10第十章 轴
机械基础 第十章 轴
转轴的结构
轴向固定
轴肩 或轴环 轴端 挡圈
圆螺母
轴套
弹性 挡圈 紧定螺钉 与挡圈
圆锥面
能消除轴与轮毂间的径向间隙 ，装拆方便，可兼做周向固定。常 与轮端挡圈联合使用，实现零件的 双向固定。适用于有冲击载荷和对 中性要求较高的场合，常用于轴端 零件的固定。
转轴的结构
轴上零件的周向固定
平键 连接
目的——保证轴能可靠地传递运动和转矩， 防止轴上零件与轴产生相对转动。
目的——保证零件在轴上有确定的轴 向位置，防止零件作轴向移动，并能承受 轴向力。
这是一种常用的轴向固定方法。轴 肩或轴环的过渡圆角半径r小于轴上零 件孔端的圆角半径R或倒角C（即r<R或 r<C），这样才能使轴上零件的端面紧 靠定位面。它具有结构简单，定位可靠 和能够承受较大轴向力等优点，广泛应 用于各种轴上零件的固定。
常用于医疗器械和电动手持小 型机具，例如铰孔接头机、刮削机 等。
轴的用途和分类
直轴的分类及特点
心轴
转动心轴 固定心轴
转动心轴
火车轮轴 固定心轴
自行车前轴
用来支承转动的零件，工作 时只承受弯矩作用而不传递动力 。例如车辆用的转动心轴；支承 滑轮用的固定心轴。
轴的用途和分类
直轴的分类及特点
心轴
转轴
传动齿轮轴
传动轴
发动机曲轴
汽车传动轴
轴的用途和分类
二、轴的分类 根据轴心线形状的不同，可以把轴分为直轴、曲轴和挠性钢丝软轴（简称挠性轴）三大类。 生产及生活中常用的是直轴。根据直轴所受的承载情况不同，又可分为心轴、转轴和传动轴三类。
轴的类型及特点
直轴
光轴 阶梯轴
直轴的轴线为一直线。按直轴 外形不同，又分为光轴（直径无变 化）和阶梯轴（直径有变化）。
初中数学竞赛专题-第十章 根轴的性质及应用
第十章 根轴的性质及应用【基础知识】定义 从一点A 作一圆周的任一割线,从A 起到和圆周相交为止两线段之积,称为A 点对于此圆周的幂． 由相交弦定理及切割线定理,知点A 的幂是定值：若这点在圆内,则这点的幂等于以该点为中点的弦的半弦长的平方；则若这点在圆外,则这点的幂等于从这点所引圆周切线长的平方；若这点在圆周上。
则这点的幂等于0．由定义,幂由下列的结论：结论1 点A 对于以O 为圆心的圆周的幂,等于OA 及半径的平方差． 结论2 对于两已知圆有等幂的点的轨迹,是一条垂直于连心线的直线．事实上,如图10-1,设点A 到O 1⊙和2O ⊙的幂相等,1O ⊙,2O ⊙的半径分别为1R 和2R （12R R >）,则22221122AO R AO R -=-,即22221212AO AO R R -=-=常数．设12O O 的中点为D ,12AM O O ⊥于M ,则2221112AO AD O D O D DM =++⋅,2222222AO AD DO DO DM =+-⋅,即221212122()2AO AO DM O D DO DM O O -=⋅+=⋅,亦即2212122R R DM O O -==常数．所以,M 点是一定点,过M 点的垂线即是两圆等幂点的轨迹．这条直线称为两圆的根轴或等幂轴．特别地,若两圆同心,则120O O =,从而同心圆的根轴不存在；若20R =,2O ⊙变成一点2O ,则A 点在2O ⊙的幂是22AO ．此时,直线（轨迹）称为一圆与一定点的根轴． 根轴有如下性质：性质1 若两圆相交,其根轴就是公共弦所在的直线．由于两圆的交点对于两圆的幂都是0,所以,它们位于根轴上,而根轴是直线,所以,根轴是两交点的连线． 性质2 若两圆相切,其根轴就是过两圆切点的公切线． 性质3 三个圆,其两两的根轴或相交于一点,或互相平行．事实上,若三条根轴中有两条相交,则这一交点对于三个圆的幂均相等,所以必在第三条根轴上．这一点,称为三圆的根心．例如,三角形的垂心是所有过任一条高的两个端点的圆的根心．显然,当三个圆的圆心在一直线上时,三条根轴互相平行；当三个圆的圆心不共线时,根心存在． 性质4 若两圆相离,则两圆的四条公切线的中点在根轴上． 【典型例题与基本方法】1．注意点对圆周的幂的结论的应用例 1 如图10-2,从半圆上的一点C 向直径AB 引垂线,设垂足为D ,作1O ⊙切BC ,CD ,DB 分别于E ,F ,G ．求证：AC AG =．图 10-2证明 设半圆的圆心为O ,则O ,1O ,E 共线．连1O F ,知1O F CD ⊥,得1O F AB ∥．连EF ,AE ,由111122FEO FO O EOB OEA ∠=∠=∠=∠,知E ,F ,A 三点共线．又因90ACB ∠=︒,CD AB ⊥,有ACF ABC AEC ∠=∠=∠,从而AC 是CEF ⊙的切线,故点A 对CEF ⊙的幂2AC 等于点A 对1O ⊙的幂2AG ,即有AC AG =．例2 如图10-3,设I 是ABC △的内心,过I 作AI 的垂线,分别交边AB ,AC 于P ,Q ． 求证：分别于AB 及AC 相切于P 及Q 的圆L 必与ABC △的外接圆O 相切．图 10-3IQ D MP O ABC证明 延长AI 交O ⊙的半径为R ,则点L 对O ⊙的幂为22R LO LA LM -=⋅,于是222()LO R LA LM R LA IM LI =-⋅=-⋅-2R LA IM LA LI =-⋅+⋅22R LA IM LP =-⋅+．由11()22MIC A C BCM C MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠,知12sin 22PLMI MC R A R AL==⋅∠=⋅．从而,22222()PLLO R LA R LP R PL AL=-⋅⋅+=-．由此,即知L ⊙与O ⊙相切． 2．注意根轴性质的灵活运用例3 如图10-4,设1O ⊙与2O ⊙相离,引它们的一条外公切线切1O ⊙于A ,切2O ⊙于C ,又引它们的一条内公切线切1O ⊙于B ,且2O ⊙于D ．求证：直线AB 和CD 的交点在两圆的连心线上．EA证明 设直线AB 和CD 的交点为K ,直线AC 与BD 的交点为E ,连1O E ,2O E ,则1AB O E ⊥,2CD O E ⊥．由1O E 平分AEB ∠,2O E 平分CED ∠,知12O E O E ⊥,由此推知AB CD ⊥,即K 时分别以AC 和BD 为直径的两圆1Γ和2Γ的交点,从而K 在圆1Γ和圆2Γ的根轴上．连1O A ,1O B ,又由1O A AC ⊥,知1O A 是圆1Γ的切线,1O 关于圆1Γ的幂是21O A ．同理,1O B 是圆2Γ的切线,1O 关于2Γ的幂是21O B ．由于2211O A O B =,所以1O 是关于圆1Γ和2Γ的等幂点． 同样,2O 是关于圆1Γ和圆2Γ的等幂点．所以12O O 是圆1Γ和2Γ的根轴．于是,K 在连心线12O O 上．例4 如图10-5,已知两个半径不相等的圆1O ⊙与2O ⊙相交于M ,N 两点,且1O ⊙,2O ⊙分别与O ⊙内切于S ,T 两点．求证：OM MN ⊥的充分必要条件是S ,N ,T 三点共线．图 10-5证明 连OS ,OT ,ST ,作公切线SP ,TP 相交于P ,则得PS PT =,由此即知自P 点向1O ⊙和2O ⊙所昨切线长相等,故点P 在这两圆1O ⊙和2O ⊙的根轴上,且由2PS PN PM =⋅．连OP 交ST 于点Q ,则OP ST ⊥,且2PQ PO PS PN PM ⋅==⋅,故O ,Q ,N ,M 四点共圆．由此,即有OM MN OQ QN N ⊥⇔⊥⇔在直线ST 上S ⇔,N ,T 三点共线．例 5 如图10-6,ABC △中,O 为外心,三条高AD ,BE ,CF 相交于点H ,直线ED 和AB 交于点M ,FD 和AC 交于点N ．求证：（Ⅰ）OB DF ⊥,OC DE ⊥；（Ⅱ）OH MN ⊥．C ' B 'A '图 10-6PMF EDPTOABC证明 （Ⅰ）过B 作ABC △的外接圆的切线BT ,则由A ,F ,D ,C 四点共圆,知TBA ACB BFD ∠=∠=∠有DF BT ∥,而OB BT ⊥．故OB DF ⊥．同理OC DE ⊥． （Ⅱ）取OH 的中点V ,下证V 为DEF △的外心．设A ',B ',C '分别为BC ,CA ,AB 的中点．由A ,B ,D ,E 四点共圆,有90BED BAD B ∠=∠=︒-∠．同理,90BEF BCF B ∠=∠=︒-∠． 从而1802DEF BED BEF B ∠=∠+∠=︒-∠又因为A '为Rt BFC △的斜边BC 上的中点,知21802FA B FCB B '∠=∠=︒-∠,从而知F ,A ',D ,E 四点共圆．同理,D ,F ,B ',E 及C ',F ,D ,E 分别四点共圆,由此即知A ',B ',C ',D ,E ,F 六点共圆． 又因为OA BC '⊥,DH BC ⊥,V 为OH 的中点,即知V 在A D '的垂直平分线上． 同理,V 在B E ',FC '的垂直平分线上,故V 是DEF △的外接圆的圆心．再由D ,E ,A ,B 及D ,F ,A ,C 分别四点共圆,有M D M E M B M A ⋅=⋅,ND NF NC NA ⋅=⋅．由此即知M ,N 对ABC △的外接圆与DEF △的外接圆的幂相等,从而M ,N 在这两个外接圆的根轴上,即有MN OV ⊥,故MN OH ⊥． 【解题思维策略分析】1．根轴与点对圆的幂是密切相关的例6 如图10-7,O ⊙过ABC △的顶点A ,C ,且与AB ,BC 交于K ,N （K 与N 不同）,ABC △的外接圆和BKN △的外接圆相交于B 和M ．求证：90BMO ∠=︒．（IMO 26-试题）B证明 设ABC △和BKN △的外接圆圆心分别为1O ,2O ,由题设,推知O ,1O ,2O 三点不共线（否则B 和M 重合）,而直线AC ,KN ,BM 分别为这三个圆中两两圆的根轴,故它们必相交于一点,不妨设交于点P ． 由PMN BKN NCA ∠=∠=∠,知P ,M ,N ,C 四点共圆,则B 点对此圆PMNC ⊙的幂等于B 点对O ⊙的幂,即有（设R 为O ⊙的半径）22BM BP BN BC BO R ⋅=⋅=-．又点P 对2O ⊙的幂等于点P 对O ⊙的幂,即有22PM PB PN PK PO R ⋅=⋅=-．由上述两式相减,得2222()()()PO BO BP PM BM PM BM PM BM PM BM -=-=+-=-, 由此有OM BP ⊥,故90OMB ∠=︒．例7 如图10-8,设四边形ABCD 内接于圆,其边AB 与DC 的延长线交于点P ,AD 与BC 的延长线交于点Q ,由Q 作该圆的两条切线QE 和QF ,切点分别为E ,F ,则P ,E ,F 三点共线．图 10-8E 'ABC QMDFEPG证明 连PQ ,并在PQ 上取一点M ,使得B ,C ,M ,P 四点共圆,则Q 为ABCD ⊙和BCMP ⊙两圆根轴上的点,则2QE QC QB QM PQ =⋅=⋅．①此时PMC ABC PDQ ∠=∠=∠,从而C ,D ,Q ,M 四点共圆,即知P 对此圆CDQM ⊙的幂为 PC PD PM PQ ⋅=⋅ ②连PF 交ABCD ⊙于E ',作QG PF ⊥于G ,则P ,Q 对ABCD 的幂分别为PC PD PE PF '⋅=⋅ ③及2QC QB QF ⋅=． ④ 由①+②并注意③,④式,由22QM PQ PM PQ PQ QC QB PC PD QF PE PF '⋅+⋅==⋅+⋅=+⋅, 即22_()PQ QF PE PF PG GE PF ''=⋅=-⋅．⑤又22222222()()PQ QF PG QG QG GF PG GF -=+-+=- ＝()()()PG GF PG GF PG GE PF =-+=-⋅． ⑥比较⑤与⑥式,得PE PG GE PG GE ''====,即E '与E 重合,故P ,E ,F 三点共线．注 在此,需要指出：对于例６与例７应用根轴的概念来处理,可以发现它们的等价性．如图10-7,设以BO 为直径的圆为3O ⊙,且3O ⊙与O ⊙交于X ,Y 两点,则BY OY ⊥,即同理,BX 与为O ⊙的切线．若例7结论成立,则知KN ,XY ,AC 三条根轴交于一点P ．又直线BM ,KN ,AC 分别为1O ⊙与2O ⊙,O ⊙,1O ⊙与O ⊙的根轴,则BM ,KN ,AC 交于一点,故BM 过P 点．由于XY 是3O ⊙与O ⊙的根轴,则1O ⊙与3O ⊙的一个交点为B 时,另一个交点在BM 直线上,且为M 点,即3O ⊙过点M ．又由于BO 为直径,有90BMO ∠=︒．反之,若例6结论成立也可推得例7结论成立,例7即图10-8中的圆内接四边形ABCD 也一一对应于例6即图10-7中的四边形ACNK ．例8 如图10-9,某圆分别与凸四边形ABCD 的AB ,BC 两边相切于G ,H 两点,与对角线AC 相交于E ,F 两点．问ABCD 应满足怎样的重要条件,使得存在另一圆过E ,F 两点,且分别与DA ,DC 的延长线相切？证明你的结论．图 10-9J F EDHGA BC分析 所求的充分必要条件是AB AD CB CD +=+．证明 必要性：设过E ,F 两点的另一圆分别与DA 的延长线和DC 的延长线相切于J 和K 两点．注意到点A 对这两个圆幂相等,即22AG AE AF AJ =⋅=,同样有22CH CK =,则有AB AD BG GA AD BG JA AD BG JD BH KD BH KC +=++=++=+=+=+ CD BH HC CD BC CD +=++=+充分性：设凸四边形ABCD 满足条件AB AD CB CD +=+．在DA 的延长线和DC 的延长线上分别取J 点和K 点,使AJ AG =,CK CH =．于是, DJ JA AD AG AD AB AD BG CB CD BH CH CD DK =+=+=+-=+-=+=过J 点和K 点分别作DJ 和DK 的垂线,以两垂线交点为圆心作通过J 点和K 点的圆,由AJ AG =,CK CH =,则A 点和C 点关于原有圆的幂分别等于这两点关于所做圆的幂．而直线AC AC 与原有圆相交于E 和F 两点,且AC 是这两圆的根轴,所以EF 是这两圆的公共弦．至此,便证明了所做的与DA 延长线和DC 延长线相切的圆通过E ,F 两点． 2．根轴是联系圆与圆关系的一座桥梁例9 设圆O 的内接凸四边形ABCD 的两条对侥幸AC 、BD 的交点为P ,过P 、B 两点的圆1O 与过P 、A 两点的圆2O 相交于两点P 和Q ,且圆1O 、圆2O 分别与圆O 相交于另一点E 、F ．求证：直线PQ 、CE 、DF 或者共点或者相平行．图 10-10EPO 1O 2AQDJIG BF C证明 如图10-10,设直线EC 交1O ⊙于I ,直线FD 交2O ⊙于J ．因为PJE PAF CAF CDF ∠=∠=∠=∠,故PJ CD ∥．同理,IP CD ∥．从而I 、P 、J 三点共线． 又180180EFD ECD EIJ ∠=︒-∠=︒-∠,故E ,F ,J ,I 四点共圆．因此,由根轴定理可知,四边形IEFJ 的外接圆、圆1O 、圆2O 两两的公共弦IE 、PQ 、JF （所在的直线）或者共点或者互相平行,即直线PQ 、CE 、DF 或者共点或者互相平行．例10 已知AB 是O ⊙的弦,M 是弧AB 的中点,C 是O ⊙外任一点,过点C 作O ⊙的切线CS 、CT ,连接MS 、MT ,分别交AB 于点E 、F ．过点E 、F 作AB 的垂线,分别交OS 、OT 于点X 、Y ．再过点C 任作O ⊙的割线,交O ⊙于点P ,Q ,连接MP 交AB 于点R ,设Z 是PQR △的外心．求证：X 、Y 、Z 三点共线．图 10-11FER OABCQ TYXPZ S证明 如图10-11,先连结OM ,由垂径定理,易说明XES △与OMS △位似,于是XES △是等腰三角形；故可以X 为圆心,XE 和XS 为半径作圆,该圆同时与弦AB 及支线CS 相切． 再作PQR △的外接圆,并连接MA 、MC ．易证明2MR MP MA ME MS ⋅==⋅； 又由切割线定理2CQ CP CS ⋅=．①、②表明点M 和点C 关于Z ⊙和X ⊙的幂都相等,于是MC 就是上述两圆的根轴,因此ZX MC ⊥． 同理可证ZY MC ⊥．由③、④即知X 、Y 、Z 三点共线．证毕．例11 设O 和I 分别为ABC △的外心和内心,ABC △的内切圆与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ,直线FD 与CA 相交于点P ,支线DE 与AB 相交于点Q ,点M 、N 分别为线段PE 、QF 的中点,求证：OI MN ⊥．图 10-12证明 如图10-12,考虑ABC △与截线PFD ,由Menelaus 定理,有1CP AF BDPA FB DC⋅⋅=, 所以PA AF BD AF p aPC FB DC DC p c -=⋅==-, 于是PA p a CA a c-=-, 因此()b p a PA a c-=-,这样()b p a PE PA AE p a a c-=+=+--=2()()p c p a a c ---,1()()2p c p a ME PE a c--==-, 2()()()()p c p a p a MA ME AE p a a c a c ---=-=--=--, 2()()()()p c p a p c MC ME EC p c a c a c---=+=+-=--． 于是2MA MC ME ⋅=．因为ME 是点M 到ABC △的内切圆的切线长,所以2ME 是点M 到内切圆的幂,而MA MC ⋅是点M 到ABC △的外接圆的幂．等式2MA MC ME ⋅=表明点M 到ABC △的外接圆与内功圆的幂相等,因而点M 在ABC △的外接圆与内功切圆的根轴上．同理,点N 也在ABC △的外接圆与内切圆的根轴上． 故OI MN ⊥．例12 ABC △的外接圆的圆心为O ,A '是边BC 的中点,AA '与外接圆交于点A '',a A Q AO '⊥,点a Q 在AO 上,过点A ''的外接圆的切线与a A Q '相交于点a P ．用同样的方式,可以构造点b P 和c P ．证明：a P 、b P 、c P 三点共线．证明 可以证明它们都在O ⊙与九点圆的根轴上．图 10-13a如图10-13,把ABC △位似变换到A B C '''△,ABC △的重心G 为位似变换到A B C '''△,ABC △的重心G为位似中心,位似比为12-．在这种变换下,AO 变成了A N ',其中N 为九点圆的圆心,所以A N AO '∥,a A P A N ''⊥． 故a A P '是九点圆的切线．易知90OAB C ∠+∠=︒,则90BAA A AO C ''∠+∠+∠=︒（不妨设AB AC ≤）． 又a P A A BAA C ''''∠=∠+∠,90a P A A A AO ''''∠=︒-∠, 所以a a P A A P A A ''''∠=∠,故a a A P A P '''=．所以,a P 在O ⊙于九点圆的根轴上．同理,b P 、c P 也在O ⊙与九点圆的根轴上．例13 凸四边形ABCD 的外接圆的圆心为O ,已知AC BD ≠,AC 与BD 交于点E ,若P 为四边形ABCD 内部一点,使得90PAB PCB PBC PDC ∠+∠=∠+∠=︒．求证：O 、P 、E 三点共线．图 10-14证明 如图10-14,记四边形ABCD 的外接圆为圆T ,APC △的外接圆为圆1T ,BPD △的外接圆为圆2T ．易知,圆T 和1T 的根轴是直线AC ,圆T 和2T 的根轴是直线BD ．由于P 是圆1T 和2T 的公共点,因此,P 在圆1T 和2T 的根轴上．又E 是AC 与BD 的交点,则E 是圆T 、1T 、2T 的根心．从而,直线PE 是圆1T 和2T 的根轴． 为证明O 、P 、E 三点共线,只需证明O 对圆1T 和2T 的幂相等,即O 也在这两个圆的根轴上． 由外角的性质知1902APC PAB ABC PCB AOC ∠=∠+∠+∠=︒+∠．而11(180)180(90)18022ACO AOC AOC APC ∠=︒-∠=︒-︒+∠=︒-∠这表明,OC 与1T 切于点C ． 同理,OB 与圆2T 切于点B ．由OC OB =知,点O 对圆1T 和2T 的幂相等．从而,O 、P 、E 三点共线．例14 已知圆1T 、2T 交于点Q 、R ,且内切于圆T ,切点分别为1A 、2A ,P 为圆T 上的任意一点,线段1PA 、2PA 分别与圆1T 、2T 交于1B ,2B ．证明：图 10-15l（1）与圆1T 切于点1B 的直线和与圆2T 切于点2B 的直线平行；（2）12B B 是圆1T 与圆2T 的公切线的充分必要条件是P 在直线QR 上．证法1 （1）设圆1T 、2T 、T 的圆心分别为1O 、2O 、O ,则1122O B OP O B ∥∥．从而,与圆1T 切于点1B 的直线和与圆2T 切于点2B 的直线平行,且和与圆T 切于点P 的直线平行．（2）设与圆1T 切于点1B 的直线与圆T 交于点1C 、1D ,则P 是11C D 的中点,且有2111PC PA PB =⋅． 同理,设与圆2T 切于点2B 的直线与圆T 交于点2C 、2D ,则P 是22C D 的中点,且有2222PC PA PB =⋅．于是,这两条切线重合为12B B ,等价于2212PC PC =,从而,等价于点P 关于圆1T 、圆2T 等幂,即等价于点P 在圆1T 、圆2T 的根轴OR 上．证法2 （1）如图10-15,作直线l 与O ⊙切于点P ,设与圆1T 切于点1B 的直线为1l 与圆2T 切于点2B 的直线为2l ．由位似变换知1l l ∥,2l l ∥,所以,12l l ∥．（2）若12B B 是1O ⊙、2O ⊙的公切线,则由（1）知12B B l ∥,从而,12212B B P B PY PA A ∠=∠=∠． 所以,1A 、1B 、2B 、2A 四点共圆． 因此,1122PB PA PB PA ⋅=⋅故点P 到1O ⊙、2O ⊙的圆幂相等,即P 、Q 、R 三点共线． 若点P 在OR 上,由同一法知12B B l ∥,得证．例15 已知非等腰锐角ABC △,1AA 、1BB 是它的两条高,又线段11A B 与平行于AB 的中位线相交于点C '．证明：经过ABC △的外心垂心的直线与直线CC '垂直．证明 如图10-16,在ABC △中,分别将边BC 、CA 的中点记作0A 、0B ,将三角形的垂心记作H ,外心记作O ．图 10-16B因为点A 、B 、1A 、1B 位于同一圆周上（AB 为其直径）,所以,1100CB A CBA CA B ∠=∠=∠．故点0A 、0B 、1A 、1B 位于同一圆周1ω上．将以CH 为直径的圆周记作2ω,将以CO 为直径的圆周记作3ω．易知,点1A 、1B 位于圆周2ω上,而点0A 、0B 位于圆周3ω上．因此,点C '关于圆1ω和圆2ω有相同的幂,关于圆1ω和3ω也有相同的幂．从而,点C '关于圆2ω和3ω有相同的幂,即位于它们的根轴之上． 所以,直线CC '就是圆2ω和圆3ω的根轴． 故CC '垂直于这两个圆的圆心连线．又圆2ω和圆3ω的圆心分别为线段CH 和CO 的中点,它们的连心平行于直线OH ,则OH CC '⊥．例16 已知圆W 是等边ABC △的外接圆,设圆W 与1W 外切且切点异于点A 、B 、C ,点1A 、1B 、1C 在圆1W 上,且使得1AA 、1BB 、1CC 与圆1W 相切．证明：线段1AA 、1BB 、1CC 中的一线段的长短等于另两线段长度之和．图 10-17'1B 1证明 如图10-17 设圆W 和圆1W 相切点X ,且X 位于劣弧AB 上．设直线AX 、BX 、CX 分别交圆1W 于点A '、B '、C ',设圆W 、圆1W 的半径为r 、1r ．注意到,以X 为中心、1rr-为位似比的位似变换将ABC △映射到A B C '''△,所以,A B C '''△是等边三角形．由托勒密定理有AC BX AX BC AB CX ⋅+⋅=⋅．因为ABC △是等边三角形,所以,AX BX CX +=．令1r rm r+=,根据相似形的性质有AA m AX '=⋅,BB m BX '=⋅,CC m CX '=⋅．于是,AX BX CX +==．由点A 、B 、C 关于圆W 的幂,111AA BB CC += 【模拟实践】习题A1．在线段AB 的同一侧作出三个相似的三角形PAB ,AQB ,ABR ,关于AB 的中垂线对称地作出三个相似三角形P AB ',AQ B ',ABR '．求证：P ,Q ,P ',Q ',R '六点在同一个圆上．2．设ABC △的AB 上有点D ,AC 上有点E ,且DE BC ∥,分别以BE ,CD 为直径作1O ⊙,2O ⊙．求证：这两圆的根轴恒为ABC △的过点A 的高所在直线．3．设D ,E 是ABC △中AB ,AC 上的点．求证：以BE 和CD 为直径的两圆的根轴必通过ABC △的垂心．4．在ABC △的边BC 上任取一点A ',线段A B '的中垂线交边AB 于M 点,线段A C '的中垂线交边AC 于N 点．求证：点A '关于直线MN 的对称点在ABC △的外接圆上． 5．证明：圆外切六边形ABCDEF 的对角线AD ,BE ,CF 共点．6．设D ,D '是ABC △的BC 边上两点,E ,E '是CA 边上两点,F ,F '是AB 边上的两点,且D ,D ',E ,E '共圆,E ,E ',F ,F '共圆,F ,F ',D ,D '共圆．证明：D ,D ',E ,E ',F ,F '六点共圆．7．已知ABC △的内心为I ,1O ⊙,2O ⊙,3O ⊙分别为过B ,C ；A ,C 和A ,B 且与I ⊙直交,1O ⊙与2O ⊙相交于另一点C '．同理可得点B '和A '．证明：A B C '''△的外接圆半径等于I ⊙半径的12．习题B1．设A 是O ⊙的直径BB '上或其延长线上任一定点,过A 引O ⊙的割线M AM '或AM M ',过A 作BB '的垂线交BM 的延长线于N ,交BM '的延长线于N '．求证：AN AN '⋅是定值．2．设A ,B ,C ,D 是一条直线上依次排列的四个不同的点,分别以AC ,BD 为直径的圆交于X 和Y ,直线XY 交BC 于Z ．若P 为直线XY 上异于Z 的一点,直线CP 与以AC 为直径的圆交于C 及M ,直线BP 与以BD 为直径的圆交于B 及N ,试证：AM ,DN 和XY 共点．3．已知圆O 切于两条平行线1l 和2l ；第二个圆1O 切1l 于A ,切外切圆O 于C ；第三个圆2O 切2l 于B ,切外切圆O 于D ,切外切圆1O 于E ,AD 交BC 于Q ．求证：Q 是CDE △的外心．4．两个大圆A ⊙,B ⊙相等且相交,两个小圆C ⊙和D ⊙不等亦相交,且交点为P ,Q ．若C ⊙,D ⊙既同时与A ⊙内切,又同时与B ⊙外切,求证：直线PQ 平分线段AB ．第十章根轴的性质及应用习题A1．由PAB AQB △△∽,有PBA ABQ ∠=∠,即知Q 点在PB 上,且PB ABAB QB=．由AQB ABR △△∽,有BAQ RAB ∠=∠,即知R 点在AQ 上,且AQ ABAB AR=．故2PB QB AB AQ AR ⋅==⋅． 设PQR △的外接圆圆心为O ,则A ,B 关于O 是等幂的．作切线AT ,BS ,连OA ,OB ,OT ,OS ,由222AT BS AB ==,OT OS =有OAT OBS △△∽,OA OB =,即O 关于AB 的中垂线对称,故P ',Q ',R '都在O 上．2．设两圆圆心为1O ,2O ,连12O O ,由于1O ,2O 是梯形BCED 两条对角线的中点,则12O O BC ∥,1O 和2O 的根轴与BC 垂直．设ABC △的三条高线为AL ,BM ,CN ,垂心为H ,则M 在1O 上,N 在2O 上,且B ,C ,M ,N 共圆,直径为BC ,记此圆为3O ,这三圆的圆心不共线,则三条根轴相交于一点根心．又3O 与1O 的根轴是BM ,CN 是2O 与3O 的根釉,又BM 和CN 相交于垂心H ,从而1O 与2O 的根轴是过垂心H 且垂直于BC 的直线,即高AL 所在的直线．3．设以BE 为直径的圆为1O ,以CD 为直径的圆为2O ,BM ,CN 是高线,H 为垂心,则M 在1O 上,N 在2O 上,由B ,C ,M ,N 四点共圆,有HB HM HC HN ⋅=⋅,即H 是关于两圆的等幂点,则H 在1O 和2O 的根轴上．4．过A 引BC 的平行线,并与A M '的延长线交于B ',与A N '的延长线交于C ',令ABC △的外接圆 为1Γ,A BC ''△的外接圆为2Γ．因MBA '△和NA C '△都是等腰三角形,B C BC ''∥,则在MAB '△和NAC '△中,M BA M A B M B A M AB ''''∠=∠=∠=∠,NA C NCA NAC NC A ''''∠=∠=∠=∠,即有AB AB''=,AC A C ''=,即ABC A B C '''△△∽．又AM BM AMBM ''⋅=⋅,AN CN A N C N ''⋅=⋅,从而M ,N 是圆1Γ和2Γ的等幂点,即直线MN 是圆1Γ和2Γ的根轴,又1Γ与2Γ是等圆,则MN 是1Γ和2Γ的对称轴．又A '在2Γ上,则A '关于MN 的对称点在1Γ上．5．设凸六边形ABCDEF 切圆于点R ,Q ,T ,S ,P ,U (R 在AB 上,Q 在BC 上,等等)．选择任意实数0a >,在直线BC 和EF 上作点Q '和P ',使QQ PP a ''==,而向量QQ 和PP 同向量CB 和EF 同方向,类似地作点R ',S ',T ',U '（有RR SS TT UU a ''''====）,再作1O 切直线BC 和EF 分别于点P ',Q ',类似地作2O ,3O ．下证点B 和E 在1O 和2O 的根轴上．BQ QQ BQ RR BR BR '''=-=-=（若QQ BQ '<,则BQ BQ QQ BR RR BR ''''=-=-=和EP E P PP ES SS ES '''''=+=+=．类似地可证,直线FC 和AD 分别是1O 和3O ,2O 和3O 的根轴．而三个圆的根轴交于一点,因此AD ,BE ,CF 共点．6．若圆DDEE'',EE FF '',FF DD ''是互异的,那么直线AB ,BC ,CA 将是它们的根轴,而这是不可能的,因为三圆的根轴不可能构成三角形．因此,至少有两圆重合,此时,三圆必重合．7．设ABC △内切圆半径为r ,其与BC ,CA ,AB 的切点分别为D ,E ,F ．又设P ,Q ,R 分别是线段EF ,FD ,DE 的中点．由IBD △和IDQ △均为直角三角形,有22IQ IB ID r ⋅==．同理,2IR IC r ⋅=,于是B ,C ,R ,Q 四点共圆．由于点Q ,R 分别在IB ,IC 上,则I 在BQRC 的外部,I 关于BQRC 的幂为2IB IQ r ⋅=,从而该圆与I 直交．同理,CRPA ,APQB 也与I 直交,故A ',B ',C ',就是P ,Q ,R ,且PQR △的外接圆半径为2r ．即证．习题B由119022m m BMM BM MM B '''∠======︒-,12m ABM MM B ''∠===,有90BM M ABM '∠=︒-∠,由AB AN ⊥,有90ANB ABM ∠=︒-∠,即BM M ANB '∠=∠,故M ,M ',N ',N 四点共圆,此圆记为Γ．于是,MM '是O 和圆Γ的根轴．又A 在根轴上,则AN AN AB AB ''⋅=⋅,即AN AN '⋅恒为A 对于O 的幕． 2．记直线AM 与DN 的交点为Q ,须证点Q 在直线XY 上．连MN ,由P 在两圆根轴XY 上,知PC PM PB PN ⋅=⋅,由此有PBC PMN △△∽,故PMN PBC ∠=∠．再由AC 和BD 分别为两圆直径,有90AMP ∠=︒且90PBC D ∠+∠=︒,得180AMN D AMP PMN D ∠+∠=∠+∠+∠=︒,故A ,M ,N ,D 四点共圆,于是AQ QM QD QN ⋅=⋅,即点Q 对两圆的幂相等,从而Q 在两圆的根轴XY 上．3．连AE ,BE ,1AO ,12O O ,2O B ．设O 与1l 相切于H ,1EAO θ∠=,O 与1O 的半径分别为r ,1r ,则两圆外公切线长12AH rr =．再由1O A OB ∥,得12O AE O BE △△∽,于是A ,E ,B 共线,且12cos AE r θ=,2sec AB θ=,于是有24AE AB rr AH ⋅==1,即点A 对O 和2O 的幂相等,故A 在两圆的根轴（过切点D 的公切线）上,即AD 为两圆公切线．同理可知BC 为O 和1O 的公切线,故OC OD =,即22221122QO r QO r -=-,故12OE O O ⊥,即QE 为O 和2O 的公切线,于是QE QC QD ==,即Q 为CDE△的外心,另证：因12l l ∥,连1O A ,2O B ,则12O A O B ∥．连12O O ,则12AO E BO E ∠=∠连AE ,BE ,则12AEO BEO ∠=∠,故A ,E ,B 三点共线．设O 与1l 交于F ,同理可知B ,D ,F 三点共线,所以1122mmFAE ACE EmB BDE ∠=======∠．则A ,E ,D ,F 四点共圆,所以,B 点在O 与1O 的根轴 上,因此,BC 为O 与1O 的根轴．同理,AD 为O 与2O 的根轴．因此,Q 为O ,1O ,2O 的根心,且QC QD QE ==．所以,Q 为CDE △的外心．4．记AB 中点为M ,为证M 在C 和D 的根轴上,只须证M 向C 和D 引的切线长相等,只须证对任一与A 内切而与B 外切的圆Γ而言,自M 向Γ所引的切线长为定值（仅与A 半径R 及2AB a =有关,而与Γ的位置和半径r 无关）．连AC ,BC ,MC ,则AC R r =-,BC R r =+,2AB a =,故由斯特瓦尔特定理的推论（或三角形中线长定理）,有()()2222222222111142222MC AC BC AB R r R r a R r a ⎛⎫⎡⎤=+-=++--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．于是自M 点向C2222MC r R a --C 的位置与半径无关）,从而自M 点向C 和D 引的切线长相等,即M 在两圆根轴上,故直线．PQ 平分线段AB ．。
2010级第十章滑动轴承解读
教学基本要求
滑动轴承
1．了解摩擦状态、滑动轴承的类型、特点和应用 2．了解滑动轴承的结构、材料及润滑 3．掌握滑动轴承的失效形式及设计准则 4．掌握油膜承载机理及液体滑动轴承的设计计算方法 重点与难点 1．滑动轴承的失效形式及设计准则 2．压力油膜承载机理
10．1
滑动轴承的分类
概述
根据所承受载荷的方向、滑动轴承可分为径向轴承、推力轴承两大类。 根据轴系和拆装的需要，滑动轴承可分为整体式和剖分式两类。 根据颈和轴瓦间的摩擦状态，滑动轴承可分为液体摩擦滑动轴承和 非液体摩擦滑动轴承 根据工作时相对运动表面间油膜形成原理的不同，液体摩擦滑 动轴承又分为液体动压润滑轴承和液体静压润滑轴承，简称动 压轴承和静压轴承。
在跑合阶段结束后应清洗零件，更换润滑油。
磨损分类
按照磨损的机理以及零件表面磨损状态的不同 把磨损分为： 1.磨粒磨损
由于摩擦表面上的硬质突出物或从外部进入摩擦表面的硬 质颗粒，对摩擦表面起到切削或刮擦作用，从而引起表层材 料脱落的现象，称为磨粒磨损。
减轻磨粒磨损：满足润滑条件，合理地选择摩擦副的材 料、降低表面粗糙度值以及加装防护密封装置等。
一.润滑剂
1.润滑油
主要有矿物油、合成油、动植物油等，其中应用最广 泛的为矿物油。 粘度的大小表示了液体流动时其内摩擦阻力的大小，粘度 愈大，内摩擦阻力就愈大，液体的流动性就愈差。
粘度可用动力粘度、运动粘度、条件粘度（恩氏粘度）等 表示。我国的石油产品常用运动粘度来标定。
1 ）粘度：
牛顿的粘性液体的摩擦定律
n——轴颈转速(r/min)
[pv]——pv的许用值(N/mm2.m/s)
3）验算轴承的vm 值
m
d m n
新华东师大版七年级数学下册《10章 轴对称、平移与旋转 10.4 中心对称》教案_19
教学内容：义务教育课程标准华东师大版教科书七年级下册第十章中心对称第二单元中心对称一、内容和内容解析1.内容中心对称概念、性质和中心对称图形的概念.2.内容解析中心对称是旋转角为180°的旋转，是一种特殊的旋转．中心对称在生活中广泛存在，而中心对称图形是对轴对称图形,旋转知识的延伸与拓展,学生通过本节课再次体会旋转变化,认识中心对称和中心对称图形,同时也进一步完善初中学习中对“对称图形”知识的认识.本节课从旋转变化引入中心对称的概念，先让学生从旋转的角度观察两个图形之间的关系，类比旋转得出中心对称的定义，在此基础上，通过探索成中心对称的两个图形的对称中心与对应点所连线段之间的关系获得性质，并能运用中心对称的性质画出一个图像关于某一点的对称图形，以画出的图形用描述的方式给出了中心对称图形的概念，类比中心对称得出中心对称图形的定义，渗透了从一般到特殊的数学思想方法，要求会判断一个图形是否为中心对称图形，在此基础上，通过对比中心对称和中心对称图形的概念、轴对称图形和中心对称图形，加深知识间的区别和联系．基于以上分析,确定本节课的教学重点是:中心对称概念、性质和中心对称图形的概念.二、目标和目标解析1.目标了解中心对称、中心对称图形的概念，会画一个简单几何体关于某一点对称的图形，会判断一个图形是否为中心对称图形．通过操作、观察、归纳中心对称的性质，经历由具体到抽象认识问题的过程．知道中心对称和中心对称图形联系与区别．感悟类比方法在研究数学问题中的作用．2.目标解析达成目标（1）的标志：学生能根据两个图形的特殊关系的到中心对称是旋转角为180°的旋转，类比旋转的定义得出中心对称的概念，用运动的观点观察和认识图形的过程中渗透旋转变化的思想．抽象出中心对称图形的特征，能正确识别简单的中心对称图形．达成目标（2）的标志：学生知道中心对称是旋转角为180°的旋转，进而得出中心对称的两个图形是全等图形，对称中心到两个对称点的距离相等．知道中心对称图形是一个图形，它绕一个点旋转180°后能与自身完全重合．中心对称反映了两个图形的位置关系，这两个图形绕着某一点旋转180°后能够重合；一个中心对称图形沿对称中心可以分成中心对称的两个图形，成中心对称的两个图形也可以看成是一个中心对称图形．中心对称图形和轴对称图形都是具有某种性质的一个图形．而中心对称图形有一个对称中心，图形绕中心旋转180°，轴对称图形有一条对称轴，图形沿轴对折．三、学生学情诊断学生学过轴对称图形,旋转的概念及性质,这是本节课的知识基础,在此基础上得出中心对称和中心对称图形的概念不难,但是需认识到中心对称的旋转角度必须是180°，而且这使得对称点和对称中心三点共线.而中心对称图形渗透了旋转变换思想,学生学习静态图形已成习惯,对运动变化不适应,教学时,老师要充分利用具体图形,让学生获得感性认识,进而归纳出中心对称图形满足的条件.基于以上分析,本节课的教学难点是:中心对称性质的探索、中心对称图形和中心对称的区别与联系.四、教学策略分析自然界和日常生活中有很多具有中心对称性质的事物,为学生的学习奠定了感性认识；经过轴对称图形的探索,学生具备了观察、归纳的能力；旋转的学习也为学生积累了探索的经验．因此，本节课采用演示、观察法，借助多媒体辅助教学．引导学生类比分析，通过自主探究、合作交流的方式，获取知识，掌握方法．五、教学过程前面我们研究了旋转及其性质，现在研究一类特殊的旋转--中心对称及其性质．1.了解中心对称的概念问题1 （1）如左图，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？图1 图2 （2）如右图，线段AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？师生活动：教师展示两组图形，演示旋转过程，学生观察后回答问题（两个图形重合）．设计意图：让学生通过观察图形，感知中心对称的特征，为得出中心对称的概念作铺垫．从旋转变化的角度让学生从几何图形中体会中心对称是特殊的旋转．问题2 你能说说上述两个旋转的共同点吗？师生活动：学生独立思考后进行交流，然后学生代表发言．教师根据学生回答情况进行评价，如果学生有困难，可以适时追问．教师追问1：图形中旋转中心是哪个点？教师追问2：旋转的角度是多少？教师追问3：两个图形的关系是什么？师生活动：师生共同归纳得出：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）．设计意图：进一步明确中心对称的共同点：（1）两个图形；（2）（选定）一个点；（3）旋转角是180°（4）两个图形重合．发现两个图形成中心对称图形的特征，进而概括出中心对称的概念．问题3 中心对称与旋转的联系和区别是什么？师生活动：学生思考并相互交流，发现其联系——中心对称和旋转都是绕着某一点进行旋转后两图形重合；区别--中心对称的旋转角都是180°，旋转的旋转角度不固定，中心对称是特殊的旋转．设计意图：进一步明确中心对称是特殊的旋转，为探索中心对称的性质作铺垫．问题4 对称中心和对称点事如何确定的？你还能指出图2中其他的对称点吗？师生活动：学生思考并回答．设计意图：明晰概念，让学生结合图1、图2理解定义中的“某一点”，明确对称中心和对称点的关系，为探索中心对称的性质作铺垫．2.探索中心对称的性质问题5 中心对称是特殊的旋转，它会有哪些性质？师生活动：教师引导学生动手操作，完成教科书64-65页的画图（图3）：旋转三角尺，画关于O对称的两个三角形；利用画好的图形，分别连接对应点AA′，BB′，CC′．图3教师追问1：点O在线段AA′上吗？如果在，在什么位置？教师追问2：△ABC与△A′B′C′有什么关系？教师追问3：你能从以上过程中得到什么结论？师生活动：学生思考讨论并发表自己的看法．设计意图：让学生利用具体图形，获得感性认识，进而归纳出中心对称的性质．教师追问4：中心对称是特殊的旋转，你能从旋转的性质出发总结（演绎、类比）出中心对称的性质吗?师生活动：学生独立思考后进行交流，然后学生代表发言．教师根据学生回答情况进行评价，如果学生有困难，可以适时提出以下问题．教师追问5：中心对称的旋转角度是180°，这使得对称点和对称中心这三点有怎样的特殊位置关系？师生活动：师生共同归纳出中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．（2）关于中心对称的两个图形是全等图形．设计意图：通过中心对称性质的归纳总结让学生体会演绎和类比等方法在研究数学问题中的重要作用．清楚“三点共线”这一几何事实的表述方式．3.应用中心对称性质画图例（1）如下图4，选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A′；（2）如下图5，选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′．图4 图5 师生活动：学生依据中心对称的性质动手画图，学生代表在黑板上画图．待学生完成作图后，教师进一步追问．教师追问1：为什么这样作出的点A′就是点A关于点O的对称点？教师追问2：怎样画出△ABC关于点O对称的△A′B′C′？师生活动：学生思考并回答：要画一个多边形关于已知点的对称图形，只要画出这个多边形的各个顶点关于已知点的对称点，再顺次连接各点即可．设计意图：利用中心对称的性质画图，加强对中心对称性质的理解，为学习中心对称图形的学习作铺垫．4.了解中心对称图形的概念问题1：（1）图4我们已经画出点A关于点O的对称点A′，那么我们观察画出的图形整体有什么特点？（2）图5我们也观察画出的图形整体有什么特点？设计意图：让学生通过观察及动手操作，感知中心对称图形的特征，为得出中心对称图形的概念作铺垫．教师追问1：旋转的对象都是几个图形？教师追问2：图形都是绕着什么旋转？教师追问3：旋转的角度是多少？教师追问4：旋转后的图形与原图形有什么关系？师生活动：师生共同归纳出：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（板书：中心对称图形的定义）设计意图：进一步明确中心对称图形的共同点：(1)一个图形；(2)绕着某一个点；(3)旋转角是180°；(4)与本身重合．发现中心对称图形的特征，从而概括出中心对称图形的概念．问题2：在我们学过的图形中，有哪些是中心对称图形？学生活动：以小组为单位，操作手中的学具，归纳出初中阶段常见的中心对称图形．设计意图：学生实际操作，让学生更深刻的理解中心对称图形的特征．中心对称图形的形状通常匀称美观，我们在自然界中可以看到许多美丽的中心对称图形，如雪花．在很多建筑物和工艺品中也常采用中心对称图形作装饰图案，如地毯．另外，由于具有中心对称图形形状的物体，能够在所在的平面内绕对称中心平稳地旋转，所以在各种机器中要旋转的零部件的形状常设计成中心对称图形，如水泵叶轮等．问题3：现实生活中你还见过哪些中心对称图形?师生活动：学生独立思考，给足够的时间小组交流归纳，看看哪个小组说出的图形最多．教师及时点评，课件展示生活中的一些中心对称图形及常见中心对称图形的几何图案．设计意图：加深了对中心对称图形这一概念的理解，培养了学生的识图能力和分析问题的能力，同时又让学生欣赏到了中心对称图形在生活中的应用和数学的美．5.小结反思(1)引导学生从数学知识和思想方法两个角度对本节课进行回顾小结．本节课应掌握：（1）中心对称的概念及性质、中心对称图形的概念．（2）根据性质作图．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的两个核心知识点：中心对称图形的概念，中心对称图形和中心对称的区别与联系．（2）课堂检测．六、课堂检测题必做题1.（10分）在下列图形中，既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A．等边三角形 B.等腰三角形 C.平行四边形 D.正方形2.（10分）下列图形中,是中心对称图形,但不一定是轴对称图形的是( )A.正方形B.矩形C.菱形 D．平行四边形3.（10分）下列汽车标志图案中属于中心对称图形的是（）A B C D4.（10分）下列标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A B C D5.（10分）下列图形中，既是轴对称图形,又是中心对称图形的是（）A B C D6.（20分）如图(1)所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°，魔术师解除蒙具后，看到张扑克牌如图(2)所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，则应该是（ ）A ．方块4B ．黑桃 5C ．梅花6D ．红桃77.（30分）在①线段,②角,③等腰三角形,④等腰梯形,⑤平行四边形,⑥矩形,⑦菱形,⑧正方形,⑨圆中，是轴对称图形的有_______________ ,是中心对称图形的有_______________ ,既是轴对称图形又是中心对称图形的有______________.选做题为班级设计一个成中心对称图形的班徽.。
华师版七年级数学下册作业课件(HS) 第十章 轴对称、平移与旋转 轴对称 生活中的轴对称
15．(16分)如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q. (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，正好撞到球 Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正 好撞到球Q.
解：(1)如图，运动路径P→M→Q即为所求 (2)如图，运动路径P→E→F→Q即为所求
华师版
第十章 轴对称、平移与旋转
10．1 轴对称 10．1.1 生活中的轴对称
1．(5分)下列“微信表情”中属于轴对称图形的是( A )
A
B
C
D
2．(5分)(泰安中考)下列图形： 是轴对称图形且只有两条对称轴的是( A )
A．①② B．②③ C．②④ D．③④桌面示意 图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个 球按图中所示的方向被击出(球可以经过台球边缘多次反弹)， 那么球最后将落入的球袋是( A )
即可)
6．(5分)如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，直线CF是它的对称 轴，若∠AFC＋∠BCF＝150°，则∠AFE＋∠BCD＝( B )
A．150° B．300° C．210° D．330°
7．(10分)如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于某一条直 线成轴对称，根据图中提供的条件，求x，y的值.
14．(14分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，将△ABD沿AD所 在直线折叠，得到△AED，点E在CD上，∠B＝50°，∠C＝30°.
(1)求∠BAD的度数； (2)求∠CAE的度数． 解：(1)由题意知∠BDA＝90°，由三角形内角和定理，知∠BAD＝ 180°－90°－50°＝40° (2) 根 据 题 意 ， 知 △ ABD 与 △ AED 关 于 AD 所 在 直 线 对 称 ， 则 ∠ B ＝ ∠AED. 由三角形外角性质，知∠AED＝∠C＋∠CAE，所以∠CAE＝50°－ 30°＝20°
典型零件加工工艺(轴和套筒)
25
1）主要表面及其精度要求 ①支承轴颈
是两个锥度为1:12的圆锥面，分别与两个双列 短圆锥轴承相配合。
支承轴颈是主轴部件的装配基准，其精度直接 影响主轴部件的回转精度，尺寸精度一般为IT5。
主轴两支承轴颈的圆度允差和对其公共轴线的 斜向圆跳动允差均为0.005 mm，表面粗糙度Ra值不 大于0.63µm。
21
热处理工序的安排
结构尺寸不大的中碳钢普通轴类锻件，一般在切削加工 前进行调质热处理。
对于重要的轴类零件(如机床主轴)，则：
一般在毛坯锻造后安排正火处理，达到消除锻造应 力，改善切削性能的目的；
粗加工后安排调质处理，以提高零件的综合力学性 能，并作为需要表面淬火或氮化处理的零件的预备热处 理；
5
二、轴类零件的材料和毛坯
1、轴类零件的常用毛坯：
①光轴、直径相差不大的阶梯轴常采用热轧或 冷拉的圆棒料；
②直径相差较大的阶梯轴和比较重要的轴大都 采用锻件。
③当轴的结构形状复杂或尺寸较大时，也有采
用铸件的。
自由锻
中小批
毛坯锻造
模锻
大批大量
6
2、轴类零件的材料：
1）一般轴类零件：45钢应用最多，一般须经调
轴上有相对运动的轴颈和经常拆卸的表面，需要进
行表面淬火处理，安排在磨削前。或在粗磨后、精磨前
渗氮处理
22
四、 机床主轴加工工艺及其分析
23
24
（1）零件分析 对机床主轴的共同要求是必须满足机床
的工作性能：即回转精度、刚度、热变形、 抗振性、使用寿命等多方面的要求。
车床主轴是带有通孔的多阶台轴，普通 精度等级，材料为45钢。
9
顶尖的实施
华师版七年级数学下册作业课件(HS) 第十章 轴对称、平移与旋转 中心对称
解：(1)轴对称图形如图③所示 (2)中心对称图形如图④所示
பைடு நூலகம்
10．(11分)如图所示，两个圆形的卡通图案是关于某点成中 心对称的两个图案，试在图中确定其对称中心．
解：连结两个对称的眼睛，交点O为对称中心，如图
11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点， 左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再 作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠，且组 成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的 作法共有( ) C
16．(12分)(齐齐哈尔中考)如图，在四边形ABCD中， (1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成 轴对称；
(2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O中心 对称；
(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2是否对称， 若对称请在图中画出对称轴或对称中心．
14．(10分)5个大小相同的圆如图放置，要求一刀切下，将5 个圆切成面积相等的两部分，应如何切？
解：如图
15．(10分)如图所示，在△ABC中，D是AB边的中点，AC＝4，BC＝ 6.
(1)作出△CDB关于点D的中心对称图形； (2)求CD的取值范围． 解：(1)如图，延长CD到点E，使DE＝DC，连结AE，△ADE即为所 求作的三角形 (2) 由 中 心 对 称 性 质 知 AE ＝ BC ＝ 6. 根 据 三 角 形 三 边 的 关 系 知 6 － 4<CE<6＋4，即2<CE<10，则1<CD<5
哈工大机械设计教材第十章滚动轴承资料
高 8' ~16' 可代替推力球轴承承
受纯轴向载荷
机电工程学院 张锋
轴承名称 类型代号
结构简图
角接触 球轴承
7
《机械设计》第十章
承载方向
极限 允许偏 主要特性和应用 转速 转角
能同时承受径向、轴向 联合载荷，公称接触角 越大，轴向承载能力也
越大。公称接触角 有
较高 2' ~10' 15o、25o、40o三种，内
部结构代号分别为 C、 AC 和 B。通常成对使 用，可以分别装于两个 支点或同装于一个支 点上
机电工程学院 张锋
《机械设计》第十章
轴承名称 类型代号
结构简图
圆锥滚子 轴承 3
承载方向
极限 允许偏 主要特性和应用
转速 转角
能同时承受较大的径
低碳钢
Cr4Mo4V(M50)—高温
铜
Si3N4—特殊环境
夹布胶木
机电工程学院 张锋
材料
《机械设计》第十章
特点（与滑动轴承相比） 1) 摩擦系数小，f=0.001~0.004 2) 启动灵活 3) 润滑容易 4) 标准化、互换 5) 但抗冲击差，重载能力差，很难做成剖分式
2
机电工程学院 张锋
《机械设计》第十章
2 2
1
（
圈材代
位占位
形料号
）
）
状变
位
变化
）
化代
代号
号
精 游 配其 度 隙 置它 等组代 级代号 代号 号
机电工程学院 张锋
《机械设计》第十章
基本代号
机械设计(9.5.2)--滑动轴承的结构类型思考题
10-5 第十章 滑动轴承的结构类型
1、滑动轴承又哪些常见的结构形式？各有何特点？
整体式滑动轴承：结构简单，成本低廉，但是间隙不能调整。
对开式滑动轴承：结构复杂，但是间隙能调整。
2、滑动轴承中为什么要设置轴瓦？轴承合金能否制成轴瓦？为什么？
滑动轴承中要设置轴瓦的原因：要求轴瓦与轴配合时减摩性好、摩擦系数小，轴瓦材料硬度低于轴颈硬度，使磨损主要发生在轴瓦上。
因此磨损报废后，更换轴瓦比更换轴的成本低，而轴承座扔可继续使用。
轴承合金包括锡锑和铅锑轴承合金。
这类材料的机械强度低，不能直接制成轴瓦只能作为轴承衬使用。
3、轴瓦的材料有哪些？
轴瓦的材料有轴承合金、青铜、铸铁、粉末冶金和非金属材料。
4、滑动轴承轴瓦上浇铸轴承衬的目的是什么？
改善轴瓦的摩擦性
5、剖分式滑动轴承一般由哪些零件组成？其剖分面为什么通常设计成阶梯形？由轴承座、轴承盖、剖分轴瓦和联接螺栓组成。
为了安装时容易对中和防止横向错动，在轴承盖和轴承座的剖分面上做成阶梯形。
6、为了保证滑动轴承获得较高的承载能力，油沟应做在什么位置？
油沟应做在上轴瓦（上轴瓦不承受载荷，下轴瓦承受载荷，开油沟、油孔、油室会降低油膜的承载能力），油沟的轴向长度应比轴瓦宽度短，以免油从两端大量流失。
华师大版七年级数学下册课件 第十章 小结与复习
CD
A O 图a B
5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形 的是( D )
A
B
C
D
6. 如图，某居民小区有一长方形地，居民想在长方形 地内修筑同样宽的两条小路（图中画线的是两条小 路），余下部分绿化，道路的宽为 2 米，则绿化的 面积为多少平方米？
解：32×20 − 32×2 − 20×2 + 2×2 = 540(平方米)
轴对称图形
两个图形成轴对称
2. 轴对称和轴对称图形的性质
轴对称图形(或关于某条直线对称的两个图形) 沿对称轴对折后的两部分是完全重合的，所以它的 对应线段相等，对应角相等．
如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点 的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴．
（1）线段是轴对称图形，它的对称轴是线段 的垂直平分线．
（3）旋转前后对应线段、对应角分别相等，图形的 大小、形状不变．
5. 中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果 它能与另一个图形重合，那么，我们就说这两个 图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个 图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
6. 中心对称的特征及中心对称的判定
中心对称的特征： 在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线
)
A
B 图 10－1C
D
3. 如图所示，下列四组图形中，有一组中的两个图形 经过平移其中一个能得到另一个，这组图形是( D )
A
B
C
D
4. 如图 a，将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 60°
后得到△COD，若∠AOB = 15°，则∠AOD 的度
数是( C ) A. 15° C. 45°
B. 60° D. 75°
第十章轴的测试题（附答案）解析
第十章轴的测试题（附答案）解析第十章轴的测试题姓名分数一、选择题1．下列各轴中，属于转轴的是（ A ）A．减速器中的齿轮轴 B. 自行车的前、后轴C．火车轮轴 D. 汽车传动轴2．对于既承受转矩又承受弯矩作用的直轴，称为（D ）。
A．传动轴 B. 固定心轴C. 转动心轴D. 转轴3．对于只承受转矩作用的直轴，称为（ A ）。
A．传动轴 B. 固定心轴C. 转动心轴D. 转轴4．按照轴的分类方法，自行车的中轴属于（ D ）。
A．传动轴 B．固定心轴C．转动心轴 D．转轴5．轴环的用途是（B ）。
A．作为加工时的轴向定位 B．使轴上零件获得轴向定位C．提高轴的强度 D．提高轴的刚度6．当采用轴肩定位轴上零件时，零件轴孔的倒角应（A ）轴肩的过渡圆角半径。
A．大于 B．小于C．大于或等于 D．小于或等于7. 定位滚动轴承的轴肩高度应（B ）滚动轴承内圈厚度，以便于拆卸轴承。
A．大于 B．小于C．大于或等于 D．等于8．为了保证轴上零件的定位可靠，应使其轮毂长度（A ）安装轮毂的轴头长度。
A．大于 B．小于C．等于 D．大于或等于9.当轴上零件要求承受轴向力时，采用（A ）来进行轴向定位，所能承受的轴向力较大。
A.圆螺母B.弹性挡圈C.紧定螺钉10.自行车的前﹑中﹑后轴（ C ）。
A.都是转动心轴B.都是转轴C.分别是固定心轴﹑转轴和固定心轴D.分别是转轴﹑转动心轴和固定心轴11.轴是机器中最基本最重要的零件之一、它的主要功用是传递运动和动力和（）A .分解运动和动力B .合成运动和动力C .支承回转零件,, C ...12.根据轴线形状的不同轴可分为曲轴、挠性钢丝软轴和（）A .直轴B .光轴C .阶梯轴,, A ...13.常用于将主动件的回转运动转变为从动件的直线往复运动或将主动件的直线往复运动转变为从动件的回转运动的轴是（）A .直轴B .曲轴C .阶梯轴,, B ...14.常用于医疗器械和电动手持小型机具（如铰孔机、刮削机等）的轴是（）A .直轴B .曲轴C .挠性轴,, C ...15.根据承载情况的不同直轴分为传动轴、转轴和（）A .心轴B .转动心轴C .固定心轴,, A ...16.工作时只承受弯矩起支承作用的轴是（）A .心轴B .传动轴C .转轴,, A ...17.在轴上用于装配轴承的部分称为（）A .轴颈B .轴头C .轴身,, A ...18.在轴上用于装配回转零件的（如带轮、齿轮）部分称为（）A .轴颈B .轴头C .轴身,, B ...19.在轴上连接轴头与轴颈的部分称为（）A .轴肩B .轴环C .轴身,, C ...20.轴上零件轴向固定目的是为了保证零件在轴上确定的轴向位置、防止零件轴向移动、下面哪种固定方式不是轴上零件的轴向固定方法（）A .套筒B .圆锥面C .平键连接,, C ...21.轴上零件周向固定目的是为了保证轴能可靠地传递运动和转矩防止轴上零件与轴产生相对转动、下面哪种固定方式是轴上零件的周向固定方法（）A .套筒B .圆锥面C .平键连接,, C ...22.结构简单、定位可靠常用于轴上零件间距离较短的场合、当轴的转速很高时不宜采用的轴上零件轴向回定方法是（）A .圆螺母B .轴端挡圈C .套筒,, C ...23.工作可靠、结构简单可承受剧烈振动和冲击载荷的轴上零件轴向固定方法是A .圆螺母B .轴端挡圈C .套筒,, B ...24.结构简单适用于心轴上零件的固定和轴端固定的轴上零件轴向固定方法是（）A .弹性挡圈B .轴端挡板C .圆锥面,, B ...25.结构简单、同时起周向固定作用但承载能力较低且不适用于高速场合的轴上零件轴向固定方法是（）A .圆锥面B .紧定螺钉C .轴端挡板,, B ...26.加工容易、装拆方便但轴向不能固定、不能承受轴向力的轴上零件周向固定方法是（）A .平键连接B .花键连接C .销钉连接,, A ...27.轴向、周向都可以固定、常用做安全装置过载时可被剪断、防止损坏其他零件的轴上零件周向固定方法是（）A .平键连接B .花键连接C .销钉连接,, C ...28.结构简单不能承受较大载荷只适用于辅助连接的轴上零件周向固定方法是（）A .销钉连接B .紧定螺钉C .过盈配合,, B ...29.具有接触面积大、承载能力强、对中性和导向性好的轴上零件的周向固定方法是（）A .平键连接B .花键连接C .销钉连接,, B . ..30.具有固定可靠、装拆方便等特点常用于轴上零件距离较大处及轴端零件的轴向固定方法是（）A .圆螺母B .圆锥面C .轴肩与轴环,, A ...31.具有结构简单、定位可靠并能承受较大的轴向力等特点、广泛应用于各种轴上零件的轴向固定方法是（）A .紧定螺钉B .轴肩与轴环C .紧定螺钉与挡圈,, B ...32.具有对轴上零件起周向固定的是（）A .轴肩与轴环B .平键连接C .套筒和圆螺母,, B ...33.为了便于加工、在车削螺纹的轴段上应有（）A .砂轮越程槽B .键槽C .螺纹退刀槽,, C ...34.为了便于加工、在需要磨削的轴段上应有（）A .砂轮越程槽B .键槽C .螺纹退刀槽,, A ...35.轴上零件最常用的轴向固定方法是（）A .套筒B .轴肩与轴环C .平键连接,, B ...36.轴的端面倒角一般为（）A .15°B .30°C .45°,, C ...37.在阶梯轴中部装有一个齿轮、工作中承受较大的双向轴力对该齿轮应当采用轴向固定的方法是（）A .紧定螺钉B .轴肩和套筒C .轴肩和圆螺母,, C ...38.在机器中支承传动零件、传递运动和动力的最基本零件的是（）A .箱体B .齿轮C .轴,, C ...39（多）、考虑轴的结构时（A B C ）A 、需满足轴上零件要能牢固可靠的相对固定B 、轴结构应便于加工和减小应力集中C 、轴上零件要便于安装和拆卸D 、节省材料尽量使用空心轴40、适用于心轴和轴端固定的轴向固定方式为（B ）A、轴端挡圈B、轴端挡板C、圆锥面D、轴肩41、下列轴向固定方式可兼作周向固定的是（ C ）A、套筒B、轴环C、圆锥面D、圆螺母42、结构简单，不能承受大的轴向力，不宜用于高速，常用于光轴上零件固定的是下列哪种定位元件（A ）A、螺钉锁紧挡圈B、套筒C、轴肩D、轴环43、下列轴向固定方式中不能承受较大的轴向力的是（C ）A、轴肩B、轴环C、螺钉锁紧挡圈D、圆螺母44、对轴上零件作周向固定应选用（）A、轴肩或轴环固定B、弹性挡圈固定C、圆螺母固定 D 、平键固定二、填空题1．轴上零件的轴向定位和固定，常用的方法有_轴肩或轴环___，_套筒___，圆螺母____和_轴端挡圈___。
轴的用途和分类 结构
轴的结构应满足三方面的要求：
轴上的零件要有可靠的周向固定与轴向固定 轴应便于加工和尽量避免或减小应力集中 便于轴上零件的安装与拆卸
一、轴上零件的固定 二、轴上常见的工艺结构
一、轴上零件的固定
1．轴上零件的轴向固定
目的：保证零件在轴上有确定的轴向位置，防止零件
作轴向移动，并能承受轴向力。
轴上零件的轴向固定
第十章 轴
§10－1 轴的用途和分类 §10－2 转轴的结构
§10－1 轴的用途和分类
一、用途
支承回转零件（如齿轮、带轮等），传递运动 和动力。
二、分类
按轴线形状
直轴
曲轴
挠性钢丝软轴 （简称挠性轴）
按承载情况
心轴 传动轴 转轴
按轴线形状分类 按承载情况分类
§10－2 转轴的结构
轴颈：用于装配轴承的部分 轴头：装配回转零件（如带轮、齿轮）的部分 轴身：连接轴头与轴 颈的部分 轴肩或轴环：轴上截 面尺寸变化的部分。
2．轴上零件的周向固定
目的：保证轴能可靠轴上零件的周向固定
二、轴上常见的工艺结构
结构工艺性——轴的结构形式应便于加工、便于轴 上零件的装配和便于使用维修，并且能提高生产率，降 低成本。
轴上常见的工艺结构
有关轴的工艺结构应注意问题：
轴的结构和形状应便于加工、装配和维修。 阶梯轴的直径应该是中间大，两端小，以便于轴上零
件的装拆。 轴端、轴颈与轴肩（或轴环）的过渡部位应有倒角或
过渡圆角，并应尽可能使倒角大小一致和圆角半径相 同，以便于加工。 轴上需要切制螺纹或进行磨削时，应有螺纹退刀槽或 砂轮越程槽。 当轴上有两个以上键槽时，槽宽应尽可能统一，并布 置在同一直线上，以利加工。
本章小结
第十章第7节斯托克斯公式
2
(R y
Q z
)dydz
(
P z
R x
)dzdx
(
Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是 xoy 面的平面闭区域时)
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
3
二、简单的应用
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
0 Dxy 1 x
y 1
4
由于的法向量的三个方向余 弦都为正， 再由对称性知：
dydz dzdx dxdy 3 d
Dxy
y
Dxy如图
1
zdx
xdy
ydz
3 2
Dxy o
x 1
5
例 2 计算曲线积分
( y2 z 2 )dx (z 2 x 2 )dy ( x 2 y2 )dz
R )dzdx x
(Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
1
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy
x
y
z Pdx Qdy Rdz
PQ R
另一种形式
cos cos cos
x
y
z
ds Pdx Qdy Rdz
PQR
其中n {cos ,cos ,cos }
i
cos
j
cos
k,
的单位切向量为
t cos i cos j cos k
11
斯托克斯公式的向量形式
rotA ndS A t ds
或 (rotA)n dS Atds
第十章 轴向柱塞泵
第十章 轴向柱塞泵柱塞泵用柱塞和油缸体作为主要工作构件。
当柱塞在缸体的柱塞孔中作往复运动时，由柱塞与缸孔组成密闭工作容腔发生容积变化，完成吸、排油过程。
根据柱塞在缸体中的不同排列形式，柱塞泵分为径向式和轴向式两大类。
径向柱塞泵由于结构复杂、体积较大，在许多场合已逐渐被轴向柱塞泵替代。
在本章的最后一节，仅对具有一定特点的阀配流径向柱塞泵作简要的叙述。
轴向柱塞泵的柱塞中心线平行（或基本平行）于油缸体的轴线。
此类泵的密封性好，具有工作压力高（额定工作压力一般可达32~40Mpa ），在高压下仍能保持相当高的容积效率（一般在95%左右）及总效率（一般在90%以上），容易实现变量以及单位功率的重量轻等优点。
它的缺点是结构较为复杂，有些零件对材质及加工工艺的要求较高，因而各类容积式泵中，柱塞泵的价格最高。
柱塞泵对油液的污染比较敏感，对使用、维修的要求也较为严格。
泵的最高允许转速受汽蚀、对磨零件以及轴承的寿命等因素限止，一般不超过4000r/min ，小排量规格可达8000~10000r/min 。
轴向柱塞泵作为中高压及高压油源，广泛地用于各个工业部门。
§ 10-1 轴向柱塞泵的工作原理及分类一、基本工作原理如图10-1所示，柱塞4安放在缸体5中均布的若干柱塞孔中（图中只画了两个柱塞）。
在柱塞底部弹簧的作用下，柱塞头部始终紧贴斜盘3。
当传动轴1带动缸体按图示方向转动时，位于A A -剖面右半部的柱塞向外伸，柱塞和缸孔组成的工作容腔增大，通过配流盘6的吸油槽吸油。
位于A A -剖面左半部的柱塞朝里缩，进行排油。
由于起密封作用的柱塞和缸孔为圆柱形滑动配合，可以达到很高的加工精度，并且油缸体和配流盘之间的端面密封采用液压自动压紧，所以泵的泄漏可以得到严格控制，因此这种泵可以适应在高压下工作，容积效率较高。
传动轴每转一周，柱塞在缸孔中往复运动一次，完成吸油和排油。
其行程为 γtan 2R S = 因此，泵的理论排量为γπtan 212ZR d q = (10-1) 式中 d ——柱塞直径；R ——柱塞孔在缸体中分布圆半径； Z ——柱塞数；γ——斜盘的倾斜角。
发育生物学第十章 果蝇的胚轴形成
一、果蝇卵和胚胎的极性
果蝇的卵、胚胎、幼虫和成体都具有明确 的前-后轴和背-腹轴。果蝇形体模式的形成 是沿前-后轴和背-腹轴进行的。
果蝇胚胎和幼虫沿前-后轴可分为头节、3个 胸节和8个腹节，两末端又分化出前面的原 头（acron）和尾端的尾节（telson）；沿背 腹轴分化为羊浆膜、背部外胚层、腹侧外 胚层和中胚层。
这些母体效应基因的蛋白质产物又称为形 态发生素（morphogen）。
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14
滋养细胞合成mRNA, rRNA，甚至是完整的核糖体，
并通过细胞间桥的胼合体，单向转运到卵母细胞里。
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15
二、果蝇前 – 后轴的形成
1. 果蝇前后极性的产生
果蝇的胚胎，幼虫、成体的前后极性均来 源于卵子的极性。
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27
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28
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bcd 基因编码的BCD蛋白是一种转录调节因 子。另一母体效应基因hunchback（hb）是 其靶基因之一, 控制胚胎胸部及头部部分结 构的发育。
hb在合胞体胚盘阶段开始翻译，表达区域 主要位于胚胎前部，HB蛋白从前向后也形 成一种浓度梯度。hb基因的表达受BCD蛋 白浓度梯度的控制，只有BCD蛋白的浓度 达到一定临界值才能启动hb基因的表达。
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49
TOR与配体结合后，引起自身磷酸化，经一系 列信号传递，最终激活合子靶基因的表达。在 卵子发生过程中，tsl在卵子前极的边缘细胞和 卵室后端的极性滤泡细胞中表达。TSL蛋白被 释放到卵子两极处的卵周隙中，由于TOR蛋白 过量，TSL不会扩散末端区以外，从而保证tor 基因只在末端区被活化。
果蝇卵前、后极少量细胞质的流失，会分 别造成胚胎缺失头胸部和腹部结构，其他 部位细胞质的少量流失都不会影响形体模 式形成。这说明果蝇卵子前后极的细胞质 中含有与果蝇图式形成有关的信息。
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轴肩
轴环
§10.2 轴的设计
轴肩的尺寸要求: 轴圆角半径r <轴上零件倒角尺寸C <轴间高度h
或轴圆角半径r <轴上零件圆角半径R<轴间高度h
b
h CC DD
rr dd
rR
h
R
D
d
一般，定位轴肩： h≈(0.07~0.1)d 非定位轴肩:h(0.5~3)mm 轴环宽度:b1.4h
2. 合金钢
重要的轴 ➢耐磨性要求高：12CrNi、20Cr、20CrMnTi等低碳合金钢， 轴颈渗碳淬火 ➢高速重载：40Cr、40CrNi、35CrMo等合金钢，表面淬火、 调质
形状复杂的轴：QT600、ZG45
3. 铸钢或球墨铸铁 常用来制作曲轴、凸轮轴，具有成本低、吸振性好、 对应力集中敏感性小、强度较好等优点。
P n
[ ]
16
查表10-1
实心轴的直径为： d 3 9.55106 P 3 9.55106 3 P C 3 P
0.2[ ] n
0.2[ ] n n
为了计及键槽对轴的削弱，可按以下方式修正轴径
有一个键槽 轴径增大4%
有两个键槽（180°） 轴径增大10%
§10.2 轴的设计
各 轴 段 直 径 的 确 定
起重卷筒
改进轴上零件的结构以减小轴的载荷
卷筒和大齿轮做 成一体
分装齿轮
双联齿轮
a)方案中轴Ⅰ既受弯矩又受扭矩 b)方案中轴Ⅰ只受弯矩
改进轴的结构以减小应力集中
盘铣刀比端铣刀加工的键槽在过渡处产生的应力集中小。
表面强化处理，方法有：表面高頻淬火等热处理；表面渗碳、 氰化、氮化等化学热处理；辗压、噴丸等强化处理； 合理减小轴的表面及圆角处的加工粗糙度值。
（4）圆螺母加止动垫片
注意：圆螺母与轴的相应 端面应留有间隙。
特点：多用于轴端，可承受 较大轴向力，但螺纹对轴削 弱较大。
§10.2 轴的设计
（5）轴端挡圈
注意：轴端挡圈与轴的相 应端面应留.2 轴的设计
3、提高轴的强度的常用措施
◆ 合理布置轴上零件以减小轴的载荷 ◆ 改进轴上零件的结构以减小轴的载荷 ◆ 改进轴的结构以减小应力集中的影响 ◆ 改进轴的表面质量以提高轴的疲劳强度
§10.1 概 述
轴的常用材料
§10.2 轴的设计
一、轴的结构特点和设计步骤
1. 轴的组成
轴颈（支撑部分）：装轴承处 轴头（工作部分）：装轮毂处
直径= 轴承内径； 直径与轮毂内径相当；
轴身（连接部分）：连接轴颈和轴头部分。
轴承盖
齿轮
半联轴器
轴承
轴端挡圈
§10.2 轴的设计
2. 轴的设计内容 （1）结构设计：根据轴上零件的安装、定位以及轴的制造工艺等 方面的要求，合理地确定轴的结构形式和尺寸。
各 轴 段 长 度 的 确 定
各轴段长度的确定，应综合考虑零件的轮毂长度和相对箱体的安装位置， 由内向外确定。一般轴头长度略短于与之配合的轮毂长度（1~3）mm，如①和 ④段要小于带轮宽和齿轮宽；轴上周向固定的键长度应小于该轴头（5~8）mm， 并取标准，且靠近装入端（2~5）mm。
轴一般是实心轴，有特殊要求时也可制成空心轴，如航空发动机的主轴。 除了刚性轴外，还有钢丝软轴，可以把回转运动灵活地传到不开敞
的空间位置。
§10.1 概 述
§10.1 概 述
问：根据承载情况下列各轴分别为哪种类型？
0 轴： 传动轴 Ⅰ轴： 转轴 Ⅱ轴： 转动心轴 Ⅲ轴： 转轴 Ⅳ轴： 转轴 Ⅴ轴： 转动心轴
(与滚动轴承相配合处的h和b值,见轴承标准)
（2）套筒
§10.2 轴的设计
特点：结构简单,定位可靠,用于零件间距较小场合,轴转速较高时不易选用。
防止过定位： L轴段长度=B轮毂宽-(1~3)mm
§10.2 轴的设计
（3）弹性挡圈
特点：结构简单,常用于滚动轴承的轴向固定， 只能承受很小的轴向力。
§10.2 轴的设计
§10.2 轴的设计
4、轴的结构工艺性
§10.2 轴的设计
三、轴的强度计算
1. 按扭转强度条件估算轴径 这种方法用于只受扭矩或主要受扭矩的不太重要的轴的强度计算。
在作轴的结构设计时，通常用这种方法初步估算轴径。
轴的扭转剪切 强度条件：
T WT
9.55 106
d3
P n
9.55 106 0.2d 3
（2）轴的承载能力验算：指的是轴的强度、刚度和振动稳定性等 方面的验算。
3. 轴的设计步骤
画草图、选材料、估算最小轴径
根据总体结构的要求进行轴的结构设计
轴的承载能力验算（校核轴径）
no 验算合格?
yes
结束
§10.2 轴的设计
二、轴的结构设计
目标：确定轴的合理外形和全部结构尺寸。 原则： ◆ 轴和装在轴上的零件要有准确的工作位置； ◆ 轴上的零件应便于装拆和调整； ◆ 轴应具有良好的制造工艺性等。 1、拟定轴上零件的装配方案
如何判断轴是否传递转矩： 从原动机向工作机画传动路线，若传动路线沿该轴轴线走过一段
距离，则该轴传递转矩。
如何判断轴是否承受弯矩： 该轴上除联轴器外是否还有其它传动零件，若有则该轴承受弯矩，
否则不承受弯矩。
§10.1 概 述
二、轴的材料
一般用途的轴：优质中碳钢--30、40、45、50 1. 碳钢
次要的轴：Q235、Q255、Q275
第十章 轴
概述 轴的设计 轴的设计举例
思考与练习
§10.1 概 述
一、轴的用途及分类
用途：支承回转零件及传递运动和动力。 曲轴 转 轴─同时承受弯矩和转矩的轴，如两级减速器的中间轴。
分类： 转动心轴 如火车车轮轴
直轴 心 轴─只承受弯矩的轴 固定心轴 如自行车前轴
传动轴─只承受转矩的轴，如汽车后桥的传动轴。
轴上零件的装配方案不同，则轴的结构形状也不相同。设计时可 拟定几种装配方案，进行分析与选择。
2、轴上零件的定位 周向定位—通过键、花键、销、紧定螺钉以及过盈配合来实现的。 轴向定位—以轴肩、套筒、圆螺母、弹簧挡圈、轴端挡圈等来保证的。
§10.2 轴的设计
装配方案的比较：
§10.2 轴的设计
（1）轴肩、轴环 特点：结构简单，定位可靠，可承受较大轴向力；
估算出轴的最小直径后，按轴的各段在装配中的作用，由小到大来定剩余轴段的 直径。如起定位作用可大2(0.07~0.1)d，如图中①和②、④和⑤、⑥和⑦，但轴 肩或套筒直径应小于轴承内圈外径。若仅为装配方便或区别加工，可大（1~6） mm，如图中②和③、 ③ 和④、⑤和⑥。退刀槽的尺寸可查手册。
§10.2 轴的设计