极坐标系课件
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青海省海东市第二中学高中数学选修4-4：12极坐标系课件(共12张PPT)
23 6
7
5
3
2 12
2
3 3
12
3
4
4
5
6
11 12
13 12
E F
C
6
12
AB
O
X
23
12
7 6
D
5
4 4
3
17 3
12
2
G
5
19 12
3
11 6
7 4
平安区第一高级中学
例2：说出下图中各点的极坐标
A(4, 0 )
B(2, 4 )
5
C(3, )
2
6
D(1,5 )
6
E(3.5, )
2.给定一个（，θ）,可以在坐标平面内确定惟一 的点M；给定平面上一点M，却有无数个极坐标与之对应， 即极坐标 （，θ）与（，θ+2k ）表示同一个点.
平安区第一高级中学
思考：平面内的一个点既可以用直角坐标系表
示，也可以用极坐标表示，那么，这两 种坐标之间有什么关系呢？
谢谢
F(6, 4 )
3
G(5, 5 )
3
你能写出O点坐标吗？
2
4
C
E
D
B
A
O
X
F
4
G
5
3
3Байду номын сангаас
探究二：平面上一点是否唯一确定一个极坐标？
注意:
1.当M在极点时，它的极坐标=0,θ可以取任意 值。极点坐标为（0，θ）（θ R），即极点有无数 个极坐标。
2.给定一个（，θ）,可以在坐标平面内确定惟 一的点M，给定平面上一点M，却有无数个极坐标与 之对应，即极坐标 （，θ）与，θ+2k ）表示同一 个点.
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
极坐标系公开课精品PPT课件
（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可取任意值。
题组一. 如图，写出各点的极坐标：
2
5
4
6
D• Q E•
•C
。 O
•P
B
A
•
7 x
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,
5 6
)
E(4.5, )
F
•R
4
G
• 5
F(6, 4) 3
G(7, 5) 3
3 在图中描出点P(3,
9
),
3 Q(5,-
办公
（1）他向东偏北60 °方向 楼E
走120m后到达什么位置？ 120m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
45°
（2）如果有人打听体育馆
和办公楼的位置，他应
50m
60°
如何描述？
A教 60m 学楼
B体 育馆
从这向北 走2000米.
请问：去屠宰场怎么走？
思考:“从这向南走2000米”这句话包含哪些要素? 它为何能使问路人明确屠宰场的位置?
7
),
R(6, 10
)
4
6
3
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
一般地，极坐标 (, ) 与
(, 2k )( k Z ) 表示同一个点。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标 M
More You Know, The More Powerful You Will Be
《极坐标系的概念》课件PPT
四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 P
M
(ρ,θ)
一 给定 就可以在极坐标平
面内确定唯一的一点M
O
X
二 给定平面上一点M 但却有无数个极坐标与之对 应原因在于：极角有无数个
如果限定ρ＞0 0≤θ＜二π
那么除极点外 平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
数学运用
例2、在极坐标系中，
（1）已知两点P（5、），Q（1，），求线段PQ的长度。
ra(1sin)
事实上 笛卡尔和克里斯蒂娜的确有过交情 不过 笛 卡尔是 一六四九 年 一0 月 四 日应克里斯蒂娜邀请 才来到的瑞典 并且当时克里斯蒂娜已经成为了瑞典 女王 并且 笛卡尔与克里斯蒂娜谈论的主要是哲学 问题 有资料记载 由于克里斯蒂娜女王时间安排很 紧 笛卡尔只能在早晨五点与他探讨哲学 天气寒冷 加上过度操劳让笛卡尔不幸患上肺炎 这才是笛卡尔 真正的死因 心形线的故事究竟几分是真几分是假 还是留给大家 自己判断吧
在生命进入倒计时的那段日子 它日夜思念的还 是街头偶遇的那张温暖的笑脸 它每天坚持给他写信 盼望着他的回音 然而 这些信都被国王拦截下来 公 主一直没有收到它的任何消息 在笛卡尔给克里斯汀 寄出第十三封信后 它永远地离开了这个世界 此时 被软禁在宫中的小公主依然徘徊在皇宫的走廊里 思 念着远方的情人 这最后一封信上没有写一句话 只 有一个方程：r=a 一-sinθ 国王看不懂 以为这个方 程里隐藏着两个人不可告人的秘密 便把全城的数学 家召集到皇宫 但是没有人能解开这个函数式 它不 忍看着心爱的女儿每天闷闷不乐 便把这封信给了他
小结
•
C
3 2
-
•
E
5 3
+
E(3,- )
人教A版高中数学选修4-4课件 极坐标系的概念(人教A 版)
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个.
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）.
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
人民教育出版社 高中/选修4-4
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
O°
x
° O
x•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”.
2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
- 人民教育出版社 高中/选修4-4
A( 4,0)
4
B(3, 56)
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否
在极坐标系中解题。
人民教育出版社 高中/选修4-4
数学运用
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标：
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）.
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
人民教育出版社 高中/选修4-4
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
O°
x
° O
x•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”.
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3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
- 人民教育出版社 高中/选修4-4
A( 4,0)
4
B(3, 56)
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否
在极坐标系中解题。
人民教育出版社 高中/选修4-4
数学运用
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标：
极坐标系 课件
4
3
(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π):
①( 3, 3); ②(−1, −1); ③(−3,0).
= cos,
分析:根据极坐标与直角坐标的互化公式
= sin
2 = 2 + 2 ,
及
进行求解.
tan = ( ≠ 0)
解:(1)设所求点的直角坐标为(x,y).
(0,0),可以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,③正确;点M与
π
5π
4
4
点 N 的极角分别是 θ1= , 2 =
, 二者的终边互为反向延长线,④
错误;由于动点M(5,θ)(θ∈R)的极径ρ=5,极角是任意角,故点M的轨
迹是以极点O为圆心,以5为半径的圆,⑤正确.
答案:①③⑤
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴
的正半轴重合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
= cos,
①极坐标化为直角坐标
= sin;
2 = 2 + 2 ,
②直角坐标化为极坐标
tan = ( ≠ 0).
名师点拨1.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方
极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
(2)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地,
极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐
标有无数种表示.
3
(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π):
①( 3, 3); ②(−1, −1); ③(−3,0).
= cos,
分析:根据极坐标与直角坐标的互化公式
= sin
2 = 2 + 2 ,
及
进行求解.
tan = ( ≠ 0)
解:(1)设所求点的直角坐标为(x,y).
(0,0),可以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,③正确;点M与
π
5π
4
4
点 N 的极角分别是 θ1= , 2 =
, 二者的终边互为反向延长线,④
错误;由于动点M(5,θ)(θ∈R)的极径ρ=5,极角是任意角,故点M的轨
迹是以极点O为圆心,以5为半径的圆,⑤正确.
答案:①③⑤
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴
的正半轴重合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
= cos,
①极坐标化为直角坐标
= sin;
2 = 2 + 2 ,
②直角坐标化为极坐标
tan = ( ≠ 0).
名师点拨1.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方
极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
(2)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地,
极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐
标有无数种表示.
极坐标系
极坐标
二 、常见曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的方法和步骤： 和求直角坐标方程类似，就是把曲线 看作适合某种条件的点的集合或轨迹， 将已知条件用曲线上点的极坐标 、 的 关系式 表示出来，就得到曲线 的极坐标方程。
1、直线的极坐标方程 例：求极坐标系下，经过定点 且 关于极轴的倾斜角为 的直线 方程 （其中 为定值）
极坐标
三、极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标 系，同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标； 同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角 坐标方程。为了研究问题方便，有时需要把在 一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的 方程。
1、极坐标和直角坐标的互化公式： 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半 轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度 单位。 设M是平面内任一点，它的直角坐标为 极坐标是 ，从点M作 ，由三角函数 定义，可得出 之间的关系。
2、圆的极坐标方程 例：求极坐标系下，以定点 为半径的圆的方程。 解：如图，设所求圆上任一点 在 中，由余弦定理： 即为所求圆方程。
为圆心， ，
当圆心 表示极点时， 代入 则圆方程化为：
O
x
当圆心在极轴上，且圆经过极点时， 则圆方程化为 即：
O
x
3、三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
O
x
3、极坐标系下点与极坐标的对应关系 A、B、C、D、E、F、 π G各点的极坐标。 2 π
5π 6 4
C E
4π F 3
π
D
B
o
A G
5π 3
x
角 也可以取负值，如：
5π 6
π
2
极坐标与参数方程ppt课件
当 θ1=θ2，|AB|＝/ρ1—-ρ2/
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
选修4-4-极坐标系》课件(共22张PPT)
6
（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
2023最新整理收集 do
something
从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
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（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
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something
从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
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极坐标系 课件
A322，－322，B(－1，－ 3)，C－ 23，0，D(0，－4)．
(2)根据
ρ2＝x2＋y2，tan
θ＝yx得
A2
3，116π，
B 35，π2，C4，23π.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．把直角坐标化为极坐标的注意事项 设点 M 的直角坐标为(x，y)，极坐标是(ρ，θ)． (1)由于 ρ≥0，解得 ρ＝ x2＋y2. (2)tan θ＝yx(x≠0)，当 x＝0 时，点 M(x，y)在 y 轴上， 当 y>0 时，点 M 的极角可取π2；当 y＝0 时，点 M 的极角可 取 0；当 y<0 时，点 M 的极角可取32π. 当 x≠0 时，由 tan θ 的值确定 θ，要注意点 M 所在的象限．
极坐标系
1．极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧 度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个 __极__坐__标__系____．设 M 为平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM| 叫做点 M 的_极___径__，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终 边的角 xOM 叫做点 M 的__极__角__，记为 θ.有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ)．
要点一 点的极坐标 1.求点 M 的极坐标的方法 (1)根据图形求点 M 到极点 O 的距离|OM|； (2)根据图形确定∠xOM 的一个值(一般取极轴 Ox 按逆时针 方向旋转到与 OM 重合时转过的角，即在[0,2π)内的一个角； (3)得点 M 的极坐标．
2．由极坐标确定点的位置的方法步骤
问题探究 1：极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联 系？
高中数学极坐标 ppt课件
角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到
极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即
以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
ppt课件
5
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
G 5
3
ppt课件
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6
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
12 （ 3）2 2 tan 3 3
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1
13
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
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14
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
对应了.
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11
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
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12
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
M (1, 3)
θ
B (2, )
C (1, )
6
2
2
D (3, )
24
E (2, 3 )
4
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高中数学课件《极坐标系》
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条 射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的
极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的 极角 ， 记为 θ.有序数对 (ρ，θ) 叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ．一般地，不作 特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数 ．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标 系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长 度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角 θ 的正弦值 和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
[小组合作型] 将点的极坐标化为直角坐标
写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．
(1)2，43π；(2)2，23π；(3)2，－π3；(4)(2，－2)．
【思路探究】
点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝ ＝ρρcsions
θ θ
―→点的直角坐标(x，y)―→
极坐标系
1．理解极坐标系的概念． 2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐 标系中刻画点的位置的区别．(难点) 3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互 化．(重点、易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 极坐标系 阅读教材 P8～P10，完成下列问题． 1．极坐标系的概念
(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．
(2)极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的
极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的 极角 ， 记为 θ.有序数对 (ρ，θ) 叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ．一般地，不作 特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数 ．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标 系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长 度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角 θ 的正弦值 和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
[小组合作型] 将点的极坐标化为直角坐标
写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．
(1)2，43π；(2)2，23π；(3)2，－π3；(4)(2，－2)．
【思路探究】
点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝ ＝ρρcsions
θ θ
―→点的直角坐标(x，y)―→
极坐标系
1．理解极坐标系的概念． 2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐 标系中刻画点的位置的区别．(难点) 3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互 化．(重点、易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 极坐标系 阅读教材 P8～P10，完成下列问题． 1．极坐标系的概念
(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．