第一章非惯性系中地质点动力学

第一章非惯性系中的质点动力学
牛顿一、二定律只适用于惯性参考系
前面我们已讲了静力学(研究物体的平衡，而不涉及不平衡物体的运动);运动学(研究物体运动的几何性质，而不追究引起物体运动的原因);
动力学(将力与运动联系起来，研究作用于物体上的力与物体机械运动之间的关系)
动力学：研究作用于物体上的力与物体机械运动之间的关系，即研究物体机械运动的普遍规律
首先要抽象力学模型。

如研究人造地球卫星的轨道时，卫星的形状和大小对所研究的问题没有什么影响，可以忽略不计，因此，可将卫星抽象为一个质量集中在重心的质点。

刚体作平动时，因刚体内各点的运动情况完全相同，也可以不考虑这个刚体的形状和大小，而将它抽象为一个质点来研究。

如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，则物体应抽象为质点系或刚体。

刚体是质点系的一种特殊情形。

研究对象：质点：具有一定质量而无大小的几何点。

质点系：几个或无限个相互有联系的质点组成的系统。

刚体：不变的质点系。

质点→质点系：
第10章质点动力学的基本方程
10—1 动力学的基本方程
动力学共有三个基本定律（牛顿三定律），是牛顿在总结前人研究成果基础上归纳总结出来的。

在《自然哲学的数学原理》中提出的。

牛顿三定律是整个动力学的基础。

可以好不夸张的说动力学中所有方程、定理都可由牛顿三定律推导出来。

其实牛顿三定律我们并不陌生，我们只是复习。

惯性的概念是伽利略在《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》一书中明确提出的。

牛顿把这个概念总结成惯性定律是四十年以后的事。

牛顿二定律伽利略也曾非正式提到。

牛顿二定律的内容则是牛顿在总结C.雷恩、J.沃利斯和J.惠更斯等人的结果之后提出的。

必须有力才能保持运动状态的错误观点。

牛顿是万有引力定律的发现者。

他在1665~1666年开始考虑这个问题。

1679年，R.胡克在写给他的信中提出，引力应与距离的平方成反比，地球高处抛体的轨道为椭圆，假设地球有缝，抛体将回到原处，而不是象牛顿所设想的轨道是趋向地心的螺旋线。

牛顿没有回信，但采用了胡克的见解。

在开普勒行星运动定律以及其他人的研究成果上，他用数学方法导出了万有引力定律。

牛顿三定律是整个动力学的基础。

第一定律（刚性定律）：任何质点如不受力作用，则将保持原来静止或等速直线运动状态。

定性地给出了力与运动之间的关系。

1、不受力？
2、惯性：质点具有的保持原有的运动状态不变的特性。

3、要运动状态改变，必须有力作用。

第二定律(定量地给出了力与加速度之间的关系)：质点在力的作用下所获得的加速度的大
小与力的大小成正比，与质点的质量成反比，方向与力的方向相同。

即
1n
i i ma F ==∑
①F 与a 方向相同是矢量;
②加速度与力的关系是瞬时关系;
③F =0，a =0，v =C ，此时物体做惯性运动，与第一定律相符;
④质量是物体惯性的度量。

对于质量相同的质点，作用力愈大，获得的加速度愈大; 同样大的力作用于不同的质量的物体上，质量大的加速度小，质量小的加速度大。

即，质量越大，物体的运动状态越不易改变，也即物体的惯性越大。

所以，质量是物体惯性的度量。

第三定律(作用与反作用定律)：两物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，
沿同一条直线分别作用在两个物体上。

静力学公理四。

适用与运动的物体
是研究质点系的基础
牛顿定律适用范围：惯性参考系
惯性参考系：适用于牛顿定律的参考系称做惯性参考系。

古典力学中，认为地球不动（地心学）而将其作为牛顿定律的参考系，也称作为惯性参考系。

当天体力学发展起来以后，又不能以地球作为惯性参考系，而以太阳或其它恒星作为惯性参考系，但在地球表面附近，牛顿定律仍然适用。

因此，得出一个抽象的结论：适用于牛顿定律的参考系称做惯性参考系。

用起来又太抽象，以后，若无特别声明，则以地球为惯性参考系。

国际单位制中：长度、质量、时间为基本单位，力的单位是导出单位。

力(N ，kN) 质量( kg) 长度
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10—2 质点运动的微分方程
利用牛顿定律和质点运动方程建立质点运动的微分方程并运用解决实际问题。

1．矢量形式：F r a ∑==22dt
d m m 2．直角坐标形式：x x F dt
x d m ma ∑==22 y y F dt
y d m ma ∑==22 z z F dt
z d m ma ∑==22 3．自然坐标形式：t t F dt
dv m ma ∑== 2Σn n
v ma m F ρ== b b F ma ∑==0
4、质点动力学的两类基本问题 第一类问题：已知运动求力——微分问题 第二类问题：已知质点所受到的力，求质点的运动——积分问题 混合问题：第一类与第二类问题的混合。

求解步骤与方法：
1、明确研究对象
2、选坐标
3、将质点置于一般位置，受力分析
4、运动分析：v ，a 方向
5、列运动微分方程求解
()()
2,,,,/11cos cos 244:0,?2
AB l OA r C m r l
x l r t t AB F ωλλλωωπϕϕ=====-++===已知：求,杆受力解: 研究滑块
cos x ma F β=-
其中 ()2cos cos2x a x r t t ωωλω==-+
()20,
1,0,x a r ϕωλβ==-+=且
()21F mr ωλ=+得
222,cos 2
x a r l r l πϕωλβ===-且 2222F mr l r ω=--得
例10-3 一圆锥摆,如图所示。

质量m=0.1kg 的小
球系于长l=0.3m 的绳上，绳的另一端系在固定点O ，
并与铅直线成θ=60◦角。

如小球在水平面内作匀
速圆周运动，求小球的速度v 与绳的张力。

已知：m=0.1kg ，l=0.3m ，θ=60◦，匀速圆周运动，
求小球的速度v 与绳的张力。

解: 研究滑块，由运动微分方程
2sin v m F l
θ= 0cos F mg θ=-
可解得：
1.96cos mg F θ
==N 2sin 2.1Fl v m
θ==m s
例 一小球M 从地面以初速度v 0铅直上抛，空气阻力为F R ＝k m v 2。

试求小球返回初始位置的速度和小球铅直上升的最大高度。

属于第二类问题。

上升和下降的过程受力状态不同因此要分开研究 答：1. 上升阶段 质点受力如图，建立运动微分方程 2d d v
m mg kmv t =--；
即
2d ()d v g kv t =-+ d d d d d d d d y
v v v v
t t y y ==
2d d v v
y g kv =-+
两边同时积分
0020
d d H v v v
y g kv =-+⎰⎰ 0201
ln[]2v g kv H k +=-
20201
1ln[]ln[]
22g
g kv H k g kv k g +=-=+
2. 下降阶段
质点受力如图，建立运动微分方程
2d d v
m mg kmv t =-+；
即
2d (-)d v kv g t = d d d d d d d d y v v v v
t t y y ==
2d d v v
y kv g =-
两边同时积分
20d d v H v v y g kv --=-⎰⎰末
201
ln[]2v g kv H k -=-末
2211
ln[]ln[]22g kv g
H k g k g kv -=-=-末末
20
211
ln[]ln[]
22g kv g
k g k g kv +=-末
2201kv g
g kv g =-+末
2
201kv g
g g kv =-+末
2
020gv v g kv =+末。