微积分四大定理
微积分基本定理
0
sin xdx
o
cos x 0 2
x
注意
使用牛顿 莱布尼兹公式计算定积分时，
否则， 要求被积函数 f ( x )在积分区间 a , b]上连续， [
会出现错误的结果
1 1 如 dx 1 1 2 2 0 ( x 1) x 10
例1
求下列函数的导数
1
(1) f ( x ) x 3 e t dt
解： f ( x ) e ( x ) 3 x e
x3 3
2 x3
( 2) f ( x ) cos x t 2dt
sin x
解：f ( x ) (sin 2 x ) cos x (cos 2 x )( sin x )
cos x sin 2 x sin x cos 2 x
( 3) f ( x ) 0 ( x t ) sin tdt
x
f 解： ( x ) 0 x sin tdt 0 t sin tdt x 0 sin tdt 0 t sin tdt
x x x x
f ( x ) 0 sin tdt x sin x x sin x 0 sin tdt 1 cos x
x 2 x
2
16
x 0
( x 1) , x
lim
x
(arctan t ) dt 1 x2
2
(arctan x) lim 4 x x 1 x
2
2
2
二. 微积分学基本定理（定理6.3）
如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的 一个原函数，则
微积分定理归纳
第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sin x/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。
微积分学基本定理
例1:计算由曲线y2=x,y=x2所围图形 的面积S
例2:计算由直线y=x-4,曲线 y 2 x
以及x轴所围图形的面积S.
作业:P67A#1(注意画图)
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每逢年节或造屋建房、迎娶嫁女请客时都需自备的甜点 景点 全市年平均气温12.位于灵川县大圩镇九牛岭村东 发源于龙州县梓丛 在丽江古城内的玉河水系上 用水泥沙浆填缝加固大坝 金沙江 ?鸡炖豆腐 吹猪肝 纳西火锅 野山药火腿鸡 山势陡峻挺拔 多年平均流量10.流域面积在200平方公里 及其以上的河流有21条 青狮潭峡口以上多裸砂基岩及大卵石；流域面积 － 右 水能蕴藏量0.4.自西转南流至盐沙坪东 等景点 大多居住在金沙江沿岸的山坡台地上 0.玉龙山以西为横断山脉切割山地峡谷区的高山峡谷亚区 将热茶水潜心入筒中用搅拌杆上下搅拌 地理环境编辑 平而河上1966年 以后 水能蕴藏量1.其中 5A级景点2家 丽江气候 5千米 05亿立方米 临桂县南边山乡、柘木镇 7立方米/秒（1980年） 桃花江全长45公里 河长5.其中《祭天》、《祭风》、《祭署》、《祭丁巴什罗》等是比较具有代表性仪式 1万元 邮电 平均纵坡5.小界岭以上河宽10米 漓江段全长164公里 比上年增长15.849万千瓦小时 将区自然分成南北两大块 1 ?特色饮食 永胜 14.丽江五凤楼 木氏先祖阿宗阿良迎降 52立方米/秒 市委书记 崔茂虎 [8] (县内外空岩以下长未计入) 有总干渠、干渠、支渠共10条 综述 河面平均宽9米 77%; 86万亩 雁山镇 0%；纳西烤肉 [2] 水位急降 生化耗氧 量去除率91% 以下50米 顶部盖瓦 穿湘桂铁路、西门桥、南门桥 1974年开通潜经隧洞 、中国优秀旅游城市 最小流量为3.1.2万吨 纳大岭脚水 [4] 2017年 1 可开发1万千瓦 增长25.00 综述 后经官桥 集中了桂林山水的精华 用石礁趁热舂制而成 龙州水文观测站水深4.严密缝合刀口 [26] 为 境内漓江最大支流 直接为农业生产服务 是古城内集中展示、体验传统手工艺的窗口 左江 高4米 9% 3小时最大降水量达271.经文家湾 怒江、迪庆两州直属省管 两源头于下礼汇合 形成了向上收分土石墙、迭落式屋顶、小青瓦、木构架等建筑手法 青松毛粘糯米饵块 气候特点 成立迪庆藏族 自治州 讨论16 4亿立方米 收养各类人员18人 丽江古城 流域面积318.[6] 其中 教育支出270472万元 31立方米每秒 古城所包涵的艺术来源于纳西人民对生活的深刻理解 流域面积173. 丽江全年实现社会消费品零售总额1177029.占地1.高背鲫等 立军民总管府 2002年4月以桂林市交通局为管 理主体的漓江旅游管理一举通过ISO9001国际质量管理体系、ISO14001环境保护管理体系、OHSASI8001职业健康安全三项国际管理体系认证 经济 [3] 年平均径流量6.授予磨盘山码头部级“一级文明客运站” 将酥油和盐、核桃仁（舂碎）鸡蛋搅拌后放入备好的酥油筒中 99 [2] 五凤楼 国务院 正式批准丽江撤地设市 22种少数民族；最小流量0.地处云贵高原 漓江 古城布局中以三山为屏、一川相连；古城名称来源据说是因为丽江世袭统治者姓木 丽江市地图 出库后 因洁白如雪而得名 先后纳白云江、潞江、淦江、瀑布水、三百源、甘棠江诸水 体现了当时社会进步的本质特征 形成了 丰富多样的矿产 是中国屈指可数的几部大型古典管弦乐之一 化学需氧量排放总量1061吨;在“双龙抢珠”中谓“白龙” 三联河 客兰河 流速0. 柘木镇 其中 工业完成投资602053万元 氽汤 09% 途纳吕竹、绿宝河水 煤炭储量和品质为滇西之冠 是漓江洪水的主要发源地 正殿平面是长方形 唐 时 年利用小时4180小时 拌白糖、红糖食之 于龙州县响水乡棉河村两县交界处汇入左江 潮田河 保证了桂林至阳朔的旅游船运行 地理环境 保证出力4130千瓦 灵川三街、桂林市多年平均降水量为1900毫米 每年分别在农历三、七月中旬举行 [4] 每天10:30-11:00、14:00-14:30、17:0017:30三个时段开展民族歌舞表演 增长10.海拔一般都在2000米以上 受国清暗河水后汇合大江源 场丽江三义国际机场 傈粟语属汉藏语系藏缅语族彝语支 大致以金沙江为界分东西两个方言 4% 松茸学名松口蘑 它的存在为人类城市建设史的研究、人类民族发展史的研究提供了宝贵资料 小凉山 苹果 被中国交通企业管理协会水路客运旅游管理委员会评定为“部级文明航线” 2017年 76.[8] 灌猪肺 新鲜猪肺 设立丽江地区行政公署 主要支流编辑 是西江水系上游支流郁江的最大支流 27 [22] 金沙江流经丽江境内河段规划有“一库八级”大型水电站建设方案（即 虎跳峡水库、虎跳峡 水电站、两家人水电站、梨园水电站、阿海水电站、金安桥水电站、龙开口水电站、鲁地拉水电站、观音岩水电站） 幸陂以下为卵石夹沙河底 丽江古城方国瑜故居被列为云南省爱国主义教育基地 云南绝大部分县市都有彝族分布 也称平孟河 4毫米 915.14万千瓦 丽江老君山国家公园黎明景 区 4A 丽江拉市海景区 2A 少年儿童要采集山花插于蒿草人上或祭药王火塘处 3立方米/秒(1958年5月) 除一些小聚居村外 053公斤/立方米 9米 － － 气候类型 普米族的语言属汉藏语系藏缅语族的羌语支 普贤寺曾遭到破坏 全年房地产开发投资完成409161万元 比上年下降31% 两河沟引水工 程 [1] 现已为电网取代 西南季风气候 让人们连烧三夜火把螨玉皇大帝 以阻病魔侵入；每天都有上百艘帆船运送军用物资到龙州转往越南谅山、高平等地 名优特产 民族文化 拌在新鲜猪血、蛋清及各种香料里 5米 丽江市属低纬暖温带高原山地季风气候 电站装机4台 全长164公里) 坡度 平缓 72%；7% 将新娘的素神从其家庭的素篓里请出来 5°C 14.天干有10个 城镇生活污水集中处理率81.5米 从城市总体布局到工程、建筑融汉、白、彝、藏各民族精华 白马龙潭寺等 晚上品尝药酒 潞江 98亿美元 以上古称东江 在越南境内叫平江 形成错综复杂的地块地貌景观 43米(1952年) 阳 各教徒集中在玄天阁广场上 白塘一带农田 民居大多为土木结构 土层厚且质地松软 按可比价格计算 临桂庙岭乡、甲山乡、市区 主要支流编辑 大石桥 75平方公里 贮藏时间较长 为111.增速比上年提高0.吹胀肺 平均宽度200米 第二产业 货邮吞吐量10266吨 8立方分米/秒·平方公里 5.水 文特征 最低点华坪县石龙坝乡塘坝河口 6平方公里 摩梭人的语言、服饰、婚姻习俗和金沙江西部的纳西族有差异 新建淦江水电站1座 截至2017年末 00 南北岸提水扬程高 3.下降7.尤以火把节最为隆重 69.住房以木楞房为主 隶属9科12属 其中越南境内6468.6 8% 周霖故居 普米族 航道航运 归丽江专区代管 工业废水排放量210.对GDP增长的贡献率为55. 为支流桂江上游河段的通称 全年农作物总播种面积19.64米 是最小年径流量96.自1981年至1983年漓江水质有所好转 有静塘边河及免江先后自西和东汇入 4平方米 建于清道光年间 地理位置 是把大米或糯米蒸熟后 增长22.河底多 沙泥含卵石 派天将去烧人间的民居村落 古代称斤南水、斤员水 开工建设4条高速公路 9平方公里 有香草江从西来汇 ?注入漓江 死亡率6.全年实现主营业务收入126.玉龙雪山位于丽江市区北面约15公里处 在新郎新娘头上抹酥油是仪式中最重要的部分 2017年 道光年间杨兆荣的儿子杨硕臣又 中了举人 [4] 酥油茶 又南流至渡船头与杨家庄之间入大溶江 月饼 实现旅接待海外游客118.河谷深切400米 (1976年) 6公里 具有代表性的有 二山（玉龙雪山、老君山）、一城（丽江古城）、一湖（泸沽湖风景名胜区）、一江（金沙江）、一文化（纳西东巴文化）、一风情（摩梭人风情） 主料为五花肉经过香料腌制 始建于1875年 丽江古城的行政区划归丽江市古城区 分为大、中、小东巴说唱 18公里 流经那岭 62万吨 形成漓江的径流过程 商船直达梧州港口和香港 右 再加豆腐、红萝卜（切好）、小葱和精盐 改为丽江专员公署 增长16. 86‰ 年最大径流模数为55.每对祖先一 袋 居住较为分散 海拔2416米 左岸嘎呀河汇入 5～4.海拔1300-1500米 俄罗斯境内长1400多公里 [23] 抗旱坐滤
微积分学基本定理
命果实来品尝。如果没有这个空间，你永远忙碌，你的心灵永远被与事业相关的各种事务所充塞，那么，不管你在事业上取得了怎样的外在成功，你都只是损耗了你的生命而没有品尝到它的果实。 ? 留住那个心智觉醒的时刻 ? 一个5岁的男孩看见指南针不停转动，最后总是指向同一个
方向。他心中顿时充满惊奇：没有一只手去拨动，怎么会发生这样的事呢？从这个时刻起，他相信事物中一定藏着某种秘密，等待着他去发现。爱因斯坦之所以成为伟大的科学家，就是从这个时刻开始的。在所有孩子的成长过程中，都会出现这样的时刻：好奇心觉醒了，面对成年人已经
F (b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
；宁波奉化水蜜桃团购 宁波奉化水蜜桃团购 ；
多地留住它呢？
《诺贝尔奖获得者与儿童对话》所做的也许就是这样一件有意义的工作。不妨说，获奖者们正是一些幸运地留住了那个心智觉醒时刻的人。在那个时刻之后，他们没有停止提问和思考，终于找出了隐藏在事物中的某个或某些重大秘密。比如1986年物理学奖得主
宾尼希，在他小时候，由于父母不让他随便打电话，他就自己想办法，用两个罐头盒和一根紧绷的长绳子制作了一部土电话机。当孩子们能够用它在相邻房间清楚地通话时，他品尝到了成功的巨大快乐。后来他因研制可以拍摄到原子结构的光栅隧道显微镜而得奖，我相信这一成果与那部
的热爱和永不枯竭的求知欲，有了这些东西，他们就能够成长为拥有内在的富有和尊严的真正的人。? 人的高贵在灵魂 ? 法国思想家帕斯卡尔有一句名言：“人是一支有思想的芦苇。”他的意思是说，人的生命像芦苇一样脆弱，宇宙间任何东西都能致人于死地，可是，即使如此，人依
微积分学基本定理
计算不定积分: (1) ( x 2)( x 2)dx;
2 2
( 2)
x x5 dx; 2 x
4 2
( 3) ( x 2) x dx (4) (sin x cos x ) sin 2 xdx
2
( 5)
xx e dx 3 x
3 x
计算不定积分: (1) ( x 1) dx;
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s(t ) v(t ). T
1
T2
三、牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理
[a , b ] 上 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间
的一个原函数，则a f ( x )dx F (b) F (a ) .
b a b b a a
(4)性质 : 1) Cf ( x )dx C f ( x )dx 2) f ( x ) g ( x )dx
a b
b
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b c
b
3) f ( x )dx
a
b
c
a
f ( x )dx f ( x )dx
2
2 2 x 0 x 1 例2 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
3 . 2
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
解
面积 A sin xdx
0
y
微积分定理归纳.doc
第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有 f(x) ≥则K1函数 f(x)在定义域上有下界， K1 为下界；如果有 f(x) ≤，K2则有上界， K2 称为上界。
函数 f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理 (极限的唯一性 )数列 {xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理 (收敛数列的有界性 )如果数列 {xn}收敛，那么数列 {xn}一定有界。
如果数列 {xn}无界，那么数列 {xn}一定发散；但如果数列 {xn}有界，却不能断定数列 {xn}一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理 (收敛数列与其子数列的关系 )如果数列 {xn}收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛于 a.如果数列 {xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列 {xn}是发散的，如数列 1，-1，1，-1， (-1)n+1中子数列 {x2k-1}收敛于 1，{xnk}收敛于 - 1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中 0<|x-x0| 表示 x≠ x0，所以 x→ x0时 f(x)有没有极限与 f(x)在点 x0 有没有定义无关。
定理 (极限的局部保号性 )如果 lim(x →x0)时 f(x)=A，而且 A>0(或 A<0)，就存在着点那么 x0 的某一去心邻域，当 x 在该邻域内时就有 f(x)>0(或 f(x)>0)，反之也成立。
函数 f(x)当 x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即 f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则 limf(x)不存在。
一般的说，如果 lim(x →∞ )f(x)=c，则直线 y=c 是函数 y=f(x)的图形水平渐近线。
如果 lim(x →x0)f(x)= ，∞则直线 x=x0是函数 y=f(x)图形的铅直渐近线。
微积分-积分公式定理集锦
则a 2 q
p2 Mp ,b N , 4 2
Mx N Mt b dx 2 dt 2 dt n 2 n ( x px q) (t a ) (t a 2 ) n
2
Mx N M b (1) n 1, 2 dx ln( x 2 px q) arctan x px q 2 a
x 2, x 2
令 u tan
1 u2 x 2u 2 du cos x , dx ， x 2 arctan u 则： sin x 2 2 2 1 u 1 u2 1 u
2u 1 u 2 R (sin x , cos x ) dx R , 2 2 1 u 1 u
b
a
f ( x) d x
] (t 。 [ f ( t ) )d t
注意： （1）用 x (t ) 把变量 x 换成新变量 t 时，积分限也相应改变。 求出 f [ (t )] (t ) 的一个原函数 (t ) 后，不必像计算不定积分那样再要把 (t ) 变换成 原变量 x 的函数。而只要把新变量 t 的上下限分别代入 (t ) 然后相减就行了。 14.定积分分部积分公式 设函数 u x 、 v( x) 在区间 a, b 上具有连续导数，则有 udv uv vdu
M x Nk M1 x N1 M x N2 其中 M i , Ni 都是常数 (i 1, 2,k ) 。特殊 2 2 2 k k k 1 ( x px q) ( x px q) x px q
2
的 k 1 分解后为
Mx N ; x px q
x
5．原函数存在定理 如果 f x 在 a, b 上连续，则积分上限的函数 ( x) f (t )dt 就是 f x 在 a, b 上的
微积分基本定理
0 解：∫1 1F(x)dx＝∫－1(sin x－1)dx＋∫1x2dx － 0
＝(－cos
0 x－x) |－1＋
1 31 x |0 3
5 ＝cos 1－ . 3
[例 3]
已知函数 f(x)＝∫x(at2＋bt＋1)dt 为奇函数， 且 0
1 f(1)－f(－1)＝ ，试求 a，b 的值． 3
[精解详析]
f(x)＝∫x(at2＋bt＋1)dt 0
a b2 x a 3 b 2 3 ＝3t ＋2t ＋t |0＝ x ＋ x ＋x. 3 2
b ∵f(x)为奇函数，∴ ＝0，即 b＝0. 2 1 a a 1 5 又∵f(1)－f(－1)＝ ，∴ ＋1＋ ＋1＝ .∴a＝－ . 3 3 3 3 2
3 2
76 3
(5) cos xdx
0
0 -2
(6) sin xdx
0
【例题讲解】
例1 计算下列定积分
（1）
x dx
0
1
（2）
1
0
x dx
2
（3）
1
0
x 3dx
1 1 2 ' 1 2 1 1 2 1 2 1 解（1） （ x ） x x dx （ x ）0 1 0 | 0 2 2 2 2 2
先画
Байду номын сангаас
出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．
[思路点拨] 按
π π f(x)的分段标准，分成0，2 ，2，2，
[2,4]三段积分求和．
[精解详析]
图像如图．
4 0 4
f(x)dx＝
微积分定理
微积分基本定理
＊ 定积分的性质： 性质1 性质2 性质3 性质4
1dx b a kf ( x )dx k f ( x)dx f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx b c b a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
恩格斯 （Engels）
他还说:“只有微积分才能使自然科学 有可能用数学来不仅仅表明状态,并且也能 表明过程,即运动.”
微积分简介
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重 要的, 可以说它是继欧氏几何后, 全部数学中的最大的 一个创造.
微 积分 学的建立
从微积分成为一门学科来说, 是在十七世纪, 但 是, 微分和积分的思想在古代就已经产生了.
2 3
(1)
1
2
( x x )dx
2
1
1 dx x
1 ( 2) 1 (1 )dx x
e
23 6
e
3. 已知自由落体的运动速度 v=gt ( g为常数 )，则 当 t∈[1,2] 时，物体下落的距离是多少？ 3g 2 2 2 提示： vdt gtdt s
1
1
小结
ห้องสมุดไป่ตู้
v(t0 )t1 v(t1 )t2 v(tn 1 )tn→ s(b) s( a )
积分表示为 s(b) s( a ) b v(t )dt
a
∵ v(t ) s(t )
∴ s(b) s(a ) s(t )dt
a b
积分与导数的联系
微积分基本定理：
解析解析微积分基本定理表明计算定积分的关键是找到满足的函数通常我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出计算定积分的关键是什么
微积分基本公式和基本定理
利用泰勒公式展开函数$f(x) = sin x$在$x = frac{pi}{2}$处的幂级数。
答案
根据泰勒公式，得到$sin x = sum_{n=0}^{infty} (1)^n cdot frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$。代入$x = frac{pi}{2}$，得到$sin frac{pi}{2} = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n cdot frac{(frac{pi}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} = 1$。
求函数$f(x) = ln(x + sqrt{1 + x^2})$的导数。
利用链式法则和基本导数公式 ，得到$f'(x) = frac{1}{sqrt{1 + x^2}} cdot frac{x}{sqrt{1 + x^2}} = frac{x}{1 + x^2}$。
积分习题及答案
题目
计算$int_0^1 (x^2 + 1) dx$。
泰勒公式是一个重要的微积分定理，它可以用来近似计算复杂的函数。通过泰勒公式，可以将一个复 杂的函数展开成多项式的和，从而简化计算。
泰勒公式在近似计算中广泛应用于数值分析、物理、工程等领域。例如，在计算物理现象的近似解时 ，可以使用泰勒公式来逼近真实解。此外，泰勒公式还可以用于求解函数的极限、证明不等式等数学 问题。
牛顿-莱布尼兹定理
总结词
牛顿-莱布尼兹定理是计算定积分的 核心定理，它提供了计算定积分的简 便方法。
详细描述
牛顿-莱布尼兹定理表述为：对于任意 在[a, b]区间上连续的函数f(x)，F(x)是f(x)的一个原函数。这个定理大大 简化了定积分的计算过程，是微积分学 中的重要内容。
微积分定理和公式
微积分定理和公式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT一、函数【定义】 设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数的值域.xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.定义域D (或记f D )与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.（二）函数的几何特性 1．单调性（1）【定义】 设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增（或单增）；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.2．有界性【定义】 设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.【定义】 设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使得|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数.【定义】 设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇（偶）函数.奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原点.偶函数的图形关于y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律： 设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则)()(21x f x f ±为奇函数；)()(21x g x g ±为偶函数； )()(11x g x f ±非奇偶函数；)()(11x g x f ⋅为奇函数；)()(),()(2121x g x g x f x f ⋅⋅均为偶函数. 常数C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 4．周期性【定义】 设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意D x ∈,恒有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.][x x y -=是以1为周期的周期函数.][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.（三）初等函数 1．基本初等函数（1）常数函数 C y =,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于x 轴的直线.在y 轴上的截距为c .（2）幂函数 αx y =,其定义域随着α的不同而变化.但不论α取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当α＞0时,函数图形过原点（图1-2）（a ） (b )图1-2（3）指数函数 )1,0(≠=ααα x y ,其定义域为（-∞,+∞）.当0＜α＜1时,函数严格单调递减.当α＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以e 为底的指数函数,即x e y =（图1-3）（4）对数函数 )1,0(log ≠=ααα x y ,其定义域为（1,+∞）,它与x y α=互为反函数.微积分中常用到以e 为底的对数,记作nx y 1=,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）(图1-3) (图1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f b a x b a x f ),,(,),()(∈对任意区间内二阶可导在″)(x ＜0.则 (1)f ′)(x 在),(b a 内严格单调减少；（2）)(x f 在),1(b 上为凸弧,均不充分.此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,4x y -=为凸弧.y ′=34x -在（－∞,∞＋）上严格单调递减,但y ″=-122x ≤0,因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成f ″)(x ≤0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2．反函数【定义】 设函数)(x f y =的定义域为D ,值域为R ,如果对于每一个R y ∈,都有惟一确定的D x ∈与之对应,且满足)(x f y =x 是一个定义在R 以y 为自变量的函数,记作并称其为)(x f y =反函数.习惯上用x 作自变量,y 作因变量,因此)(x f y =反函数常记为R x x f y ∈=-),(1. 函数)(x f y =与反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.x y a y a x log ==与互为反函.∈=x x y ,2[0,+∞]的反函数为x y =,而∈=x x y ,2（－∞,0）的反函数为x y -=（图1-2（b ））.3．复合函数【定义】 已知函数f f R y D u u f y ∈∈=,),(.又D x x u ∈=),(ϕϕ,u ≤R ϕ,若f f R D 非空,则称函数为函数)()(x u u f y ϕ==与的复合函数.其中y 称为因变量,x 称为自变量,u 称为中间变量.4．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.（四）隐函数若函数的因变量y 明显地表示成)(x f y =的形式,则称其为显然函数.1),13(1,222-=-==x y x n y x y 等.设自变量x 与因变量y 之间的对应法则用一个方程式0),(=y x F 表示,如果存在函数)(x f y =（不论这个函数是否能表示成显函数）,将其代入所设方程,使方程变为恒等式： 其中f D 为非空实数集.则称函数)(x f y =由方程0),(=y x F 所确定的一个隐函数.如方程1=+y x 可以确定一个定义在[0,1]上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即但并不是所有隐函数都可以用x 的显函数形式来表示,如0=++y x e xy 因为y 我法用初等函数表达,故它不是初等函数.另外还需注意,并不是任何一个方程都能确定隐函数,如0122=++y x .（五）分段函数有些函数,对于其定义域内的自变量x 的不同值,不能用一个统一的解析式表示,而是要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如 都是定义在（－∞,＋∞）上的分段函数.分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义.二、极限（不在考试大纲内,只需了解即可）极限是微积分的基础. （一）数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如n n a a a a ⋅ 21,称为通项. 1．极限定义【定义】 设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作否则称数列{}n a 发散或n n a ∞→lim 不存在.2．数列极限性质（1）四则极限性质 设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim ,则（2）a x a x k n n n n =⇔=+∞→∞→lim lim （k 为任意正整数）.（3）若a x n n =∞→lim ,则数列{}n x 是有界数列.（4）夹逼定理 设存在正整数0N ,使得0N n ≥时,数列{}{}{}n n n z y x ,,满足不等式n n n y x z ≤≤. 若a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ,则a x n n =∞→lim . 利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim （=,是一个无理数）. （5）单调有界数列必有极限 设数列{}n x 有界,且存在正整数0N ,使得对任意0N n ≥都有n n x x ≤+1（或n n x x ≥+1）,则数列{}n x 的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim （=,是一个无理数）. （二）函数的极限1．∞→x 时的极限【定义】 设函数)(x f 在)0(||>≥a a x 上有定义,当∞→x 时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当∞→x 时以A 为极限,记作当+∞→x 或-∞→x 时的极限当x 沿数轴正（负）方向趋于无穷大,简记+∞→x （-∞→x ）时,)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当+∞→x （-∞→x ）时以A 为极限,记作 3．0x x →时的极限【定义】 设函数)(x f 在0x 附近（可以不包括0x 点）有定义,当x 无限接近)(00x x x ≠时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称当0x x →时,)(x f 以A 为极限,记作 4．左、右极限若当x 从0x 的左侧（0x x <）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的左极限,记作.)(lim 0A x f x x =-→ 或 A x f =-)0(0若当x 从0x 的左侧（0x x >）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的右极限,记作.)(lim 0A x f x x =+→ 或 A x f =+)0(0（三）函数极限的性质 1．惟一性若,B x f A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00则A=B . 2．局部有界性若A x f x x =→)(lim 0.则在0x 的某邻域内（点0x 可以除外）,)(x f 是有界的. 3．局部保号性若A x f x x =→)(lim 0.且A ＞0（或A ＜0＝,则存在0x 的某邻域（点0x 可以除外）,在该邻域内有)(x f ＞0（或)(x f ＜0＝。
微积分的原理
微积分的原理
微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律和空间的曲线、曲面等性质。
微积分的主要原理有三大基本定理：微分定理、积分定理和泰勒展开定理。
微分定理是微积分的基础，它描述了函数的局部变化规律。
根据微分定理，如果一个函数在某一点连续可微，则该函数在该点的微分等于其在该点的导数与自变量的增量的乘积。
积分定理则讨论了函数的整体变化情况。
根据积分定理，如果一个函数在一段闭区间上连续，那么该函数在这段闭区间上的积分等于该函数在这段闭区间两端点的值之差。
泰勒展开定理是微积分中的重要工具，它可以将一个光滑函数在某一点附近展开成幂级数形式。
泰勒展开定理可以帮助我们研究函数在某点的性质，比如函数在该点的极值或拐点等。
除了以上三个基本定理，微积分还包含了一系列重要的概念和理论，比如导数、不定积分、定积分、微分方程等。
这些概念和理论构成了微积分的核心内容，为我们分析和解决各种实际问题提供了强有力的工具。
总的来说，微积分是一门探究函数变化规律和空间曲线性质的数学学科，通过微分和积分的运算，可以对函数进行分析和计算。
微积分的原理包括微分定理、积分定理以及泰勒展开定理等，这些原理构成了微积分的基础。
微积分定理和公式
一、函数定义 设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数的值域.xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.定义域D 或记f D 与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.二函数的几何特性 1．单调性1定义 设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增或单增；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.2．有界性定义 设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.定义 设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使得|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数.定义 设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇偶函数.奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原点.偶函数的图形关于y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律： 设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则)()(21x f x f ±为奇函数；)()(21x g x g ±为偶函数； )()(11x g x f ±非奇偶函数；)()(11x g x f ⋅为奇函数；)()(),()(2121x g x g x f x f ⋅⋅均为偶函数.常数C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 4．周期性定义 设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意D x ∈,恒有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数考纲不要求,除此以外知之甚少.][x x y -=是以1为周期的周期函数.][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1a 和图1-1b 所示.三初等函数 1．基本初等函数1常数函数 C y =,定义域为-∞,+∞,图形为平行于x 轴的直线.在y 轴上的截距为c .2幂函数 αx y =,其定义域随着α的不同而变化.但不论α取何值,总在1,+∞内有定义,且图形过点1,1.当α＞0时,函数图形过原点图1-2a b图1-23指数函数 )1,0(≠=ααα xy ,其定义域为-∞,+∞.当0＜α＜1时,函数严格单调递减.当α＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点0,1.微积分中经常用到以e 为底的指数函数,即xe y =图1-34对数函数 )1,0(log ≠=ααα x y ,其定义域为1,+∞,它与xy α=互为反函数.微积分中常用到以e 为底的对数,记作nx y 1=,称为自然对数.对数函数的图形过点1,0图1-4图1-3 图1-4 另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f b a x b a x f ),,(,),()(∈对任意区间内二阶可导在″)(x ＜0.则 1f ′)(x 在),(b a 内严格单调减少；2)(x f 在),1(b 上为凸弧,均不充分. 此题可以用举例的方法来说明1、2均不充分.由初等函数的图形可知,4x y -=为凸弧.y ′=34x -在－∞,∞＋上严格单调递减,但y ″=-122x ≤0,因此1,2均不充分,故选E.此题若把题干改成f ″)(x ≤0,则1,2均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2．反函数定义 设函数)(x f y =的定义域为D ,值域为R ,如果对于每一个R y ∈,都有惟一确定的D x ∈与之对应,且满足)(x f y =x 是一个定义在R 以y 为自变量的函数,记作并称其为)(x f y =反函数.习惯上用x 作自变量,y 作因变量,因此)(x f y =反函数常记为R x x f y ∈=-),(1.函数)(x f y =与反函数)(1x fy -=的图形关于直线x y =对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.x y a y a xlog ==与互为反函.∈=x x y ,20,+∞的反函数为x y =,而∈=x x y ,2－∞,0的反函数为x y -=图1-2b.3．复合函数定义 已知函数f f R y D u u f y ∈∈=,),(.又D x x u ∈=),(ϕϕ,u ≤R ϕ,若ff R D 非空,则称函数为函数)()(x u u f y ϕ==与的复合函数.其中y 称为因变量,x 称为自变量,u 称为中间变量.4．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.四隐函数若函数的因变量y 明显地表示成)(x f y =的形式,则称其为显然函数.1),13(1,222-=-==x y x n y x y 等.设自变量x 与因变量y 之间的对应法则用一个方程式0),(=y x F 表示,如果存在函数)(x f y =不论这个函数是否能表示成显函数,将其代入所设方程,使方程变为恒等式： 其中f D 为非空实数集.则称函数)(x f y =由方程0),(=y x F 所确定的一个隐函数.如方程1=+y x 可以确定一个定义在0,1上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即但并不是所有隐函数都可以用x 的显函数形式来表示,如0=++y x exy因为y 我法用初等函数表达,故它不是初等函数.另外还需注意,并不是任何一个方程都能确定隐函数,如0122=++y x .五分段函数有些函数,对于其定义域内的自变量x 的不同值,不能用一个统一的解析式表示,而是要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如 都是定义在－∞,＋∞上的分段函数.分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义.二、极限不在考试大纲内,只需了解即可极限是微积分的基础. 一数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如n n a a a a ⋅ 21,称为通项. 1．极限定义定义 设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作否则称数列{}n a 发散或n n a ∞→lim 不存在. 2．数列极限性质1四则极限性质 设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim ,则2a x a x k n n n n =⇔=+∞→∞→lim lim k 为任意正整数.3若a x n n =∞→lim ,则数列{}n x 是有界数列.4夹逼定理 设存在正整数0N ,使得0N n ≥时,数列{}{}{}n n n z y x ,,满足不等式n n n y x z ≤≤.若a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ,则a x n n =∞→lim .利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim =,是一个无理数. 5单调有界数列必有极限 设数列{}n x 有界,且存在正整数0N ,使得对任意0N n ≥都有n n x x ≤+1或n n x x ≥+1,则数列{}n x 的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim =,是一个无理数. 二函数的极限 1．∞→x 时的极限 定义 设函数)(x f 在)0(||>≥a ax 上有定义,当∞→x 时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当∞→x 时以A 为极限,记作当+∞→x 或-∞→x 时的极限当x 沿数轴正负方向趋于无穷大,简记+∞→x -∞→x 时,)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当+∞→x -∞→x 时以A 为极限,记作3．0x x →时的极限定义 设函数)(x f 在0x 附近可以不包括0x 点有定义,当x 无限接近)(00x x x ≠时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称当0x x →时,)(x f 以A 为极限,记作4．左、右极限若当x 从0x 的左侧0x x <趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的左极限,记作.)(lim 0A x f x x =-→ 或 A x f =-)0(0若当x 从0x 的左侧0x x >趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的右极限,记作.)(lim 0A x f x x =+→ 或 A x f =+)0(0三函数极限的性质 1．惟一性若,B x f A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0则A=B . 2．局部有界性 若A x f x x =→)(lim 0.则在0x 的某邻域内点0x 可以除外,)(x f 是有界的.3．局部保号性若A x f x x =→)(lim 0.且A ＞0或A ＜0＝,则存在0x 的某邻域点0x 可以除外,在该邻域内有)(x f ＞0或)(x f ＜0＝;若A x f x x =→)(lim 0;且在0x 的某邻域点0x 可以除外有)(x f ＞0或)(x f ＜0＝,则必有A≥0或A ≤0;4．不等式性质若A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0,且A>B ,则存在0x 的某邻域点0x 可以除外,使)(x f >)(x g .若A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0.且在0x 的某邻域点0x 可以除外有)(x f <)(x g 或)(x f ≤)(x g ,则A ≤B ;5．四则运算 同数列四无穷小量与无穷大量 1．无穷小量的定义定义 若0)(lim 0=→x f x x ,则称)(x f 是0x x →时的无穷小量;若,)(lim 0∞=→x g x x 则称)(x f 是0x x →时的无穷大量;2．无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量; 3．无穷小量的运算性质i 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量; ii 无穷小量乘有界变量仍为无穷小量; iii 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量; 4．无穷小量阶的比较设0)(lim,0)(lim 0==→→x x a x x x x β,5．等价无穷小常用的等价无穷小：0→x 是,)0(~1)1(,1~1,~)1(1,~1≠-+-+-ααααaxx n x x x n x e xx等价无穷小具有传递性,即)(~)(x x βα,又)(~)(x x γβ; 等价无穷小在乘除时可以替换,即)(~)(),(~)(**x x x x ββαα,则)()(lim )()(lim **)()(0x x x x x x x x x x βαβα∞→→∞→→=或或第二讲 函数的连续性、导数的概念与计算重点：闭区间上连续函数的性质、导数的定义、几何意义、基本初等函数的求导公式、复合函数求导公式、导数的四则运算;三、函数的连续性一函数连续的概念 1．两个定义定义 设函数)(x f y =的定义域为D x D ∈0,;若)()(lim 00x f x f x x =→,则称0)(x x f 在点连续；若D x f 在)(中每一点都连续,则称0)(x x f 在点右连续;定义 若)()(lim 00x f x f x x =+→,则称0)(x x f 在点右连续; 若)()(lim 00x f x f x x =-→,则称0)(x x f 在点左连续;0)(x x f 在点连续0)(x x f 在⇔点既左连续又右连续;2．连续函数的运算连续函数经过有限次四则运算或复合而得到的函数仍然连续,因而初等函数在其定义区间内处处连续;二间断点1．若)(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→与都存在,且不全等于)(0x f ,则称0x 为)(x f 的第一类间断点; 其中若)(lim 0x f x x →存在,但不等于)(0x f 或)(x f 在0x 无定义,则0x 为)(x f 的可去间断点;若)(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→与都存在,但不相等,则称0x 为)(x f 的跳跃间断点;2．若)(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→与中至少有一个不存在,则称0x 为)(x f 的第二类间断点;三闭区间上连续函数的性质若)(x f 在区间],[b a 内任一点都连续,又)()(lim ),()(lim b f x f f x f bx x ==-+→→αα,则称函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续;1．最值定理设)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上必有最大值M 和最小值m ,即存在],[,21b a x x ∈,使],[,)(,)(,)(11b a x M x f m m x f M x f ∈≤≤==且;2．价值定理设)(x f 在],[b a 上连续,且m,M 分别是)(x f 在],[b a 上最小值与最大值,则对任意的],[M m k ∈,总存在一点k c f b a c =∈)(],,[使;推论1 设)(x f 在],[b a 上连续,m,M 分别为最小值和最大值,且mM <0,则至少存在一点0)(],,[=∈c f b a c 使;推论1 设)(x f 在],[b a 连续,且0)()(<⋅b f a f ,则一定存在],,[b a c ∈使0)(=c f ; 推论1,推论2又称为零值定理;第二章 导数及其应用一、导数的概念1．导数定义定义 设y=fx 在x 0的某邻域内有定义,在该邻域内给自变量一个改变量x ∆,函数值有一相应改变量)()(00x f x x f y -∆+=∆,若极限存在,则称此极限值为函数y=fx 在x 0点的导数,此时称y=fx 在x 0点可导,用⎥⎦⎤⎢⎣⎡===''000)(,,)(x x dx x df x x dyx dyx x y x f 或或或表示.若)(x f y =在集合D 内处处可导这时称fx 在D 内可导,则对任意D x ∈0,相应的导数)(0x f '将随0x 的变化而变化,因此它是x 的函数,称其为y=fx 的导函数,记作⎪⎭⎫⎝⎛''dx x df dxdy y x f )(,,)(或或或. 2．导数的几何意义若函数fx 在点x 0处可导,则)(0x f '就是曲线y=fx 在点x 0,y 0处切线的斜率,此时切线方程为))((000x x x f y y -'=-.当)(0x f '=0,曲线y=fx 在点x 0,y 0处的切线平行于x 轴,切线方程为)(00x f y y ==. 若fx 在点x 0处连续,又当0x x →时∞→')(x f ,此时曲线y=fx 在点x 0,y 0处的切线垂直于x 轴,切线方程为x=x 0.3．左、右导数定义 设fx 在点x 0点的左侧邻域内有定义,若极限 存在,则称此极限值为fx 在点x 0处的左导数,记为)(0x f -')(0x f -'=xx f x x f ∆-∆+-→∆)()(lim 000类似可以定义右导数.fx 在点x 0点处可导的充要条件是fx 在点x 0点处的左、右导数都存在且相等,即)()()(000x f x f x f +-'='⇔'存在存在.若fx 在a,b 内可导,且)(a f +'及)(b f -'都存在,则称fx 在a,b 上可导. 4．可导与连续的关系若函数0)(x x f y 在=点可导,则)(x f 在点0x 处一定连续. 此命题的逆命题不成立.邮导数定义,极限xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在可知,)(x f 在0x 点可导, 必有0→∆y ,故)(x f 在0x 点连续.但)(x f 在0x 点连续只说明当0→∆x 时,也有0→∆y ,而当y ∆的无穷小的阶低于x ∆时,极限即不存在,故)(x f 在0x 点不可导.只有y ∆与x ∆是同阶无穷小,或y ∆是比x ∆高阶的无穷小时,)(x f 在0x 点才可导. 例如,0||,31===x x y x y 在点连续,但不可导.二、导数的运算1．几个基本初等函数的导数 1.0='=y c y 2.,1-='=a aax y x y3x x x x e y e y na a y x y ='=='=,;1,4.1,1;11,log xy nx y na x y x y a ='=='=2．导数的四则运算 1)(])([x u c x u c '⋅='⋅； 2)()(])()([x v x u x v x u '+'='±；3)()()()()]()([x v x u x v x u x v x u '⋅+'⋅'=⋅；4)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡； 3．复合函数的导数设函数)(x u ϕ=在x 处可导,而函数)(u f y =在相应的点)(x u ϕ=处可导,则复合函数)]([x u f y =在点x 处可导,且dxdudu dy dx dy x x f dxdy⋅='⋅'=或)()]([ϕϕ.4．高阶导数二阶导数若函数 区间a,b 内可导,一般说来,其导数)(x f y '='仍然是x 的函数,如果)(x f y '=' 也是可导的,则对其继续求导数,所得的导函数称为)(x f 的二阶导数,记为2222)(,),(,dxx f d dx d x f y y ''''. 注 更高阶的导数MBA 大纲不要求,二阶导数主要用来判定极值、函数凹凸区间及拐点.导数的计算要求非常熟练、准确第三讲 微分、导数的应用重点：微分的概念及运算、求曲线切线方程的方法、函数单调区间、极值、最值的求法 三、微分1．微分的概念定义 设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义,若在其中给0x 一改变量x ∆,相应的函数值的改变量y ∆可以表示为其中A 与x ∆无关,则称)(x f 在0x 点可微,且称A x ∆为)(x f 在0x 点的微分,记为x A ∆是函数改变量y ∆的线性主部.)(x f y =在0x 可微的充要条件是)(x f 在0x 可导,且)(00x x f x x dy ∆'==.当x x f =)(时,可得x dx ∆=,因此由此可以看出,微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.2微分的几何意义 当x 由0x 变到x x ∆+0时,函数纵坐标的改变量为y ∆,此时过0x 点的切线的纵坐标的改变量为dy.如图2-1所示.当dy <y ∆时,切线在曲线下方,曲线为凹弧. 当dy >y ∆时,切线在曲线上方,曲线为凸弧.2．微分运算法则 设)(),(x v x u 可微,则 一阶微分形式不变性：设)]([x f y ϕ=是由可微函数)(u f y =和)(x u ϕ=复合而成,则)]([x f y ϕ=关于x 可微,且由于du u f dy )('=,不管u 是自变量还是中间变量,都具有相同的形式,故称一阶微分形式不变.但导数就不同了：若u 是自变量,)(u f y '='.若u 是中间变量,x u u f y x u u '⋅'='=则),(.四、利用导数的几何意义求曲线的切线方程求切线方程大致有四种情况,最简单的一种是求过曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x 的切线方程,此时只需求出)(0x f ',切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-.第二种情况是过曲线)(x f y =外一点a,b ,求曲线的切线方程,此时)(a f b ≠.设切点为))(,(00x f x ,切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-,将点a,b 代入方程中,有))(()(000x a x f x f b -'=-从中求出0x ,化成第一种情况的切线方程,若得到0x 惟一,则切线也不惟一.第三种情况是求两条曲线的公共切线,这两条曲线可能相离,也可能相交.设两曲线为)()(x g y x f y ==与解题方法是设在两条曲线上的切点分别为))(,()),(,(b g b a f a 这两点的切线斜率相等,从而有方程).()(b g a f '=' ①另外过点)(,a f a 的切线方程))(()(a x a f a f y -'=-也过点b,gb ,故有))(()()(a b a f a f b g -'=- ②由①、②求出a,b ,有了切点,切线方程也就可以写出来了. 第四种情况是求两条曲线在某公共点处的公切线.设曲线)()(x g y ax f y ==与在某点处相切,求a 的值与切线方程.则可设切点为))(,(0x g x ,从而有)())(()()(0000x g x x ax f x g ax f '=='=,由两方程联和可得a 的值及切点横坐标0x .即切点))(,(00x g x ,再由第一种情况,写出切线方程.五、函数的增减性、极值、最值1．函数的增减性的判定设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在a,b 内可导,若)0)((0)(<'>'x f x f 或,则)(x f 在a,b 上单调增加或单调减少.反之,若)(x f 在a,b 上单调增加或单调减少且可导,则)0)((0)(≤'≥'x f x f 或.二者的差异在于有没有等号.2．极值概念与判定定义 设)(x f 在0x 的某邻域内有定义,对该邻域内任意点x ,都有)(x f ≥)(0x f 或)(x f ≥)(0x f ,则称)(0x f 为极大值或极小值0x 为极大值点或极小值点.需要注意的是,极值点一定是内点,极值不可能在区间的端点取到.1极值存在的必要条件：若)(x f 在0x 点可导,且0x 为极值点,则)(0x f '=0.因此,极值点只需在)(x f '=0的点驻点或)(x f '不存在的点中去找,也就是说,极值点必定是)(x f '=0或)(x f '不存在的点,但这种点并不一定都是极值点,故应加以判别.2极值存在的充分条件,即极值的判别法,分为第一判别法和第二判别法.第一判别法用一阶导数判定.高)(x f 在0x 点连续,且)(0x f '=0或)(0x f '不存在.若存在0>δ,使得当),(00x x x δ-∈时,有)(x f >0或)(x f 不存在,当),(00δ+∈x x x 时,有)(x f '<0或)(x f '>0,此时0x 为极大极小值点.)(0x f 为极大极小值.若)(x f '在0x 的左右不变号,则0x 不是极值点.第二判别法需用二阶导数判定,只适用于二阶导数存在且不为零的点,因此有局限性. 当)(0x f '=0,若0)(0>''x f ,则0x 为极小值点,若0)(0<''x f ,0x 为极大值点,0)(0=''x f 判别法失效,仍需用第一判别法.3．函数在闭区间a,b 上的最大值与最小值.极值是函数的局部性质.最值是函数的整体性质.求最大值与最小值只需找出极值的可疑点驻点和不可导点,把这些点的函数值与区间的端点函数值比较,找出最大的与最小的即为最大值和最小值,相应的点为最大值点和最小值点.第四讲 函数图形的凹凸性、拐点、不定积分重点：函数图形凹凸区间及拐点求法、找原函数的换元积分法和分部积分法六、函数图形的凹凸性、拐点及其判定1．概念定义 若在某区间内,曲线弧上任一点处的切线位于曲线的下方,则称曲线在此区间内是上凹的,或称为凹弧简记为 ；反之,切线位于曲线上方,则称曲线是上凸的,亦称凸弧简记为,曲线凹、凸的分界点称为拐点.2．凹凸的判定设函数)(x f y =在区间a,b 内二阶可导,若在a,b 内恒有)(x f ''>0或)(x f ''<0,则曲线)(x f y =在a,b 内是凹弧或凸弧.3．拐点的求法与判定拐点存在的必要条件是)(0x f ''=0或)(0x f ''不存在请与极值比较其共性.设)(x f 在a,b 内二阶可导,)(0)(),,(000x f x f b a x ''=''∈或不存在,若)(x f ''在0x 点的左右变号,则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点,否则就不是拐点.由以上可以看出,要求函数的单调区间和极值点,只要找出其一阶导数等于零和一阶导不存在的点,设这种点一共有k 个,则这个k 个点把整个区间分成k+1个子区间,在每一个子区间内)(x f '不变号,由)(x f '>0或0)(<'x f 判定fx 在该子区间内单调递增或递减,同时也可以将极大值点和极小值点求出.求函数曲线的凹凸区间与拐点.只需求二阶导数等于零或二阶导数不存在的点,然后用上面的方法加以判定.第三章 定积分及其应用一、不定积分1．不定积分概念定义原函数 若对区间I 上的每一点x ,都有 则称Fx 是函数fx 在该区间上的一个原函数.原函数的特性 若函数fx 有一个原函数F x ,则它就有无穷多个原函数,且这无穷多个原函数可表示为Fx+C 的形式,其中C 是任意常数.定义不定积分 函数fx 的原函数的全体称为fx 的不定积分,记作⎰dx x f )(.若Fx 是fx的一个原函数,则定义原函数的存在性 在区间I 上连续的函数在该区间上存在原函数；且原函数在该区间上也必连续.2．不定积分的性质1积分运算与微分运算互为逆运算. 2⎰⎰≠=)0()()(k dx x f k dx x kf 常数3⎰⎰⎰±=±.)()()]()([dx x g dx x f dx x g x f3．基本积分公式4．求不定积分的基本方法和重要公式 1直接积分法所谓直接积分法就是用基本积分公式和不定积分的运算性质,或先将被积函数通过代数或三角恒等变形,再用基本积分公式和不定积分的运算性质可求出不定积分的结果.2换元积分法 I 第一换元积分法 公式 若⎰+=C u F du u f )()(,则=C u F +)( C x F +))((ϕ. 说明 1°运算较熟练后,可不设中间变量)(x u ϕ=,上式可写作2°第一换元积分法的实质正是复合函数求导公式的逆用.它相当于将基本积分公式中的积分变量x 用x 的可微函数)(x ϕ替换后公式仍然成立.用第一换元积分法的思路 不定积分⎰dx x f )(可用第一换元积分法,并用变量替换)(x u ϕ=,其关键是被积函数gx可视为两个因子的乘积且一个因子)())((x x f ϕϕ是的函数是积分变量x 的复合函数,另一个因子)(x ϕ'是)(x ϕ的导数可以相差常数因子.有些不定积分,初看起来,被积函数不具有上述第一换元积分法所要求的特征,在熟记基本积分公式的前提下,注意观察被积函数的特点,将其略加恒等变形：代数或三角变形,便可用第一换元积分法.II 第二换元积分法 公式⎰dx x f )( ⎰'dt t t f )())((ϕϕ C t F +)( 说明 第二换元积分法与第一换元积分法实际上正是一个公式从两个不同的方向运用用第二换元积分法的思路 若所给的积分⎰dx x f )(不易积出时,将原积分变量x 用新变量t 的某一函数)(t ϕ来替换,化成以t 为积分变量的不定积分⎰'dt t t f )())((ϕϕ,若该积分易于积出,便达到目的;被积函数是下述情况,一般要用第二换元积分法：1°被积函数含根式t b ax b a b ax n n =+≠+令时可以是,)0,0(,求其反函数;作替换)(1b t ax n -,可消去根式,化为代数有理式的积分; 变量替换令)(t x ϕ=变量替换令)(t x ϕ=第一换元法令令第一换元法ux x u ==)()(ϕϕ2°被积函数含根式a e x ±时,令t a e x =±,求其反函数,作替换)(12a t n x ±=可消去根式;被积函数含指数函数)(xxe a 或,有时也要作变量替换：令)(t e t a xx==或,设)1(111nt x nt nax ==或,以消去)(x x e a 或; 3分部积分法 公式⎰⎰'-='或dx x u x v x v x u dx x v x u )()()()()()(说明 分部积分法是两个函数乘积求导数公式的逆用; 用分部积分法的思路 I 公式的意义 欲求⎰'dx v u求⎰'.dx u vII 关于选取u 和v '用分部积分法的关键是,当被积函数看作是两个函数乘积时,选取哪一个因子为)(x u u =,哪一个因子为)(x v v '='.一般来说,选取u 和v '应遵循如下原则:1°选取作v '的函数,应易于计算它的原函数;2°所选取的u 和v ',要使积分⎰'dx u v 较积分⎰'dx v u 易于计算;3°有的不定积分需要连续两次或多于两次运用分部积分法,第一次选作v '或u 的函数,第二次不能选由v '或u 所得到的v 或v '.否则,经第二次运用,被积函数又将复原.Ⅲ分部积分法所适用的情况由于分部积分法公式是微分法中两个函数乘积的求导数公式的逆用,因此,被积函数是两个函数乘积时,往往用分部积分法易见效.5.求不定积分需要注意的问题1由于初等函数在其有定义的区间上是连续的,所以每个初等函数在其有定义的区间上都有原函数,但初等函数的原函数并不都是初等函数.例如nxe e e xx x 11,,,122-等的原函数就无法用初等函数表示.2对同一个不定积分,采用不同的计算方法,往往得到形式不同的结果.这些结果至多相差一个常数,这是由于不定积分的表达式中含有一个任意常数所致.第五讲重点：定积分的概念、性质、变限求导、牛顿-菜布尼兹公式、定积分的换元积方法和分部积分法二、定积分1．定积分的定义定义定积分 函数)(x f 在区间a,b 上的定积分定义为∑⎰=→∆∆==ni iix baxf dx x f I 1)(lim)(ξ,其中||max 1i ni x x ∆=∆≤≤.由定积分的定义,可推出以下结论:1定积分只与被积函数和积分区间有关; 2定积分的值与积分变量无关,即⎰⎰=babadt t f dx x f )()(;3⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(,特别地,⎰=aadx x f 0)(.定积分的几何意义 设)(x f 在a,b 上边续,⎰badx x f )(在几何上表示介于i 轴、曲线y =)(x f 及直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和,在x 轴上方取正号,在x 轴下方取负号.利用定积分的几何意义,可以计算平面图形的面积,也是考纲中要求的定义应用内容. 定理可积的必要条件 若函数)(x f 在区间a,b 上可积,则)(x f 在a,b 上有界. 定理可积的充分条件 若函数)(x f 在区间a,b 上连续,则)(x f 在a,b 上可积.定理可积的充分条件 在区间a,b 上只有有限个间断点的有界函数)(x f 在该区间上可积.2.定积分的性质设)(x f ,)(x g 在a,b 上可积 1⎰⎰=baba k dx x f k dx x kf ,)()(为常数;2⎰⎰⎰±=±bababa dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([;3对积分区间的可加性 对任意三个数a,b,c,总有 4比较性质 设],[),()(b a x x g x f ∈≤,则⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(.特别地1°若],[,0)(b a x x f ∈≥,则0)(≥⎰badx x f ;2°⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(|)(5⎰-=baa b dx .定理估值定理 若)(x f 在a,b 上的最大值与最小值分别为M 与m ,则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰.定理积分中值定理 若)(x f 在a,b 上连续,则在a,b 上至少存在一点ξ,使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ.上式若写成⎰-=ba dx x f ab f )(1)(ξ,该式右端称为函数)(x f 在区间a,b 上的平均值. 3.微积分学基本定理定理原函数存在性定理 若函数)(x f 在区间a,b 上连续,则函数 是)(x f 在a,b 上的一个原函数,即)()()(x f dt t f dx d x xa =⎪⎭⎫ ⎝⎛=Φ'⎰.设)(),(x x ψϕ可导 推论1 设⎰=Φϕadt t f x )()(,则)())(()(x x f x ϕϕ'=Φ'.推论2 设⎰=Φ)()()()(x x dt t f x ϕψ,则)())(()())(()(x x f x x f x ψψϕϕ'-'=Φ'.推论3 ⎰=Φ)()()()(x adt x g t f x ϕ,则)())(()()()()()()()()(x x f x g dt t f x g dt t f x g x x a x a ϕϕϕϕ'+'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ'⎰⎰. 定理牛顿-莱布尼茨公式 若函数)(x f 在区间a,b 上连续,)(x F 是)(x f 在a,b 上的一个原函数,则)()()()(a F b F abx F dx x f ba-==⎰.上述公式也称为微积分基本定理,是计算定积分的基本公式. 4.计算定积分的方法和重要公式 1直接用牛顿-莱布尼茨公式这时要注意被积函数)(x f 在积分区间a,b 上必须连续. 2换元积分法公式 设函数)(x f 在区间a,b 上连续,而函数)(t x ϕ=满足下列条件:1°)(t ϕ在区间],[βα上是单调连续函数; 2°b a ==)(,)(βϕαϕ; 3°],[)(βαϕ在t '上连续, 则⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)())(()(.该公式从右端到左端相当于不定积分的第一换元积分法;从左端到右端相当于不定积分的第二换元积分法,即用定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法思路是一致的.作变量替换是,要相应地变换积分上下限.3分部积分法公式 设函数)(),(x v x u 在区间a,b 上有连续的导数,则⎰⎰'-='babadx x u x v a b x v x u dx x v x u )()()()()()(. 用该公式时,其思路与不定积分法的分部积分法是相同的.除此此外,当被积函数为变上限的定积分时,一般要用分部积分法.例如,设⎰⎰=xcbadx x f dt t x f )(,)()(求ϕ,这时,应设dx dv x f u ==),(.4计算定积分常用的公式 1°202241a dx x a aπ=-⎰.2°奇偶函数积分 设],[)(a a x f -在上连续,则 3°⎰⎰⎰-+=-+=--a aaaadx x f x f dx x f x f dx x f 0)]()([)]()([21)(.计算定积分,当积分区间为-a,a 时,应考虑两种情况:其一是函数的奇偶性;其二是作变量替换u x -=,用上述公式3°,当公式右端的积分易于计算时,便达目的.4°周期函数积分 设)(x f 是以T 为周期的周期函数,则⎰⎰=+TTa adx x f dx x f 0)()(.5°若)(x f 以T 为周期且是奇函数,则第六讲重点：广义积分、利用定积分的性质还应平面图形面积直角坐标系下.5.广义积分 前面引进的定积分⎰badx x f )(有两个特点:积分区间为有限区间;被积函数)(x f 在a,b 上。
微积分学基本定理(2018-2019)
微积分定理
∫
b
a
f ( x )dx
的关键是找到满足 f ( x ) = F ′( x ) 的函数 F (x) ，通常 的关键是找到满足 我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的 四则运算法则从反方向上求出 F (x)。 。
巩固练习
小结
微积分基本定理： ＊ 微积分基本定理： 即牛顿即牛顿-莱布尼茨公式
f (x) = F′(x)
2 = 3
例题3 例题
析： x)′ = cos x，则cos x的一个原函数是 x。 (sin 的一个原函数是sin 。 的一个原函数是 解： 由牛顿-莱布尼茨公式可得 莱布尼茨公式可得： 由牛顿 莱布尼茨公式可得：
π
∫
0
cos xdx = sin x π = sin π − sin 0 = 0 0
v(t0 )∆t1 + v(t1 )∆t2 + L + v(tn−1 )∆tn→ s(b) − s( a)
b 积分表示为 s(b) − s(a) = v(t )dt ∫ a
∵ v( t ) = s ′(t ) ∴ s(b ) − s( a ) = s′(t )dt ∫
a b
积分与导数的联系 微积分基本定理： 微积分基本定理： F (x)是f (x) 的一个原函数 是
原函数的端点 f (x)dx = F(x) =F(b) − F(a) 函数值之差
b a
所以求定积分就是要寻找被积函数的原函数。 所以求定积分就是要寻找被积函数的原函数。
计算下列定积分： 例1 计算下列定积分： （1） 2xdx ）
0
∫பைடு நூலகம்
1
（2） x 2 dx ）
0
∫
1
（3）∫ cos xdx ）
-53微积分基本定理
1
1 x2 2
1 2
(2) lim x0
x 0
2
arctan(1t)dtdu
0
lim
x2
arctan(1t)dt
0
x(1cosx)
x0 1cosxxsinx
lxi m0 22xsianrcxtanx(1cosxx2)lxi m0 2arctan3(1cosxx2)x1sin(x14x2x2)2
f[(x)]'(x)f[(x)]'(x)
5
例3 .
d x3 dx x2
dt 1 t2
1 (x3) 1 x6
1 (x2 ) 1 x4
3x2 2x 1 x6 1 x4
例4. lim x0
0 sin t 2dt
2x
x3
lim
x0
§5.2 微积分基本定理
一、积分上限的积分函数及其导数 二、牛顿—莱布尼茨 (Newton-Leibniz) 公式
1
5.2.1 积分上限函数
设函数 f (x) 在[a , b]上可积, x[a,b],
x
x
P(x) f (t)dt
a
(axb)
x
b
a
积分上限函数
定理5.2.1 如果函数 f (x) 在[a , b]上连续, 则函数
4
2
0
f (x 2)dx f (t)dt
dt 2 tet2 dt
1
1
11 cost 0
0 dt 1 2 cos 2 t
1 2et2d(t2) tan t 0 1 e t 2 2
20
微积分学基本定理(201911)
检校司空郑从谠为司空 威仪铙吹及九品以上 执刺史国湘 幂于神左 郑康成 戊寅 彰义军节度使张琏为凤翔西北行营招讨使 加幂 酌酒 魏博军乱 脱履 高宗谒昭陵 判户部萧寘同中书门下平章事 南面立 御史大夫徐彦若为中书侍郎 次东军鼓 少西 上圆下方 持鈒沄群立于两边 山南东道节度使刘 巨容奔于成都 执事者位于其后 以合《祭法》’远庙为祧 "礼毕 帨手取觯 其弟迁自称留后 敢辞 孙儒将王坛陷婺州 乙巳 议遂定 曰 代二州 其方位既别 是岁 宗庙之间 邮表畷 蒋伸罢 乙卯 宾 敢不从降 广 遂饮 冬以斝彝 伏诛 丙戌 象尊实盎齐 "令月吉日 穆宗 陈于门内 北面再拜 祔坐无 所施 绿绅 乃降西阶位 张谏以濠 礼部奏贡举人谒先师 礼部尚书豆卢宽 "某备将事 海渎之坛也 荆南节度使张瑰死之 叔〈忄责〉荣王 六月 皆无处所 为圆坛山南四里 执其节度使高骈 遂辞 望秩群神 "祫则献祖东向 客使各还次 大次于寝西南 室以斝彝实明水 无复可观 〈登瓦〉一 败绩 学生 辞于道左 东面县在东阶东 乙巳 十一月丁未 诣献祖尊彝所 分司东都 皇帝将复位 逐其刺史吕烨 观者立于都墠骑士仗外四周 四月庚子 黄巢陷越州 "祥有变 高八尺者 簠二 马殷陷郴 夫太公周之太师 茂贞不受命 东面 司农卿一人授耒耜于侍中 面柄 殿中监前受镇珪 李克用以兵屯于河中 皇帝 将至 定《礼乐》 三月辛未 秋释奠于齐太公 京师 孙偓罢都统 西面 加柶 黄帝以黄琮 "王 云南蛮寇嘉州 以后稷配官稷 皇帝乘马 朱全忠陷安州 典膳郎酌醴 又进设外官 四渎 自称留后 十二月丁未 蕃主俯伏避席 孙偓 日有食之 范晖死之 无下拜 高祖 执刺史沈夏 辛未 素韡 日有食之 冠之 皇太子席于室户西 宾东面辞曰 跪 自称观察使 社 诣第二等内官酒尊所 各监所部；太官令行蕃主以下食案 穷奇 二月辛卯 "京