0-4=2,2,2,2=1,5,4,6αααα（），（，，），（），（）（2）1234=1,1,3,1=10,00=2,2,7,-1=3,-1,2,4αααα（），（，，），（），（） 14. 已知向量组()()()()T4T3T2T13 2 10 0 10 1 11 1 1α-====,,α,,,α,,,α,,,,求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.15. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---140113*********12211的列向量组()54321α,α,α,α,α的一个极大无关组,并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.16. 试证若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 17. 已知向量321ααα，，线性无关，证明向量11232βααα=+-,2123312βαααβαα=--=+，也是线性无关的。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
线性代数总复习题(一)
九． 设 A、B 都是 n 阶对称阵，证明 AB 是对称阵的充分必要条件是 AB = BA ． 证明：∵ A, B 都是 n 阶对称阵．
∴ AT = A ， B T = B ．
∴ AB 是对称阵 ⇔ ( AB ) = AB
T
⇔ B T AT = AB ⇔ BA = AB
十． 求下面矩阵的特征值和特征向量：
1． 设 D1 =
a11 a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
， D2 =
an1 an −1,1 a11
an 2 an −1,2 a12
ann an −1, n a1n
，则 D1 与 D2 的关系是（
C
） ．
（A） D2 = D1 分析： rn 依次与 rn −1 , rn − 2 ,
∴ i = 2 ， k = 5 ；或 i = 5 ， k = 2 ．
． 若 i = 2 ， k = 5 ，则列标排列 32145 的逆序数为 3，这一项的符号为“ − ” ． 若 i = 5 ， k = 2 ，则列标排列 35142 的逆序数为 6，这一项的符号为“ + ”
∴ i =5，k = 2．
（2） R ( A ) = 2 ； （3） R ( A ) = 3 ． （1） R ( A ) = 1 ；
−2 3k ⎞ ⎛ 1 −2 3k ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ( k − 1) 解： A = ⎜ −1 2k −3 ⎟ ∼ ⎜ 0 2 ( k − 1) ⎟． ⎜ k −2 3 ⎟ ⎜ 0 0 −3 ( k + 2 )( k − 1) ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∴ （1）当 k ≠ −2 且 k ≠ 1 时， 2 ( k − 1) ≠ 0 ， −3 ( k + 2 )( k − 1) ≠ 0 ， R ( A ) = 3 ． ⎛ 1 −2 −6 ⎞ ⎜ ⎟ （2）当 k = −2 时， A ∼ ⎜ 0 −6 −9 ⎟ ， R ( A ) = 2 ． ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 −2 3 ⎞ ⎜ ⎟ （3）当 k = 1 使， A ∼ ⎜ 0 0 0 ⎟ ， R ( A ) = 1 ． ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠
线性代数总复习及典型例题共63页文档
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
线性代数总复习及典型例题
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留Байду номын сангаас的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
线性代数考前必做50题
2 1 0 * * * 27、（公式考查）设矩阵 A 1 2 0 ，矩阵 B 满足 ABA 2 BA E ，其中 A 为 A 的伴随矩阵， E 是单位矩阵， 0 0 1
则B 28、 （概念考查）设 A, B 为满足 AB 0 的任意两个非零矩阵，则必有 ( )
线性代数考前必做 50 题
一、解答题部分：
1 2 3 1、设矩阵 A 1 4 3 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化. 1 a 5
2、已知二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) (1 a ) x1 (1 a ) x 2 2 x3 2(1 a ) x1 x 2 的秩为 2. (I) 求 a 的值； (II) 求正交变换 x Qy ，把 f ( x1 , x 2 , x3 ) 化成标准形； (III) 求方程 f ( x1 , x 2 , x3 ) =0 的解.
（A） A 的列向量组线性相关， B 的行向量组线性相关.（B） A 的列向量组线性相关， B 的列向量组线性相关. （C） A 的行向量组线性相关， B 的行向量组线性相关. (D) A 的行向量组线性相关， B 的列向量组线性相关. 29、（向量组与行列式考查） 设 1 , 2 , 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A ( 1 , 2 , 3 ) ， B ( 1 2 3 , 1 2 2 4 3 , 1 3 2 9 3 ) ， 如果 A 1 ，那么 B . )
20、设行列式|A|=
唯一解 、无
解 时时求其通解
2 2 1 1
2 2 3 1 3 4 1 5 M 31 M 32 M 33 M 34 2
线性代数重要知识点和典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A TT =)( TTTB A B A +=+)( TTkA kA =)( TTTA B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
(完整)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。
(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。
(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。
(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。
若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。
若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和nnn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ〔奇偶〕排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
〔转置行列式〕TD D =②行列式中*两行〔列〕互换，行列式变号。
推论：假设行列式中*两行〔列〕对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的*一行〔列〕，等于k 乘以此行列式。
推论：假设行列式中两行〔列〕成比例，则行列式值为零；推论：行列式中*一行〔列〕元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行〔列〕可加性⑤将行列式*一行〔列〕的k 倍加到另一行〔列〕上，值不变行列式依行〔列〕展开：余子式、代数余子式ij M ijji ij M A +-=)1( 定理：行列式中*一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式时，有唯一解：0≠D )21(n j DD x j j ⋯⋯==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式时，则只有零解01≠=D 逆否：假设方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:jiij a a =③反对称行列式:奇数阶的反对称行列式值为零ji ij a a -=④三线性行列式: 方法：用把化为零，。
化为三角形行列式333122211312110a a a a a a a 221a k 21a ⑤上〔下〕三角形行列式:行列式运算常用方法〔主要〕行列式定义法〔二三阶或零元素多的〕化零法〔比例〕化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：〔零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)n m A * 矩阵的运算：加法〔同型矩阵〕---------交换、结合律数乘---------分配、结合律n m ij ka kA *)(= 乘法注意什么时候有意义nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑== 一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0转置A A TT =)(TTTBA B A +=+)((反序定理)T T kA kA =)(T T T A B AB =)(方幂：2121k k k kA AA += 几种特殊的矩阵：对角矩阵：假设AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数〔假设……〕 单位矩阵、上〔下〕三角形矩阵〔假设……〕对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，假设存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)B A =-1 初等变换1、交换两行〔列〕2.、非零k 乘*一行〔列〕3、将*行〔列〕的K 倍加到另一行〔列〕初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的〔对换阵 倍乘阵 倍加阵〕等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 假设A 可逆，则满秩假设A 是非奇异矩阵，则r 〔AB 〕=r 〔B 〕初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵，行列式n ij n ij a k ka )()(=nijn nij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④假设A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线性代数必考参考例题
各大题可能考到的知识点：证明题：（3选1）1．对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵参考习题（下同）：P50例11、12，P52 15、16，P145 182.矩阵可逆P57 例8 P58 5、6、83.线性相关性P99 例3 P102 5计算题：1.求行列式（三角法、降阶法）P15-16 例3、4、5、6 ，P25例6 ，P23 例2、32.求逆矩阵（伴随矩阵法、初等变换法）P54 例3 P70 例4、53.求极大无关组P104 例2，P107 例34.基础解系及通解P118-122 1、2、4、5、65.讨论方程组的解P88 4, P135 16.对角化P162 1、2，P160 7、87.证明一组积并求某向量的坐标：P111 9，P114 4、58.解矩阵方程P71-72 6、79求特征值与特征向量P146 1、2，P170 15、16填空、选择：1.排列的逆序数P6 1、2，P11 12.行列式的性质P11-153.矩阵转置的性质（4个）P474.方阵行列式的性质（3个）P495.逆矩阵与伴随矩阵性质（5个）P54-556.初等矩阵与可逆矩阵的关系P70 定理37.矩阵的秩的性质P75、78（共8个，主要是1、2）8.方程组有解的条件P869.向量组的线性相关性P97-10110.向量组之间的关系P100-101（定理5、推论5、6）11.过渡矩阵P11312.由向量的长度与正交求未知参数P139-14113.正交矩阵的性质P14314.矩阵的特征值的性质P147-149 615.相似矩阵的性质P152-153，P170 18，P160 2, 616.特征值多项式和特征方程P14517.行列式按列展开的性质P21 ，P22 ，P27 718.分块对角矩阵的性质P62 性质1、2。
线性代数总复习带例题
(2) 若矩阵A有一个r阶子式不为零，则R(A)≥r (3) 若矩阵A有一个r+1阶子式不为零，则R(A)≤r
• 3规定掌零握矩阵线的性秩方为程零组。的判定方法
• 对n阶方阵 A (aij ) ， 若 aij 0，则R(A)=n，称A为满秩矩阵； 若 aij 0，则R(A)<n，称A为降秩矩阵。
把方程组1化成
容易求解的同
会用高斯消元法解线它简性元称方都最为简程零形组的。梯矩阵，称为最简梯矩阵，
解方程组，
即得到能直接
求出解或者能
够直接判2断其 掌握矩阵的秩的概念并求矩阵的秩
无解的同解方
程组
矩阵的初等变换
3 掌握线性方程组的判定方法
ri rj ci c j ，kri kci
L
a0 xn a1xn1 L an
本课程的内容
1
行列式
2
线性方程组
3
矩阵
4
向量空间
5
相似矩阵
6
二次型
线性方程组
本章的知识点 1.满足下列两个条件的矩阵称梯矩阵。 （1）若有零行则零行位于非零行下方；
（2）每个首非零元前面零的个数逐行增
基本思想是通
加。
过消元变形，
2.首非零元为1，且首非零元所在列的其
2 掌握行列式按行(列)展开定理
n阶行列式任一行（列）的各元素与另一行（列）的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 L ain Ajn 0, i j;
a1i A1 j a2i A2 j L ani Anj 0,
线性代数总结汇总+经典例题
线性代数总结汇总+经典例题（⼀）⾏列式概念和性质线性代数知识点总结1 ⾏列式1、逆序数：所有的逆序的总数2、⾏列式定义：不同⾏不同列元素乘积代数和3、⾏列式性质：（⽤于化简⾏列式）（1））⾏列互换（转置），⾏列式的值不变（2））两⾏（列）互换，⾏列式变号（3））提公因式：⾏列式的某⼀⾏（列）的所有元素都乘以同⼀数k，等于⽤数k 乘此⾏列式（4））拆列分配：⾏列式中如果某⼀⾏（列）的元素都是两组数之和，那么这个⾏列式就等于两个⾏列式之和。
（5））⼀⾏（列）乘k加到另⼀⾏（列），⾏列式的值不变。
（6））两⾏成⽐例，⾏列式的值为0。
（⼆）重要⾏列式4、上（下）三⾓（主对⾓线）⾏列式的值等于主对⾓线元素的乘积5、副对⾓线⾏列式的值等于副对⾓线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A 是m 阶矩阵，B 是n 阶矩阵），则7、n 阶（n≥2）范德蒙德⾏列式数学归纳法证明★8、对⾓线的元素为a，其余元素为 b 的⾏列式的值：（三）按⾏（列）展开9、按⾏展开定理：（1））任⼀⾏（列）的各元素与其对应的代数余⼦式乘积之和等于⾏列式的值（2））⾏列式中某⼀⾏（列）各个元素与另⼀⾏（列）对应元素的代数余⼦式乘积之和等于0（四）⾏列式公式10、⾏列式七⼤公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A| ·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A -1|=|A| -1（5）|A*|=|A| n-1（6））若A 的特征值λ1、λ2、,, λn ，则（7））若 A 与B 相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1 ）⾮齐次线性⽅程组的系数⾏列式不为0 ，那么⽅程为唯⼀解（2））如果⾮齐次线性⽅程组⽆解或有两个不同解，则它的系数⾏列式必为0 （3））若齐次线性⽅程组的系数⾏列式不为0，则齐次线性⽅程组只有0 解；如果⽅程组有⾮零解，那么必有D=0。
2 矩阵（⼀）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1））矩阵乘法要求前列后⾏⼀致；（2））矩阵乘法不满⾜交换律；（因式分解的公式对矩阵不适⽤，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以⽤交换律）（3））AB=O不能推出A=O 或B=O。
线性代数大二期末考试重点复习、题目,不可不看哦!
（3）若只有当 λ1 , λ2 ,L , λm , 全为 时， ） 全为0时
λ1a1 + L + λm am + λ1b1 + L + λmbm = o 才成立
⇔ λ1 (a1 + b1 ) + λ2 (a2 + b2 ) + L + λm (am + bm = , a2 = , b1 = , b2 = 满足 a 0 0 1 0
练习： 练习：设
2 1 8 2 −3 0 A= 3 −2 5 1 0 3 7 7 −5 8 0 2 0 3
（1）判定 的列向量组的线性相关性 ）判定A的列向量组的线性相关性
（2）判定 的行向量组的线性相关性 ）判定A的行向量组的线性相关性 (3) 求A的秩 的秩R(A) 的秩 3 9 1 − 0 0 (4) 求A的一个最高阶子式 2 的一个最高阶子式 2 1 1 0 (5)求A的列向量组的一个最大无关组， 的列向量组的一个最大无关组， 求 的列向量组的一个最大无关组 0 1 − 2 2 并将其它向量用这个最大无关组表示 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 解 （1）A的列向量组的线性相关 维数＜个数 ） 的列向量组的线性相关 维数＜ 的行向量组的线性相关性？ （2）A的行向量组的线性相关性？ 相关 ） 的行向量组的线性相关性 (3)R(A)＝３ ＝
复习： 复习：最大无关组与秩
1. 最大无关组 无关性 最大性 不唯一，但所含 不唯一， 向量个数唯一 2. 秩
任r+1个线性相关 个线性相关 再添一个就线性相关 A 能由 0 线性表示 能由A
A
B ⇔ A0
简单性质
线性代数总复习
性质1
例5---相似矩阵 设3阶矩阵A、B相似，A-1的特征值分别为1,2,3, 求 (1)A的特征值; (2) 解 (1)因为A-1的特征值分别为1,2,3,所以A的特征值
分别为 (2) 因为A、B相似,所以A,B的特征值相同,所以B的 特征值分别为 所以6B-E的特征值为
3---特征向量的性质 1）方阵A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。
1、定义 由m×n个数
排成的m行n列数表
(i=1,2, …,m ; j=1,2, …,n)
称为一个m行n列矩阵， 简称为m×n矩阵，
矩阵的秩（续） 3、关于秩的重要结论：
例题2 ---(矩阵3)
解
例题3---(逆阵2)
解
2）
例题3---(逆阵3) 3、设方阵 A满足2A2-5A-8E = 0，证明 A-2E 可逆，
6---例8（1）---几个证明1 1、设A～B,证明: A2～B2; tA－E～tB-E, t是实数
2. 设1，2 是A的两个不同的特征值，1， 2 是相应的 特征向量, 证明：1， 2必线性无关；
3. 设1，2 是A的两个不同的特征值，1， 2 是相应的 特征向量, 证明：1 2 必不是 A的特征向量
3）正交向量组必是线性无关组。
4---n阶方阵A可对角化的条件、方法 1、一个充分必要条件： n阶方阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量 2、两个充分条件： 1）如果A有n个互不相同的特征值，则A必可对角化 2）如果A是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。
3、对角化方法：
4、正交对角化
5---例6---对角化 分别求可逆矩阵P、正交矩阵Q， 将矩阵A对角化。 解 1）
向量4---例题4
大一线性代数考试题库及答案解析
大一线性代数考试题库及答案解析一、选择题1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为多少？A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：C解析：根据行列式的性质，一个矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。
因此，|A^(-1)| = 1/|A| = 1/2。
2. 向量α=(1,2,3)和β=(-1,0,1)是否共线？A. 是B. 否答案：A解析：若向量α和β共线，则存在一个实数k使得β=kα。
将向量α和β的对应分量相除，得到-1/1=0/2=1/3，显然不存在这样的实数k，因此向量α和β不共线。
二、填空题3. 设矩阵B是一个3×3的矩阵，且B的秩为2，则矩阵B的零空间的维数为____。
答案：1解析：矩阵B的零空间的维数等于矩阵的列数减去矩阵的秩，即3-2=1。
4. 若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于____。
答案：n解析：若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于未知数的个数n。
三、解答题5. 给定向量组α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，求证向量组α1，α2，α3线性相关。
答案：证明：首先计算向量组α1，α2，α3的行列式：|α1 α2 α3| = |1 2 3||4 5 6||7 8 9| = 0由于行列式为0，根据行列式的性质，向量组α1，α2，α3线性相关。
6. 设矩阵C为3×3的矩阵，且C的行列式为0，求证矩阵C不可逆。
答案：证明：根据矩阵的逆矩阵的定义，若矩阵C可逆，则存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I。
但是，由于|C|=0，根据行列式的性质，不存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I，因此矩阵C不可逆。
四、计算题7. 计算矩阵D=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 &9\end{bmatrix}的行列式。
线性代数总复习及典型例题
线性代数总复习
第一章
行列式
第一节 n阶行列式的定义
当m = n 时，n元非齐次线性方程组 Ann x b 有惟一解的充分必要条件是系数矩阵A的行列式
A0
齐次线性方程组 Ax 0 一定有解： (1) R(A) = n (2) R(A) < n
Ax 0 只有零解
Ax 0 有非零解
并且通解中有n-r个自由未知量.
齐次线性方程组 Ax 0 的具体解法： (1)对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵， 比较 R A与n之间的大小关系，从而判断方程组解 的情况：唯一解（零解），无穷解（非零解）。
第三章 线性方程组
其中 B A b
非齐次线性方程组 Ax b
(1) R A R B (2) R(A) = R(B ) R(A ) < n R(A ) = n
无解 有解:
Ax b有唯一解 ;
Ax = b 有无穷多解.
并且通解中有n-r个自由未知量.
非齐次线性方程组 Ax b 的具体解法： (1)对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵， 比较 R A 、 R B 以及n之间的大小关系，从而判断 方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。 (2)在判断有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施 行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形 对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多 个解，需写出通解形式。
Er O O O m n
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行列式按行（列）展开法则是把高阶行 列式的计算化为低阶行列式计算的重要 工具.
n
aki Akj
k 1
D ,当i
0
,当 i
j, j;
n aik Ajk
k 1
D ,当i
0
,当 i
j, j;
第二章 矩阵及其运算
一、矩阵的概念
1. 矩阵的基本概念
由 m n 个数 aij i 1,2, , m; j 1,2, , n
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
一些常用的行列式结果：
a11 a12 0 a22
a1n a2n a11a22 ann
00
ann
1 2
1
2
n( n1)
(1) 2 12 n
n
12 n n
a11 L M D am1 L *L M *L
a11 L M
am1 L
非齐次线性方程组 Ax b 的具体解法：
(1)对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，
比较 RA、RB 以及n之间的大小关系，从而判断
方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。
(2)在判断有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施 行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形 对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多 个解，需写出通解形式。
A可逆
A 0,
且
A1
1 A
A ,
其中A是A的伴随阵 .
BA E ) , 则B A1.
若 AB E (或
3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆 ,且 A1 1 A.
2
若A可逆 , 数
0, 则A可逆 , 且
A1
1
A1 .
3 若A, B为同阶可逆矩阵 ,则AB也可逆,且AB 1 B 1 A 1
设A是一个m n非零矩阵，那么A一定 可以通过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最 简形，再进行初等列变换化为如下标准形：
Er O O O mn 其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.
注意：初等变换不改变矩阵的可逆性。
对于任何一个非零矩阵,都可以先进行初等行变换化 为行阶梯形及行最简形,再进行初等列变换化为标准形.
六、矩阵的秩
求矩阵秩的方法 (1)利用定义：寻找矩阵中非零子式的 最高阶数 (2)初等变换法：把矩阵用初等行变换 变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵 中非零行的行数就是矩阵的秩
对于n阶方阵A，如果A的秩等于n，则称A
为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.
对于n阶方阵A，下列命题等价： (1) A为满秩矩阵；
对称及反对陈矩阵 方阵的行列式
2. 矩阵的运算规律：
加法：
1交换律：A B B A; 2 结合律：A B C A B C .
数乘：
1 结合律 : A A;
2分配律 : A A A; A B A B.
乘法：
1 ABC ABC ; 2 AB AB AB （其中 为数）; 3 AB C AB AC , B C A BA CA;
当m = n 时，n元非齐次线性方程组 Ann x b 有惟一解的充分必要条件是系数矩阵A的行列式
A0
齐次线性方程组 Ax 0一定有解：
(1) R(A) = n
Ax 0 只有零解
(2) R(A) < n
Ax 0 有非零解
并且通解中有n-r个自由未知量.
齐次线性方程组 Ax 0 的具体解法：
方阵的幂运算：
（1） （2）
Ak Al Akl ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk.
转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
3. 方阵的行列式及其性质
由n阶方阵A的元素按原相对位置所构成 的行列式，称为方阵A的行列式，记作 A 或 det A. 方阵的行列式满足下列规律：
若 s n ,则n 个n 维向量 α1,α2, ,αn 线性相关
的充分必要条件是它所构成的矩阵 A α1, α2 , , αn
的行列式等于零，即 A 0 ; 向量组线性无关的充分必 要条件是 A 0.
若 s n ,即向量组中向量个数大于向量维数时，
向量组必线性相关.
事实上，记 A α1,α2 ,
四、分块矩阵
分块对角矩阵的性质
A1
设方阵
A
A2
O
2. 如果 Ai 0i 1,2,
O
则
1. A A1 A2
At .
At
, t ,则 A 0,即矩阵 A可逆，且
A11
A1
A21
o .
A1k
3.
Ak
A2 k
O
o
At 1
O
At k
特殊地，如果 是对角矩阵
11 0
(1)对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，
比较 RA与n之间的大小关系，从而判断方程组解
的情况：唯一解（零解），无穷解（非零解）。
(2) 继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为 行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进行求解。 如果方程组有无穷多个解，需写出通解形式。
当m = n 时， (1)齐次线性方程组(3.2)只有零解 A 0 ; (2)齐次线性方程组(3.2)有非零解 A 0 .
a1m
M
0
amm *
MM
b1k M bkk
b1k M.
amm bk1 L bkk
第二节 行列式的性质
性质1.1 行列式与它的转置行列式相等. 性质1.2 行列式的某一行（列）中所有元素的 公因子可以提到行列式符号的外面．
行列式的某一行（列）中的所有元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
故 α1,α2 , ,αs 线性相关.
,αs , 因为RA n s，
三、相关定理
(1) 向量组 A : α1,α2, ,αs s 2线性相关
的充分必要条件是：(A)中至少有一个向量能由其余 向量线性表示.
线性代数总复习
第一章 行列式
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21 .
三阶行列式的计算方法——沙路法
a11 a12 a13 a11 a12 D a21 a22 a23 a 21 a 22
a31 a32 a33 a 31 a 32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
向量组 1,2 , ,s线性相关的充分必要 条件是它所构成的 矩阵 A (1,2 , ,s )的秩小于 向量个数 s ,即R( A) s;向量组线性无关的充分 必要 条件是 R( A) s.
于是判断某向量组的线性相关性，可归结为齐次线 性方程组是否有非零解，从而取决于方程组系数矩 阵的秩，所以该问题最终可利用初等行变换化系数 矩阵为阶梯形矩阵来解决.
设A是一个mn 矩阵，对A 施行一次
初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶 初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在 A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.
R1R2 Rs AC1C2 Ct E
A ( R1R2 Rs )1 E(C1C2 Ct )1
Rs1
R21 R11C t1
C
C 1 1
21
n阶方阵A可逆的充要条件是存在有限 个初等矩阵 P1, P2 , , Pl , 使得 A P1P2 Pl .
A
设有n阶方阵 A (aij )nn , 由行列式 A 中
各元素aij 的代数余子式Aij 构成如下n阶方阵
A11 A21
A
A12
A22
A1n A2n
An1 An2
Ann
称为矩阵A的伴随矩阵.
注意:伴随阵A* 与原矩阵A元素位置的对应关系.
2. 基本定理
设A为n阶方阵，A*为其伴随矩阵，则 AA A A A E .
4 若A可逆,则AT 也可逆 ,且 AT 1 A1 T.
推广 A1 A2
A A Am 1
1
m
A21
1
1.
5 若A可逆,则有 A1 A 1.
4. 逆矩阵的计算方法
(⑴)利用定义（一般适用于证明题）
2利用公式 A1 A ;
A (3)待定系数法 (4) 初等变换法:步骤如下
(1) 构造矩阵( A E ); (2) 对( A E )施行初等行变换 ,将A化为 单位矩阵E后, 右边E对应部分即为 A1
如果行列式中有一行(列)为零，那么行列 式为零。
性质1.3 对换行列式的两行（列）,行列式变号. 如果行列式有两行（列）完全相同，
则此行列式为零. 性质1.4 如果行列式中有两行（列）对应成 比例，那么行列式为零．
性质1.5 如果行列式的某一行（列）的元素都是
两数之和，例如第i 行的元素都是两数之和
0
22
0 0
当且仅当 11,22 ,
0
k 11
0
0
nn
则
k
0
0
k 22 0
0
0
k nn
nn 都不为零时， 是可逆矩阵，且
1 11
0
0
1
0
1 22
0
0 0
1 nn
五、矩阵的初等变换.与列初标 等矩阵 1.初等变换与初等矩阵
矩阵的初等变换包括3种：对换变换、数乘变换 和倍加变换。这三种初等变换的过程都是可逆的，
a11
a12
a1n
D bi1 ci1 bi 2 ci 2
bin cin
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：