统计学第十一章统计决策

第十一章统计决策
I.学习目的
本章对统计决策的基本理论、方法及其应用，作扼要的介绍。

通过学习，要求：1. 理解有关统计决策的基本概念与基本步骤，能够运用收益矩阵表与决策树形图表述所要研究的决策问题；2. 了解各种决策准则的特点与适用的场合，能够运用这些准则，进行完全不确定性决策与一般风险型决策；3. 了解贝叶斯决策的基本思想，掌握后验概率的计算方法，并在此基础上进行决策分析。

n.课程内容要点
第一节统计决策的基本概念
一、什么是统计决策所谓决策，就是在占有一定信息的基础上，利用各种方法，对影响特定目标的各种因素进行计算和分析，从而选择关于未来行动的“最佳方案”或“满意方案”的过程。

狭义的统计决策方法是一种研究非对抗型和非确定型决策问题的科学的定量分析方法。

开展统计决策研究，有助于避免决策的盲目性，提高决策的科学性。

二、统计决策的基本步骤
（一）确定决策目标；反映决策目标的变量，称为目标变量。

当决策所
要求达到的目标只有一个时，称为单目标决策。

当决策所要求达到的目标不
止一个时，称为多目标决策。

（二）拟定备选方案
备选方案是决策者可以调控的因素，备选方案中所调控的变量称为行动变量。

所有备选方案的集合称为行动空间。

（三）列出自然状态
所谓自然状态，是指实施行动方案时，可能面临的客观条件和外部环境。

所有可能出现的状态的集合称为状态空间，而相应的各种状态可能出现的概率的集合称为状态空间的概率分布。

（四）测算结果
（五）选择“最佳”或“满意”的方案
（六）实施方案
三、收益矩阵表
第二节完全不确定型决策
一、完全不确定型决策的准则
（一）最大的最大收益值准则
该准则又称乐观准则或“好中求好”准则。

在决策时，先选出各种状态下每个方案的最大收益值，然后再从中选择最大者，并以其相对应的方案作为所要选择的方案。

（二）最大的最小收益值准则
该准则又称悲观准则或“坏中求好”准则。

在决策时，先选出各种状态下每个方案的最小收益值，然后再从中选择最大者，并以其相对应的方案作为所要选择的方案。

(三)最小的最大后悔值准则后悔值又称机会损失值，即由于决策失误而造成的其实际收益值与最大可能收益值的差额。

最小的最大后悔值准则主张：应在求出后悔矩阵的
基础上，先选出各种状态下每个方案的最大后悔值，然后再从中选择最小者。

(四)折衷准则该准则认为，对未来的形势既不应该盲目乐观，也不应过分悲观。

主
张
根据经验和判断确定一个乐观系数3(0W3 w 1),以3和1—3分别作为最
大收益值和最小收益值的权数，计算各方案的期望收益值E(Q( a i )) E(Q( a i)) =3 Max{ q ij } +(1—3) Min {q ij } ii
以期望收益值最大的方案作为所要选择的方案。

(五)等可能性准则
该准则认为：既然我们不知道未来各种状态出现的可能性有多大，那么不妨假定其发生的概率相等。

在此基础上求各方案收益的期望值，并以期望收益值最大的方案作为所要选择的方案。

二、各种准则的特点和适用场合最大的最大收益值准则一般只有在客观情况确实很乐观，或者即使决策失误，也完全可以承受损失的场合才采用。

最大的最小收益值准则适用于对未来的状态非常没有把握，或者难以承受决策失误损失的场合。

最小的最大后悔值准则适用于不愿放过较大的获利机会，同时又对可能出现的损失有一定承受力的场合。

折衷准则事实上是假定未来可能发生的状态只有两种：即最理想状态和
最不理想状态。

前者发生的概率是a，后者发生的概率是(1 —a )。

当a =
1时，该准则等价于乐观准则，而当 a =0时，该准则等价于悲观准则。

实
际应用该准则时，应根据风险的大小、对未来状态的预计以及对决策失误的承受力，调整a 的赋值。

等可能性准则只适用于对未来各种状态发生的可能性完全心中无数的场合。

第三节一般风险型决策
一、自然状态概率分布的估计一般风险型决策中，所利用的概率包括客观概率与主观概率。

客观概率通常是由自然状态的历史资料推算或按照随机实验的结果计算出来的概率。

主观概率是根据相关的知识和经验估计得概率。

二、风险型决策的准则风险型决策常用的决策准则有以下几种：
（一）期望值准则该准则是一般风险型决策中应用最广泛的一个准则。

它是以各方案
收益的期望值的大小为依据，来选择合适的方案。

（二）变异系数准则在期望值达到一定数额的前提下，以变异系数作为选择方案的标准，以变异系数较低的方案作为所要选择的方案。

（三）最大可能准则该准则主张以最可能状态作为选择方案时考虑的前提条件。

将在最可能状态下，可实现最大收益值的方案作为最佳方案。

（四）满意准则利用这一准则进行决策，首先要给出一个满意水平。

所谓满意水平，是指决策者认为比较合理、可以接受的目标值。

然后，将各种方案在不同状态下的收益值与目标值相比较，并以收益值不低于目标值的累积概率为最大的方案作为所要选择的方案。

三、利用决策树进行风险型决策
决策树是求解风险型决策问题的重要工具，它是一种将决策问题模型化的树形图。

决策树由决策点、方案枝、机会点、概率枝和结果点组成。

利用决策树对方案进行比较和选择，一般采用逆向分析法，即从树形结构的末端的条件结果开始，从后向前逐步分析。

它特别适用于求解复杂的多阶段决策问题。

第四节贝叶斯决策
一、什么是贝叶斯决策
所谓贝叶斯决策，就是利用补充信息，根据概率计算中的贝叶斯公式来估计后验概率，并在此基础上对备选方案进行评价和选择的一种决策方法。

二、贝叶斯公式与后验概率的估计
设某种状态0 j的先验概率为P（9 j）,通过调查获得的补充信息为e k ,0 j给定时，e k 的条件概率（似然度）为P（e k / -），则在给定信息e k的条件下,9 j 的条件概率即后验概率pU j /e k）可用以下贝叶斯公式计算：
PQ) P(e k/^j)
P(可/ e k)
n
P^j) P(e k^j) jm
三、先验分析与后验分析
先验分析是利用先验概率进行决策，而后验分析则是利用后验概率作为选择与
判断合适方案的依据。

四、后验预分析
在正式进行补充信息的调查之前，先根据先验概率以及各种可能发生的
补充信息的结果，估计后验概率，比较收集补充信息所需的费用和收益，对是否值得进一步收集补充信息的问题作出判断，并选择最佳的收集补充信息的方案。

这一环节被称为后验预分析。

m.考核知识点与考核要求
」、统计决策的基本概念
（一）识记：1 .狭义的统计决策的概念；2.统计决策的基本步骤。

（二）领会: 1 ．行动空间；2．状态空间；3．状态空间的概率分布；4．收益矩阵。

（三）应用：将实际决策问题用收益矩阵表的形式表现出来。

二、完全不确定型决策
（一）识记：几种主要的决策准则。

（二）领会: 各种准则的特点和适用场合。

（三）应用：应用有关准则对实际问题进行完全不确定性决策。

三、一般风险型决策
（一）识记：1．客观概率与主观概率；2．几种主要的决策准则。

（二）应用：1．利用有关准则进行一般风险型决策；2．利用决策树进
行分析。

四、贝叶斯决策
（一）识记：1．贝叶斯决策的概念；2．先验分析与后验分析；3．完全信息价值与补充信息价值；4．后验预分析。

（二）领会：后验概率的计算；
（三）应用：对实际问题进行后验预分析与贝叶斯决策。

IV.习题详解
一、判断题
1. V
2. V
3. V
4. X
5. V
6. V
7. X
8. V
9. V 10. X
二、选择题
1 ．A.B.C.D.
2. B.
3. A.B.C.
4．D.
5. B.
二、计算题
1 •解：
(1)根据最大的最大收益值准则，应该选择方案一。

(2)根据最大的最小收益值准则，应该选择方案三。

(3)在市场需求大的情况下，采用方案一可获得最大收益，故有：
maxQ(a「耳)=400
i
在市场需求中的情况下，采用方案二可获得最大收益，故有：
maxQ(a「I) =200
i
在市场需求小的情况下，采用方案三可获得最大收益，故有：
maxQ(a i,巾)=0
i
根据后悔值计算公式r i^maxQ(a i^j) -q q ,可以求得其决策问题的后悔矩阵，如下表：
E(Q@)) =0.6 400 (1 -0.6) (-140)=184
(4)E(Q@2)) =0.6 200 (1 -0.6) (-20)=112 E(Q(a3))=0.6 0 (1-
0.6) 0=0
由于在所有可选择的方案中，方案一的期望收益值最大，所以根据折中原则，应该选择方案一
E(Q(a") = 13(400 100 -140) =120
(5)E(Q(a2)^ 13 (200 200 -20) =126.67
E(Q(a3)) = 13(0 0 0) =0
因为方案二的期望收益值最大，所以按等可能性准则，应选择方案二。

2•解：
(1) P{ Q ( a1, 0 j ) > 40}= 0.8
P{ Q ( a2, 0 j ) > 40}= 1
P{ Q ( a3, 0 j ) > 40}= 0.8
P{ Q ( a4, 0 j ) > 40}= 0.8
当满意水平为40万元时，在备选方案中，方案二达到满意水平的累积
概率最大，所以选择方案二。

(2) P{ Q ( a i, 0 j ) > 120}= 0.4
P{ Q ( a2, 0 j ) > 120}= 0
P{ Q ( a3, 0 j ) > 120}= 0
P{ Q ( a4, 0 j ) > 120}= 0
当满意水平为120万元时，在备选方案中，方案一达到满意水平的累积概率最大，所以选择方案一。

3•解：设由于飞机自身结构有缺陷造成的航空事故为刁，由于其它原因造成的航空事故为 n ,被判定属于结构缺陷造成的航空事故为e k ,则根据已
知的条件有：
P(6)=0.35, P(r2)=0.65, P(e k/冃)=0.80, P(e k / 召)=0.30
当某次航空事故被判断为结构缺陷引起的事故时，该事故确实属于结构缺陷的概率为：
P (3/e k)=『引陀宀)=
°35 °8
=0.589
2
0.35 0.8 0.65 0.3
PU j )卩©/刁)
j 仝
4. 解:
(1)
买到传动装置有问题的车的概率是
30%。

(2)
修理工判断车子有问题为 B 1,，车子真正有问
题为
A 1,
P(A 1/B 1)=(0.3*0.9)/(0.3*0.9+0.7*0.2)= 66%
(3)
修理工判断车子没有问题为 B 2，车子真正有
问题为 A 1
P(A 1/B 2)=(0.3*0.1)/(0.3*0.1 +0.7*0.8)= 5%
5. 解：
该问题的决策树图如下：
(1) 根据现有信息，生产该品种的期望收益为 41.5万元大于不生产的
期望收益，因此可生产。

(2) 自行调查得出受欢迎结论的概率
=0.65*0.7+0.35*0.30=0.56
，
市场欢迎的后验概率 =0.65*0.7/0.56=0.8125
期望收益值=(77*0.8125 -33*0.1875)0.56+(-3*0.44) =30.25 万元
自行调查的可靠性不高，并要花费相应的费用，其后验分析最佳方案的 期望收益值小于先验分析最佳方案的期望收益，所以不宜采用该方案。

(3) 委托调查得出受欢迎结论的概率 =0.65*0.95 +0.35*0.05 =0.6825
市场欢迎的后验概率 =0.65*0.95 /0.6825=0.9744
期望收益=(75*0.9744 -35*0.0256 )0.6825 +( -5*0.3175)=47.67 万元 委托调查虽然要付出较高的费用，但比较可靠，其后验分析最佳方案的 期望收益大于先验分析最佳方案的期望收益，所以应采用该方案。

生产
0.56
0.44
0.3175
41.5 受欢迎(0.65) -5 :■-
不受欢迎(0.35)
56.375 J
(不生产)
72.184
(不生产)
生产
生产
56 375 受欢迎(0.8125) -8
■. 不受欢迎(0.1875)
72 184 受欢迎(0.9744)
不受欢迎(0.0256)
-30 0
77 -33 -3 -3
75
-35
-5
-5
1
得到受欢迎结论
得到不受欢迎结论 得到不受欢迎结论 不生产
得到受欢迎结论
0.6825
不生产。