91. 高一数学导学案古典概型(解析版)

10.1.3古典概型

导学案

【学习目标】

1.理解古典概型及其概率计算公式

2.会用列举法计算一些随机事件所含的样本点个数及事件发生的概率

3.掌握利用概率的性质求古典概型的概率的方法

【自主学习】

知识点1 古典概型的特点

①有限性：试验的样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

知识点2 古典概型的概率公式

对任何事件A，P(A)＝事件A包含的样本点个数

样本空间Ω包含的样本点个数

【合作探究】

探究一古典概型的判断

【例1】判断下列试验是不是古典概型：

(1)口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取1球，观察颜色后放回，直到取出红球；

(2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；

(3)射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数．

[分析]运用古典概型的两个特征逐个判断即可．

[解](1)每次摸出1个球后，仍放回袋中，再摸1个球．显然，这是有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型．

(2)从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊．因此该试验是古典概型．

(3)射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次．这都是样本点，但不是等可能事件．因此该试验不是古典概型．

归纳总结：

1.古典概型的判断方法：

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型.

2.下列三类试验都不是古典概型：

(1)样本点个数有限，但不等可能；

(2)样本点个数无限，但等可能；

(3)样本点个数无限，也不等可能.

【练习1】下列试验中是古典概型的是()

A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽

B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球

C ．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置

D ．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 【答案】B

解析：由古典概型的两个特征易知B 正确． 探究二 简单的古典概型的问题

【例2】有编号为A 1，A 2，…，A 10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：

(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率； (2)从这些一等品中，随机抽取2个零件， ①用零件的编号列出样本空间； ②求这2个零件直径相等的概率．

[分析] 首先，阅读题目，收集题目中的各种信息；其次，判断事件是否为等可能事件，并用字母A 表示所求事件；再次，求出事件的样本空间Ω包含的样本点个数n 及事件A 包含的样本点个数m ；最后，利用公式P (A )＝A 包含的样本点个数样本空间Ω包含的样本点个数＝m n ，

求出事件A 的概率．

[解] (1)由题表知一等品共有6个，设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35

.

(2)①一等品的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，从这6个一等品中随机抽取2个，样本空间Ω＝{(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，

(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)}，共15个样本点．

①将“从一等品中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件B ，则B 包含的样本点有(A 1，A 4)，(A 1，A 6)，(A 4，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 5)，(A 3，A 5)，共6个，①P (B )＝

615＝25

.

归纳总结：根据古典概型概率公式P (A )＝A 包含的样本点个数样本空间Ω包含的样本点个数＝m

n 进行解题．

【练习2】将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况． (1)一共有多少个不同的样本点？ (2)点数之和为5的样本点有多少个？ (3)点数之和为5的概率是多少？ 【答案】(1)36(个) (2)4 (3)1

9

解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有1,2,3,4,5,6，共6个样本点，故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有6×6＝36(个)不同的样本点． (2)点数之和为5的样本点有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4个．

(3)正方体骰子是质地均匀的，将它先后抛掷两次所得的36个样本点是等可能出现的，其中点数之和为5(记为事件A )的样本点有4个，因此所求概率P (A )＝436＝1

9.

探究三 较复杂的古典概型问题

【例3】在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求： (1)他获得优秀的概率为多少；

(2)他获得及格及及格以上的概率为多少．

[分析] 这是一道古典概率问题，须用列举法列出样本点个数．

[解] 设这5道题的题号分别为1,2,3,4,5，其中，该考生能答对的题的题号为4,5，则从这5道题中任取3道回答，该试验的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10个样本点．

(1)记“获得优秀”为事件A ，则随机事件A 中包含的样本点个数为3，故P (A )＝

3

10

. (2)记“获得及格及及格以上”为事件B ，则随机事件B 中包含的样本点个数为9，故P (B )＝9

10

.