职高数列知识点及例题(有答案)

职高数列知识点及例题(有答

案)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

数列

一、数列的定义： 按一定顺序排列成的一列数叫做数列．

记为：{a n }．即{a n }: a 1, a 2, … , a n ．

二、通项公式：用项数n 来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式。

1、本质：数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数．

2、通项公式: a n =f(n)是a n 关于n 的函数关系．

三、前n 项之和：S n = a 1+a 2+…+a n

注 求数列通项公式的一个重要方法： ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n n

n

例1、已知数列{100-3n}，

（1）求a 2、a 3；（2）此数列从第几项起开始为负项．

例2 已知数列{}n a 的前n 项和，求数列的通项公式：

（1） n S =n 2+2n ； （2） n S =n 2-2n-1.

解：（1）①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1； ②当n=1时，1a =1S =12+2×1=3；

③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴n a =2n+1为所求.

（2）①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3； ②当n=1时，1a =1S =12-2×1-1=-2；

③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴n a =⎩

⎨⎧≥-=-)2(32)1(2n n n 为所求． 注：数列前n 项的和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1n n n a S S -=-时，一定要注意条件2n ≥ ，求通项时一定要验证1a 是否适合

例3 当数列{100-2n}前n 项之和最大时，求n 的值．

分析：前n 项之和最大转化为1

00n n a a +≥⎧⎨≤⎩．

等差数列

1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通

常用字母d 表示．即：)()(1•+∈=-N n d a a n n 常数

2.通项：d n a a n )1(1-+=，推广：d m n a a m n )(-+=．

3.求和：d n n na a a n S n n 2

)1(2)(11-+=+=．（关于n 的没有常数项的二次函数）．

4.中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c

5.等差数列的判定方法

(1)定义法: )()(1•+∈=-N n d a a n n 常数 (2)中项法:212+++=n n n a a a

(3)通项法:d n a a n )1(1-+= (4)前n 项和法:Bn An S n +=2

练习：已知数列{ a n }满足：a 1=2,a n = a 1+n +3,求通项a n ．

例1 在等差数列{}n a 中,已知.,63,6,994n S a a n 求=-==

解:设首项为1a ,公差为d ,

则⎩⎨⎧-==⎩

⎨⎧+=-+=3188639111d a d a d a 得76:)1(231863==--==∴n n n n n S n 或得 例2（1）设{a n }是递增等差数列，它的前3项之和为12，前3项之积为48，求这个数列的首项．

分析2：三个数成等差数列可设这三个数为：a-d ，a ，a+d

拓展：（1）若n+m=2p ，则a n +a m =2a p ．

推广：从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅（下标成等差数列）

（2）等和性：m n p q a a a a +=+*(,,,,)m n p q N m n p q ∈+=+

（3） ,,,232n n n n n S S S S S --组成公差为d n 2的等差数列.

（4）a n =a m +（n-m ）d

例1 （1）已知a 3+a 11=20，求a 7．

（2）已知3a +4a +5a +6a +7a ＝450, 求2a +8a 及前9项和9S ．

解 由等差中项公式：3a +7a ＝25a ， 4a +6a ＝25a

由条件3a +4a +5a +6a +7a ＝450, 得：55a ＝450, ∴2a ＋8a ＝25a ＝180.

9S ＝199()2

a a +810 等比数列

1．定义与定义式：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数

的数列称作等比数列.)(1为不等于零的常数

q q a a n

n =+ 2．通项公式：11-=n n q a a ,推广形式:m n m n q a a -=．

3．前n 项和：⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--==)10(11)1()1(111q q q q a a q

q a q na S n n n 且 注:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论．

4．等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即ab G =2

（G = 5．等比数列的判定方法：

①定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a n

n ，则数列{}n a 是等比数列. ②等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{

}n a 是等比数列． 例1 等比数列中1a =2, 3a =8，求通项公式；