最新高中数学解三角形实际应用题(详解)

1. 如图，某小区准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池,其余地方种花.若BC=a, ABC=θ∠,设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，将比值

2

1

S S 称为“规划合理度”.（1）试用a ,θ表示1S 和2S . （2）当a 为定值，θ变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小. 解：（1）、 如图，在

ＡＢＣ中

，

＝

设正方形的边长为 则

＝

…………………………………………………7分

（2）、 而＝

∵0 < < ,又0 <２ <,０<１ 为减函数

当时 取得最小值为此时

2.某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。 【解析】如图，由（1）得

103,AC=10,>,,>AC OC OC AC AC =≥故且对于线段上任意点P 有OP OC ，而小艇的最

A

B

C

P

Q

R

S

C

M B

高航行速度只能达到30海里

/小时，故轮船与小艇不可能在A 、C （包含C ）的任意位置相遇，设COD=(0<<90),Rt COD

CD θθθ∠∆=则在中，，

OD=

cos θ

，

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t =

和t =

所以

1030θ

+cos v θ=，解得3

,30,sin (+30)+30)2

v v θ=≤≥

又故，

从而30<90,30tan θθθ≤=由于时，

取得最小

值，且最小值为3

，于是 当30θ=时，

1030t θ+=取得最小值，且最小值为23

。

此时，在OAB ∆中，20OA OB AB ===，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。

3. .如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90，AB ＝1，BC M,N 分别在边AB 和AC

上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△A 'MN ，使顶点A '落在边BC 上(A '点和B 点不重合).设∠AMN ＝θ．

(1) 用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； (2) 求线段A N '长度的最小值． 解：（1）设MA MA x '==，则1MB x =-．（2分）

在Rt △MB A '中，1cos(1802)x

x

--θ=， （4分） ∴211

1cos22sin MA x ==

=

-θθ

． （5分） ∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A '点和B 点不重合，

∴4590<θ<．（7分）

（2）在△AMN 中，∠ANM ＝120θ︒-,（8分）

sin sin(120)

AN MA

=

θ-θ,（9分） 21

sin 2sin sin(120)

AN θ⋅

θ=

-θ＝1

2sin sin(120)θ-θ．（10分） 令12sin sin(120)2sin (

sin )2t =θ-θ=θθθ

＝2sin cos θ+θθ

＝1112cos2sin(230)2222

+θ-θ=+θ-．（13分） ∵4590<θ<， ∴60230150<θ-<． （14分）

当且仅当23090θ-=，60θ=时，t 有最大值32

，（15分） ∴60θ=时，A N '有最小值

23

．（16分）

4. 如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB 的长为4.5km ，且跑道所在的直线与海岸线l 的夹角为60度（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B 到海岸线的距离43BC km =。D 为海湾一侧海岸线CT 上的一点，设CD=x （km ），点D 对跑道AB 的视角为θ。 （1）将tan θ表示为x 的函数；

（2）求点D 的位置，使θ取得最大值.

5. （2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为0

75，

030，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060，AC=0.1km 。试探究图中B ，D 间距离与

另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，2≈1.414，

6≈2.449）

解:

在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ， ……5分

在△ABC 中，,ABC sin C

BCA sin ∠=∠A AB