大学数学论文5篇

大学数学论文5篇
论文题目：大学代数知识在互联网络中的应用
关键词：代数；对称；自同构
一、引言与基本概念
《高等代数》和《近世代数》是大学数学专业有关代数方面的两门重
要课程。

前者是大学数学各个专业最重要的主干基础课程之一，后者既是
对前者的继续和深入，也是代数方面研究生课程的重要先修课程之一、这
两门课程概念众多，内容高度抽象，是数学专业学生公认的难学课程。

甚至，很多学生修完《高等代数》之后，就放弃了继续学习《近世代数》。

即使对于那些坚持认真学完这两门课程的学生来讲，也未必能做到“不仅
知其然，还知其所以然”，而要做到“知其所以然，还要知其不得不然”
就更是难上加难了。

众所周知，学习数学，不仅逻辑上要搞懂，还要做到
真正掌握，学以致用，也就是“学到手”。

当然，做课后习题和考试是检
验是否学会的一个重要手段。

然而，利用所学知识独立地去解决一些比较
前沿的数学问题，也是检验我们对于知识理解和掌握程度的一个重要方法。

这样做，不仅有助于巩固和加深对所学知识的理解，也有助于培养学生的
创新意识和自学能力。

笔者结合自己所从事的教学和科研工作，在这方面
做了一些尝试。

下面介绍一些相关的概念。

一个图G是一个二元组(V，E)，其中V是
一个有限集合，E为由V的若干二元子集组成的集合。

称V为G的顶点集合，E为G的边集合。

E中的每个二元子集{u，v}称为是图G的连接顶点
u与v的一条边。

图G的一个自同构f是G的顶点集合V上的一个一一映
射（即置换），使得{u，v}为G的边当且仅当{uf，vf}也为G的边。

图G
的全体自同构依映射的合成构成一个群，称为G的全自同构群，记作
Aut(G)。

图G称为是顶点对称的，如对于G的任意两个顶点u与v，存在
G的自同构f使得uf=v。

图G称为是边对称的，如对于G的任意两条边{u，v}和{某，y}，存在G的自同构f使得{uf，vf}={某，y}。

设n为正整数，令Z2n为有限域Z2={0，1}上的n维线性空间。

由
《近世代数》知识可知，Z2n的加法群是一个初等交换2群。

在Z2n中取
出如下n个单位向量：
e1=(1，0，…，0)，e2=(0，1，0，…，0)，en=(0，…，0，1)。

●n维超立方体网络（记作Qn）是一个以Z2n为顶点集合的图，对于Qn的任意两个顶点u和v，{u，v}是Qn的一条边当且仅当v-u=ei，其中
1≤i≤n。

●n维折叠立方体网络（记作FQn）是一个以Z2n为顶点集合的图，
对于Qn的任意两个顶点u和v，{u，v}是Qn的一条边当且仅当v-
u=ei(1≤i≤n)或者v-u=e1+…+en。

●n维交错群图网络（记作AGn）是一个以n级交错群An为顶点集合
的图，对于AGn的任意两个顶点u和v，{u，v}是AGn的一条边当且仅当
vu-1=ai或ai-1，这里3≤i≤n，ai=(1，2，i)为一个3轮换。

一个自然的问题是：这三类网络是否是顶点对称的？是否边对称的？
但值得我们注意的是，这些问题都可以利用大学所学的代数知识得到完全
解决。

二、三类网络的对称性
先来看n维超立方体网络的对称性。

定理一：n维超立方体网络Qn是顶点和边对称的。

证明：对于Z2n中的任一向量某=(某1，…，某n)，如下定义
V(Qn)=Z2n上面的一个映射：f(某)：u→u+某，u取遍V(Qn)中所有元素。

容易验证f(某)是一个1-1映射。

（注：这个映射在《高等代数》中已学过，即所谓的平移映射。

）而{u，v}是Qn的一条边，当且仅当v-
u=ei(1≤i≤n)，当且仅当vf(某)-uf(某)=ei(1≤i≤n)，当且仅当{v(f 某)，u(f某)}是Qn的一条边。

所以，f(某)也是Qn的一个自同构。

这样，任取V(Qn)中两个顶点u和v，则uf(v-u)=v。

从而说明Qn是顶点对称的。

下面证明Qn是边对称的。

只需证明：对于Qn的任一条边{u，v}，都
存在Qn的自同构g使得{ug，vg}={0，e1}，其中0为Z2n中的零向量。

事实上，{uf(-u)，vf(-u)}={0，v-u}，其中v-u=ei(1≤i≤n)。

显然，
e1，…，ei-1，ei，ei+1，…，en和ei，…，ei-1，e1，ei+1，…，en
是Z2n的两组基向量。

由《高等代数》知识可知存在Z2n上的可逆线性变
换t使得t对换e1和ei而不动其余向量。

此时易见，若{a，b}是Qn的
一条边，则a-b=ej(1≤j≤n)。

若j=1，则at-bt=ei；若j=i，则at-
bt=e1；若j≠1，i，则at-bt=ej；所以{at，bt}也是Qn的一条边。

由定
义可知，t是Qn的一个自同构。

进一步，{0t，(v-u)t}={0，e1}，即
{uf(-u)t，vf(-u)t}={0，e1}。

结论得证。

利用和定理一相似的办法，我们进一步可以得到如下定理。

定理二：n维折叠立方体网络FQn是顶点和边对称的。

最后，来决定n维交错群图网络的对称性。

定理三：n维交错群图网络AGn是顶点和边对称的。

证明：首先，来证明AGn是顶点对称的。

给定An中的一个元素g，
如下定义一个映射：R(g)：某→某g，其中某取遍An中所有元素。

容易
验证R(g)为AGn顶点集合上上的一个1-1映射。

（注：这个映射在有限
群论中是一个十分重要的'映射，即所谓的右乘变换。

）设{u，v}是AGn
的一条边，则vu-1=ai或ai-1，这里1≤i≤n。

易见，(vg)(ug)-1=vu-1、所以，{vR(g)，uR(g)}是AGn的一条边。

因此，R(g)是AGn的一个自同构。

这样，对于AGn的任意两个顶点u和v，有uR(g)=v，这里g=u-1v。

这说
明AGn是顶点对称的。

下面来证明AGn是边对称的。

只需证明对于AGn的任一条边{u，v}，
都存在AGn的自同构g使得{ug，vg}={e，a3}，其中e为An中的单位元。

给定对称群Sn中的一个元素g，如下定义一个映射：C（g)：某→g-1某g，其中某取遍An中所有元素。

由《近世代数》知识可知，交错群An是
对称群Sn的正规子群。

容易验证C(g)是AGn的顶点集合上的一个1-1映射。

（注：这个映射其实就是把An中任一元素某变为它在g下的共轭。

这也是有限群论中一个十分常用的映射。

）令某=(1，2)，y(j)=(3，j)，
j=3，…，n。

下面证明C(某)和C(y(j)）都是AGn的自通构。

取{u，v}为AGn的任一条边，则vu-1=ai或ai-1、从而，vC(某)(u-1)C(某)=(某-1v 某)(某-1u-1某)=某-(1vu-1)某=ai-1或ai。

因此，{uC（某)，vC(某)}也是AGn的一条边。

从而说明C(某)是AGn
的自通构。

同理，若j=i，有vC(y(j)）（u-1)C(y(j)）=a3-1或a3；若
j≠i，则有vC（y(j)）（u-1)C(y(j)）=ai-1或ai。

这说明{uC（y(j)），vC（y(j)）}也是AGn的一条边，从而C（y(j)）是AGn的自通构。

现在，对于AGn的任一条边{u，v}，令g=u-1，则{uR（g)，vR(g)}={e，vu-
1}={e，ai}或{e，ai-1}。

若i=3，则{e，a3-1}C(某)={e，a3}。

而若
i≠3，则{e，ai}C(y(j)）={e，a3}而{e，ai-1}C（y(j)）={e，a3-1}。

由此可见，总存在AGn的自同构g使得{ug，vg}={e，a3}，结论得证。

至此，完全决定了这三类网络的对称性。

不难看出，除了必要的图论
概念外，我们的证明主要利用了《高等代数》和《近世代数》的知识。

做
为上述问题的继续和深入，有兴趣的同学还可以考虑以下问题：
1、这些网络是否具有更强的对称性？比如：弧对称性？距离对称性？
2、完全决定这些网络的全自同构群。

实际上，利用与上面证明相同的思路，结合对图的局部结构的分析，
利用一些组合技巧，这些问题也可以得到解决。

三、小结
结束语
本文所提到的利用《高等代数》和《近世代数》的知识来研究网络的
对称性就是笔者在教学工作中曾做过的一些尝试。

在该方面，笔者指导完
成了由三名大三学生参加的国家级大学生创新实验项目一项。

这样以来，
学生在学习经典数学知识的同时，也可以思考一些比较前沿的数学问题；
学生在巩固已学知识的同时，也可以激发其学习兴趣，训练学生的逻辑思维，培养学生的创新思维，以及独立发现问题和解决问题的能力。

作为工科类大学公共课的一种，高等数学在学生思维训练上的培养、
训练数学思维等上发挥着重要的做用。

进入新世纪后素质教育思想被人们
越来越重视，如果还使用传统的教育教学方法，会让学生失去学习高等数
学的积极性和兴趣。

以现教育技术为基础的数学建模，在实际问题和理论
之间架起沟通的桥梁。

在实际教学的过程中，高数老师以课后实验着手，
在高等数学教学中融入数学建模思想，使用数学建模解决实际问题。

一、高等数学教学的现状
（一）教学观念陈旧化
就当前高等数学的教育教学而言，高数老师对学生的计算能力、思考
能力以及逻辑思维能力过于重视，一切以课本为基础开展教学活动。

作为
一门充满活力并让人感到新奇的学科，由于教育观念和思想的落后，课堂
教学之中没有穿插应用实例，在工作的时候学生不知道怎样把问题解决，
工作效率无法进一步提升，不仅如此，陈旧的教学理念和思想让学生渐渐
的失去学习的兴趣和动力。

（二）教学方法传统化
教学方法的优秀与否在学生学习的过程中发挥着重要的作用，也直接
影响着学生的学习成绩。

一般高数老师在授课的时候都是以课本的顺次进行，也就意味着老师“由定义到定理”、“由习题到练习”，这种默守陈
规的教学方式无法为学生营造活跃的学习氛围，让学生独自学习、思考的
能力进一步下降。

这就要求教师致力于和谐课堂氛围营造以及使用新颖的
教育教学方法，让学生在课堂中主动参与学习。

二、建模在高等数学教学中的作用
对学生的想象力、观察力、发现、分析并解决问题的能力进行培养的
过程中，数学建模发挥着重要的作用。

最近几年，国内出现很多以数学建
模为主体的赛事活动以及教研活动，其在学生学习兴趣的提升、激发学生
主动学习的积极性上扮演着重要的角色，发挥着突出的作用，在高等数学
教学中引入数学建模还能培养学生不畏困难的品质，培养踏实的工作精神，在协调学生学习的知识、实际应用能力等上有突出的作用。

虽然国内高等
院校大都开设了数学建模选修课或者培训班，但是由于课程的要求和学生
的认知水平差异较大，所以课程无法普及为大众化的教育。

如今，高等院
校都在积极的寻找一种载体，对学生的整体素质进行培养，提升学生的创
新精神以及创造力，让学生满足社会对复合型人才的需求，而最好的载体
则是高等数学。

三、将建模思想应用在高等数学教学中的具体措施
（一）在公式中使用建模思想
在高数教材中占有重要位置的是公式，也是要求学生必须掌握的内容
之一、为了让教师的教学效果进一步提升，在课堂上老师不仅要让学生对
计算的技巧进一步提升之余，还要和建模思想结合在一起，让解题难度更
容易，还让课堂氛围更活跃。

为了让学生对公式中使用建模思想理解的更
透彻，老师还应该结合实例开展教学。

（二）讲解习题的时候使用数学模型的方式
课本例题使用建模思想进行解决，老师通过对例题的讲解，很好的讲
述使用数学建模解决问题的方式，让学生清醒的认识在解决问题的过程中
怎样使用数学建模。

完成每章学习的内容之后，充分的利用时间为学生解
疑答惑，以学生所学的专业情况和学生水平的高低选择合适的例题，完成
建模、解决问题的全部过程，提升学生解决问题的效率。

（三）组织学生积极参加数学建模竞赛
一般而言，在竞赛中可以很好地锻炼学生竞争意识以及独立思考的能力。

这就要求学校充分的利用资源并广泛的宣传，让学生积极的参加竞赛，在实践中锻炼学生的实际能力。

在日常生活中使用数学建模解决问题，让
学生独自思考，然后在竞争的过程中意识到自己的不足，今后也会努力学习，改正错误，提升自身的能力。

四、结束语
高等数学主要对学生从理论学习走向解决实际问题的能力进行培养，在高等数学中应用建模思想，促使学生对高数知识更充分的理解，学习的难度进一步降低，提升应用能力和探索能力。

当前，在高等教学过程中引入建模思想还存在一定的不足，需要高校高等数学老师进行深入的研究和探索的同时也需要学生很好的配合，以便于今后的教学中进一步提升教学的质量。

作为工科类大学公共课的一种，高等数学在学生思维训练上的培养、训练数学思维等上发挥着重要的做用。

进入新世纪后素质教育思想被人们越来越重视，如果还使用传统的教育教学方法，会让学生失去学习高等数学的积极性和兴趣。

以现教育技术为基础的数学建模，在实际问题和理论之间架起沟通的桥梁。

在实际教学的过程中，高数老师以课后实验着手，在高等数学教学中融入数学建模思想，使用数学建模解决实际问题。

一、高等数学教学的现状
（一）教学观念陈旧化
就当前高等数学的教育教学而言，高数老师对学生的计算能力、思考能力以及逻辑思维能力过于重视，一切以课本为基础开展教学活动。

作为一门充满活力并让人感到新奇的学科，由于教育观念和思想的落后，课堂教学之中没有穿插应用实例，在工作的时候学生不知道怎样把问题解决，工作效率无法进一步提升，不仅如此，陈旧的教学理念和思想让学生渐渐的失去学习的兴趣和动力。

（二）教学方法传统化
教学方法的优秀与否在学生学习的过程中发挥着重要的作用，也直接
影响着学生的学习成绩。

一般高数老师在授课的时候都是以课本的顺次进行，也就意味着老师“由定义到定理”、“由习题到练习”，这种默守陈
规的教学方式无法为学生营造活跃的学习氛围，让学生独自学习、思考的
能力进一步下降。

这就要求教师致力于和谐课堂氛围营造以及使用新颖的
教育教学方法，让学生在课堂中主动参与学习。

二、建模在高等数学教学中的作用
对学生的想象力、观察力、发现、分析并解决问题的能力进行培养的
过程中，数学建模发挥着重要的作用。

最近几年，国内出现很多以数学建
模为主体的赛事活动以及教研活动，其在学生学习兴趣的提升、激发学生
主动学习的积极性上扮演着重要的角色，发挥着突出的作用，在高等数学
教学中引入数学建模还能培养学生不畏困难的品质，培养踏实的工作精神，在协调学生学习的知识、实际应用能力等上有突出的作用。

虽然国内高等
院校大都开设了数学建模选修课或者培训班，但是由于课程的要求和学生
的认知水平差异较大，所以课程无法普及为大众化的教育。

如今，高等院
校都在积极的寻找一种载体，对学生的整体素质进行培养，提升学生的创
新精神以及创造力，让学生满足社会对复合型人才的需求，而最好的载体
则是高等数学。

三、将建模思想应用在高等数学教学中的具体措施
（一）在公式中使用建模思想
在高数教材中占有重要位置的是公式，也是要求学生必须掌握的内容
之一、为了让教师的教学效果进一步提升，在课堂上老师不仅要让学生对
计算的技巧进一步提升之余，还要和建模思想结合在一起，让解题难度更
容易，还让课堂氛围更活跃。

为了让学生对公式中使用建模思想理解的更
透彻，老师还应该结合实例开展教学。

（二）讲解习题的时候使用数学模型的方式
课本例题使用建模思想进行解决，老师通过对例题的讲解，很好的讲
述使用数学建模解决问题的'方式，让学生清醒的认识在解决问题的过程
中怎样使用数学建模。

完成每章学习的内容之后，充分的利用时间为学生
解疑答惑，以学生所学的专业情况和学生水平的高低选择合适的例题，完
成建模、解决问题的全部过程，提升学生解决问题的效率。

（三）组织学生积极参加数学建模竞赛
一般而言，在竞赛中可以很好地锻炼学生竞争意识以及独立思考的能力。

这就要求学校充分的利用资源并广泛的宣传，让学生积极的参加竞赛，在实践中锻炼学生的实际能力。

在日常生活中使用数学建模解决问题，让
学生独自思考，然后在竞争的过程中意识到自己的不足，今后也会努力学习，改正错误，提升自身的能力。

四、结束语
高等数学主要对学生从理论学习走向解决实际问题的能力进行培养，
在高等数学中应用建模思想，促使学生对高数知识更充分的理解，学习的
难度进一步降低，提升应用能力和探索能力。

当前，在高等教学过程中引
入建模思想还存在一定的不足，需要高校高等数学老师进行深入的研究和
探索的同时也需要学生很好的配合，以便于今后的教学中进一步提升教学
的质量。