三对角矩阵公式推导
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三对角矩阵公式推导
我们先定义一个三对角矩阵，记作A：
\[
A = \begin{bmatrix}
a_1 & b_1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
c_1 & a_2 & b_2 & 0 & \dots & 0 \\
0 & c_2 & a_3 & b_3 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \dots & 0 & c_{n-2} & a_{n-1} & b_{n-1} \\
0 & \dots & 0 & 0 & c_{n-1} & a_n \\
\end{bmatrix}
\]
我们想要找到一个矩阵B，使得A可以通过B的逆和B相乘
得到。如果我们能够找到相应的B，那么我们就可以得到A
的逆矩阵。
通过观察，我们可以发现这个三对角矩阵有一些特点。首先，对角线上的元素是$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$，即A的主对角线元素。其次，A的上方对角线元素是$b_1, b_2, b_3, \dots,
b_{n-1}$，下方对角线元素是$c_1, c_2, c_3, \dots, c_{n-1}$。
其他位置的元素都是零。
我们再来观察相应的矩阵B。B的对角线上的元素是$b_1, b_2, b_3, \dots, b_{n-1}$，B的上方对角线元素是$c_1, c_2, c_3,
\dots, c_{n-1}$，下方对角线元素是$c_1, c_2, c_3, \dots, c_{n-1}$。其他位置的元素都是零。
根据矩阵乘法的定义，我们可以将矩阵B的逆矩阵写成如下形式：
\[
B^{-1} = \begin{bmatrix}
d_1 & e_1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
f_1 & d_2 & e_2 & 0 & \dots & 0 \\
0 & f_2 & d_3 & e_3 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \dots & 0 & f_{n-2} & d_{n-1} & e_{n-1} \\
0 & \dots & 0 & 0 & f_{n-1} & d_n \\
\end{bmatrix}
\]
要得到A的逆矩阵，我们需要通过B的逆和B相乘。根据矩阵乘法的定义，我们可以得到如下关系：
\[
A = BB^{-1} = \begin{bmatrix}
a_1 & b_1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
c_1 & a_2 & b_2 & 0 & \dots & 0 \\
0 & c_2 & a_3 & b_3 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \dots & 0 & c_{n-2} & a_{n-1} & b_{n-1} \\
0 & \dots & 0 & 0 & c_{n-1} & a_n \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
d_1 & e_1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
f_1 & d_2 & e_2 & 0 & \dots & 0 \\
0 & f_2 & d_3 & e_3 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \dots & 0 & f_{n-2} & d_{n-1} & e_{n-1} \\
0 & \dots & 0 & 0 & f_{n-1} & d_n \\
\end{bmatrix}
\]
根据矩阵乘法的定义，我们可以计算得到A的逆矩阵的各个元素。最终，我们可以得到A的逆矩阵的公式：
\[
(A^{-1})_{ij} = \begin{cases}
(-1)^{i-1} \frac{c_{i-1}}{\Delta_i}, & j = i-1 \\
\frac{d_i}{\Delta_i}, & j = i \\
(-1)^{i+1} \frac{b_i}{\Delta_i}, & j = i+1 \\
0, & \text{其他情况}
\end{cases}
\]
其中，$\Delta_i = a_i - c_{i-1} \frac{b_{i-1}}{d_{i-1}}$。
通过以上推导，我们可以得到三对角矩阵的逆矩阵的公式。