重点中学中考数学冲刺试卷两套汇编五附答案解析

2017年重点中学中考数学冲刺试卷两套汇编五附答
案解析
2017年中考数学模拟试卷
一、选择题
1．与无理数最接近的整数是〔〕
A．1 B．2C．3 D．4
2．若在实数范围内有意义,则x的取值范围是〔〕
A．x≠1 B．x＞﹣1C．x≠﹣1 D．x＜﹣1
3．下面计算正确的是〔〕
A．a4•a2=a8B．b3+b3=b6C．x6÷x2=x3D．〔y2〕4=y8
4．已知一个布袋里装有2个红球,3个白球和a个黄球,这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球,是红球的概率为,则a等于〔〕
A．1 B．2C．3 D．4
5．下列运算正确的是〔〕
A．〔a﹣b〕2=a2﹣b2B．〔1+a〕〔a﹣1〕=a2﹣1
C．a2+ab+b2=〔a+b〕2D．〔x+3〕2=x2+3x+9
6．如图,线段AB两个端点的坐标分别为A〔6,6〕,B〔8,2〕,以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点C的坐标为〔〕
A．〔3,3〕B．〔4,3〕C．〔3,1〕D．〔4,1〕
7．一物体与其主视图如图所示,则它的左视图与俯视图分别是下列图形中的〔〕
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
8．下列图形都是按照一定规律组成,第一个图形中共有2个三角形,第二个图形中共有8个三角形,第三个图形中共有14个三角形,…,依此规律,第五个图形中三角形的个数是〔〕
A．22 B．24C．26 D．28
9．##市光谷实验中学九〔1〕班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况,采取全面调查的方法,从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好,根据调查的结果组建了4个兴趣小组,并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图〔如图①,②,要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类〕,下列说法错误的是〔〕
A．九〔1〕班的学生人数为40
B．m的值为10
C．n的值为20
D．表示"足球"的扇形的圆心角是70°
10．如图,点C是⊙O上一点,⊙O的半径为,D、E分别是弦AC、BC上一动点,且OD=OE=,则AB的最大值为〔〕
A．B．C．D．
二、填空题
11．计算﹣2+〔﹣5〕=．
12．"天上星星有几颗,7后跟上22个0”,这是国际天文学联合会上宣布的消息,用科学记数法表示宇宙空间星星颗数．
13．如图,一个转盘被分成7个相同的扇形,颜色分为红、黄、绿三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置〔指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形〕,则指针指向红色的概率为．
14．将一副直角三角板如图放置,若AE∥BC,则∠CAD的度数是．
15．如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,连接AE、BF交于G,将△ABE绕点A逆时针方向旋转,使边AB正好落在AE上,将得到△AHM,AM和BF相交于点N．当正方形ABCD的面积为4时,则四边形GHMN的面积为．
16．抛物线y=x2﹣2x﹣3向左平移n个单位〔n＞0〕,平移后y随x增大而增大的部分为P,直线y=﹣3x﹣3向下平移n个单位,当平移后的直线与P有公共点时,则n的范围．
三、解答题〔共72分〕
17．解方程：6〔x﹣2〕=8x+3．
18．如图,在△ADF和△BCE中,∠A=∠B,点D、E、F、C在同一直线上,AD∥BC,且DE=CF,求证：BE=AF．
19．设中学生体质健康综合评定成绩为x分,满分为100分,规定：85≤x≤100为A级,75≤x≤85为B级,60≤x≤75为C级,x＜60为D级．现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩,整理绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中的信息,解答下列问题：
〔1〕在这次调查中,一共抽取了名学生,α=%；
〔2〕补全条形统计图；
〔3〕扇形统计图中C级对应的圆心角为度；
〔4〕若该校共有2000名学生,请你估计该校D级学生有多少名？
20．已知一次函数y1=x+b〔b为常数〕的图象与反比例函数y2=〔k为常数,且k≠0〕的图象相交于点P〔3,1〕．
〔1〕求这两个函数的解析式；
〔2〕若y1＞y2,请直接写出x的取值范围．
21．如图1,AB为半圆的直径,O为圆心,C为圆弧上一点,AD垂直于过C点的切线,垂足为D,AB的延长线交直线CD于点E．
〔1〕求证：AC平分∠DAB；
〔2〕如图2,连接OD交AC于点G,若=,求sin∠E的值．
22．为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策：由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y 〔件〕与销售单价x〔元〕之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．
〔1〕李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,则政府这个月为他承担的总差价为多少元？〔2〕设李明获得的利润为w〔元〕,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润？
〔3〕物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元,则政府为他承担的总差价最少为多少元？
23．如图1,共直角边AB的两个直角三角形中,∠ABC=∠BAD=90°,AC交BD于P,且tan∠C=．〔1〕求证：AD=AB；
〔2〕如图2,BE⊥CD于E交AC于F．
①若F为AC的中点,求的值；
②当∠BDC=75°时,请直接写出的值．
24．已知抛物线y=x2+2nx+n2+n的顶点为P,直线y=4x+3分别交x、y轴于点N、M．
〔1〕若点P在直线MN上,求n的值；
〔2〕是否存在过〔0,2〕的直线与该抛物线交于A、B两点〔点A在点B右侧〕．使AB为定长,若存在,求出AB的长；若不存在,请说明理由；
〔3〕在〔2〕的条件下,是否存在以AB为直径的圆Q经过点O？若存在,求这个圆圆心Q的坐标；若不存在．请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．与无理数最接近的整数是〔〕
A．1 B．2C．3 D．4
[考点]估算无理数的大小．
[分析]由于1＜3＜4,且3更接近4,则1＜＜2,于是可判断与最接近的整数为2．
[解答]解：∵1＜3＜4,
∴1＜＜2,
∴与无理数最接近的整数为2．
故选B．
[点评]本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
2．若在实数范围内有意义,则x的取值范围是〔〕
A．x≠1 B．x＞﹣1C．x≠﹣1 D．x＜﹣1
[考点]分式有意义的条件．
[分析]分式有意义时,分母不等于零,即x+1≠0,据此求得x的取值范围．
[解答]解：依题意得：x+1≠0,
解得x≠﹣1,
故选：C．
[点评]本题考查了分式有意义的条件．〔1〕分式有意义的条件是分母不等于零．〔2〕分式无意义的条件是分母等于零．
3．下面计算正确的是〔〕
A．a4•a2=a8B．b3+b3=b6C．x6÷x2=x3D．〔y2〕4=y8
[考点]同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
[分析]根据同底数幂相乘,底数不变指数相加；合并同类项法则；同底数幂相除,底数不变指数相减；幂的乘方,底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
[解答]解：A、a4•a2=a6,故A错误；
B、b3+b3=2b3,故B错误；
C、x6÷x2=x4,故C错误；
D、〔y2〕4=y8,故D正确．
故选：D．
[点评]本题考查同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方,熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．已知一个布袋里装有2个红球,3个白球和a个黄球,这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球,是红球的概率为,则a等于〔〕
A．1 B．2C．3 D．4
[考点]概率公式．
[分析]首先根据题意得： =,解此分式方程即可求得答案．
[解答]解：根据题意得： =,
解得：a=1,
经检验,a=1是原分式方程的解,
∴a=1．
故选：A．
[点评]此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．下列运算正确的是〔〕
A．〔a﹣b〕2=a2﹣b2B．〔1+a〕〔a﹣1〕=a2﹣1
C．a2+ab+b2=〔a+b〕2D．〔x+3〕2=x2+3x+9
[考点]平方差公式；合并同类项；完全平方公式．
[专题]计算题；整式．
[分析]A、原式利用完全平方公式化简得到结果,即可作出判断；
B、原式利用平方差公式计算得到结果,即可作出判断；
C、原式为最简结果,错误；
D、原式利用完全平方公式化简得到结果,即可作出判断．
[解答]解：A、原式=a2﹣2ab+b2,错误；
B、原式=a2﹣1,正确；
C、原式为最简结果,错误；
D、原式=x2+6x+9,错误,
故选B
[点评]此题考查了平方差公式,合并同类项,以与完全平方公式,熟练掌握公式与法则是解本题的关键．
6．如图,线段AB两个端点的坐标分别为A〔6,6〕,B〔8,2〕,以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点C的坐标为〔〕
A．〔3,3〕B．〔4,3〕C．〔3,1〕D．〔4,1〕
[考点]位似变换；坐标与图形性质．
[专题]几何图形问题．
[分析]利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
[解答]解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A〔6,6〕,B〔8,2〕,以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半,
∴端点C的坐标为：〔3,3〕．
故选：A．
[点评]此题主要考查了位似图形的性质,利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
7．一物体与其主视图如图所示,则它的左视图与俯视图分别是下列图形中的〔〕
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
[考点]由三视图判断几何体．
[分析]根据从上面看得到的图形是俯视图,从左面看得到的视图是左视图,可得答案．
[解答]解：从左面看下面是一个长方形,上面是一个长方形,故③符合题意,
从上面看左边一个长方形,中间一个长方形,右边一个长方形,故②符合题意．
故选：D．
[点评]本题考查了简单组合体的三视图,从上面看得到的图形是俯视图,从左面看得到的视图是左视图,注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
8．下列图形都是按照一定规律组成,第一个图形中共有2个三角形,第二个图形中共有8个三角形,第三个图形中共有14个三角形,…,依此规律,第五个图形中三角形的个数是〔〕
A．22 B．24C．26 D．28
[考点]规律型：图形的变化类．
[专题]规律型．
[分析]仔细观察图形,找到图形变化的规律,利用发现的规律解题即可．
[解答]解：第一个图形有2+6×0=2个三角形；
第二个图形有2+6×1=8个三角形；
第三个图形有2+6×2=14个三角形；
…
第五个图形有2+6×4=26个三角形；
故选：C．
[点评]本题考查了图形的变化类问题,解题的关键是仔细观察图形,发现图形变化的规律．
9．##市光谷实验中学九〔1〕班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况,采取全面调查的方法,从足
球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好,根据调查的结果组建了4个兴趣小组,并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图〔如图①,②,要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类〕,下列说法错误的是〔〕
A．九〔1〕班的学生人数为40
B．m的值为10
C．n的值为20
D．表示"足球"的扇形的圆心角是70°
[考点]条形统计图；扇形统计图．
[分析]由条形统计图和扇形统计图得到喜欢篮球的人数而后所占的百分比,求出人数,根据人数求出m、n,根据表示"足球"的百分比求出扇形的圆心角．
[解答]解：由图①和图②可知,喜欢篮球的人数是12人,占30%,
12×30%=40,则九〔1〕班的学生人数为40,A正确；
4÷40=10%,则m的值为10,B正确；
1﹣40%﹣30%﹣10%=20%,n的值为20,C正确；
360°×20%=72°,D错误,
故选：D．
[点评]本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
10．如图,点C是⊙O上一点,⊙O的半径为,D、E分别是弦AC、BC上一动点,且OD=OE=,则AB的最大值为〔〕
A．B．C．D．
[考点]垂径定理．
[分析]先判断出OD⊥AC、OE⊥BC时∠ACB最大,从而得到AB最大,连接OC,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠ACO=30°,再根据垂径定理和勾股定理求出AC,然后求出∠ACB=60°,再求出AC=BC,从而得到△ABC是等边三角形,最后根据等边三角形的性质可得AB=AC．[解答]解：如图,当OD⊥AC、OE⊥BC时∠ACB最大,AB最大,
连接OC,
∵⊙O的半径为2,OD=,
∴∠ACO=30°,
∴AC=2CD=2=2=2,
同理可得∠BOC=30°,
∴∠ACB=60°,
∵OD=OE,OD⊥AC、OE⊥BC,
∴AC=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=2,
即AB的最大值为2．
故选A．
[点评]本题考查了垂径定理,等边三角形的判定与性质,勾股定理,熟练掌握圆的性质并判断出AB取得最大值的情况是解题的关键．
二、填空题
11．计算﹣2+〔﹣5〕= ﹣7 ．
[考点]有理数的加法．
[分析]同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加．依此计算即可求解．
[解答]解：﹣2+〔﹣5〕=﹣7．
故答案为：﹣7．
[点评]本题考查有理数加法法则：
①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加．
②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加,仍得这个数．
12．"天上星星有几颗,7后跟上22个0”,这是国际天文学联合会上宣布的消息,用科学记数法表示宇宙空间星星颗数7×1022．
[考点]科学记数法—表示较大的数．
[专题]应用题．
[分析]科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数．确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时,n 是正数；当原数的绝对值小于1时,n是负数．
[解答]解：将"7后跟上22个0”用科学记数法表示为7×1022．
[点评]此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n 为整数,表示时关键要正确确定a的值以与n的值．
13．如图,一个转盘被分成7个相同的扇形,颜色分为红、黄、绿三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置〔指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形〕,则指针指向红色的概率为．
[考点]概率公式．
[专题]常规题型．
[分析]由一个转盘被分成7个相同的扇形,颜色分为红、黄、绿三种,红色的有3个扇形,直接利用概率公式求解即可求得答案．
[解答]解：∵一个转盘被分成7个相同的扇形,颜色分为红、黄、绿三种,红色的有3个扇形,
∴指针指向红色的概率为：．
故答案为：．
[点评]此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．将一副直角三角板如图放置,若AE∥BC,则∠CAD的度数是15°．
[考点]平行线的性质．
[分析]本题主要利用两直线平行,同旁内角互补与三角板的特征进行做题．
[解答]解：因为AE∥BC,∠B=60°,
所以∠BAE=180°﹣60°=120°；
因为两角重叠,
则∠CAD=90°+45°﹣120°=15°．
故答案为：15°．
[点评]本题考查了平行线的性质,三角板的知识,是基础题,熟记性质是解题的关键．
15．如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,连接AE、BF交于G,将△ABE绕点A逆时针方向旋转,使边AB正好落在AE上,将得到△AHM,AM和BF相交于点N．当正方形ABCD的面积为4时,则四边形GHMN的面积为．
[考点]旋转的性质；三角形中位线定理；正方形的性质．
[分析]先运用SAS定理得出Rt△ABE≌Rt△BCF,再利用角的关系求得∠BGE=90°,故可得出AE⊥BF,求出正方形的边长,再根据面积比等于相似边长比的平方,求得S△AGN=,再利用S四边形GHMN=S△AHM﹣S△AGN 求解．
[解答]解：∵E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点,
∴CF=BE,
在Rt△ABE和Rt△BCF中,
∵,
∴Rt△ABE≌Rt△BCF〔SAS〕,
∴∠BAE=∠CBF,
又∵∠BAE+∠BEA=90°,
∴∠CBF+∠BEA=90°,
∴∠BGE=90°,
∴AE⊥BF．
∵正方形ABCD的面积为4,
∴其边长为2．
∵∠BAE=∠EAM,AE⊥BF,
∴AN=AB=2,
∵∠AHM=90°,
∴GN∥HM,
∴△AGN∽△AHM,
∴=〔〕2,
∴=〔〕2,
∴S△AGN=,
∴S四边形GHMN=S△AHM﹣S△AGN=1﹣=,
∴四边形GHMN的面积是．
故答案为：．
[点评]本题考查的是旋转的性质,涉与到正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识,熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．
16．抛物线y=x2﹣2x﹣3向左平移n个单位〔n＞0〕,平移后y随x增大而增大的部分为P,直线y=﹣3x﹣3向下平移n个单位,当平移后的直线与P有公共点时,则n的范围n≥1 ．
[考点]二次函数图象与几何变换．
[分析]抛物线y=x2﹣2x﹣3向左平移n个单位后,则解析式为：y=〔x﹣1+n〕2﹣4,进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围．
[解答]解：∵抛物线y=x2﹣2x﹣3=〔x﹣1〕2﹣4,直线y=﹣3x﹣3,
抛物线向左平移n个单位后,则解析式为：y=〔x﹣1+n〕2﹣4,
则当x＞1﹣n时,y随x增大而增大,
直线向下平移n个单位后,则解析式为：y=﹣3x﹣3﹣n,
要使平移后直线与P有公共点,则当x=1﹣n,〔x﹣1+n〕2﹣4≤﹣3x﹣3﹣n,
即〔1﹣n﹣1+n〕2﹣4≤﹣3〔1﹣n〕﹣3﹣n,
解得：n≥1．
故答案为n≥1．
[点评]本题考查了二次函数的图象与几何变换,求得平移后的函数的解析式,根据题意列出不等式是解题的关键．
三、解答题〔共72分〕
17．解方程：6〔x﹣2〕=8x+3．
[考点]解一元一次方程．
[专题]计算题；一次方程〔组〕与应用．
[分析]方程去括号,移项合并,把x系数化为1,即可求出解．
[解答]解：去括号得：6x﹣12=8x+3,
移项合并得：﹣2x=15,
解得：x=﹣7.5．
[点评]此题考查了解一元一次方程,其步骤为：去分母,去括号,移项合并,把未知数系数化为1,求出解．
18．如图,在△ADF和△BCE中,∠A=∠B,点D、E、F、C在同一直线上,AD∥BC,且DE=CF,求证：BE=AF．
[考点]全等三角形的判定与性质．
[专题]证明题．
[分析]欲证：BE=AF,则证明两个角所在的两三角形全等即可．
[解答]证明：∵AD∥BC,
∴∠D=∠C,
∵DE=CF,
∴DE+EF=CF+EF,
∴DF=CE,
在△DAF和△CBE中,
,
∴△DAF≌△CBE,
∴BE=AF．
[点评]本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．
19．〔2014•##〕设中学生体质健康综合评定成绩为x分,满分为100分,规定：85≤x≤100为A级,75≤x≤85为B级,60≤x≤75为C级,x＜60为D级．现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩,
整理绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中的信息,解答下列问题：
〔1〕在这次调查中,一共抽取了50 名学生,α=24 %；
〔2〕补全条形统计图；
〔3〕扇形统计图中C级对应的圆心角为72 度；
〔4〕若该校共有2000名学生,请你估计该校D级学生有多少名？
[考点]条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
[专题]图表型．
[分析]〔1〕根据B级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数,再用A级的人数除以总数即可求出a；
〔2〕用抽取的总人数减去A、B、D的人数,求出C级的人数,从而补全统计图；
〔3〕用360度乘以C级所占的百分比即可求出扇形统计图中C级对应的圆心角的度数；
〔4〕用D级所占的百分比乘以该校的总人数,即可得出该校D级的学生数．
[解答]解：〔1〕在这次调查中,一共抽取的学生数是： =50〔人〕,
a=×100%=24%；
故答案为：50,24；
〔2〕等级为C的人数是：50﹣12﹣24﹣4=10〔人〕,
补图如下：
〔3〕扇形统计图中C级对应的圆心角为×360°=72°；
故答案为：72；
〔4〕根据题意得：2000×=160〔人〕,
答：该校D级学生有160人．
[点评]此题考查了是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．已知一次函数y1=x+b〔b为常数〕的图象与反比例函数y2=〔k为常数,且k≠0〕的图象相交于点P〔3,1〕．
〔1〕求这两个函数的解析式；
〔2〕若y1＞y2,请直接写出x的取值范围．
[考点]反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．
[分析]〔1〕由点P的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征可得出反比例函数系数k,由此即可得出反比例函数解析式；由点P的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
〔2〕联立两函数解析式,求出两函数交点坐标,画出图形,根据函数图象的上下位置关系即可得出结论．
[解答]解：〔1〕∵点P〔3,1〕在反比例函数图象上,
∴k=3×1=3,
∴反比例函数解析式为y2=；
将点P〔3,1〕代入y1=x+b中,
得：1=3+b,解得：b=﹣2,
∴一次函数解析式为y1=x﹣2．
〔2〕联立两函数解析式得：,
解得：或,
∴一次函数y1=x﹣2与反比例函数y2=的交点坐标为〔﹣1,﹣3〕和〔3,1〕．
依照题意画出图形,如下所示．
观察函数图形,发现：
当﹣1＜x＜0或x＞3时,一次函数图象在反比例函数图象上方,
∴当y1＞y2时,x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞3．
[点评]本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以与待定系数法求函数解析式,解题的关键：〔1〕利用待定系数法求出函数解析式；〔2〕画出函数图象,利用数形结合解决问题．本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目是,联立两函数解析式得出方程组,通过解方程组找出交点坐标,画出函数图象,利用数形结合解决问题是关键．
21．如图1,AB为半圆的直径,O为圆心,C为圆弧上一点,AD垂直于过C点的切线,垂足为D,AB的延长线交直线CD于点E．
〔1〕求证：AC平分∠DAB；
〔2〕如图2,连接OD交AC于点G,若=,求sin∠E的值．
[考点]切线的性质．
[专题]计算题．
[分析]〔1〕连结OC,如图1,先利用切线的性质得到OC⊥CD,再判断OC∥AD得到∠1=∠3,加上∠2=∠3,则有∠1=∠2,于是可判断AC平分∠DAB；
〔2〕连结OC,如图2,先证明△OCG∽△DAG得到==,则设OC=3x,则AD=4x,再证明△EOC∽△EAD,利用相似比可表示出EO=9x,然后在Rt△OCE中利用正弦的定义求sin∠E的值．
[解答]〔1〕证明：连结OC,如图1,
∵CD为切线,
∴OC⊥CD,
∵AD⊥CD,
∴OC∥AD,
∴∠1=∠3,
∵OA=OC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2,
∴AC平分∠DAB；
〔2〕解：连结OC,如图2,
∵OC∥AD,
∴△OCG∽△DAG,
∴==,
设OC=3x,则AD=4x,
∵OC∥AD,
∴△EOC∽△EAD,
∴EO：EA=OC：AD,即EO：〔EO+3x〕=3x：4x,
∴EO=9x,
在Rt△OCE中,sin∠E===．
[点评]本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系．也考查了垂径定理和矩形的性质．解决本题的关键是构建相似三角形,利用相似比表示线段之间的关系．
22．为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策：由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y 〔件〕与销售单价x〔元〕之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．
〔1〕李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,则政府这个月为他承担的总差价为多少元？〔2〕设李明获得的利润为w〔元〕,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润？
〔3〕物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元,则政府为他承担的总差价最少为多少元？
[考点]二次函数的应用．
[分析]〔1〕把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数,然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
〔2〕由总利润=销售量•每件纯赚利润,得w=〔x﹣10〕〔﹣10x+500〕,把函数转化成顶点坐标式,根据二次函数的性质求出最大利润；
〔3〕令﹣10x2+600x﹣5000=3000,求出x的值,结合图象求出利润的范围,然后设政府每个月为他承担的总差价为p元,根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
[解答]解：〔1〕当x=20时,y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300,
300×〔12﹣10〕=300×2=600元,
即政府这个月为他承担的总差价为600元．
〔2〕由题意得,w=〔x﹣10〕〔﹣10x+500〕
=﹣10x2+600x﹣5000
=﹣10〔x﹣30〕2+4000
∵a=﹣10＜0,∴当x=30时,w有最大值4000元．
即当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000元．
〔3〕由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000,
解得：x1=20,x2=40．
∵a=﹣10＜0,抛物线开口向下,
∴结合图象可知：当20≤x≤40时,4000＞w≥3000．
又∵x≤25,
∴当20≤x≤25时,w≥3000．
设政府每个月为他承担的总差价为p元,
∴p=〔12﹣10〕×〔﹣10x+500〕
=﹣20x+1000．
∵k=﹣20＜0．
∴p随x的增大而减小,
∴当x=25时,p有最小值500元．
即销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
[点评]本题主要考查了二次函数的应用的知识点,解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以与二次函数最大值的求解,此题难度不大．
23．如图1,共直角边AB的两个直角三角形中,∠ABC=∠BAD=90°,AC交BD于P,且tan∠C=．〔1〕求证：AD=AB；
〔2〕如图2,BE⊥CD于E交AC于F．
①若F为AC的中点,求的值；
②当∠BDC=75°时,请直接写出的值．
[考点]相似形综合题．
[分析]〔1〕根据AD∥BC得=,又tan∠C=故故AD=AB．
〔2〕①在图2中,过D作DH⊥BC于H,延长BE交AD延长线于G,易证ABHD为正方形,设其边长为a,DG=b,根据△ABC∽△DGC,得到a、b的关系即可解决问题．
②根据条件推出∠HDC=∠DCG=30°即可解决问题．
[解答]解：〔1〕∵∠DAB+∠ABC=180°,
∴AD∥BC,
∴=,
∵tan∠C=,
∴,
∴AD=AB．
〔2〕①在图2中,过D作DH⊥BC于H,延长BE交AD延长线于G,易证ABHD为正方形,设其边长为a,DG=b,
∵AG∥BC,
∴,
∵AF=FC,
∴AG=BC,
∴四边形ABCG是平行四边形,
∵∠ABC=90°
∴四边形ABCG是矩形,
∴FB=FC,∠BCG=∠AGC=90°,
∴∠FBC=∠FCB,
∵∠FBC+∠BC,E=90°,∠BCE+∠ECG=90°,
∴∠ECG=∠FBC,
∴∠DCG=∠ACB,
∵∠ABC=∠DGC=90°
∴△ABC∽△DGC,
∴,
∴,
∴a2﹣ab﹣b2=0,
∴a=〔或a=舍弃〕,
∵DG∥BC,
∴====,
②由1可知四边形ABHD是正方形,
∵∠BDC=75°,∠BDH=45°,
∴∠HDC=∠DCG=30°,
∵∠DGC=90°,
∴∠CDG=60°,∠DGE=30°,
设CH=m,则DC=2CH=2m,BH=DH=m
∴EC=BC=〔m+m〕,DE=DC﹣CE=2m﹣〔m+m〕,
∴==．
[点评]本题考查正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,添加辅助线构造特殊图形是解决问题的关键．
24．已知抛物线y=x2+2nx+n2+n的顶点为P,直线y=4x+3分别交x、y轴于点N、M．
〔1〕若点P在直线MN上,求n的值；
〔2〕是否存在过〔0,2〕的直线与该抛物线交于A、B两点〔点A在点B右侧〕．使AB为定长,若存在,求出AB的长；若不存在,请说明理由；
〔3〕在〔2〕的条件下,是否存在以AB为直径的圆Q经过点O？若存在,求这个圆圆心Q的坐标；若不存在．请说明理由．
[考点]二次函数综合题．
[分析]〔1〕利用配方法得到顶点坐标〔﹣n,n〕,代入直线y=4x+3中,即可解决问题．
〔2〕存在．如图中,由顶点P〔﹣n,n〕,所以抛物线的顶点在直线y=﹣x上运动,所以n在变化时,相当于抛物线y=x2的顶点在直线上运动,所以过点D〔0,2〕作直线平行于直线y=﹣x与抛物线交于A、B两点,根据对称性,AB的长度不变．利用方程组即可解决问题．
〔3〕存在．如图2中,由〔2〕可知AB=3,可以设A〔m,﹣m+2〕,则B〔m﹣3,﹣m+5〕,AB是直径,推出∠AOB=90°,由OA2+OB2=AB2,列出方程求出m,推出A、B坐标即可解决问题．
[解答]解：〔1〕∵y=x2+2nx+n2+n=〔x+n〕2+n,
∴顶点P〔﹣n,n〕,
∵顶点P〔﹣n,n〕在直线y=4x+3上,
∴n=﹣4n+3,
∴n=．。