2022年高考模拟测试卷数学试题一(Word含答案解析)

2022年新高考模拟测试卷一
数学试题
一、单选题 (每题5分，共8题；共40分)
1．已知集合A={x|2−x⩾0}，B={x∈Z|y=ln(x+1)}，则A∩B=（）A．[−1，2]B．(−1，2]C．{0，1，2}D．{−1，0，1，2}
2．已知复数z=2+i
1+i
，则z_的虚部为（）
A．12B．12i C．−12D．−12i
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，若P(ξ<3)=0.8，则P(−1<ξ<1)=（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6
4．函数y=e 2x−1
e2x+1
⋅cosx的图象可能是（）
A．B．
C．D．
5．正三棱锥S−ABC中，SA=2，AB=2√2，则该棱锥外接球的表面积为（）A．4√3πB．4πC．12πD．6π6．（5分）已知向量a⃗=(sinθ,1)，b⃗=(2sinθ,−1)，且a⃗⊥b⃗，则cos2θ=（）
A．0B．12C．√2
2
D．-1
7．已知椭圆x2
a12
+y2=1与双曲线x
2
a22
−y2=1有相同的焦点F1、F2，设椭圆与双曲线的离心
率分别为e1、e2，则（）
A．e1e2=1B．e22−e12=1 C．e12+e22=2e12e22D．e2=2e1
8．若函数g(x)在区间D上，对∀a、b、c∈D，g(a)、g(b)、g(c)为一个三角形的
三边长，则称函数g(x)为“稳定函数”．已知函数f(x)=lnx x+m在区间[1
e2
,e2]上是“稳定函数”，则实数m的取值范围为（）
A．(2e+1e,+∞)B．(2e2+1e,+∞)
C．(4e+1e,+∞)D．(4e2+1e,+∞)
二、多选题 (每题5分，共4题；共20分)
9．下列关于向量a⃗，b⃗，c⃗的运算，一定成立的有（）
A．(a+b⃗)⋅c=a⋅c+b⃗⋅c B．(a⋅b⃗)⋅c=a⋅(b⃗⋅c)
C．a⃗⋅b⃗≤|a⃗|⋅|b⃗|D．|a−b⃗|≤|a |+|b⃗|
10．已知函数f(x)=2sinxcosxcosφ+cos2xsinφ(−π<φ<π)，则（）A．函数f(x)的最小正周期为π
B．若函数f(x)为偶函数，则φ=π2
C．若φ=−π
3，则函数y=f(x)的图象可由函数g(x)=sin2x的图象向右平移
π
6个单位长
度得到
D．若φ=π
6，则函数y=f(x)的图象的对称中心为(
kπ
2+
5π
12,0)(k∈Z)
11．已知椭圆C:x 2
16+y2
9=1
上有一点P，F1、F2分别为左､右焦点，∠F1PF2=θ,△PF1F2的
面积为S，则下列选项正确的是（）
A．若θ=60°，则S=3√3B．若S=9，则θ=90°
C．若△PF1F2为钝角三角形，则S∈(0,9√7
4)
D．椭圆C内接矩形的周长范围是(12，20]
12．回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数.若正整数i与n满足2≤i≤n且n≥4，在[10i−1,10i−1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为P i，在[10,10n−1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为
Q
n
，则（）
A．P i<P i+1(2≤i≤n−1)B．Q
n <1n−1∑P i
n
i=2
C．Q
n >1n−1∑P i
n
i=2
D．∑P i
i=2
n
<1
三、填空题 (每题5分，共4题；共20分)
13．已知正三角形 ABC 的边长为 3 ， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 14．为抗击新型冠状病毒，某医学研究所将在6天时间内检测3盒A 类药，2盒B 类药，1盒C 类
药．若每天只能检测1盒药品，且3盒A 类药中只有2盒在相邻两天被检测．则不同的检测方案的个数是 ．
15．若不等式 (ax 2+bx +1)e x ≤1 对一切x ∈R 恒成立，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，则a
＋b 的取值范围是 ．
16．正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为1， E ， F 分别为 BC ， CC 1 的中点．则平面 AEF
截正方体所得的截面面积为 ；以点 E 为球心，以 √104 为半径的球面与对角面 ACC 1A 1
的交线长为 ． （前一个空2分，后一个空3分）
四、解答题 (共6题；共70分)
17．（10分）①acosC +√3asinC −b −c =0 ；②tanB +tanC −√3tanBtanC =−√3 ；
③cos2A −3cos(B +C)=1 ；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存
在，求 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC
⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值.若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在 △ABC ，它的内角其 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且， a =√3 ？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．（12分）数列 {a n } 的前 n 项的和为 S n ， a 1=1 ， S n =12
(a n+1−1) .
（1）（5分）证明数列 {a n } 是等比数列，并求通项 a n ；
（2）（7分）若等差数列 {b n } 的各项均为正数，且 ∑b i 4i=1=24 ， a 1+b 1 ， a 2+b 2 ， a 3+b 3 成等比数列，求数列 {a n b n } 的前 n 项和 T n
19．（12分）如图，已知五面体 ABCDEF 中， CDEF 为正方形，且平面 CDEF ⊥ 平面 ABCD ，
∠ADC =∠BCD =120∘ .
（1）（5分）证明： ABCD 为等腰梯形；
（2）（7分）若 AD =DE ，求二面角 F −BD −C 的余弦值.
20．（12分）利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围 x(cm) 与肺活量 y(ml) 的样本，计算平均值 x
̅=80.5 ， y ̅=4030 ，并求出线性回归方程为 y ̂=32.26x +a .
高一男生胸围与肺活量样本统计表
(参考公式及数据： b ̂=
∑
(x i −x ̅)n
i=1
(y i −y ̅)∑(x i −x ̅)2n i=1
， r =∑
(x i −x ̅)i=1(y −y ̅)√∑(x i −x ̅)2n i=1∑(y i −y
̅)2n i=1
， √∑
(x i −x
̅)2
20
i=1
≈38 ， √∑(y i −y
̅)220
i=1
≈2040 .) 附：相关性检验的临界值表
（1）（3分）求a的值；
（2）（4分）求样本y与x的相关系数r，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001)；
（3）（5分）将肺活量不低于4500ml视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.
21．（12分）已知椭圆C:x2
a2
+y
2
b2
=1(a>b>0)的离心率为1
2
，且点(1,−3
2)
在椭圆上．
（1）（5分）求椭圆C的标准方程；
（2）（7分）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点，直线BN的斜率为k(k≠0)，直线AM的斜率为3k，求证：直线MN过定点．
22．（12分）设函数f(x)=a x+e−x(a>1).
（1）（5分）求证：f(x)有极值点；
（2）（7分）设f(x)的极值点为x0，若对任意正整数a都有x0∈(m,n)，其中m,n∈Z，求n−m的最小值.
2022年新高考模拟测试卷一
数学试题答案与解析
1．【答案】C
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】∵集合A={x|2−x⩾0}={x|x⩽2}，
B={x∈Z|y=ln(x+1)}={x∈Z|x>−1}，
∴A∩B={0，1，2}。

故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合一元一次不等式求解集的方法，从而求出集合A，再利用对数型函数的定义域求解方法和元素与集合的关系，从而求出集合B，再利用交集的运算法则，从而求出集合A 和集合B的交集。

2．【答案】A
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为z=2+i
1+i=
(2+i)(1−i)
(1+i)(1−i)=
2−2i+i+1
2=
3
2−
1
2i，
所以z̅=3
2+
i
2
，
因此z的虚部为1
2。

故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z，再利用复数的虚部的定义，从而求出复数z的虚部。

3．【答案】B
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】因为随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，
所以正态曲线的对称轴为x=1，
因为P(ξ<3)=0.8，
所以P(ξ≥3)=P(ξ≤−1)=0.2，
所以P(−1<ξ<1)=0.5−P(ξ≤−1)=0.5−0.2=0.3，
故答案为：B
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解. 4．【答案】A
【考点】函数的图象
【解析】【解答】设f(x)=e 2x−1
e2x+1
⋅cosx，该函数的定义域为R，
f(−x)=e −2x−1
e−2x+1cos(−x)=e
2x(e−2x−1)
e2x(e−2x+1)
cosx=1−e
2x
1+e2x
⋅cosx=−f(x)，
所以，函数f(x)为奇函数，排除BD选项；
当0<x<π
2时，
e2x−1
e2x+1
>0，cosx>0，所以，f(x)>0，排除C选项.
故答案为：A.
【分析】由函数奇偶性的概念可判断函数f(x)为奇函数,排除选项B和D,再对比选项A和C,只需考
虑0<x<π
2时，f(x)与0的大小关系,即可得解.
5．【答案】C
【考点】球的体积和表面积
【解析】【解答】正三棱锥S−ABC中，SA=2，AB=2√2, 所以SA2+SB2=AB2,
故SA⊥SB,
同理可得SA⊥SC, SB⊥SC,
以SA,SB,SC为棱构造正方体，
则该棱锥外接球即为该正方体的外接球，
如图，
所以(2R)2=22+22+22=12，
故球的表面积为 S =4πR 2=12π , 故答案为：C
【分析】 由正三楼维中 SA =2 ， AB =2√2 ，可知三条侧棱互相垂直，可补为正方体求解.
6．【答案】A
【考点】数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系；二倍角的余弦公式 【解析】【解答】由 a ⃗ ⊥b
⃗ 有 2sin 2θ−1=0 ，化简有 cos2θ=0 。

故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，从而得出2sin 2θ−1=0，再利用二倍角的余弦公式，从而求出cos2θ的值。

7．【答案】C
【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设 F 1(−c,0) 、 F 2(c,0) ，由已知可得 a 12−1=c 2=a 22+1 ，
所以，
a 12+a 2
2=2c 2
，则 a 12c 2+a 22c 2
=2 ，即 1e 12+1e 22=2 ，变形可得 e 12+e 22=2e 12e 22 ， 故答案为：C.
【分析】由椭圆的简单性质求出a 12+a 22=2c 2即a 12
c 2+a 22
c
2=2，再结合双曲线的性质以及离心率公式
即可得出1e 12+1
e 22=2，整理即可得出答案。

8．【答案】D
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【解答】 ∵f(x)=lnx x
+m ，则 f ′(x)=
1−lnx
x 2
， 当 1
e
2≤x <e 时， f ′(x)>0 ，此时函数 f(x) 单调递增；
当 e <x ≤e 2 时， f ′(x)<0 ，此时函数 f(x) 单调递减. 所以， f(x)max =f(e)=m +1e
，
又 f(1e 2)=m −2e 2 ， f(e 2)=m +2
e
2 ，所以， f(x)min =m −2e 2 ，
由题意可得 {2f(x)min >f(x)max f(x)min >0 ，可得 {2(m −2e 2)>m +1e m −2e 2>0
，解得 m >4e 2+1e
.
故答案为：D.
【分析】若f (x)为“稳定函数”，则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足: M<2m, 利用导数法求出函数的最值，可得实数m的取值范围.
9．【答案】A,C,D
【考点】向量加减混合运算及其几何意义；两向量的和或差的模的最值
【解析】【解答】B中左边为c⃗的共线向量，右边为a⃗的共线向量不正确，
根据数量积的分配律可知A符合题意，
根据数量积的定义可知a⃗⋅b⃗=|a⃗||b⃗|cos〈a⃗,b⃗〉≤|a⃗|⋅|b⃗|，关于C符合题意；
而|a⃗−b⃗|2−(|a⃗|+|b⃗|)2=2a⃗⋅b⃗−2|a⃗||b⃗|，根据C判断可知2a⋅b⃗−2|a ||b⃗|≤0，
故|a⃗−b⃗|2≤(|a⃗|+|b⃗|)2，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据向量的基本概念和基本性质对选项逐一判断即可得出答案。

10．【答案】A,C,D
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的周期性【解析】【解答】由题意，函数f(x)=2sinxcosxcosφ+cos2xsinφ
=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin(2x+φ)，其中−π<φ<π
可得函数f(x)的最小正周期为2π
2=π
，A符合题意；
若函数f(x)为偶函数，则φ=kπ+π
2,k∈Z，B不符合题意；
若φ=−π
3，则函数y=f(x)的图象可由函数g(x)=sin2x的图象向右平移
π
6个单位长度得
到，C符合题意；
若φ=π
6，则函数y=f(x)=sin(2x+
π
6)，令2x+
π
6=kπ，求得x=
kπ
2−
π
12
，k∈Z，
可得它的图象的对称中心为(kπ2−π12,0)(k∈Z)，D符合题意，
故答案为：ACD．
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质,得出结论. 11．【答案】A,C,D
【考点】椭圆的应用
【解析】【解答】对于椭圆 x 2a 2+y 2
b
2=1 (a >b >0) ，设 |PF 1|=r 1 ， |PF 2|=r 2 ， ∠F 1PF 2=
θ ，则
{r 1+r 2=2a 4c 2
=r 1
2+r 22−2r 1r 2
cosθ ，由此可得 r 1r 2=2b 21+cosθ
①， 所以 △PF 1F 2 的面积 S =12r 1r 2sinθ=12⋅2b 2
1+cosθ⋅sinθ=b 2⋅sinθ1+cosθ=b 2tan θ2 .
对于A ：若 θ=60∘ ，则 S =9tan30∘=3√3 ，A 符合题意； 对于B ：由①知
2b
2
1+cosθ
=r 1r 2≤(r 1+r 22)2=a 2 （当且仅当 r 1=r 2 即点 P 是短轴端点时取等号），所以 cosθ≥2b 2
a 2
−1=18 ，因此 θ 不可能是 90∘ ，B 不符合题意；
对于C ：由以上分析可知， θ 不可能是钝角，由对称性不妨设 ∠PF 1F 2 是钝角.先考虑临界情况，当 ∠PF 1F 2=90∘ 时，易得 |y P |=94 ，此时 S =12|F 1F 2|⋅|y P |=c ⋅|y P |=9√74 ，结合图形可知，
当 ∠PF 1F 2 是钝角时 0<S <9√74 ，C 符合题意； 对于D ：令 {x =4cosαy =3sinα
， α∈(0,π
2) ，
则椭圆内接矩形的周长为 4(3sinα+4cosα)=20sin(α+φ) ，其中锐角 φ 满足 sinφ=45
，
cosφ=3
5 ，
由 α∈(0,π2) 得 α+φ∈(φ,π2+φ) ，所以，周长的范围是 (20sin(π2+φ),20sin π
2
] ，即
(12,20] ，D 符合题意. 故答案为：ACD.
【分析】对于椭圆 x 2a 2+y 2
b
2=1 (a >b >0) ，设 |PF 1|=r 1 ， |PF 2|=r 2 ， ∠F 1PF 2=θ ，再
利用椭圆的定义结合余弦定理，从而得出r 1r 2=2b 2
1+cosθ
①，再利用三角形的面积公式和正弦定理以
及二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合同角三角函数基本关系式，从而求出三角形 △PF 1F 2 的面积 S =b 2tan θ2 。

再利用 θ=60∘ 结合代入法，从而求出三角形△PF 1F 2的面积；由①结合均值不
等式得出 cosθ≥18 ，因此 θ 不可能是 90∘ ；利用 θ 不可能是 90∘ ，所有 θ 不可能是钝角，由
对称性不妨设 ∠PF 1F 2 是钝角，先考虑临界情况，当 ∠PF 1F 2=90∘ 时，易得 |y P |=94 ，再结合
三角形的面积公式，从而求出此时 S 的值 ，再结合图形可知，当 ∠PF 1F 2 是钝角时 0<S <
9√74
；利用椭圆的参数方程，令 {x =4cosαy =3sinα ， α∈(0,π2) ，再结合矩形的周长公式和辅助角公式
得出椭圆内接矩形的周长为 20sin(α+φ) ，由 α∈(0,π2) 得 α+φ∈(φ,π
2
+φ) ，从而求出椭圆
内接矩形的周长的取值范围，从而找出正确的选项。

12．【答案】B,D
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】对于A ：在 [10i−1,10i −1] 中的正整数都是 i 位的，一共有 10i −10i−1=
9×10i−1 个，
若 i =2k ，则回文数的个数是 9×10k−1 个， 若 i =2k +1 ，则回文数的个数是 9×10k 个， 所以 P 2k
=9×10
k−1
9×102k−1=110k ， P 2k+1=9×10k
9×102k =110k
所以 P 2k =P 2k+1>P 2k+2 ，故答案为：项A 不正确； 对于D ：
当 n =2k 时， 1n−1∑P i n i=2=1n−1(∑
P 2j +∑
P 2j+1k j=1
k
j=1
)=
1n−1[110(1−110k )1−110+110(1−110k )
1−110
] =
19(n−1)(2−110k −110
k )<2
9(n−1)<1 ，
当 n =2k +1 时，
1n −1∑P i n
i=2=1n −1(∑P 2j +∑P 2j+1k
j=1k
j=1
)=1n −1[110(1−110k )1−110+110(1−110k )
1−1
10]
=
19(n−1)(2−110k −110
k )<2
9(n−1)<1 ，故答案为：项D 符合题意；
由 Q n 的定义： Q n =1
10n −10∑(9×10i−1)n
i=2
p i ，
当 n =2k 时，由 n ≥4 可得 k ≥2 ，
1n −1∑P i n
i=2=12k −1∑P i >12k 2k
i=2
[(110+1102+1103+⋯+110
k−1)+(110+1102+
1103+⋯+
1
10
k−1)] =1
9k (1−
110
k−1)
， Q 2k =
1
102k
−10
[9(1+10+⋯+10k−1)+9(10+⋯+10k−1)]
<
1
102k
−10
[18(10+⋯+10k−1
)]=
2(10k
−1)102k
−10
<
210
k ， 又因为 1−110
k−19k =−210k =10k
−10−18k 9k⋅10
k >0(k ≥2) ， 所以 Q 2k <12k−1∑P i
2k i=2 ， 当 n =2k +1 时，由 n ≥4 可得 k ≥2 ，
1n −1∑P i n
i=2=12k ∑P i =12k 2k+1
i=2
[(110+1102+1103+⋯+110
k )+(110+1102+1103+⋯
+
1
10
k )] =
19k (1−110k )>2
10
k ， Q 2k+1=
110
2k+1
−10
[9(1+10+⋯+10k−1)+9(10+⋯+10k−1)]
<
1
10
2k+1
−10
[18(10+⋯+10
k−1
)]=
2(10k
−1)
10
2k+2
−10
<
210
k ，
由以上可知 1−110k−19k >210k ， 1−110k 9k >1−110k−1
9k 所以 1−110k 9k >210
k ， 所以 Q 2k+1<12k ∑P i 2k+1i=2 ，故答案为：项B 符合题意，C 不正确，
故答案为：BD.
【分析】 根据题意由已知对i 进行分类讨论，然后结合古典概率公式分别检验各选项即可判断．
13．【答案】−72
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】正三角形 ABC 的边长为3，如图，
∵CE →
=12EB
→ ， ∴AE →
=AB →
+23BC →=AB →+23(AC →−AB →)=13AB →+23
AC
→
∵CF
⃗⃗⃗⃗⃗ =2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FF
⃗⃗⃗⃗⃗ =(13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=29AC →2−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−59AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =29×32−13×32−5
9
×3×3×cos60° =−1−52=−72
故答案为： −72
【分析】 利用已知条件求出数量积中的两个向量，然后利用向量的数量积的运算法则求解即可.
14．【答案】432
【考点】分步乘法计数原理；排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】根据题意，分3步分析：
先将2盒B 类药，1盒C 类药全排列，有 A 33 种情况，排好后有4个空位，
再从3盒A 类药任选2盒，安排在相邻两天被检测，有 C 32A 22 种情况，
最后和另外1盒A 类药，安排在上述4个空位中，有 A 42 种情况，
利用分步计数原理知有 A 33C 32A 22A 42=432 （个）方案。

故答案为：432。

【分析】利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，再结合分步乘法计数原理，从而求出不同的检测方案的个数。

15．【答案】( −∞ ，﹣1] 【考点】复合函数的单调性
【解析】【解答】令 f(x)=(ax 2+bx +1)e x ，有 f(0)=1 ，所以 f(x)≤f(0) 恒成立，显然
a ≤0，
f ′(x)=e x [ax 2+(2a +b)x +b +1] ，则 f ′(0)=b +1=0⇒b =−1 ， 即 f ′(x)=e x [ax 2+(2a +1)x]=xe x (ax +2a −1) ，
当a ＝0时， f ′(x)=−xe x ， f(x) 在( −∞ ，0)递增，(0， +∞ )递减， 当 x =0 时， f(x) 取得最大值 f(0) ，所以 f(x)≤f(0) ，符合题意，
当a ＜0时， f(x) 在( −∞ ， 1−2a a )上递减，在( 1−2a a ，0)上递增，在(0， +∞ )上递减，
因为x ＜ 1−2a a 时， ax 2−x +1<0 ，又 x =0 时， f(x) 取得极大值即最大值 f(0) ，所以
f(x)≤f(0) ，符合题意，
综上，a ≤0，b ＝﹣1，所以a ＋b ∈ ( −∞ , ﹣1]． 故答案为：( −∞ ,﹣1]
【分析】f(x)=(ax 2+bx +1)e x ，首先，由 f(0)=1 ，可得 f(x)≤f(0) 恒成立，从而有a ≤0； 分a=0,及a<0,利用导数，通过研究函数的单调性，再求出函数的及大值等求出结果。

16．【答案】98；√23
π
【考点】棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算；三角形中的几何计算 【解析】【解答】如图，连接 AD 1 ，
则 EF//BC 1//AD 1 ，∴等腰梯形 AEFD 1 为平面 AEF 截正方体所得截面图形，由正方体棱长为
1，得 AD 1=√2 ， EF =√22 ， AE =√1+14=√
52 ，则 E 到 AD 1 的距离为 √54−(√24
)2=
3√24
，
∴ S AEFD 1=12(√22+√2)×3√
24=98
．
∴平面 AA 1C 1C ⊥ 平面 ABCD ，且平面 AA 1C 1C ∩ 平面 ABCD =AC ， 过 E 作 EH ⊥AC 于 H ，则 EH ⊥ 平面 ACC 1A 1 ， ∴ E 为 BC 中点，∴ EH =14AC =√24
，
以点 E 为球心，以 √104 为半径的球面与对角面 ACC 1A 1 的交线为圆弧，
其半径为 √(√104)2
−(√24)2
=√22
，
由 CH =√24 ， HN =√22 ，得 ∠NHC =π
3 ，∴ ∠MHN =2π3 ，
所求交线为劣弧 MN
⌢ ，长度为 2π3×√22=√2π3
． 故答案为： 98 ； √2π3
．
【分析】由题意作出图形，可得平面 AEF 截正方体所得截面为等腰梯形 AEFD 1 ，求出此梯形面积即可，再找出以点 E 为球心，以 √104 为半径的球面与对角面 ACC 1A 1 的交线利用弧长公式求解
交线长．
17．【答案】解：选①
因为 acosC +√3asinC −b −c =0
所以 sinAcosC +√3sinAsinC −sinB −sinC =0 因为 A +B +C =π ，
所以 sinAcosC +√3sinAsinC −sin(A +C)−sinC =0 所以 √3sinAsinC −cosAsinC =sinC ， 因为 sinC >0
所以 √3sinA −cosA =2sin(A −π
6)=1 囚为 0<A <π ， 所以 A =π
3
选②
因为 tanB +tanC −√3tanBtanC =−√3 所以 tan(B +C)=tanB+tanC 1−tanBtanC =−√3
因为 A +B +C =π ，所以 tanA =√3 ，
因为 0<A <π ，所以 A =π
3
选③
因为 cos2A −3cos(B +C)=1 及 A +B +C =π ，
所以 2cos 2A +3cosA −2=0 所以 cosA =12
，因为 0<A <π ，
所以 A =π3 选①②③得 A =π3 又 a =√3 ，所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =bccos π3=12
bc 由余弦定理可知 cosA =b 2
+c 2−a 2
2bc =12
得： 3=b 2+c 2−bc ⩾2bc −bc =bc 当且仅当 b =c 时
“=”成立.
AB ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⩽32 ， 故 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 32
. 【考点】基本不等式；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正切公式；正弦定理；余弦定理 【解析】【分析】 选①利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 2sin(A −π
6
)=
1， 结合 0<A <π，可求A 的值；选②利用两角和的正切公式化简已知等式可得 tanA =√3 ,结合0<A<π,可求A 的值；选③利用二倍角公式化简已知等式可得 2cos 2A +3cosA −2=0 ,解方程可得 cosA =12，结合0<A<π,可求A 的值；由余弦定理，基本不等式可求bc≤3,利用平面向量数量级的
运算即可求解。

18．【答案】（1）证明： ∵S n =12
(a n+1−1) ， S n−1=12(a n −1)(n ≥2) ，
两式相减得 S n −S n−1=12
(a n+1−a n )
即 a n = 12(a n+1−a n ) ，所以 a n+1 =3 a n (n ≥ 2)；
又由n=1时， a 1=12(a 2−1) 及 a 1 =1，得 a 2 =3，
a 2 =3 a 1 ，合并为 a n+1 =3 a n (n∴ N ∗ ). 数列{ a n }是以1为首项公比为3的等比数列， ∴a n =1×3n−1=3n−1 ；
（2）解：设数列{ b n }的公差为d ， 可得 ∑4
i=1
b i =4b 1+4×3
2d =24 ，所以 2b 1+3d =12①；
由(1)知： a 1 =1， a 2 =3， a 3 =9，据条件 a 1 + b 1，a 2 + b 2，a 3 + b 3 ，成等比数列得 (3+b 1+d)2=(1+b 1)(9+b 1+2d)②， 由①②解得： {b 1=24d =−12 或 {b 1=3d =2
，
当 {b 1=24d =−12
时， b 3=24−2×12=0 ，与题意 b n >0不符；
当 {b 1=3d =2 时， b n =2n+1>0，符合题意，
∴a n b n =(2n +1)⋅3n−1 ，
∴T n =3×30+5×31+7×32+⋯+(2n +1)×3n−1 ，
则 3T n =3×3+5×32+7×33+⋯+(2n −1)×3n−1+(2n +1)×3n ， 以上两式相减：
−2T n =3+2(3+32
+⋯+3n−1
)−(2n +1)×3n
=3+2×3(1−3
n−1
)
1−3
−(2n +1)×3n =−2n ⋅
3n ， ∴T n =n ⋅3n .
【考点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】 (1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
(2)利用已知条件求出数列 a n b n =(2n +1)⋅3n−1 ，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和.
19．【答案】（1）证明：过 D ， C 分别作 DH ⊥AB ， CM ⊥AB ，垂足分别为 H ， M ，
因为 CDEF 为正方形，所以 EF//DC ，
因为 AB ⊂ 平面 ABFE ， CD ⊄ 平面 ABFE ，所以 CD// 平面 ABFE ， 因为 DC ⊂ 平面 ABCD ，平面 ABCD ∩ 平面 ABFE =AB 所以 AB//DC ，
因为 DH ⊥AB ， CM ⊥AB ，所以 ∠HDC =∠MCD =∠DHA =CMB =90∘ 所以四边形 DHMC 为矩形，所以 DH =CM
因为 ∠ADC =∠BCD =120∘ ，所以 ∠ADH =∠BCM =30∘ ， 所以 △ADH ≅△BCM ，所以 DA =CB ， 所以 ABCD 为等腰梯形.
（2）解：因为 CDEF 为正方形，所以 ED ⊥DC ，
因为平面 CDEF ⊥ 平面 ABCD ，平面 CDEF ∩ 平面 ABCD =DC ，
ED ⊂ 平面 CDEF ，所以 ED ⊥ 平面 ABCD 以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设 AD =2 ，则 D(0,0,0) ， B(√3,3,0) ， F(0,2,2) ， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,0) ， DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2) 设平面 BDF 的一个法向量为 n ⃗ 1
=(x 1,y 1,z 1) ，
因为 DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗
1
， DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ 1 ，所以 {√3x 1+3y 1=0
2y 1+2z 1=0
， 令 y 1=1 ，则 x 1=−√3 ， z 1=−1 ，所以 n ⃗
1
=(−√3,1,−1)
平面 BDC 的一个法向量为 n
⃗ 2
=(0,0,1) ，
所以 cos〈n ⃗
1,n ⃗ 2〉=n ⃗⃗ 1⋅n ⃗⃗ 2|n ⃗⃗ 1|⋅|n ⃗⃗ 2
|=√5×1=−√55 ， 由图可知二面角 F −BD −C 的平面角为锐角， 所以二面角 F −BD −C 的余弦值为 √55
.
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 过 D ， C 分别作 DH ⊥AB ， CM ⊥AB ，垂足分别为 H ， M ，利用
CDEF 为正方形，所以 EF//DC ，再利用选线线平行证出线面平行，所以 CD//平面 ABFE ，再利用线面平行的性质定理，从而推出线线平行，所以 AB//DC ，再利用DH ⊥AB ， CM ⊥AB ，所以 ∠HDC =∠MCD =∠DHA =CMB =90∘，所以四边形 DHMC 为矩形，所以 DH =CM ，再利用 ∠ADC =∠BCD =120∘ ，所以 ∠ADH =∠BCM =30∘ ，再利用两三角形全等的判断方法，所以 △ADH ≅△BCM ，所以 DA =CB ，从而判断出四边形 ABCD 的形状。

（2） 利用 CDEF 为正方形，所以 ED ⊥DC ，再利用平面 CDEF ⊥ 平面 ABCD 结合线面垂直的性质定理，从而推出线面垂直，所以 ED ⊥ 平面 ABCD ，以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出二面角 F −BD −C 的余弦值。

20．【答案】（1）解：由于回归直线： y ̂ =32.26x+a 过点(80.5，4030)，
所以a=4030-32.26x80.5=1433.07.
（2）解：假设H 0：变量x ，y 不具有线性相关关系， 所以r= 382040
× 32.26≈0.601，
由相关性检验临界值表知：r 001=0.561，r=0.601>0.561，所以有99%的把握认为肺活量的大小与胸围具有线性相关关系.
（3）解：从统计表中可知，20个样本中不低于4500m/有5个， 所以全校高一男生大肺活量的概率为 520
= 14
设从高一年级任取4名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为ρ，
则p= C 42
(14)2(34)2=27128
. 所以从高一年级任取4名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为 27128
.
【考点】两个变量的线性相关；线性回归方程；二项分布与n 次独立重复试验的模型 【解析】【分析】 (1)把样本点的中心坐标代入线性回归方程，即可求得a 值；
(2)由已知数据及相关系数公式求得r 值,结合临界值表得结论； (3)求出全校高-男生大肺活量的概率,再由二项分布的概率计算公式求解.
21．【答案】（1）解：由椭圆 C:x 2a 2+y 2b
2=1(a >b >0) 的离心率为 12 ，且点 (1,−32) 在椭圆上，
可得 c a =12 ，所以 b 2a 2=1−c 2a
2=1−(12)2=34 ， 又点 (1,−32) 在该椭圆上，所以 1a 2+9
4b
2=1 ，所以 a 2=4,b 2=3 ，
所以椭圆C 的标准方程为 x 2
4+y 23
=1
（2）解：由于 BN 的斜率为 k ，设 BN 的方程为 y =k(x −2) ， 联立方程组 {y =k(x −2)
x 24+y 23=1 ，整理得 (4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0 ，
所以 x B x N =16k 2
−124k 2+3 ，所以 x N =8k 2
−64k 2+3
， 从而 y N =−12k 4k 2+3 ，即 N(8k 2−64k 2+3,−12k 4k 2+3
) ， 同理可得：由于 AM 的斜率为 3k ，则 AM:y =3k(x +2) ，
联立方程组 {y =3k(x +2)
x 24+y 23=1
，可得 (36k 2+3)x 2+144k 2x +144k 2−12=0 ，
即 (12k 2+1)x 2+48k 2x +48k 2−4=0 ，
所以 x A x M =48k 2−412k 2+1 ，所以 x M =−24k 2
+212k 2+1 ， 从而 y M =12k 12k 2+1 ，即 M(−24k 2+212k 2+1,12k 12k 2+1
) ， 当 x M =x N 时即 k =±12 ；时， MN:x =−1 ，过点 P(−1,0) ， 当 k ≠±12
时， k PM =12k 12k 2+1−0−24k 2+212k 2+1−(−1)=12k −12k 2+3=4k −4k 2+1 ， k PN =−12k 4k 2+3−08k 2−64k 2+3−(−1)=−12k 12k 2−3=4k −4k 2+1
，即 k PM =k PN ，所以直线 MN 过点 P(−1,0) ， 综上可得，直线 MN 过点 P(−1,0) .
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)求出 c a =12， 结合点 (1,−32
) 在该椭圆上，求出 a 2=4,b 2=3 ,即可得到椭圆方程；
(2) 由于 BN 的斜率为 k ，设 BN 的方程为 y =k(x −2) ，联立方程组 {y =k(x −2)
x 24+y 23
=1，求出N 的坐标，同理求出M 坐标，推出 k PM =k PN ,即可推出直线MN 过点P(-1,0) .
22．【答案】（1）证明：由题意得 f ′(x)=a x lna −e −x ，所以 f ″(x)=a x (lna)2+e −x >0 ，所以函数 f ′(x) 单调递增，
由 f ′(x)=0 ，得 (ae)x lna =1,(ae)x =1lna
. 因为 a >1 ，所以 1lna >0 ，所以 x =log ae 1lna
. 当 x >log ae 1lna
时， f ′(x)>0,f(x) 单调递增； 当 x <log ae 1lna
时， f ′(x)<0,f(x) 单调递减. 因此，当 x =log ae 1lna
时函数 f(x) 有极值 （2）解：由（1）知，函数 f(x) 的极值点 x 0 （即函数 f ′(x) 的零点）唯一， 因为 f ′(−1)=lna a
−e . 令 g(a)=lna a ，则 g ′(a)=1−lna a 2
=0 ，得 a =e . 当 a >e 时， g ′(a)<0,g(a) 单调递减；当 0<a <e 时， g ′(a)>0,g(a) 单调递增，
所以g(a)≤g(e)=1
e
，所以f′(−1)=lna
a−e<0.
而f′(0)=lna−1，当a=2时，f′(0)<0，当a≥3时，f′(0)>0.
又f′(1)=alna−1e.
因为a为正整数且a≥2时，所以alna≥2ln2>1>1 e .
当a≥2时，f′(1)>0.
即对任意正整数a>1，都有f′(−1)<0，f′(1)>0，所以x0∈(−1,1)恒成立，
且存在a=2，使x0∈(0,1)，也存在a=3，使x0∈(−1,0).
所以n−m的最小值为2
【考点】函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，求出函数的极值点，从而证明结论成立；
（2）根据题意首先求出函数的导函数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出n-m的最小值即可；
试题分析部分1、试卷总体分布分析
2、试卷题量分布分析
3、试卷难度结构分析
4、试卷知识点分析。