【精品初三数学】2019北京初三数学期末分类汇编-几何综合+答案

如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 为AC 上一点（与点A ，C 不重合），连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 的 延长线于E
（1）①在图中作出△ABC 的外接圆⊙O ，并用文字描述 圆心O 的位置
②连接OE ，求证：点E 在⊙O 上
（2）①延长线段BD 至点F ，使EF =AE ，连接CF ,根据题 意补全图形
②用等式表示线段CF 与AB 的数量关系，并证明 2 丰台
如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 分别是AC ，BC 边上的点，且AD = CE ，连接BD ，AE 相交于点F （1）∠BFE 的度数是
（2）如果2
1
=AC AD ，那么
=BF AF （3）如果n
AC AD 1
=时，请用含n 的式子表示AF ，BF 的数量关系，并证明
A
B
C D
E
A
D
B
F
已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接
BD ，CD
（1）如图1 ①求证：点,,B C D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上 ②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为___________
（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD
（3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转，当线段BF 的长取得最大值时，直接写出tan FBC ∠的值
4 怀柔
在菱形ABCD 中，∠ADC=60°，BD 是一条对角线，点P 在边CD 上（与点C ，D 不重合），连接AP ，平移ADP ∆，使点D 移动到点C ，得到BCQ ∆，在BD 上取一点H ，使HQ=HD ，连接HQ ，AH ，PH （1） 依题意补全图1 （2）判断AH 与PH 的数量关系及∠AHP 的度数，并加以证明 （3）若141AHQ ∠=︒，菱形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）
B
B
A B
C
D
P
A B
C
D
如图1，在正方形ABCD 中，点F 在边BC 上，过点F 作EF ⊥BC ，且FE =FC （CE <CB ），连接CE 、AE ，点G 是AE 的中 点，连接FG
（1）用等式表示线段BF 与FG 的数量关系是___________________
（2）将图1中的△CEF 绕点C 按逆时针旋转，使△CEF 的顶点F 恰好在正方形ABCD 的对角线AC 上，点G 仍是
AE 的中点，连接FG 、DF
①在图2中，依据题意补全图形 ②求证
:DF =
6 燕山
正方形ABCD 中，将边AB 所在直线绕点A 逆时针旋转一个角度α得到直线AM ，过点C 作CE ⊥AM ，垂足为E ，连接
BE
(1) 当045α︒<<︒时，设AM 交BC 于点F
① 如图1，若α＝35°，则∠BCE ＝ ° ② 如图2，用等式表示线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并证明 (2) 当4590α︒<<︒时(如图3)，请直接用等式表示线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系
图2
图1
F 35°
M
B
C D
A
E
F A
B E
M
C D
α
A
B E
M
C
D
如图，Rt △ ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC ， 作AD 的垂直平分线EF 交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，交
AB 于点G ，交AC 于点H
（1）依题意补全图形
8 门头沟
如图，在△ABC 中，AC = BC ，∠ACB = 90°，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 于E （1）求证：∠CAE =∠CBD
（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE ① 依题意补全图形
② 用等式表示线段EF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明
A
A
B
C
D
E
M 是正方形ABCD 的边AB 上一动点（不与A ，B 重合）MC BP ⊥，垂足为P ，将CPB ∠绕点P 旋转，得到''PB C ∠，当射线'PC 经过点D 时，射线'PB 与BC 交于点N （1）依题意补全图形 （2）求证：CPD ∽∆∆BPN
（3）在点M 的运动过程中，图中是否存在与BM 始终相等的线段？若存在，请写出这条线段并证明，若不存在，请说明理由
10 西城
如图，在△ABC 中，AB =AC ．△ADE ∽△ABC ，连接BD ，CE （1）判断BD 与CE 的数量关系，并证明你的结论 （2）若AB =2，AD =22，∠BAC =105°，∠CAD =30° ①BD 的长为
②点P ，Q 分别为BC ，DE 的中点，连接PQ ，写出求
PQ 长的思路
如图，在ABC Rt ∆中，BC AB ABC ==∠，090，点E 为线段AB 上一动点（不与点A ，B 重合），连接CE ，将ACE ∠的两边CE ，CA 分别绕点C 顺时针旋转090，得到射线''CA CE ，，过点A 作AB 的垂线AD ，分别交射线''CA CE ，于点F ，G
（1）依题意补全图形
（2）若α=∠ACE ，求AFC ∠的大小（用含α的式子表示） （3）用等式表示线段AE ，AF ，与BC 之间的数量关系，并证明 12 东城
如图，M 为正方形ABCD 内一点，点N 在AD 边上，且MB MN BMN 2900==∠，，点E 为MN 的中点，点P 为DE 的中点，连接MP 并延长到点F ，使得PF=PM ，连接DF （1）依题意补全图形 （2）求证：DF=BM
（3）连接AM ，用等式表示线段PM 和AM 的数量关系并证明
如图，正方形ABCD ，将边CD 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CE ，连接DE ，AE ，BD 交于点F （1）求∠AFB 的度数 （2）求证：BF=EF
（3）连接CF ，直接用等式表示线段
AB ，CF ，EF 的数量关系
14 石景山
在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC =
，
BC =，过点B 作直线l ∥AC ，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，直线CA '，CB '分别交直线l 于点D E ，．
（1）当点A '，D 首次重合时，
①请在图1中，补全旋转后的图形； ②直接写出A CB '∠的度数； （2）如图2，若CD AB ⊥，求线段DE 的长；
（3）求线段DE 长度的最小值．
1（2019.1+++昌平+++初三上+++期末）
（1）①圆心O 的位置在线段AB 的中点,正确画出图
②∵AE ⊥BD ∴△AEB 为直角三角形 ∵点O 为线段AB 的中点 ∴OE =OA =OB =r ∴点E 在⊙O 上 （2）①补全图形=
AB
E
A
证明如下： ∵AC =BC ，∠ACB =90° ∴∠BAC =∠CBA = 45° ∵»»BC
BC = ∴∠BEC =∠BAC = 45° ∵AE ⊥BD ∴∠BEA =90° ∴∠CEA =90°+ 45°= 135° ∵∠CEF =180°－∠CEB =135° ∴∠CEA =∠CEF ∵AE =EF ,∠CEA =∠CEF ,CE =C E ∴△CEA ≌△CEF ∴CF =CA ∵在等腰t ∆R ACB
中，=AB
∴=AB
2（2019.1+++丰台+++初三上+++期末） （1）60° （2）1 （3）1
1
AF BF n =
- 证明：延长FE 至G ，使FG =FB 连接GB ，GC
由（1）知，∠BFG=60° ∴△BFG 为等边三角形 ∴BF =BG ，∠FBG=∠FGB=60° ∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=BC ，∠ABC=60°
∴∠ABF=∠CBG ∴△
ABF ≌△CBG
∴∠BFA=∠BGC=120° ∴∠FGC=60° ∴∠FGC=∠BFG ∴FB ∥CG
∴AF AD FG DC = ∵1AD AC n = ∴1
1AF FG n =
- ∴
1
1
AF BF n =
-
3（2019.1+++海淀+++初三上+++期末） （1）①证明：连接AD ，如图1
∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴AC AD = ∵AB AC = ∴AB AC AD ==
∴点B C D ，，在以A 为圆心，AB 为半径的圆上
C
A
E B
D F
l
D A 图1
②12
α （2）证法一： 证明：连接CE ，如图2 ∵=60α°
∴1302
BDC α∠==° ∵DE BD ⊥ ∴90CDE ∠=°60BDC -∠=° ∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴EC ED = ∴CDE △是等边三角形
∴CD CE =，60DCE ∠=° ∵AB AC =，60BAC ∠=° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB =，60ACB ∠=° ∵ACE DCE ACD ∠=∠+∠，BCD ACB ACD ∠=∠+∠ ∴ACE BCD ∠=∠ ∴ACE BCD △≌△ ∴AE BD = 证法二：
证明：连接AD ，如图2 ∵点C 与点D 关于直线l 对称
∴AD AC AE CD =，⊥ ∴1
2
DAE DAC ∠=∠
∵1
2DBC DAC ∠=∠
∴DBC DAE ∠=∠
∵AE CD ⊥，BD DE ⊥
∴90BDC CDE DEA CDE ∠+∠=∠+∠=°
∴BDC DEA ∠=∠ ∵60AB AC BAC =∠=，° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB AD == ∴BCD △≌ADE △ ∴AE BD = （3）13
4（2019.1+++怀柔+++初三上+++期末） （1）补全图形，如图所示
（2）AH 与PH 的数量关系：AH =PH ，∠AHP =120° 证明：如图，由平移可知，PQ=DC ∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC=60° ∴AD=DC ，∠ADB =∠BDQ =30° ∴AD=PQ
∵HQ=HD ∴∠HQD =∠HDQ =30° ∴∠ADB =∠DQH ，∠D HQ=120°
∴△ADH ≌△PQH ∴AH =PH ，∠A HD =∠P HQ ∴∠A HD+∠DHP =∠P HQ+∠DHP
图2
∴∠A HP=∠D HQ ∵∠D HQ=120° ∴∠A HP=120° （3）求解思路如下：
由∠A HQ=141°，∠B HQ=60°解得∠A HB=81°
a.在△ABH 中，由∠A HB=81°，∠A BD=30°，解得∠BA H=69°
b.在△AHP 中，由∠A HP=120°，AH=PH ，解得∠PA H=30°
c.在△ADB 中，由∠A DB=∠A BD= 30°，解得∠BAD =120° 由a 、b 、c 可得∠DAP =21°
在△DAP 中，由∠A DP= 60°，∠DAP =21°，AD=1，可解△DAP ，从而求得DP 长
5（2019.1+++通州+++初三上+++期末） （1
）BF =
（2）①依据题意补全图形 ②证明：如图，连接BF 、GB ∵四边形ABCD 是正方形
∴AD =AB ，90ABC BAD ∠=∠=︒，AC 平分BAD ∠ ∴45BAC DAC ∠=∠=︒.
在△ADF 和△ABF 中 AD AB DAC BAC AF AF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，，，
∴△ADF ≌△ABF ∴DF BF = ∵EF ⊥AC ，90ABC ∠=︒，点G 是AE 的中点 ∴AG EG BG FG === ∴点A 、F 、E 、B 在以点G 为圆心，AG 长为半径的圆上
∵»»BF
BF =，45BAC ∠=︒ ∴290BGF BAC ∠=∠=︒ ∴△BGF 是等腰直角三角形
∴BF =
∴DF =
6（2019.1+++燕山+++初三上+++期末）
(1) ① ∠BCE ＝35° ② AE ＝CE
BE 证明：过点B 作BG ⊥BE ，交AM 于点G
∴∠GBE ＝∠GBC ＋∠2＝90° ∵正方形ABCD ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠1＋∠GBC ＝90° ∴∠1＝∠2
A B
C
D
P H
Q
∵∠ABC ＝∠CEA ＝90°，∠4＝∠5 ∴△ABF ∽△CEF
∴∠α＝∠3 ∴在△ABG 和△CBE 中 ∠1＝∠2，AB ＝BC ，∠α＝∠3
∴△ABG ≌△CBE ∴AG ＝CE ，BG ＝BE ∵在△BEG 中，∠GBE ＝90°，BG ＝BE ∴GE ＝2BE ∴AE ＝AG ＋GE ＝CE ＋2BE (2) AE ＋CE ＝2BE
7（2019.1+++房山+++初三上+++期末） （1）补全图形如图分
（2）证明:∵AD 平分∠BAC
∴∠BAD =∠CAD ∵FE ⊥AD , ∠ACF =90°, ∠AHE =∠CHF ∴∠CFH =∠CAD ∴∠BAD =∠CFH , 即∠BAD =∠BFG
（3）猜想: 222
AB FD FB += 证明：连接AF
∵EF 为AD 的垂直平分线 ∴AF=FD ，∠ ∴∠DAC +∠CAF =∠B +∠BAD ∵AD 是角平分线 ∴∠BAD =∠CAD ∴∠CAF =∠B ∴∠BAF =∠BAC +∠CAF =∠BAC +∠B =90° ∴2
2
2
AB AF FB += ∴2
2
2
+=AB FD FB
8（2019.1+++门头沟+++初三上+++期末） （1）证明：如图1，
∵ ∠ACB = 90°，AE ⊥BD ∴ ∠ACB =∠AEB = 90° 又∵ ∠1=∠2 ∴ ∠CAE =∠CBD （2）① 补全图形如图2
H
G F
E
D
A
B
C
图1
②2
=+
EF CE BE
证明：在AE上截取AM，使AM=BE
又∵AC=CB，∠CAE =∠CBD ∴△ACM≌△BCE
∴CM=CE，∠ACM=∠BCE 又∵∠ACB =∠ACM+∠MCB=90°
∴∠MCE=∠BCE+∠MCB=90°∴2.
=
ME CE
又∵射线AE绕点A顺时针旋转45°，后得到AF，且∠AEF=90°∴EF=AE=AM+ME=BE+2CE
9（2019.1+++朝阳+++初三上+++期末）
10（2019.1+++西城+++初三上+++期末）
11（2019.1+++大兴+++初三上+++期末）
（1）补全的图形如图所示
(2)解:
由题意可知，∠ECF=∠ACG=90°∴∠FCG=∠ACE=α
∵过点A作AB的垂线AD ∴∠BAD=90°∵AB=BC,∠ABC=90°
∴∠ACB=∠CAD= 45° ∵∠ACG=90° ∴∠AGC=45° ∴∠AFC =α+45°
（3）AE ,AF 与BC 之间的数量关系为2AE AF BC += 由（2）可知∠DAC=∠AGC=45° ∴CA=CG ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ∴△ACE ≌△GCF ∴AE =FG 在Rt △ACG 中
∴AG =
∴AE AF +=
∵AC = ∴2AE AF BC +=
12（2019.1+++东城+++初三上+++期末）无答案
27.解：（1）…………………………………………………………1分
（2）∵点P 为线段DE 的中点 ∴DP ＝EP
在△MPE 和△FPD 中 MP FP MPE FPD EP DP =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△MPE ≌△FPD （SAS ）…………………………………………………………2分 ∴DF ＝ME
∵E 为MN 的中点 ∴MN ＝2ME ∵MN ＝2MB
∴MB ＝ME
＝D F ．…………………………………………………………3分
（3）结论：AM = …………………………………………………………4分 连接AF
由（2）可知：△MPE ≌△FPD ∴∠DFP ＝∠EMP. ∴DF ∥ME.
∴∠FDN ＝∠MND.
在正方形ABCD 中，AD ＝AB ，∠BAD ＝90° 又∵∠BMN ＝90°
∴∠MBA ＋∠MNA ＝180° 又∵∠MNA ＋∠MND ＝180° ∴∠MBA ＝∠MND
∴∠FDN ＝∠MBA …………………………………………………………5分 在△FAD 和△MAB 中 FD MB FDA MBA DA BA =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△F AD ≌△MAB （SAS ） ∴∠FAD ＝∠MAB FA ＝MA
∴∠FAM
＝∠DAB ＝90°
∴△FAM 为等腰直角三角形…………………………………………………………6分 ∴FM =
又∵FM ＝2PM
∴ AM = …………………………………………………………7分
13（2019.1+++平谷+++初三上+++期末）。