二次函数平移专项练习精编版

二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题

二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数图像平移、旋转总归纳一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x2+1的图象①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2+4；②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2-3；③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1；④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax2+c 向上平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax2+c+m；向下平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax+c-m；向左平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x+n）2+c；向右平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x-n）2+c，二、二次函数的图象的翻折在一张纸上作出二次函数y=x2-2x-3的图象，⑤沿x轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3．⑥沿y轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax2-bx-c，若沿y轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax2-bx+c三、二次函数的图象的旋转，将二次函数y=-2x+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=22122 1x-x+1；由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax2-bx-c．（备用图如下）1、（201*桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3围着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2 B．y=-（x－1）2+4C．y=-（x－1）2+2D．y=-（x+1）2+42、（201*浙江宁波中考）把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．3、飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t-1.5t2，飞机着陆后滑行的最远距离是（）A．600m B．300mC．1200mD．400m4、（201*襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．5、已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，以下结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c0时，函数开口方向向上；当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而削减；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a0时，函数有最小值，并且当x=，y最小＝4a2a4acb2b当a0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y考点7.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。

专题05二次函数中的平移、旋转、对称(五大题型)解析版

专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）通用的解题思路：1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。

4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k 均变号沿x 轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k 变号，h 不变沿y 轴翻折y=a(x+h)²+ka、h 不变，h 变号题型一：二次函数中的平移问题1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(0)y ax bx a a=+-<与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）．（2）当B 的纵坐标为3时，求a 的值；（3）已知点11(,2P a-，(2,2)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，请结合函数图象求出a 的取值范围．【分析】（1）令0x =，求出点A 坐标根据平移得出结论；（2）将B 的纵坐标为3代入求出即可；（3）由对称轴为直线1x =得出212y ax ax a =--，当2y =时，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，结合图象得出结论；【解答】解：（1）在21(0)y ax bx a a =+-<中，令0x =，则1y a =-，∴1(0,)A a-，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，则1(2,)B a-．（2）B 的纵坐标为3，∴13a-=，∴13a =-．（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线1x =，2b a ∴=-，∴212y ax ax a=--，当2y =时，2122ax ax a=--，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，当|1|2a a a -+≤时，结合函数图象可得12a ≤-，抛物线与PQ 恰有一个公共点，综上所述，a 的取值范围为12a ≤-．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．2．（2024•平原县模拟）已知抛物线212:23C y ax ax a =++-．（1）写出抛物线1C 的对称轴：．（2）将抛物线1C 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B （点B 在点A 的左侧），若ABO ∆的面积为4，求点B 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ，N ，分别过点M ，N 的两条直线2l ，3l 交于点P ，且2l ，3l 与y 轴不平行，当直线2l ，3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时，请说明点P 在一条定直线上．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．（2）根据抛物线2C 的顶点坐标在原点上可设其解析式为2y ax =，然后将点A 的坐标代入求得2C 的解析式，于是可设B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，利用4ABO OBN OAM ABNM S S S S ∆∆∆=--=梯形可求得t 的值，于是可求得点B 的坐标．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立抛物线与直线1l 的方程可得出12x x k +=-，124x x =-．再利用直线2l 、直线3l 分别与抛物线相切可求得直线2l 、直线3l 的解析式，再联立组成方程组可求得交点P 的纵坐标为一定值，于是可说明点P 在一条定直线上．【解答】解：（1）抛物线1C 的对称轴为：212ax a=-=-．故答案为：1x =-．故答案为：1x =-．（2）抛物线1C 平移到顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，∴可设抛物线2C 的解析式为：2y ax = 点(2,2)A --有抛物线2C 上，22(2)a ∴-=⋅-，解得：12a =-．∴抛物线2C 的解析式为：212y x =-．点B 在抛物线2C 上，且在点A 的左侧，∴设点B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，如图，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为点M 、N ．ABO OBN OAM ABNMS S S S ∆∆∆=-- 梯形2211111()()22(2)(2)22222t t t t =⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯--32311122424t t t t =--++++212t t =+，又4ABO S ∆=，∴2142t t +=，解得：13t +=±，4(2t t ∴=-=不合题意，舍去），则2211(4)822t -=-⨯-=-，(4,8)B ∴--．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组：2122y xy kx ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得：2240x kx +-=，122x x k ∴+=-，124x x =-．设过点M 的直线解析式为y mx n =+，联立得方程组212y xy mx n⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，整理得2220x mx n ++=．①过点M 的直线与抛物线只有一个公共点，∴△2480m n =-=，∴212n m =．∴由①式可得：221112202x mx m ++⨯=，解得：1m x =-．∴2112n x =．∴过M 点的直线2l 的解析式为21112y x x x =-+．用以上同样的方法可以求得：过N 点的直线3l 的解析式为22212y x x x =-+，联立上两式可得方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1212212x x x y x x +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，12x x k +=- ，124x x =-．∴(,2)2k P -∴点P 在定直线2y =上．（如图）【点评】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．3．（2024•和平区一模）已知抛物线21(y ax bx a =+-，b 为常数．0)a ≠经过(2,3)，(1,0)两个点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）抛物线的顶点为；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法即可求解；（Ⅱ）根据抛物线的顶点式即可求得；（Ⅲ）利用平移的规律即可求得．【解答】解：（1）抛物线21y ax bx =+-经过(2,3)，(1,0)两个点，∴421310a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为21y x =-；（Ⅱ）抛物线21y x =-，∴抛物线的顶点为(0,1)-，故答案为：(0,1)-；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线2(1)12y x =---，即2(1)3y x =--．故答案为：2(1)3y x =--．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，且过点(1,2)B -，(3,0)C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）将抛物线向左平移(0)m m >个单位，当抛物线经过点B 时，求m的值．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出点A 的坐标，然后切成直线BC 的解析式，求出点D 的坐标，再根据ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+求出ABC ∆的面积；（3）由（1）解析式求出对称轴，再求出点B 关于对称轴的对称点B '，求出BB '的长度即可；【解答】解：（1）把(1,2)B -，(3,0)C 代入23y ax bx =++，则933032a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为211322y x x =-++；（2）抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，(0,3)A ∴，设直线BC 的解析式为y kx n =+，把(1,2)B -，(3,0)C 代入y kx n =+得230k n k n -+=⎧⎨+=⎩，解得1232k n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为1322y x =-+，设BC 交y 于点D，如图：则点D 的坐标为3(0,)2，33322AD ∴=-=，113()(31)3222ABC ABD ACD C B S S S AD x x ∆∆∆∴=+=-=⨯⨯+=，（3）211322y x x =-++ ，∴对称轴为直线122b x a =-=，令B 点关于对称轴的对称点为B '，(2,2)B ∴'，3BB ∴'=，抛物线向左平移(0)m m >个单位经过点B ，3m ∴=．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、三角形面积等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线223y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）化成顶点是即可求解；（2）根据平移的规律得到2(1)4y x m =-+-+，把原点代入即可求得m 的值．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+- ，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)--．（2）该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，得到的新抛物线对应的函数表达式为2(1)4y x m =+--，新抛物线经过原点，20(01)4m ∴=+--，解得3m =或1m =-（舍去），3m ∴=，故m 的值为3．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得平移后的抛物线的解析式是解题的关键．6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；（2）将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =；函数2y 与坐标轴的交点坐标为；（3）在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．【分析】（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式即可求出b 、c 值，再转化为顶点式即可；（2）根据抛物线平移规则“左加右减”得到2y 解析式，令20y =求出与x 轴的交点坐标即可；（3）利用待定系数法求出直线AB 解析式，再根据直线平移法则“上加下减”得到直线平移后解析式，联立消去y ，根据判别式为0解出n 值即可．【解答】解：（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式得：2022b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得11b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2219212()48y x x x =+-=+-．∴抛物线解析式为：21192()48y x =+-．（2）将二次函数1y 向左平移1个单位，得函数22592()48y x =+-，令20y =，则2592(048x +-=，解得112x =-，22x =-，∴平移后的抛物线与x 轴的交点坐标为1(2-，0)(2-，0)．故答案为：22592()48y x =+-，1(2-，0)(2-，0)．（3）设直线AB 的解析式为y kx b =+，将(1,0)A -，点(1,2)B 代入得：02k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 解析式为：1y x =+．将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后的解析式为1y x n =+-，与函数2y 联立消去y 得：2592(148x x n +-=+-，整理得：22410x x n +++=，直线AB 与抛物线有唯一交点，△1642(1))0n =-⨯+=，解得1n =．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数的平移法则是解答本题的关键．7．（2024•温州模拟）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．（1）求点B 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．【分析】（1）由题意可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再代入B 的坐标求解即可．【解答】解：（1）令0x =，则1222y x =-+=，(0,2)B ∴，令0y =，则1202y x =-+=，解得4x =，(4,0)A ∴，抛物线2y x mx =-+经过点A ，1640m ∴-+=，解得4m =，∴二次函数的表达式为24y x x =-+；（2）224(2)4y x x x =-+=--+ ，∴抛物线向左平移n 个单位后得到2(2)4y x n =--++，经过点(0,2)B ，22(2)4n ∴=--++，解得2n =±，故n 的值为2-2+【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键．8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，求平移后的二次函数的解析式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．【解答】解：（1）把(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -代入2y ax bx c =++，得：4239366a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴该二次函数的解析式为223y x x =-+；（2）若将该二次函数2y ax bx c =++图象平移后经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，设平移后的二次函数的解析式为2(4)y x k =-+，将点(5,0)D 代入2(4)y x k =-+，得2(54)0k -+=，解得，1k =-．∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为22(4)1815y x x x =--=-+．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y x m =+经过点A ，判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（3）平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上，若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ，求n 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求得直线y x m =+的解析式，然后代入点B 判断即可；（3）设平移后的抛物线为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，根据题意得出2221511()24n p q p p p =-++=-++=-++，得出n 的最大值．【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ，∴12421b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得21b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：221y x x =-++；（2）点B 不在直线y x m =+上，理由：直线y x m =+经过点A ，12m ∴+=，1m ∴=，1y x ∴=+，把2x =代入1y x =+得，3y =，∴点(2,1)B 不在直线y x m =+上；（3）∴平移抛物线221y x x =-++，使其顶点仍在直线1y x =+上，设平移后的抛物线的解析式为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，顶点仍在直线1y x =+上，11p q ∴+=+，p q ∴=，抛物线2()1y x p q =--++与y 轴的交点的纵坐标为21n p q =-++，2221511(24n p q p p p ∴=-++=-++=-++，∴当12p =-时，n 有最大值为54．54n ∴ ．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线2246y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可．（2）将抛物线与x 轴的交点平移到原点即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，2222462(21)82(1)8y x x x x x =+-=++-=+-，所以抛物线的顶点坐标为(1,8)--．（2）令0y =得，22460x x +-=，解得11x =，23x =-．又因为将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，所以30m -+=，解得3m =．故m 的值为3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟知利用配方法求二次函数解析式的顶点式及二次函数的图象与性质是解题的关键．11．（2023•原平市模拟）（1）计算：3211()(5)|2|3--+---⨯-；（2）观察表格，完成相应任务：x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一：补全表格；任务二：观察表格不难发现，当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等，我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A ，B 变形，得到(A =③2)2-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象④（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式P =⑤．【分析】（1）先算乘方，负整数指数幂，绝对值，再算乘法，最后算加减法即可求解；（2）①把1x =分别代入代数式A ，B 即可求得；②根据代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1，即可得出二次函数A 、B 平移的规律是向右平移1个单位，据此即可得出代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3的P 的代数式．【解答】解：（1）原式19(5)2=-+--⨯19(10)=-+--1910=-++18=；（2）任务一：将1x =代入2212A x x =+-=；代入2(1)2(1)11B x x =-+--=-，故答案为：①2，②1-；任务二：将代数式A ，B 变形，得到2(1)2A x =+-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象向右平移1个单位（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式22(13)2(2)2P x x =+--=--．故答案为：①2；②1-；③1x +；④向右平移1个单位；⑤2(2)2P x =--．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，能够准确地列出解析式，并进行求解即可．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：【观察探究】：方程2(||1)1x --=-的解为：；【问题解决】：若方程2(||1)x a --=有四个实数根，分别为1x 、2x 、3x 、4x ．①a 的取值范围是；②计算1234x x x x +++=；【拓展延伸】：①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；②观察平移后的图象，当123y时，直接写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数21(|21)3y x =---+的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①由图象可知，当函数值为1-时，直线1y =-与图象交点的横坐标就是方程2(||1)1x --=-的解．故答案为：2x =-或0x =或2x =．（2）问题解决：①若方程2(|1)x a --=有四个实数根，由图象可知a 的取值范围是10a -<<．故答案为：10a -<<．②由图象可知：四个根是两对互为相反数．所以12340x x x x +++=．故答案为：0．（3）拓展延伸：①将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象，②当123y 时，自变量x 的取值范围是04x ．故答案为：04x．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．13．（2023•花山区一模）已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2)．（1）求a ，b 的值；（2）将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ，存在点(,1)c 在1C 上，求m 的取值范围；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B （点A 在点B 的左侧），与2C 相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求AD BC -的值．【分析】（1）根据对称轴公式以及当1x =时2y =，用待定系数法求函数解析式；（2）根据（1）可知抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，再由平移性质得出抛物线1C 解析式，然后把点(,1)c 代入抛物线1C ，再根据方程有解得出m 的取值范围；（3）先求出抛物线2C 解析式，再求出A ，B ，C ，D 坐标，然后求值即可．【解答】解：（1）由题意得，1212aa b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得23a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知，抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，将其向下平移m 个单位得到抛物线1C ，∴抛物线1C 的解析式为2(1)2y x m =-+-，存在点(,1)c 在1C 上，2(1)21c m ∴-+-=，即2(1)1c m -=-有实数根，10m ∴- ，解得1m，m ∴的取值范围为1m；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，2(13)2k ∴-+=，解得2k =-，∴抛物线2C 的解析式为2(3)2y x =--，把(2)y n n =>代入到2(1)2y x =-+中，得2(1)2n x =-+，解得1x =1x =(1A ∴-，)n ，(1B +)n ，把(2)y n n =>代入到2(3)2y x =--中，得2(3)2n x =--，解得3x =或3x =+(3C ∴)n ，(3D +，)n ，(3(12AD ∴=+--=+，(1(32BC =+--=-+，(2(24AD BC ∴-=+--+=．【点评】本题考查二次函数的几何变换，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，直线和抛物线交点，关键对平移性质的应用．14．（2023•环翠区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)．（1）求此抛物线的解析式；（2）当自变量x 满足13x -时，求函数值y 的取值范围；（3）将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，求m 的值．【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出1x =-及3x =时的函数值，结合函数的性质得到答案；（3）设此抛物线沿x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)2y x m l =---，利用二次函数的性质，当25m +>，此时5x =时，5y =，即(52)215m ---=，设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)21y x m =-+-，利用二次函数的性质得到2m l -<，此时1x =时，5y =，即(12)215m ---=，然后分别解关于m 的方程即可．【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)，∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴此抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）当1x =-时，1438y =++=，当3x =时，91230y =-+=，2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴函数图象的顶点坐标为(2,1)-，∴当13x -时，y 的取值范围是18y - ；（3）设此抛物线x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =--21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，25m ∴+>，即3m >，此时5x =时，5y =，即(52)m --215-=，解得13m =+，23m =-（舍去）；设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =-+21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，21m ∴-<，即1m >，此时1x =时，5y =，即2(12)15m ---=，解得11m =-+，21m =--（舍去），综上所述，m 的值为3+1+【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质．15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)．（1）求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标；（2）当132x - 时，求1y 的最大值与最小值的和；（3）如图2，将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >，再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ，点N 为抛物线1y 与2y 的交点．设点N 到x 轴的距离为n ，求n 关于m 的函数关系式，并直接写出当n 随m 的增大而减小时，m 的取值范围．【分析】（1）把(1,3)代入抛物线解析式求得c 的值；根据抛物线解析式可以直接得到顶点坐标；（2）根据抛物线的性质知：当0x =时，1y 有最大值为4，当3x =-时，1y 有最小值为5-．然后求1y 的最大值与最小值的和；（3）根据平移的性质“左加右减，上加下减”即可得出抛物线2y 的函数解析式；然后根据抛物线的性质分两种情况进行解答：当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．【解答】解：（1）抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)，∴当0x =时，2113y c =-+=，解得4c =．∴214y x =-+．顶点坐标为(0,4)；（2）10-< ，∴抛物线开口向下．当0x =时，1y 有最大值为4．当3x =-时，21(3)45y =--+=-．当12x =时，21115()424y =-+=．∴当3x =-时，1y 有最小值为5-．∴最大值与最小值的和为4(5)1+-=-；（3）由题意知，新抛物线2y 的顶点为(,42)m m +，∴22()42y x m m =--++．当12y y =时，22()424x m m x --++=-+，化简得：2220mx m m -+=．又0m > ，∴112x m =-．∴2211(1)4(2)424y m m =--+=--+．当21(2)404m --+=时，解得12m =-；26m =， 104-<，∴抛物线开口向下．当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．∴综上所述2213,06413,64m m m n m m m ⎧-++<⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩ （或21|(2)4|)4n m =--+．当26m <<时，n 随m 的增大而减小．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质以及二次函数最值的求法．难度偏大．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果//DE AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）①依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质和平行线的性质求得点E ，F 坐标，再利用四边形ACDE 的面积DFC EFCA S S ∆=+平行四边形解答即可；②依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求得点E 坐标和线段DE ，再利用等腰三角形的判定与性质求得线段FQ ，则结论可求．【解答】解：（1）抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，经过点(3,0)C ，∴229330b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为243y x x =-+；（2）①2243(2)1y x x x =-+=-- ，(2,1)A ∴-．设抛物线的对称轴交x 轴于点G ，1AG ∴=．令0x =，则3y =，(0,3)D ∴，3OD ∴=．令0y =，则2430x x -+=，解得：1x =或3x =，(1,0)B ∴．如果//DE AC ，需将抛物线向左平移，设DE 交x 轴于点F ，平移后的抛物线对称轴交x 轴于点H ，如图，点C 的坐标为(3,0)，3OC ∴=．由题意：45ACB ∠=︒，//DE AC ，45DFC ACB ∴∠=∠=︒．3OF OD ∴==，(3,0)F ∴-，由题意：1EH =，1FH EH ∴==，(4,1)E ∴--．//AE x 轴，//DE AC ，∴四边形EFCA 为平行四边形，2(4)6AE =--= ，616EFCA S ∴=⨯=平行四边形．1163922DFC S FC OD ∆=⨯⋅=⨯⨯= ，∴四边形ACDE 的面积6915DFC EFCA S S ∆=+=+=平行四边形；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，DQE CDQ ∠=∠，如图，当点Q 在x 轴的下方时，设平移后的抛物线的对称轴交x 轴于F ，由题意：1EF =．3OD OC == ，45ODC OCD ∴∠=∠=︒，45FCE OCD ∴∠=∠=︒，1CF EF ∴==，(4,1)E ∴-．CD ==，CE ==DE CD CE ∴=+=DQE CDQ ∠=∠ ，EQ DE ∴==1QF EF EQ ∴=+=，(4,1)Q ∴-；当点Q 在x 轴的上方时，此时为点Q '，DQ E CDQ ∠'=∠' ，EQ DE ∴'==，1Q F EQ EF ∴'='-=，(4Q ∴'，1)-．综上，当DQE CDQ ∠=∠时，点Q 的坐标为(4,1)--或(4，1)-．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；（3）若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，即可求解；（2）求出平移后的抛物线的顶点(1,5)m -，再求出直线AC 的解析式4y x =-，当顶点在直线AC 上时，2m =，当M 点在AB 上时，4m =，则24m <<；（3）设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，分三种情况讨论：当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，Q 点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，Q 点横坐标为2；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，Q点横坐标为3【解答】解：（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，∴4931c b c =-⎧⎨++=-⎩，解得24b c =-⎧⎨=-⎩，224y x x ∴=--，2224(1)5y x x x =--=-- ，∴顶点(1,5)M -；（2）由题可得平移后的函数解析式为2(1)5y x m =--+，∴抛物线的顶点为(1,5)m -，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴431b k b =-⎧⎨+=-⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩，4y x ∴=-，当顶点在直线AC 上时，53m -=-，2m ∴=，//AB x 轴，(1,1)B ∴--，当M 点在AB 上时，51m -=-，4m ∴=，24m ∴<<；（3）存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，点E 在点C 下方，4t ∴<-，Q点在第四象限，01q ∴<<，①当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，∴22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，解得334q p t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（舍)或116p q t =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，∴22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，解得222q p t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为2，不符合题意；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，∴222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，解得332p q t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-+⎪⎩（舍)或332p q t ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=--⎪⎩，Q ∴点横坐标为3-综上所述：Q 点横坐标为1或3-【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为243y x x =-+．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ，(1,0)B ，．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）当函数值6y <时，自变量x 的取值范围：；（3）如图1，将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度，与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点(3,)P m 在L 上，求m 的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A 的坐标为(2,0)，在L 上是否存在点Q ，使得9OAQ S ∆=．若存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；（2）求出6y =时，对应的x 值，再结合图象写出x 的取值范围即可；（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)3y x =--，根据题意可知3x =时，P 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上，再求m 的值即可；（4）分两种情况讨论：当Q 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上时，设2(,1233)Q t t t -+，由212(1233)92OAQ S t t ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,41)Q m m m -+，由212(41)92OAQ S m m ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可．【解答】解：（1）(2,1)C -，故答案为：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）243y x x =-+ ，∴当2436x x -+=时，解得2x =2x =-∴当6y <时，22x <<+，故答案为：22x -<<+；（3）2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)1y x =--，当3x =时，点P 在抛物线2(6)1y x =--的部分上，8m ∴=；（4）存在点Q ，使得9OAQ S ∆=，理由如下：当Q 点在抛物线2(6)1y x =--的部分上时，设2(,1235)Q t t t -+，212(1235)92OAQ S t t ∆∴=⨯⨯-+=，解得6t =+6t =，4t ∴<，6t ∴=-(6Q ∴-，9)；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,43)Q m m m -+，212(43)92OAQ S m m ∆∴=⨯⨯-+=，解得2m =+或2m =-4m ，2m ∴=+，2Q ∴，9)；综上所述：Q 点坐标为(6，9)或2+，9)．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ，再沿x 轴翻折，得到新函数l '的图象，则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”．已知2:23l y x x =--．（1）当2t =-时，①求衍生抛物线l '的函数解析式；②如图1，函数l 与l '的图象交于(M ，)n ，(,N m -两点，连接MN ．点P 为抛物线l '上一点，且位于线段MN 上方，过点P 作//PQ y 轴，交MN 于点Q ，交抛物线l 于点G ，求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系．（2）当2t =时，如图2，函数l 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．函数l '与x 轴交于D ，E 两点，与y 轴交于点F ．点K 在抛物线l '上，且EFK OCA ∠=∠．请直接写出点K 的横坐标．【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；②利用待定系数法求得直线MN 的解析式，设2(,23)P m m m --+，则得到(,2)Q m m -，2(,23)G m m m --，利用m 的代数式分别表示出PQ ，QG 的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；（2）利用函数解析式求得点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标，进而得出线段OA ，OC ，OD ，OE ，AC ，OF 的长，设直线FK 的解析式为5y kx =-，设直线FK 交x 轴于点M ，过点M 作MN EF ⊥于点N ，用k 的代数式表示出线段OM ．FM ，ME 的长，利用EFK OCA ∠=∠，得到sin sin EFK OCA ∠=∠，列出关于k 的方程，解方程求得k 值，将直线FK 的解析式与衍生抛物线l '的函数解析式联立即可得出结论．。

二次函数的平移测试题

二次函数的平移测试题y随x增大而增大. 已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．则k＝2.已知函数是二次函数，它的图象开口，当x 时，y随x的增大而增大．3.函数-5的开口，对称轴是，顶点坐标是；把函数图像向____平移____个单位可得到它的图像。

4.函数+7的开口，对称轴是，顶点坐标是．把函数图像向____平移____个单位可得到它的图像。

5.把抛物线y=２x2向上平移5个单位,会得抛物线6..抛物线y= –(x+1)2的开口向____，对称轴是____ , 顶点坐标是____ .函数y= –5(x–3)2,当x______时,y随x的增大而增大；当x___时,y随x的增大而减小。

7 函数y=4(x+1)2的图象是由抛物线__________向___平移_____个单位得到.8.抛物线y=-2x2向下平移2个单位得到抛物线________, 再向上平移3个单位得到抛物线___________; 若向左平移2个单位得到抛物线_____________，向右平移2个单位得到抛物线_______________.9、若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是____________。

10、将抛物线y=2(x+2)2-1 先向___平移___个单位，再向___平移___个单位可得到抛物线y=2(x -1)2+311、把函数的图像向平移个单位即可得的图像；后一个函数图像的顶点坐标为，对称轴方程为12、把的图像向平移个单位得的图像；第二个函数图像的顶点坐标为，对称轴为．13．把的图像向平移个单位得的图像，再向平移个单位得的图像14函数，当时，随增大而减小，当时，有最值是．15. 二次函数y=(x+2)2-2，当x=______时，y有最小值，且y最小值= ．16．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线解析式为_____17.要从抛物线得到，则抛物线必须（）A向上平移3个单位B．向下平移3个单位C向左平移3个单位 D向右平移3个单位．18．要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1的图象，则抛物线y=-2x2必须（）A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位．19．将抛物线y=-3x2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为（）A．y=-3(x-1)2-2 B．y=-3(x-1)2+2； C．y=-3(x+1)2-2；D．y=-3(x+1)2+2．20．要从抛物线y=2x2得到y=2(x-1)2+3的图象，则抛物线y=2x2必须（）A．向左平移1个单位再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；C．向右平移1个单位再向下平移3个单位；D向右平移1个单位，再向上平移3个单位．21、要从抛物线得到的图像，则抛物线必须（）A．向左平移1个单位再向上平移3个单位B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；C．向右平移1个单位再向上平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位．22、将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线解析式为__ __23．抛物线向左平移1个单位得到抛物线（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．24. 把二次函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( )A.B.C.D.25．对于抛物线，下列叙述错误的是（） A.开口方向相同 B. 对称轴相同 C. 顶点坐标相同 D. 图象都在x轴上方26．抛物线y=x2，y=-3x2，y=x2的图象开口最大的是（）(A) y=x2 (B)y=-3x2 (C)y=x2 (D)无法确定27、函数①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x中是二次函数的有_______28、函数的对称轴是_________，顶点坐标为____________，函数有最____值______，当x_______时，y随x增大而增大。

二次函数图像的平移顶点对称轴练习题(附答案)

二次函数图像的平移顶点对称轴练习题一、填空题1.把抛物线2y x =先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后的抛物线的表达式是。

2.将抛物线向上平移2个单位,再向右平移4个单位,所得新抛物线的解析式为22y x =-,则原抛物线的解析式为_________.3.如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于,A B 两点，顶点C 的纵坐标为2-，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线2111y a x b x c =++，则下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号)①0b >；②0a b c -+<；③阴影部分的面积为4；④若1c =-，则24b a =.4.如图所示，已知抛物线0C 的解析式为22y x x =-.将抛物线0C 每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线123,,n C C C C （n 为正整数）. 则抛物线1C 与x 轴的两个交点12,A A 的距离是；抛物线n C 的解析式是 .5.抛物线23y x =先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得的抛物线为 .6.把抛物线2243y x x =-+向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 .7.在平面直角坐标系中，若抛物线23y x =不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为 .8.将抛物线2y ax =向左平移2个单位长度后，经过点(4,4)--，则a = .9.如图,将二次函数21(2)12y x =-+的图象沿y 轴向上平移得到一个新函数的图象,其中点(1,),(4,)A m B n 平移后的对应点分别为点,A B ''.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数解析式是 .10.如图，点,D C 的坐标分别为()1,4-和()5,4-，抛物线的顶点在线段CD 上运动(抛物线随顶点一起平移)，与x 轴交于,A B 两点(A 在B 的左侧)，点B 的横坐标最大值为3，则点A 的横坐标最小值为 .11.如图,将抛物线212y x =-+向右平移1个单位长度得到抛物线2y ,则图中阴影部分的面积S = .12.如图，把抛物线2y x =，沿直线y x =A 处，则平移后抛物线的解析式是 .13.把抛物线212y x =向左平移3个单位长度,就得到抛物线 ,抛物线21(3)2y x =-是由抛物线212y x =向平移个单位长度得到的,抛物线21(1)2y x =-可以由抛物线21(4)2y x =-向平移个单位长度得到. 14.抛物线2y x =-向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到图象的解析式为。

二次函数图象变换题库-二次函数,专题,中考,提高

二次函数图象变换综合习题一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．【习题分类】一、二次函数图象的平移变换【例1】函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（）A. 右移两个单位，下移一个单位B. 右移两个单位，上移一个单位C. 左移两个单位，下移一个单位D. 左移两个单位，上移一个单位【例2】函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤是（）A. 右移三个单位，下移四个单位B. 右移三个单位，上移四个单位C. 左移三个单位，下移四个单位D. 左移四个单位，上移四个单位【例3】二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（）A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位.B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位.C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位.D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.【例4】将函数2y x x =+的图象向右平移()0a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例5】把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a b c ++=________________．【例6】对于每个非零自然数n ，抛物线()()221111n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n n A B 、两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++…的值是（）A ． 20092008B ．20082009C ．20102009D ．20092010【例7】把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A ．()213y x =--- B ．()213y x =-+- C ．()213y x =--+D ．()213y x =-++【例8】将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A ．()221y x =+B ．()221y x =-C ．221y x =+D ．221y x =-【例9】将抛物线23y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（）A. 232y x =-B. 23y x =C. 23(2)y x =+D. 232y x =+【例10】一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为________________．【例11】如图，ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c=++经过x 轴上的点A ，B ．⑴ 求点A ，B ，C 的坐标． ⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D 【例12】抛物线254y ax x a =-+与x 轴相交于点A B 、，且过点()54C ，．⑴ 求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标．⑵ 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．二、二次函数图象的对称变换【例13】函数2y x =与2y x =-的图象关于______________对称，也可以认为2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到．【例14】已知二次函数221y x x =--，求：⑴关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵关于y 轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．【例15】在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A ．22y x x =--+B ．22y x x =-+-C ．22y x x =-++D ．22y x x =++【例16】已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1c ．⑴ 求1c 关于()10R ，成中心对称的图象2c 的函数解析式； ⑵ 设曲线12c c 、与y 轴的交点分别为A B ，，当18AB =时，求a 的值．【例17】已知抛物线265y x x =-+，求⑴ 关于y 轴对称的抛物线的表达式；⑵ 关于x 轴对称的抛物线的表达式； ⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．【例18】设曲线C 为函数()20y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为1C ，1C关于x 轴对称的曲线为2C ，则曲线2C 的函数解析式为________________．【例19】对于任意两个二次函数：()2211112222120y a x b x c y a x b x c a a =++=++≠，，当12a a =时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有ABM ∆，()()1010A B -，，，，记过三点的二次函数抛物线为“C”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．⑴ 若已知()01M ，，ABM ABN ∆∆≌（图1），请通过计算判断ABM C 与ABN C 是否为全等抛物线；⑵ 在图2中，以A B M 、、三点为顶点，画出平行四边形．① 若已知()0M n ，，求抛物线ABM C 的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线解析式．② 若已知()M m n ，，当m n 、满足什么条件时，存在抛物线ABM C ？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C”；若不存在，请说明理由．【例20】已知：抛物线2:(2)5f y x =--+．试写出把抛物线f 向左平行移动2个单位后，所得的新抛物线1f 的解析式；以及f 关于x 轴对称的曲线2f 的解析式．画出1f 和2f 的略图，并求：⑴ x 的值什么范围，抛物线1f 和2f 都是下降的；⑵ x 的值在什么范围，曲线1f 和2f 围成一个封闭图形；⑶ 求在1f 和2f 围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值．。

备战2025年中考数学冲刺专项训练(全国)专题05 二次函数中的平移、旋转、对称(原卷版)

专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）通用的解题思路：1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。

4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k均变号沿x轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k变号，h不变沿y轴翻折y=a(x+h)²+k a、h不变，h变号题型一：二次函数中的平移问题1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线21(0)y ax bx aa=+-<与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）．（2）当B的纵坐标为3时，求a的值；（3）已知点11(,2Pa-，(2,2)Q，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，请结合函数图象求出a的取值范围．2．（2024•平原县模拟）已知抛物线212:23C y ax ax a =++-．（1）写出抛物线1C 的对称轴：．（2）将抛物线1C 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B （点B 在点A 的左侧），若ABO ∆的面积为4，求点B 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ，N ，分别过点M ，N 的两条直线2l ，3l 交于点P ，且2l ，3l 与y 轴不平行，当直线2l ，3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时，请说明点P 在一条定直线上．3．（2024•和平区一模）已知抛物线21(y ax bx a =+-，b 为常数．0)a ≠经过(2,3)，(1,0)两个点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）抛物线的顶点为；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，且过点(1,2)B -，(3,0)C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）将抛物线向左平移(0)m m >个单位，当抛物线经过点B 时，求m 的值．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线223y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；（2）将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =；函数2y 与坐标轴的交点坐标为；（3）在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．7．（2024•温州模拟）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．（1）求点B 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，求平移后的二次函数的解析式．9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y x m =+经过点A ，判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（3）平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上，若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ，求n 的取值范围．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线2246y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．11．（2023•原平市模拟）（1）计算：3211()(5)|2|3--+---⨯-；（2）观察表格，完成相应任务：x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一：补全表格；任务二：观察表格不难发现，当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等，我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A ，B 变形，得到(A =③2)2-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象④（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式P =⑤．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：【观察探究】：方程2(||1)1x --=-的解为：；【问题解决】：若方程2(||1)x a --=有四个实数根，分别为1x 、2x 、3x 、4x ．①a 的取值范围是；②计算1234x x x x +++=；【拓展延伸】：①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；②观察平移后的图象，当123y 时，直接写出自变量x 的取值范围．13．（2023•花山区一模）已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2)．（1）求a ，b 的值；（2）将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ，存在点(,1)c 在1C 上，求m 的取值范围；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B （点A 在点B 的左侧），与2C 相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求AD BC -的值．14．（2023•环翠区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)．（1）求此抛物线的解析式；（2）当自变量x 满足13x - 时，求函数值y 的取值范围；（3）将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x 时，y 的最小值为5，求m 的值．15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)．（1）求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标；（2）当132x -时，求1y 的最大值与最小值的和；（3）如图2，将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >，再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ，点N 为抛物线1y 与2y 的交点．设点N 到x 轴的距离为n ，求n 关于m 的函数关系式，并直接写出当n 随m 的增大而减小时，m 的取值范围．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果//DE AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q 的坐标．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；（3）若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q 的横坐标：若不存在，请说明理由．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为243y x x =-+．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ，(1,0)B ，．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：；（2）当函数值6y <时，自变量x 的取值范围：；（3）如图1，将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度，与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点(3,)P m 在L 上，求m 的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A 的坐标为(2,0)，在L 上是否存在点Q ，使得9OAQ S ∆=．若存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ，再沿x 轴翻折，得到新函数l '的图象，则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”．已知2:23l y x x =--．（1）当2t =-时，①求衍生抛物线l '的函数解析式；②如图1，函数l 与l '的图象交于(M ，)n ，(,N m -两点，连接MN ．点P 为抛物线l '上一点，且位于线段MN 上方，过点P 作//PQ y 轴，交MN 于点Q ，交抛物线l 于点G ，求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系．（2）当2t =时，如图2，函数l 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．函数l '与x 轴交于D ，E 两点，与y 轴交于点F ．点K 在抛物线l '上，且EFK OCA ∠=∠．请直接写出点K 的横坐标．20．（2023•天门三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线223y x x =--的顶点为A ，与y 轴交于点C ，线段//CB x 轴，交该抛物线于另一点B ．（1）求点B 的坐标及直线AC 的解析式；（2）当二次函数223y x x =--的自变量x 满足1m x m + 时，此函数的最大值为p ，最小值为q ，且2p q -=．求m 的值；（3）平移抛物线223y x x =--，使其（备用图）顶点始终在直线AC 上移动，当平移后的抛物线与射线BA 只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n ，请直接写出n 的取值范围．21．（2023•米东区模拟）如图，已知二次函数2(y x bx c b =-++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A ，点(0,4)C ，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连结BC ．（1）求该二次函数的解析式及点M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围．22．（2023•驻马店二模）如图1所示，平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax =-+交x 轴于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A 坐标为(1,0)-．（1）求抛物线解析式及其顶点坐标．（2）若将抛物线向右平移m 个单位，得新抛物线“V ”，若“V ”与坐标轴仅有两个交点，求m 值．（3）若点M 为线段AB 上一动点，过点M 作y 轴平行线，该平行线与“V ”交点为N ，请直接写出点N 的纵坐标N y 的取值范围．23．（2023•宝鸡二模）如图，抛物线2:4L y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、(3,0)B ，与y 轴交于点C ．将抛物线L 向右平移一个单位得到抛物线L '．（1）求抛物线L 与L '的函数解析式；（2）连接AC ，探究抛物线L '的对称轴上是否存在点P ，使得以点A ，C ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型二：二次函数中的翻折问题24．（2024•江西模拟）已知二次函数265(0)y kx kx k k =-+>经过A ，B 两定点（点A 在点B 的左侧），顶点为P ．（1）求定点A ，B 的坐标；（2）把二次函数265y kx kx k =-+的图象在直线AB 下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函数位于直线AB 上方的部分的组合图象记作图象W ，求向上翻折部分的函数解析式；（3）在（2）中，已知ABP ∆的面积为8．①当14x 时，求图象W 中y 的取值范围；②若直线y m =与图象W 从左到右依次交于C ，D ，E ，F 四点，若CD DE EF ==，求m 的值．25．（2023•零陵区三模）在平面直角坐标系中，二次函数2229y x mx m =-+-+的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求A 、B 两点的坐标（用含m 的式子表示）；（2）将该二次函数图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当31x -- 时，这个新函数G 的函数值y 随x 的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围；（3）已知直线:1l y =，点C 在二次函数2229y x mx m =-+-+的图象上，点C 的横坐标为2m ，二次函数2229y x mx m =-+-+的图象在C 、B 之间的部分记为M （包括点C ，)B ，图象M 上恰有一个点到直线l 的距离为2，直接写出m 的取值范围．26．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =--的顶点为P ．直线l 过点(0M ，)(3)m m - ，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A 、B 两点(B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．（1）当1m =时，求点D 的坐标；（2）连接BC 、CD 、DB ，若BCD ∆为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若BCD ∆的面积为3，E 、F 两点分别在边BC 、CD 上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．27．（2024•盐城模拟）已知抛物线2(31)2(y ax a x a =---为常数且0)a ≠与y 轴交于点A ．（1）点A 的坐标为；对称轴为（用含a 的代数式表示）；（2）无论a 取何值，抛物线都过定点B （与点A 不重合），则点B 的坐标为；（3）若0a <，且自变量x 满足13x - 时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；（4）将点A 与点B 之间的函数图象记作图象M （包含点A 、)B ，若将M 在直线2y =-下方的部分保持不变，上方的部分沿直线2y =-进行翻折，可以得到新的函数图象1M ，若图象1M 上仅存在两个点到直线6y =-的距离为2，求a 的值．28．（2023•扶余市二模）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(1,0)A ，(5,0)B ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式，并直接写出点P 的坐标；（2）如图，把原抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线x 轴上方的部分记作图形M ，在图形M 中，回答：①点A ，B 之间的函数图象所对应的函数解析式为2(3)4y x =--+(15)x ；②当342x 时，求y 的取值范围；③当2m x m + ，且32m >时，若最高点与最低点的纵坐标的差为154，直接写出m 的值．29．（2023•余江区一模）已知抛物线21:23(0)C y ax ax a =--≠（1）当1a =时，①抛物线1C 的顶点坐标为．②将抛物线1C 沿x 轴翻折得到抛物线2C ，则抛物线2C 的解析式为．（2）无论a 为何值，直线y m =与抛物线1C 相交所得的线段EF （点E 在点F 左侧）的长度都不变，求m 的值和EF 的长；（3）在（2）的条件下，将抛物线1C 沿直线y m =翻折，得到抛物线3C ，抛物线1C ，3C 的顶点分别记为P ，Q ，是否存在实数a ，使得以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a 的值：若不存在，请说明理由．30．（2023•越秀区校级三模）已知二次函数2y x bx m =++图象的对称轴为直线2x =，将二次函数2y x bx m =++图象中y 轴左侧部分沿x 轴翻折，保留其他部分得到新的图象C ．（1）求b 的值；（2）①当0m <时，图C 与x 轴交于点M ，(N M 在N 的左侧），与y 轴交于点P ．当MNP ∆为直角三角形时，求m 的值；②在①的条件下，当图象C 中40y -< 时，结合图象求x 的取值范围；（3）已知两点(1,1)A --，(5,1)B -，当线段AB 与图象C 恰有两个公共点时，直接写出m 的取值范围．题型三：二次函数对称问题31．（2024•雁塔区校级二模）如图，抛物线2:3L y ax bx =++经过(1,0)A -，(5,3)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线L 的表达式；（2）抛物线L '与抛物线L 关于直线BC 对称，P 是抛物线L 的x 轴上方且在对称轴左侧的一点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线L '于点Q ，点P 、Q 关于抛物线L 的对称轴对称的点分别为M 、N ．试探究是否存在一点P ，使得四边形PQNM 为长宽之比是1:2的矩形？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．32．（2023•鄞州区校级模拟）已知二次函数21441y ax ax a =++-的图象是M ．（1）求M 关于点(1,0)R 成中心对称的图象N 的解析式2y ；（2）当25x 时，2y 的最大值为5，求a 的值．33．（2024•沙坪坝区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于(2,0)A ，(4,0)B -，与y 轴交于(0,4)C ，连接AC ，作直线BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知直线BC 上方抛物线上有一动点P ，过点P 作//PM x 轴交BC 于M ，过M 作//MN y 轴交x 轴于N ，求PM MN +的最大值和此时P 点坐标；（3）将原抛物线沿CB 方向平移个单位长度得到新抛物线，已知D 点是新抛物线上一动点，且DBC OAC BCO ∠=∠+∠，求所有符合条件的点D 的横坐标并写出其中一种情况的求解过程．34．（2023•海安市模拟）已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为1y ，2y ，都有点1(,)x y 、2(,)x y 关于点(,)x x 对称，则称这两个函数为关于y x =的对称函数，例如，112y x =和232y x =为关于y x =的对称函数．（1）判断：①13y x =和2y x =-；②11y x =+和21y x =-；③211y x =+和221y x =-，其中为关于y x =的对称函数的是（填序号）；（2）若132y x =+和2(0)y kx b k =+≠为关于y x =的对称函数．求k 、b 的值．（3）若21(0)y ax bx c a =++≠和22y x n =+为关于y x =的对称函数，令21w y y =-，当函数w 与函数(02)y x x = 有且只有一个交点时，求n 的取值范围．35．（2023•雁塔区校级模拟）已知抛物线21:3C y ax bx =+-与x 轴于点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线1C 的解析式；（2）已知抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称，过点C 作//CD x 轴交抛物线1C 于点D ，P 是抛物线2C 上的一个动点，连接PB 、PC 、BC 、BD ．若PBC BCD S S ∆∆=，求点P 的坐标．36．（2023•灞桥区校级模拟）如图，顶点M在y轴负半轴上的抛物线与直线2y x=+相交于点(2,0)A-，(4,6)B，连接AM，BM．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若将抛物线向下平移3个单位长度，则在平移后的抛物线上，且在直线AB的下方，是否存在点P，使得118ABP ABMS S∆∆=若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型四：二次函数中的旋转问题37．（2023•吉安县校级一模）已知抛物线21y ax bx c =++分别交x 轴于(1,0)A -，(3,0)B 两点，且与y 轴交于点(0,3)C -．（1）求抛物线的解析式及顶点P 坐标；（2）将该二次函数绕点(4,0)旋转180︒，求旋转后的二次函数解析式；（3）设旋转后的抛物线顶点坐标为Q ，且与x 轴的右侧交点为D ，顺次连接A 、P 、D 、Q ，求四边形APDQ 的面积．38．（2023•郏县一模）如图，直线24y x =--与x 轴交于点A ，抛物线2421y ax x a =+++经过点(1,8)，与x 轴的一个交点为(B B 在A 的左侧），过点B 作BC 垂直x 轴交直线于C ．（1）求a 的值及点B 的坐标；（2）将ABC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，点B 、C 的对应点分别为点E 、F ．将抛物线2421y ax x a =+++沿x 轴向右平移使它过点F ，求平移后所得抛物线的解析式．39．（2023•郸城县二模）如图1，抛物线21y ax bx c =++分别交x 轴于(1,0)A -，(3,0)B 两点，且与y 轴交于点(0,3)C -．（1）求抛物线的表达式及顶点P 的坐标．（2）如图2，将该抛物线绕点(4,0)旋转180︒．①求旋转后的抛物线的表达式；②旋转后的抛物线顶点坐标为Q ，且与x 轴的右侧交于点D ，顺次连接A ，P ，D ，Q ，求四边形APDQ 的面积．40．（2023•长春模拟）如图，直线122y x =-与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ．抛物线214y x bx c =++经过点A ，点B ，并与x 轴有另一交点C ．（1）依题，点A 的坐标是，点B 的坐标是．（2）求抛物线的解析式．（3）在直线AB 下方的抛物线上有一点D ，求四边形ADBC 面积的最大值．（4）在x 轴上有一个动点(,0)P m ，将线段OA 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段MN ．直接写出线段MN 与抛物线只有一个公共点时m 的取值范围．题型五：二次函数中的几何变换41．（2024•梧州模拟）九年级数学兴趣小组的同学研究发现若把二次函数21y ax bx c =++的系数调换位置变成新的二次函数22y cx bx a =-+，且0b ≠，这两个函数有一定的关连，于是命名它们为“互为对调函数”，根据这个规定，解答下列问题：（1）若二次函数21325y x x =+-，则它的“对调函数”是2y =，且此“对调函数”与y 轴的交点是；（2）若k 、m 为非零实数，二次函数213y x kx m =++经过两个不同的点(,)A k h 与点(,)B m h ，请求出“对调函数”2y 的对称轴；（3）在（2）中，“对调函数”2y 的图象是否经过某两个定点？若经过，求出这两个定点坐标；若不经过，请说明理由．。

陕西中考二次函数平移类大题整理(精选)

二次函数图像平移与几何综合应用1已知抛物线C:c bx x y ++-=2经过A(-3，0)和B(0，3)两点，将抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x 轴的交点记为N.(1)求抛物线C 的表达式；（2）求点M 的坐标；（3）将抛物线C 平移到抛物线C ’，抛物线C ’的顶点记为M ’、它的对称轴与x 轴的交点记为N ’。

如果点M 、N 、M ’、N ’为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C 怎样平移？为什么？2.在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+5x+4的顶点为M ，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点。

（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）求抛物线y=x 2+5x+4关于坐标原点O 对称的抛物线的函数表达式；（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M`,与x 轴交于A`、B`两点，与y 轴交于C`点，在以A 、B 、C 、M 、A`、B`、C`、M`这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积。

3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(-1，0),B(3，0),C(0，-2)(1)求该抛物线的表达式；（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A,C的对应点分别为,A C'',当C'落在抛物线上时，求四边形AA C C''的周长；(3)除（2）中的,A C''外，在x轴上和抛物线上是否还分别存在点E,F，使得以A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E,F的坐标；若不存在，请说明理由。

【经典必考】二次函数图像平移30题含详细答案

○………○………二次函数图像平移30题含详细答案一、单选题 1．将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）. A ．22(2)3y x =++； B ．22(2)3y x =-+； C ．22(2)3y x =--； D ．22(2)3y x =+-. 2．抛物线y=（x ﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（） A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 3．若抛物线2y x ax b =++与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1x =，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A ．()3,6-- B ．()3,0- C ．()3,5-- D ．()3,1-- 4．将抛物线y=x 2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（） A ．y=（x +2）2﹣5 B ．y=（x +2）2+5 C ．y=（x ﹣2）2﹣5 D ．y=（x ﹣2）2+5 5．将抛物线y=﹣5x 2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（） A ．y=﹣5（x+1）2﹣1 B ．y=﹣5（x ﹣1）2﹣1 C ．y=﹣5（x+1）2+3 D ．y=﹣5（x ﹣1）2+3 6．如图，抛物线2145y x 7x 22=-+与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作1C ，将1C 向左平移得到2C ，2C 与x 轴交于点B 、D ，若直线1y x m 2=+与1C 、2C 共有3个不同的交点，则m 的取值范围是( )……○…………订※※装※※订※※线※※内※……○…………订A ．455m 82-<<- B ．291m 82-<<- C ．295m 82-<<- D ．451m 82-<<- 7．将抛物线23y x =-平移，得到抛物线23(1)2y x =---，下列平移方式中，正确的是（） A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位8．如图，将函数y ＝12（x ﹣2）2+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点A '、B '．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A ．y ＝12（x ﹣2）2-2 B ．y ＝12（x ﹣2）2+7C ．y ＝12（x ﹣2）2-5 D ．y ＝12（x ﹣2）2+49．在平面直角坐标系中，抛物线(5)(3)y x x =+-经过变换后得到抛物线(3)(5)y x x =+-，则这个变换可以是（）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移8个单位D ．向右平移8个单位10．抛物线267y x x =++可由抛物线2y x 如何平移得到的（）A ．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B ．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C ．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D ．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位11．将抛物线y=x 2﹣4x ﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函A ．y=（x+1）2﹣13B ．y=（x ﹣5）2﹣3C ．y=（x ﹣5）2﹣13D ．y=（x+1）2﹣3 12．若要得到函数y ＝(x+1)2+2的图象，只需将函数y ＝x 2的图象( ) A ．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B ．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C ．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 D ．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 13．将抛物线y=12x 2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（） A ．y=12（x ﹣8）2+5 B ．y=12（x ﹣4）2+5 C ．y=12（x ﹣8）2+3 D ．y=12（x ﹣4）2+3 14．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x 2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 15．把抛物线y=﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（） A ．y=﹣2（x+1）2+2 B ．y=﹣2（x+1）2﹣2 C ．y=﹣2（x ﹣1）2+2 D ．y=﹣2（x ﹣1）2﹣2 16．将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式为（） A ．2(1)4y x =-+ B ．2(4)4y x =-+ C ．2(2)6y x =++ D ．2(4)6y x =-+ 17．将抛物线2y x 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（） A ．2(2)3y x =+- B ．2(2)3y x =++C ．2(2)3y x =-+D ．2(2)3y x =-- 18．如果将抛物线2y x 2=+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 A ．()2y x 12=-+ B ．()2y x 12=++ C ．2y x 1=+ D ．2y x 3=+ 19．将抛物线265y x x =-+向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（） A ．2(4)6y x =-- B ．2(1)3y x =-- C ．2(2)2y x =-- D ．2(4)2y x =--20．抛物线y ＝3x 2向右平移一个单位得到的抛物线是（）A ．y ＝3x 2+1B ．y ＝3x 2﹣1C ．y ＝3（x+1）2D ．y ＝3（x ﹣1）2 21．把函数212y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()21112y x =--+的图象（）A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位22．把抛物线y=﹣2x 2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A ．y=﹣2（x ﹣1）2+6B ．y=﹣2（x ﹣1）2﹣6C ．y=﹣2（x+1）2+6D ．y=﹣2（x+1）2﹣623．把抛物线y ＝﹣2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（） A ．y ＝﹣2（x +1）2+1 B ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+1C ．y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣1D ．y ＝﹣2（x +1）2﹣124．将抛物线y=x 2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（）A ．（0，3）或（﹣2，3）B ．（﹣3，0）或（1，0）C ．（3，3）或（﹣1，3）D ．（﹣3，3）或（1，3）二、解答题 25．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积． 26．已知二次函数2223y x mx m =-++（m 是常数）（1）求证：不论m 为何值，该函数的图像与x 轴没有公共点；（2）把该函数的图像沿x 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x 轴只有一个公共点？ 27．把二次函数y=a(x-h)2+k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=12(x+1)2-1的图象. （1）试确定a ，h ，k 的值；（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k 的开口方向，对称轴和顶点坐标. 三、填空题 28．抛物线y =x 2-2x +3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为____________． 29．将抛物线2213y x =-向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为________________． 30．把抛物线y=x 2﹣2x+3沿x 轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为．参考答案1．B【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.【详解】解：将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为()2223y x =-+，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.2．D【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．详解：抛物线y=x 2顶点为（0，0），抛物线y=（x ﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x 2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x ﹣2）2﹣1的图象．故选D ．点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．3．B【解析】分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．详解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y=x （x-2）=x 2-2x=（x-1）2-1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，∴得到的新抛物线过点（-3，0）．故选B ．点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．4．A【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x +2）2﹣5．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键． 5．A【解析】分析：直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．详解：将抛物线y=-5x 2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1．故选A ．点睛：此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 6．C【分析】先求出点A 和点B 的坐标，然后再求出2C 的解析式，分别求出直线1y x m 2=+与抛物线2C 相切时m 的值以及直线1y x m 2=+过点B 时m 的值，结合图形即可得到答案. 【详解】抛物线2145y x 7x 22=-+与x 轴交于点A 、B ， ∴2145x 7x 22-+=0， ∴x 1=5，x 2=9，()B 5,0∴，()A 9,0∴抛物线向左平移4个单位长度后的解析式21y (x 3)22=--，当直线1y x m 2=+过B 点，有2个交点， 50m 2∴=+， 5m 2=-，当直线1y x m 2=+与抛物线2C 相切时，有2个交点， 211x m (x 3)222∴+=--， 2x 7x 52m 0-+-=，相切，49208m 0∴=-+=，29m 8∴=-，如图，若直线1y x m 2=+与1C 、2C 共有3个不同的交点， ∴--295m 82<<-，故选C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答本题的关键.7．D【解析】将抛物线y =-3x 2平移，先向右平移1个单位得到抛物线y =-3（x -1）2, 再向下平移2个单位得到抛物线y =-3（x -1）2-2.故选D.8．D【详解】∵函数()21212y x =-+的图象过点A （1，m ），B （4，n ）， ∴m =()211212-+=32，n =()214212-+=3， ∴A （1，32），B （4，3），过A 作AC ∥x 轴，交B ′B 的延长线于点C ，则C （4，32）， ∴AC =4﹣1=3，∵曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC •AA ′=3AA ′=9，∴AA ′=3，即将函数()21212y x =-+的图象沿y 轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是()21242y x =-+．故选D ．9．B【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5），故选B ．【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 10．A【分析】先将抛物线267y x x =++化为顶点式，然后按照“左加右减，上加下减”的规律进行求解即可．【详解】因为()226732y x x x =++=+-，所以将抛物线2y x 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线267y x x =++，故选A ．【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键.11．D【详解】因为y=x 2-4x-4=（x-2）2-8，以抛物线y=x 2-4x-4的顶点坐标为（2，-8），把点（2，-8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（-1，-3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）2-3．故选D ．12．B【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a 值不变即可找出结论．【详解】解：∵抛物线y=（x+1）2+2的顶点坐标为（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线y=x 2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=（x+1）2+2．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．13．D【解析】【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．【详解】 y=12x 2﹣6x+21 =12（x 2﹣12x ）+21 =12[（x ﹣6）2﹣36]+21 =12（x ﹣6）2+3，故y=12（x ﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y=12（x ﹣4）2+3．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记函数图象平移的规律并正确配方将原式变形是解题关键．14．B【解析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可：∵23222y x y (x 2)y (x 2)3→+→+-向左平移个单位向下平移个单位＝＝＝y ＝x 2，∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选B ．15．C【详解】解：把抛物线y=﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=﹣2（x ﹣1）2+2，故选C ．16．B【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】将223y x x =-+化为顶点式，得2(1)2y x =-+．将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为2(4)4y x =-+，故选B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．17．A【分析】先确定抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3．故选A ．18．C【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【详解】∵抛物线y=x 2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x 2+2-1，即y=x 2+1．故选C ．19．D【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】解：()226534y x x x =-+=--，即抛物线的顶点坐标为()3,4-，把点()3,4-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为()4,2-，所以平移后得到的抛物线解析式为()242y x =--．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．20．D【解析】【分析】先确定抛物线y ＝3x 2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标变换规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【详解】y ＝3x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）右平移一个单位所得对应点的坐标为（1，0），所以平移后的抛物线解析式为y ＝3（x ﹣1）2．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．21．C【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．【详解】抛物线212y x =-的顶点坐标是00（，），抛物线线()21112y x =--+的顶点坐标是11（，），所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，），即将函数212y x =-的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()21112y x =--+的图象．故选：C ．【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．22．C【解析】∵抛物线y =﹣2（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是（﹣1，6）∴所得抛物线解析式是y =﹣2（x +1）2+6．故选C点睛：本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k ，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．23．B【解析】【详解】∵函数y=-2x 2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y=-2x 2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1，故选B．【点睛】二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．24．D【解析】【分析】先将抛物线y=x2+2x+3化为顶点式,找出顶点坐标,利用平移的特点即可求出新的抛物线,可求得与直线y=3的交点坐标.【详解】解:抛物线y= x2+2x+3=（x+1）2+2,顶点坐标(-1,2),再向下平移3个单位得到的点是(-1,-1).可得新函数的解析式为y=（x+1）2−1，当y=3时候，即:（x+1）2−1=3，得：（x+1）2=4，解得：x=1或x=-3，∴抛物线与直线y=3的交点坐标为（1，3）或（-3，3），故选D.【点睛】本题主要考查抛物线平移的规律与性质, 关键是得到所求抛物线顶点坐标,利用平移的规律解答.25．（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与y轴的交点为：（0，3）；与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.26．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案.（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．【详解】（1）∵()()222224134412120m m m m ∆=--⨯⨯+=--=-＜， ∴方程22230x mx m -++=没有实数解.∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点.（2）∵()222233y x mx m x m =-++=-+，∴把函数2223y x mx m =-++的图象延y 轴向下平移3个单位长度后，得到函数()23y x m =-+的图象，它的顶点坐标是（m ，0）.∴这个函数的图象与x 轴只有一个公共点.∴把函数2223y x mx m =-++的图象延y 轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点．【点睛】本题考查了1.抛物线与x 轴的交点问题；2.一元二次方程根的判别式；3.二次函数图象与平移变换．27．（1）1,1,52a h k ===- （2）开口向下，对称轴是x=1的直线，顶点（1，-5）【解析】试题分析：（1）二次函数的平移，可以看作是将二次函数y=12(x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k ，然后再按二次函数图象的平移法则，确定函数解析式，即可得到结论；（2），直接根据函数解析式，结合二次函数的性质，进行回答即可.试题分析：（1）∵二次函数y=a(x-h)2+k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=12(x+1)2-1， ∴可以看作是将二次函数y=12 (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k ，而将二次函数y=12 (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数为：y=12(x-1)2-5，∴a=12，b=1，k=-5；（2）二次函数y=12 (x-1)2-5，开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-5）.28．y=x 2-8x+20．【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【详解】2y 23x x =-+=()21x - +2,其顶点坐标为(1,2).向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为(4,4),得到的抛物线的解析式是y=()24x -+42820x x =-+.故答案为2y 820x x =-+.【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换.29．22(3)23y x =-+ 【解析】【分析】先确定抛物线y 2213x =-的顶点坐标为（0，-1），再把点（0，-1）先向右平移3个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（3，2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．【详解】解：抛物线y=2213x -的顶点坐标为（0，-1），把点（0，-1）先向右平移3个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（3，2），所以所得的抛物线的解析式为y=()22323x -+. 故答案为y=()22323x -+．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．30．y=（x﹣3）2+2【解析】【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【详解】解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，2）．向右平移2个单位长度后的顶点坐标为（3，2），得到的抛物线的解析式是y=（x﹣3）2+2，故答案为：y=（x﹣3）2+2.【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．。

专题33 二次函数与平移问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版)

专题33 二次函数与平移问题1．（2021·湖北武汉九年级阶段练习）如图1，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +b （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，OB ＝OC ＝3OA ．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点E 的坐标为（0，7），若过点E 作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H ，直线y ＝kx ﹣2k ﹣5（k ≠0）与抛物线交于F 、G 两点，求当k 为何值时，△FGH 面积最小，并求出面积的最小值；（3）如图3，已知直线l ：y ＝2x ﹣1，将抛物线沿直线l 方向平移，平移过程中抛物线与直线l 相交于E 、F 两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m ，在x 轴上存在唯一的一点P ，使∠EPF ＝90°，求m 的值．【答案】（1）y ＝-x 2+2x +3；（2）k =-2，面积最小为（3）m 【分析】（1）令x =0，解得y =b ，求出OB ＝OC ＝b ，OA =13b ，得到A （-13b ，0），C （0，b ），B （b ，0），把A （-13b ，0），B （b ，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +b 即可求解；（2）设直线EH 的解析式为y =nx +7，联立2723y nx y x x =+⎧⎨=-++⎩，得()2240x n x +-+=，根据直线EH 与函数只有一个交点，求出H （2，3），再得到直线GH 过定点M （2，-5），利用S △FGH =S △FMH +S △GMH =()1212MH x x ⨯-=4()12x x -，求出()12x x -的最小值即可求解；（3）当以EF 为直径的R 与x 轴相切时，x 轴上存在点P 即切点，使∠EPF =90°，设点E ，F的坐标分别为F （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），求出平移后的抛物线的解析式为y ＝-（x -m ）2+2m +2，联立()22221y x m m y x ⎧=--++⎪⎨=-⎪⎩得到()2222230x m x m m -++--=，求出x 1+x 2=2m +2，x 1x 2=223m m --，y 1+y 2=4m -6，表示出点R （m -1，2m -3），求出()12x x -2，利用PR =12EF ，得到EF 2=4PR 2，列出关于m 的方程即可求解．【详解】（1）∵y ＝ax 2﹣2ax +b （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴的正半轴交于点C ，令x =0，解得y =b ∴CO =b∴OB ＝OC ＝b ，OA =13b∴A （-13b ，0），C （0，b ），B （b ，0）把A （-13b ，0），B （b ，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +b得22209302ab ab b ab ab b⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为y ＝-x 2+2x +3；（2）∵点E 的坐标为（0，7），可设直线EH 的解析式为y =nx +7联立2723y nx y x x =+⎧⎨=-++⎩，得()2240x n x +-+= ∵直线EH 与函数只有一个交点，且在对称轴右侧 ∴△=()224140n --⨯⨯= 解得n 1=-2，n 2=6（舍去） ∴直线EH 的解析式为y =-2x +7 解方程2440x x -+=得x 1=x 2=2 ∴H （2，3）∵直线GH 解析式y ＝kx ﹣2k ﹣5=k （x -2）-5 ∴直线GH 过定点M （2，-5）如图，连接HM ∵H （2，3） ∴HM ⊥x 轴，MH =8 设F （x 2，y 2）、G （x 1，y 1）联立()22523y k x y x x ⎧=--⎨=-++⎩，得到()22280x k x k +---= ∴x 1+x 2=2-k ，x 1x 2=-2k -8∵S △FGH =S △FMH +S △GMH =()1212MH x x ⨯-=4()12x x -故当()12x x -最小时，S △FGH 最小∵()12x x -2=()()()()222121242428232x x x x k k k +-=----=++故当k =-2时，()12x x -2的最小值为32故()12x x -=∴此时S △FGH 最小为4()12x x -=（3）当以EF 为直径的R 与x 轴相切时，x 轴上存在点P 即切点，使∠EPF =90° 如图，R 与x 轴相切时，切点为点P ， ∵y ＝-x 2+2x +3=-（x -1）2+4设点E ，F 的坐标分别为F （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），当平移后的抛物线的顶点的横坐标为m 时，则抛物线向右平移了m -1个单位，故相应地纵坐标向上平移了2（m -1）=个单位，则平移后的抛物线的解析式为y ＝-（x -m ）2+4+2（m -1）=-（x -m ）2+2m +2联立()22221y x m m y x ⎧=--++⎪⎨=-⎪⎩得到()2222230x m x m m -++--=∴x 1+x 2=2m +2，x 1x 2=223m m --∴y 1+y 2=2（x 1+x 2）-2=4m -6，则点R （m -1，2m -3），()12x x -2=()212124xx x x +-=（2m +2）2-4（223m m --）=16，PR =12EF 则EF 2=4PR 2∵EF 2=()12x x -2+()12y y -2=5()12x x -2=5×16=4PR 2 ∵PR =2m -3∴5×16=4×（2m -3）2解得m∴当m m【点睛】此题主要考查二次函数综合运用，解题的关键是熟知圆的切线的性质、勾股定理、二次函数的图像与性质、一元二次方程相关性质．2．（2021·四川资阳·中考真题）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．当N CN '+的值最小时，求MN 的长．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）(1,4)P 或(2,3)P ；（3）34．【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点P 的坐标为2(,23)P a a a -++，先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再根据:1:2PE BE =可得点E 的坐标，代入直线AC 的解析式求解即可得；（3）先根据2DD CD '=求出点D 的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点M 的坐标，从而可得点N的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得N CN '+，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得．【详解】解：（1）由题意，将点()()1,0,0,3B C -代入2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，则抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++；（2）对于二次函数2y x 2x 3=-++，当0y =时，2230x x -++=，解得1x =-或3x =， (3,0)A ∴，设点P 的坐标为2(,23)(03)P a a a a -++<<，点E 的坐标为11(,)E x y ， :1:2,(1,0)PE BE B =-，1121111223102a x x a a y y -⎧=⎪+⎪∴⎨-++-⎪=⎪-⎩，解得121213324233x a y a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，22124(,2)3333E a a a ∴--++，设直线AC 的解析式为y kx t =+，将点(3,0),(0,3)A C 代入得：303k t t +=⎧⎨=⎩，解得13k t =-⎧⎨=⎩，则直线AC 的解析式为3y x =-+，将点22124(,2)3333E a a a --++代入得：22124323333a a a -++=-++，解得1a =或2a =，当1a =时，2231234a a -++=-++=，此时(1,4)P ，当2a =时，22342233a a -++=-+⨯+=，此时(2,3)P ，综上，点P 的坐标为(1,4)P 或(2,3)P ；（3）二次函数2223(1)4y x x x =-++=--+的顶点D 坐标为(1,4)D ，设点D 的坐标为22(,)D x y '， 2,(0,3),(1,4)DD C D D C '=，2212104243x y -⎧=⎪⎪-∴⎨-⎪=⎪-⎩，解得2236x y =⎧⎨=⎩，(3,6)D '∴，则平移后的二次函数的解析式为22(3)663y x x x =--+=-+-，设直线OD '的解析式为0y k x =，将点(3,6)D '代入得：036k =，解得02k =，则直线OD '的解析式为2y x =，设点M 的坐标为2(,63)(3)M m m m m -+-<，则点N 的坐标为(,2)N m m ，如图，连接AD '，过点N 作NF AD '⊥于点F ，过点C 作CG AD '⊥于点G ，交OD '于点N '，连接CF ，(3,0),(3,6)D A '，AD x '∴⊥轴，3FN m ∴=-，3N CN CN m CN FN CN '+==-+=+，由两点之间线段最短得：FN CN +的最小值为CF ，由垂线段最短得：当点F 与点G 重合时，CF 取得最小值CG ，此时点N 与点N '重合，则点N '的纵坐标与点C 的纵坐标相等，即23m =，解得32m =，则2263243MN m m m m m =-+--=-+-，233()4322=-+⨯-，34=．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键． 3．（2021—2022重庆实外九年级阶段练习）如图，已知抛物线212263y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，点P 是抛物线上位于直线BC 下方的一点．（1）如图1，连接,AP CP ，当点P 的横坐标为5时，求APCS；（2）如图2，连接AC ，过点P 作PG AC ∥交BC 于点G ，求PG 长度的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图3，将抛物线212263y x x =--沿射线CB 的方向平移，使得新抛物线'y 经过点4(2,)3-，并记新抛物线'y 的顶点为D ，若点M 为新抛物线'y 对称轴上的一动点，点N 为坐标平面内的任意一点，直接写出所有使得以A ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形的点N 的坐标，并把求其中一个点N 的坐标的过程写出来．【答案】（1）356；（2）PGP 点的坐标为（3，52-）；（3）当点N 的坐标为（10，0）或（-2，-10）或（-2，-2，-A ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形．【分析】（1）设直线AP 与y 轴交点为E ，先求出P 点坐标，然后求出直线A 点坐标，即可求出直线AB 的解析式，从而得到E 点的坐标，再根据ACPACEECPSSS=+()()1122P C C A CE x x CE x x =⋅-+⋅-进行求解即可；（2）先求出直线BC 的解析式为123y x =-，过点P 作直线l ∥BC ，只有当直线l 与抛物线212263y x x =--相切（只有一个交点的时候）PG 有最大值，如图所示，此时P 、G 的位置分别为1P ，1G ；设此时直线l 的解析式为213y x b =+，联立221312263y x b y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩求得272b =-，从而求得点1P 的坐标为（3，52-），即点P 的坐标为（3，52-）；然后求出直线AC 的解析式为2y x =--，则可求出直线11PG 解析式为12y x =-+，然后求出1G 的坐标为（158，118-），再根据两点距离公式求出11PG 即可；（3）如图3-1所示，过点C 作直线CE ∥x 轴，过点B 作直线CE 的垂线，垂直为E ，求出BE 1CE 3=，设抛物线212263y x x =--沿着射线CB 的方向平移使得C 点平移到G 点，过点G 作GH ⊥CE ，可证△CHG ∽△CEB ，得到1=3GH BE CH CE =，则可设抛物线()221218226363y x x x =--=--沿着射线CB 的方向向右平移t 个单位长度，向上平移13t 个单位长度得到抛物线()2182633t y x t '=---+，由此即可求出()21426y x '=--得到D 点坐标为（4，-2）；然后根据菱形的性质分别讨论：当DM ，AN 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的对角线时，当DM 和MA 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的边时，当AD 和MD 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的边时，利用属性结合的思想求解即可【详解】解：（1）设直线AP 与y 轴交点为E ，∵点P 在抛物线212263y x x =--的函数图像上，且P 点横坐标为5， ∴P 点纵坐标为2127552636⨯-⨯-=-，∴P 点坐标为（5，76-），令0y =，则2122063x x --=，解得2x =-或6x =，∴A 点坐标为（-2，0），B 点坐标为（6，0），设直线AP 的解析式为y kx b =+，∴20756k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，∴1613k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AP 的解析式为1163y x =--，∴E 点坐标为（0，13-），∵C 是抛物线212263y x x =--与y 轴的交点， ∴C 点坐标为（0，-2），∴()15233CE =---=，∴ACPACEECPSSS=+()()1122P C C A CE x x CE x x =⋅-+⋅- ()12P A CE x x =⋅- 15723=⨯⨯ 356=；（2）设直线BC 的解析式为11y k x b =+，∴111602k b b +=⎧⎨=-⎩，∴11132k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线BC 的解析式为123y x =-，过点P 作直线l ∥BC ，只有当直线l 与抛物线212263y x x =--相切（只有一个交点的时候）PG 有最大值，如图所示，此时P 、G 的位置分别为1P ，1G ；设此时直线l 的解析式为213y x b =+，联立221312263y x b y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得221206x x b ---=，∴()22114206b ∆=+⨯+=，∴272b =-，∴2172062x x --+=即2690x x -+=，解得3x =，∴1P 点横坐标为3，∴1P 点纵坐标为1753322⎛⎫⨯+-=- ⎪⎝⎭， ∴ 点1P 的坐标为（3，52-），即点P 的坐标为（3，52-）；设直线AC 的解析式为23y k x b =+，∴233202k b b -+=⎧⎨=-⎩， ∴2312k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的解析式为2y x =--，∴可设直线11PG 解析式为4y x b =-+， ∴4532y b =-+=-， ∴412b =， ∴直线11PG 解析式为12y x =-+，联立12123y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得158118x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴1G 的坐标为（158，118-）；∴11PG == ∴PGP 点的坐标为（3，52-）；（3）如图3-1所示，过点C 作直线CE ∥x 轴，过点B 作直线CE 的垂线，垂直为E ， ∵C 点坐标为（-2，0），B 点坐标为（6，0），∴CE =OB =6，BE =OC =2， ∴BE 1CE 3=，设抛物线212263y x x =--沿着射线CB 的方向平移使得C 点平移到G 点，过点G 作GH ⊥CE ， ∵GH ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴GH ∥BE ，∴△CHG ∽△CEB ， ∴1=3GH BE CH CE =， ∵将抛物线沿着射线CB 平移的时候，可以看作先向右平移，再向上平移， ∴可设抛物线()221218226363y x x x =--=--沿着射线CB 的方向向右平移t 个单位长度，向上平移13t 个单位长度得到抛物线()2182633t y x t '=---+， ∵抛物线()182633t y x t '=---+经过点（2，43-）， ∴()2418223633t t -=---+，解得2t =，∴()21426y x '=--； ∴D 点坐标为（4，-2）；如图3-2所示，当DM ，AN 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的对角线时，设AN 与MD 交于点Q ，∴点Q 的坐标为（4，0）∴AN ⊥MD ，且AQ =NQ =6，∴此时N 点坐标为（10，0）；设M 的坐标为（4，m ），如图3-3所示，当DM 和MA 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的边时，∴AN ∥MD ，MA =MD ，∴点N 在直线2x =-上，∵()22MD m m =--=+，MA =∴()22236m m +=+，解得8m =，∴MD =10，∴AN =MD =10，∴N 点坐标为（-2，-10）；如图3-4所示，当AD和MD为以A，D，M，N为顶点的菱形的边时，x=-，同理可得N在直线2∴AN AD===∴N点的坐标为（-2，-2，-，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是菱形．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，菱形的性质，两点距离公式，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够根据数形结合和分类讨论的思想进行求解．4．（2021·四川遂宁·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两x=-，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线1交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．【答案】（1）()214y x =+-；m =2；（2）存在，()0,12P 或()0,14.5；（3）【分析】（1）根据抛物线的对称性求出A （1，0），再利用待定系数法，即可求解；再把点A 坐标代入直线的解析式，即可求出m 的值；（2）先求出E （-5，12），过点E 作EP ⊥y 轴于点P ，从而得EDP ADO ∽，即可得到P 的坐标，过点E 作EP AE '⊥，交y 轴于点P '，可得P DE ADO '∽，再利用tan ∠ADO =tan ∠PE P '，即可求解；（3）作直线y =1，将点F 向左平移2个单位得到F '，作点E 关于y =1的对称点E '，连接E F ''与直线y =1交于点M ，过点F 作FN ∥E F ''，交直线y =1于点N ，在Rt EWF 中和 Rt E WF ''中分别求出EF ， E F ''，进而即可求解．【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，对称轴为直线1x =-， ∴A （1，0），设二次函数解析式为：y =a (x -1)(x +3)，把C （0，－3）代入得：-3=a (0-1)(0+3)，解得：a =1， ∴二次函数解析式为：y = (x -1)(x +3)，即：()214y x =+-，∵直线y ＝－2x ＋m 经过点A ，∴0=-2×1+m ，解得：m =2；（2）由（1）得：直线AF 的解析式为：y =-2x +2，又∵直线y =-2x +2与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，∴当x =0时，y =2，即D （0，2），联立()22214y x y x =-+⎧⎪⎨=+-⎪⎩，解得：11512x y =-⎧⎨=⎩，2210x y =⎧⎨=⎩， ∵点E 在第二象限，∴E （-5，12），过点E 作EP ⊥y 轴于点P ，∵∠ADO =∠EDP ，∠DOA =∠DPE =90°，∴EDP ADO ∽，∴P （0，12）；过点E 作EP AE '⊥，交y 轴于点P '，可得P DE ADO '∽，∵∠ED P '+∠PED =∠PE P '+∠PED =90°，∴∠ADO =∠ED P '=∠PE P '，即：tan ∠ADO =tan ∠PE P '， ∴OA PP OD EP '=，即：125PP '=，解得： 2.5PP '=， ∴P '（0，14.5），综上所述：点P 的坐标为（0，12）或（0，14.5）；（3）∵点E 、F 均为定点，∴线段EF 长为定值，∵MN=2，∴当EM +FN 为最小值时，四边形MEFN 的周长最小，作直线y =1，将点F 向左平移2个单位得到F '，作点E 关于y =1的对称点E '，连接E F ''与直线y =1交于点M ，过点F 作FN ∥E F ''，交直线y =1于点N ，由作图可知：EM E M F M FN ''==，，又∵E M F ''，，三点共线，∴EM +FN =E M F M E F ''''+=，此时，EM +FN 的值最小，∵点F 为直线y =-2x +2与直线x =-1的交点，∴F （-1，4），∴F '（-3，4），又∵E （-5，12），∴E '（-5，-10），延长F F '交线段E E '于点W ，∵F F '与直线y =1平行，∴FW ⊥E E '，∵在Rt EWF 中，由勾股定理得：EF =，在Rt E WF ''中，由勾股定理得：E F ''∴四边形MEFN 的周长最小值=ME +FN +EF +MN =2E F EF MN ''++=．【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，利用轴对称图形的性质，构造线段和的最小值，是解题的关键．5．（2022·辽宁皇姑·九年级期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点D 是第四象限抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x ，轴于点E ，交线段BC 于点F ，连接AD 、AF 、BD ．（1）求抛物线的表达式；（2）设点D 的横坐标为m ，求四边形ADBF 面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将四边形ADBF 沿直线DE 向上平移得到四边形A 1D 1B 1F 1（A 、D 、B 、F 的对应点分别为A 1、D 1、B 1、F 1），直线A 1D 1与直线AF 交于点H ．点P 在B 点左侧的抛物线上，点Q 在直线B 1F 1上，当以点P 、Q 、B 、B 1为顶点的四边形是平行四边形，且D 1H 12=A 1H 时，请直接写出点P 的横坐标．【答案】（1）y ＝x 2-4x ＋3（2）94（3）0【分析】（1）把A （1，0）、B （3，0）代入y ＝x 2＋bx ＋c 即可求解；（2）先求出直线BC 的解析式，设点D 的横坐标为m ，表示出四边形ADBF 面积与m 的关系式，故可求解；（3）根据D 1H 12=A 1H ，利用相似三角形的性质，求出平移的距离，再根据平行四边形的性质得到PQ =32，故可求出P 点的横坐标．【详解】解：（1）把A （1，0）、B （3，0）代入y ＝x 2＋bx ＋c 得10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩解得43b c =-⎧⎨=⎩∴y ＝x 2-4x ＋3；（2）令x =0，得y ＝3∴C （0，3）设直线BC 的解析式为y =kx +b把B （3，0）、C （0，3）代入得303k b b +=⎧⎨=⎩解得13k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为y =-x +3 ∵点D 的横坐标为m ，∴D （m ，m 2-4m ＋3）、F （m ，-m ＋3） ∴FD =（-m ＋3）-（m 2-4m ＋3）=- m 2+3m ∵A （1，0）、B （3，0） ∴AB =2∵四边形ADBF 面积为12AB DF ⨯=122DF ⨯⨯=- m 2+3m =-（m -32）2+94∴当m =32时，四边形ADBF 面积的最大值为94；（3）如图，由（2）可得D （32，34-）、F （32，32）将四边形ADBF 沿直线DE 向上平移得到四边形A 1D 1B 1F 1，设沿直线DE 向上平移h 个单位故A 1（1，h ）、B 1（3，h ）、D 1（32，34-+h ）、F 1（32，32+h ）∵直线A 1D 1与直线AF 交于点H ，D 1H 12=A 1H ，AA 1∥DF ∴△AA 1H ∽△FD 1H ∴1111D H D F A H A A ==12 ∴1112D F A A = ∵1D F =32-（34-+h ）=94-h ，A 1A =h∴9142hh -= 解得h =32∴A 1（1，32）、B 1（3，32）、D 1（32，34）、F 1（32，3）设直线B 1F 1的解析式为y =px +q把B 1（3，32）、F 1（32，3）代入得332332p q p q ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得192p q =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线B 1F 1的解析式为y =-x +92设P 点的坐标为（x ，x 2-4x ＋3），∵点P 、Q 、B 、B 1为顶点的四边形是平行四边形 ∴PQ ∥BB 1，PQ =BB 1=32， ∴Q 点坐标为（x ，-x +92） ∵PQ =32，故()2934322x x x ⎛⎫---+= ⎪⎝⎭＋解得x 1=0，x 2=3，x 3x 4 ∵点P 在B 点左侧的抛物线上，∴x 1=0，x 3故点P 的横坐标为0或32．【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的最值求解、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质．6．（2021—2022重庆南开中学九年级阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （0），点B （0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式以及点C 的坐标；（2）点P 为直线BC 上方抛物线上的一点，过P 作PD //y 轴，交BC 于点D ，作PE //AB 交BC 于E ，EF 平分∠PED 并交PD 于F ，求△PFE 周长的最大值以及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当△PFE 周长取得最大值时，过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，△PDE 沿射线EF 平移后得到△P 'D 'E '，当以点M ，D '，E '为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出此时点E '的坐标．【答案】（1）26y x =-+，C （0，6）；（2）PEFC 最大为3P 6）；（3）'E 112）．【分析】（1）将点A （0），点B （0）代入2y x bx c =-++，解得b c =6，所以抛物线解析式为26y x =-+，C 点坐标为（0，6）．（2）将B （0）,C （0，6）代入y kx b =+，解得:6BC l y =+，设P 点坐标为（a ，26a -+），0a ≤≤E 点过直线BC ，则E 点坐标为2a -，26a -+），所以PE 长度为22a ，因为BC k =，所以∠OBC =60°，又因为PE //x 轴，所以∠PEB =60°，又因为EF 平分∠PED 所以∠PEF =∠EFD =30°，则PF 213a -，EF 223a -，PEF C PE EF PF =++△=22a 213a -223a -，化简得PEFC=2(2a a -++，0a ≤≤当PEFC 最大为3时，a P 点坐标为6）．（3）若''MD E △为等腰三角形，即'''MD D E ='''ME D E =''ME MD =这三种情况其中''D E =EF 解析式6y =+，为过'D 作EF 平行线，且解析时为4y x =+，设'E （m ，6+），'D （n ，4+），M 点坐标为（0，3），①令'''MD D E =有241103n -=，解得n 'D ，），因为''D E ='E ；②令'''ME D E =有24303m --=，解得m ，依题意得'E ；③''ME MD =有224()240n m -+--=，因为''D E k =且''D E =n m =m 'E 112）．【详解】（1）将将点A （0），点B （0）代入2y x bx c =-++有3020c c ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩得6b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴抛物线解析式为26y x =-+ ∴C 点坐标为（0，6）（2）将B （0）,C （0，6）代入y kx b =+有06b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得6k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴:6BC l y =+设P 点坐标为（a ，26a -+），0a ≤≤PE //x 轴，故P 点和E 点纵坐标相等， E 点在直线BC 有，266a -+=+得x 2a -则E 2a -，26a -+）∴ 2)PE a a =--=22a∵BC k =∴∠OBC =60° 又∵PE //x 轴 ∴∠PEB =60又∵EF 平分∠PED 、 ∴∠PEF =∠EFD =30°∴PF 213a -，EF =2PF 223a -∴PEF C PE EF PF =++△=22a 213a -223a -整理得PEFC =2(2a a -++，0a ≤≤当PEFC最大为3a∴此时P 6）．（3）若''MD E △为等腰三角形，即'''MD D E ='''ME D E =''ME MD =这三种情况其中''D E =EF 解析式6y =+，为过'D 作EF 平行线，且解析时为4y x =+，设'E （m ，6+），'D （n ，4+），M 点坐标为（0，3）. ①令'''MD D E =有241103n -=解得n依题意得'D ）∵''D E =''D E k =∴ 'E ）②令'''ME D E =有24303m --=，解得m ，依题意得'E ，214）；③''ME MD =有224()240n m -+--=因为''D E k =''D E =有n m =代入得m∴'E 112）．综上所述'E 点坐标为或或112）．【点睛】本题考查了二次函数图象及性质，按照题意设未知数并列出对应的方程式是解题的关键． 7．（2021·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()1,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接P A ，PD ，求PAD △面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线24(0)y ax bx a =+-≠沿射线AD 平移的抛物线1y ，点E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【答案】（1）y =x 2-3x -4；（2）8；（3）55(,)24G -或1525(,)24G -或25(,)247G -，过程见解析【分析】（1）将()1,0A -，()4,0B 的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；（2）先得出抛物线的对称轴，作PE ∥y 轴交直线AD 于E ，设P （m ，m 2-3m -4），用m 表示出△APD 的面积即可求出最大面积；（3）通过平移距离为4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E 的坐标，分DE 为对角线、EG 为对角线、EF 为对角线三种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）将A （-1，0），B （4，0）代入y =ax 2+bx -4得4016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：13a b =⎧⎨=-⎩， ∴该抛物线的解析式为y =x 2-3x -4，（2）把x =0代入y =x 2-3x -4中得：y =-4， ∴C （0，-4），抛物线y =x 2-3x -4的对称轴l 为3x=2∵点D 与点C 关于直线l 对称， ∴D （3，-4）， ∵A （-1，0），设直线AD 的解析式为y =kx +b ；∴3k+-4-k 0b b =⎧⎨+=⎩，解得：k 11b =-⎧⎨=-⎩，∴直线AD 的函数关系式为：y =-x -1，设P （m ，m 2-3m -4），作PE ∥y 轴交直线AD 于E ， ∴E （m ，-m -1），∴PE =-m -1-（m 2-3m -4）=-m 2+2m +3，∴221|x x |2(23)2462APD D A PE m m S m m ∆=⨯⨯-=-++=-++，∴()22246=21+8APD m m S m ∆=-++--， ∴当m =1时，PAD △的面积最大，最大值为：8（3）∵直线AD 的函数关系式为：y =-x -1， ∴直线AD 与x 轴正方向夹角为45°，∴抛物线沿射线AD 方向平移平移相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，∵()1,0A -，()4,0B ，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），设平移后的抛物线的解析式为21+y x dx e =+则9+3+-4648+-4d e d e =⎧⎨+=⎩，解得：1120d e =-⎧⎨=⎩，∴平移后y 1=x 2-11x +20， ∴抛物线y 1的对称轴为：112x =， ∵P （1，-6）， ∴E （5，-10），∵以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：设G （n ，n 2-11n +20），F （112，y ）， ①当DE 为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴11n =23++522，∴n=52∴55(,)24G -②当EF 为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴115=23++n22，∴n=152∴1525(,)24G -③当EG 为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴113=25++n 22，∴n=72∴25(,)247G -∴55(,)24G -或1525(,)24G -或25(,)247G -【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想．8．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B -．（1）求,b c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．①求点M 的坐标；②将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L ．过点M 作//MN y 轴，交抛物线1L 于点N ．P 是抛物线1L 上一点，横坐标为1-，过点P 作//PE x 轴，交抛物线L 于点E ，点E 在抛物线L 对称轴的右侧．若10PE MN +=，求m 的值．【答案】（1）4,5--；（2）①(2,3)-；②1．【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）①求出直线AB 的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物线1L 的表达式，再分三种情况进行求解即可．【详解】解：（1）把点(0,5),(5,0)A B -的坐标分别代入2y x bx c =++，得5,2550.c b c =-⎧⎨++=⎩．解得4,5.b c =-⎧⎨=-⎩ ,b c ∴的值分别为4,5--．（2）①设AB 所在直线的函数表达式为()0y kx n k =+≠，把(0,5),(5,0)A B -的坐标分别代入表达式，得5,50.n k n =-⎧⎨+=⎩ 解得1,5.k n =⎧⎨=-⎩AB ∴所在直线的函数表达式为5y x =-．由（1）得，抛物线L 的对称轴是直线2x =，当2x =时，53y x =-=-．∴点M 的坐标是(2,3)-．②设抛物线1L 的表达式是2(2)9y x m =-+-，//MN y 轴，∴点N 的坐标是()22,9m -． ∵点P 的横坐标为1,-∴点P 的坐标是()21,6m m --，设PE 交抛物线1L 于另一点Q ，∵抛物线1L 的对称轴是直线2,//x m PE x =-轴，∴根据抛物线的轴对称性，点Q 的坐标是()252,6m m m --．（i ）如图1，当点N 在点M 下方，即0m <≤时，52(1)62PQ m m =---=-，()22396MN m m =---=-，由平移性质得,QE m =，∴626PE m m m =-+=-10PE MN +=，∴26610m m -+-=，解得12m =-（舍去），21m =．（ii ）图2，当点N 在点M 上方，点Q 在点P 右侧，3m <≤时，26,6PE m MN m =-=-，10PE MN +=，26610m m ∴-+-=，解得1m =（舍去），2m =．（ⅲ）如图3，当点N 在点M 上方，点Q 在点P 左侧，即3m >时，2,6PE m MN m ==-，10PE MN +=，2610m m ∴+-=，解得1m =，2m =．综上所述，m 的值是1．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键．9．（2021—2022重庆九年级期中）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+mx +n （m ，n 均为常数）的图像顶点为A ，与x 轴交于B （﹣1，0）、C 两点，与y 轴交于点D （0，3）．（1）求该抛物线解析式．（2）如图1，连接AD 交x 轴于点E ，连接AB 交y 轴于点K ，点M 是抛物线四象限且位于对称轴右侧图像上一点，过点M 作MP ⊥AD 交直线AD 于点P ，连接MD ．若∠M ＝∠BKO ，求出点M 的坐标，以及此时△MDP 的周长，并写出解答过程．（3）如图2，将抛物线y 沿射线AE 方向平移得到一个新的二次函数记为y ′，令y ′与y 两函数图像相交于点Q ，连接CQ ，点R 为原抛物线图像上一动点，点F 为直线AE 上一动点，是否存在以点C ，Q ，R ，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点R 的坐标，并把求其中一个R 点的坐标的过程写出来．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）M （5，-12），△MDP 的周长=；（3）R 点的坐标为，54或，54或254-或，254-．【分析】（1）利用待定系数法二次函数y ＝﹣x 2+mx +n 与x 轴交于B （﹣1，0），与y 轴交于点D （0，3）．代入得310n m n =⎧⎨--+=⎩组成方程组，解方程组即可；（2）连结DC ，MD 交x 轴于H ，过H 作HG ⊥DC 于G ，求出抛物线顶点A （1，4），抛物线与y 轴交点坐标为：点D （0，3）与x 轴交点C （3，0），根据勾股定理DC =待定系数法求AP 解析式为3y x ，AB 解析式为22y x =+，根据∠M ＝∠BKO ，∠M =∠CDH ，可得tan ∠BKO =tan ∠CDH=12OB HG KO DG ==，可得DG =2HG ，再证GH =GC ，可得DG =2GC ，求出点H （1，0），待定系数法求DH 解析式为33y x =-+，然后22333y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩，求出M （5，-12），再求CD 解析式为3y x =-+，PM 解析式为7y x =--，联立方程组73y x y x =--⎧⎨=+⎩，求出点P （-5，-2）利用勾股定理DP ==DM =PM =（3）将抛物线y 沿射线AE 方向平移A′A ，过A′作A′S 垂直原抛物线的对称轴于S ，如图，求出点A ′（-3，0）求出新抛物线的解析式为()22369y x x x =-+=---，然后求出交点Q （3924--，），设点F （x F ,x F +3）,R (x R ，223R R x x -++)分两种情况，当CQ 为平行四边形的边时，2332930234F R F R R x x x x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪++=-++-⎪⎩，当CQ 为平行四边形的对角线时，2332932304F R F R R x x x x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪+-++=-⎪⎩，然后解方程组求出点R 坐标即可．【详解】解：（1）二次函数y ＝﹣x 2+mx +n 与x 轴交于B （﹣1，0），与y 轴交于点D （0，3）．代入得310n m n =⎧⎨--+=⎩，解得32n m =⎧⎨=⎩， 2y x 2x 3=-++；（2）连结DC ，MD 交x 轴于H ，过H 作HG ⊥DC 于G ，()222314y x x x =-++=--+，点A （1，4），抛物线与y 轴交点坐标为：点D （0，3），2230y x x =-++=，解得x =-1或x =3，点C （3，0），∵OC =3，OD =3，∠COD =90°，∴∠ODC =∠OCD =45°，∴DC=设AP 解析式为11y k x b =+，经过点A ，D ，代入坐标得11143k b b +=⎧⎨=⎩，解得：1113k b =⎧⎨=⎩， AP 解析式为3y x ，当y =0时，x =-3，点E （0，-3），∵OE =3，OD =3，∠EOD =90°，∴∠ODE =∠OED =45°，∴∠EDC =∠DEO +∠ODC =45°+45°=90°，∴CD ⊥AD ，∵MP ⊥AD ，∴MP ∥CD ，∴∠M =∠CDH ，设AB 解析式为y kx b =+，代入坐标得：40k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得22k b =⎧⎨=⎩， AB 解析式为22y x =+，∴AB 与y 轴交点K （0，2），∴OK =2，OB =1，∵∠M ＝∠BKO ，∠M =∠CDH ，∴∠CDH =∠BKO ，∴tan ∠BKO =tan ∠CDH=12OB HG KO DG ==， ∴DG =2HG ，∵HG ⊥DC ，∠DCO =45°，∴∠GHC =180°-∠HGC -∠GCH =180°-90°-45°=45°=∠GCH ，∴GH =GC ，∴DG =2GC ，∵DG +GC =CD，∴GH =CG=13CD ∴CH2=，∴OH =OC -CH =3-2=1，∴点H （1，0），设DH 解析式为22y k x b =+，代入坐标得：22230b k b =⎧⎨+=⎩，解得2233b k =⎧⎨=-⎩， DH 解析式为33y x =-+，∴22333y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩，消去y 得23323x x x -+=-++，解得x =0，x =5,x =0,y =3，x =5,y =-12，∴M （5，-12），设CD 解析式为33y k x b =+，∴333330b k b =⎧⎨+=⎩，解得3331b k =⎧⎨=-⎩， CD 解析式为3y x =-+，设PM 解析式为y mx n =+，∵MP ∥CD ，∴m =-1,过M （5，-12），125n -=-+,解得n =-7,∴PM 解析式为7y x =--，∴73y x y x =--⎧⎨=+⎩，解得52x y =-⎧⎨=-⎩， ∴点P （-5，-2），∴DP=DMPM=△MDP 的周长=（3）将抛物线y 沿射线AE 方向平移A′A，过A′作A′S 垂直原抛物线的对称轴于S ，如图，∵AS ∥y 轴，∴∠EDO =∠A′AS =45°，∴△A′AS 为等腰直角三角形，AS =A′S =A′Acos 45°=4，点A ′的横坐标为1-4=-3,纵坐标4-4=0，点A ′（-3，0），新抛物线的解析式为()22369y x x x =-+=---， 222+369y x x y x x ⎧=-+⎨=---⎩， ∴3294x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， Q （3924--，），当CQ 为平行四边形的边时，设点F （x F ,x F +3）,R (x R ，223R R x x -++)，2332930234F R F R R x x x x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪++=-++-⎪⎩,消去x F 得2392324R R R x x x -+=-++-，解得()22110R x -=，21R x -=R x =，R x =54y =R x =54y =， ∴点R5454，当CQ 为平行四边形的对角线时，2332932304F R F R R x x x x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪+-++=-⎪⎩，消去x F 得2393323024R R R x x x -+-+-++=-， ()22140R x -=，R x =R x25y 4=-R x =25y 4=-点R 254-254-，综合得R 点的坐标为，54或，54或254-254-．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，勾股定理两点距离公式，等腰直角三角形判定与性质，抛物线平移，平行四边形判定与性质，解一元二次方程，本题难度非常大，运算量太大，思维要清晰，解题经验丰富，才能解题，是中考压轴题．10．（2021—2022辽宁台安九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-（0a ≠）与 x 轴交于点()1,0A -，()4,0B ，与 y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接 PA ，PD ，求PAD △面积的最大值；（3）在（2）中PAD △面积取最大值的条件下，将抛物线24y ax bx =+-（ 0a ≠）沿射线AD平移1y ，点 E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 确定一点 G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【答案】（1）234y x x =--；（2）8；（3）55,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭或725,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭或1525,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）直接代入点A ，B 坐标即可；（2）作//PH y 轴交直线AD 于H ，PF AD ⊥于F ，通过点A ，点D 的坐标可求得直线AD 的函数关系式1y x =--，AD =可得直线AD 与x 轴正方向夹角为45︒，可得PF ，设23(),4--P m m m ，则()214PH m =--+，根据12APD PF S AD ∆=可求解；（3）通过平移距离为4个单位，再向下平移4个单位，得出平移后的抛物线关系式和E 的坐标，从而平行四边形中，根据线段DE ，分别为平行四边形的边，或者是对角线，分类讨论，通过点的平移得出 G 的横坐标所在的直线，然后代入抛物线1y 得函数关系式，即可求得坐标．【详解】解：（1）将(1,0)A -，(4,0)B 代入 24y ax bx =+-得4016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩， ∴13a b =⎧⎨=-⎩，234y x x ∴=--，（2）如图示，作//PH y 轴交直线AD 于H ，PF AD ⊥于 F ，当0x =时，203044y =-⨯-=-，∴点C 的坐标是(0,4)-，点D 与点C 关于直线l 对称，∴4D y =-，∴2344D D x x --=-∴3D x =（取非零值）∴点D 的坐标是(3,4)-，∵点A 的坐标是(1,0)-，点D 的坐标是(3,4)-，∴直线AD 的函数关系式为：1y x =--，且AD ∴1AD k =-，∴直线AD 与x 轴正方向夹角为45︒，∴45AOE AEO ∠=∠=︒，则有：45PHD ∠=︒，∴PF ，设23(),4--P m m m ，(,1)H m m ∴--，21(34)PH m m m ∴=-----223m m =-++()214m =--+，12APD S AD PF ∆∴=，12=⨯12=⨯ 2PH =()2218m =--+ ∴当1m =时，APD S ∆最大为8，（3）直线AD 与x 轴正方向夹角为45︒，∴沿AD 方向平移4个单位，再向下平移4个单位，由（2）可知，点P 的坐标是2,3)4(m m m --，且1m =∴点P 的坐标是(1,6)P -，∴平移后，点P 的对应点E 的坐标为(5,10)-， ∵抛物线223253424y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∴平移后222132511414411202424y x x x x ⎛⎫⎛⎫=----=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴抛物线1y 的对称轴为：直线1l ：112x =，当3x =时，在抛物线1y 中，213113204y =-⨯+=-，即点D 在抛物线1y 上，当DE 为平行四边形的边时：如图1所示，若点D 平移到对称轴上F 点，即点D 往右平移115322-=个单位长度，到对称轴上1F 点，则，点E 往右平移52个单位长度， ∴点1G 的横坐标为515522+=， ∴点1G 在直线152x =上，又∵点1G 在抛物线211120y x x =-+上，代入211120y x x =-+得254y =-， ∴点1G 的坐标是1525,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；如图2所示，若E 平移到对称轴上2F 点，即点E 往右平移111522-=个单位长度，到对称轴上 2F 点，则，点D 往右平移12个单位长度，∴点2G 的横坐标为17322+=， ∴点2G 在直线72x =上，又∵点2G 在抛物线211120y x x =-+上，代入211120y x x =-+得254y =-， ∴点2G 的坐标是25,247⎛⎫- ⎪⎝⎭；如图3示，若DE 为平行四边形的对角线时，若E 平移到对称轴上3F 点，即点E 往右平移111522-=个单位长度，到对称轴上 3F 点，则，点D 往左平移12个单位长度，∴点3G 的横坐标为15322-=，∴点3G 在直线52x =上，又∵点3G 在抛物线211120y x x =-+上，代入211120y x x =-+得54y =-， ∴点3G 的坐标是55,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； ∴综上所述，所有符合条件的点G 的坐标是55,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或 25,247⎛⎫- ⎪⎝⎭或1525,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式，铅垂高求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质和判定，将沿AD 平移4个单位，再向下平移4个单位是解决问题的关键．11．（2021·重庆实外中考二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣22433x +x ＋2与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点P 为直线BC 上方抛物线上一动点．（1）求直线BC 的解析式；（2）过点A 作AD ∥BC 交抛物线于D ，连接CA ，CD ，PC ，PB ，记四边形ACPB 的面积为S 1，△BCD 的面积为S 2，当S 1﹣S 2的值最大时，求P 点的坐标和S 1﹣S 2的最大值；（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O ，G 为平移后的抛物线的对称轴直线l 上一动点，将线段AC 沿直线BC 平移，平移过程中的线段记为A ′C ′（线段A 'C '始终在直线l 左侧），是否存在以A ′，C ′，G 为顶点的等腰直角△A ′C ′G ？若存在，请写出满足要求的所有点G 的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝223x -+；（2）S 1﹣S 2的最大值为94，点P 的坐标为（35,22）；（3）存在，G 1（2，1），G 2（2，53-），G 3（2，13-）；见解析．【分析】（1）令二次函数x ＝0，y ＝0，求出A 、B 、C 的坐标，再求直线BC 的解析式；（2）不能用常规的底和高，借助切割法求面积，再求出最大面积差和点P 的坐标；（3）等腰直角三角形可以利用“两圆一中垂”确定所有的情况，利用“K 型全等”求出对应的点G 的坐标．【详解】解：（1）对抛物线：224233y x x =-++，当0x =时，2y =，∴点C （0，2），当0y =时，2242033x x -++=，解得：11x =-，23x =，∴点A （﹣1，0），点B （3，0），。

二次函数图像平移专题训练(含解析)

二次函数图像平移专题训练（含解析）一、单选题1．将直线向上平移2个单位，相当于（）A．向左平移2个单位B．向左平移1个单位C．向右平移2个单位D．向右平移1个单位2．抛物线y＝（x+2）2+1可由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（）A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位3．抛物线经过平移得到，平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移5个单位B．向左平移1个单位，再向上平移5个单位C．向右平移1个单位，再向下平移5个单位D．向右平移1个单位，再向上平移5个单位4．若抛物线平移得到，则必须（）A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位二、填空题5．在平面直角坐标系中，将点M（2，3）向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后的点的坐标是．6．抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是．7．平移抛物线y=2x2，使其顶点为（2，3），平移后的抛物线是8．将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，则平移后的抛物线为．9．把抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为．10．如果将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为．11．把抛物线y＝先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是．12．将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：将直线向上平移2个单位，可得函数解析式为：直线向左平移2个单位，可得故A不符合题意；直线向左平移1个单位，可得故B符合题意；直线向右平移2个单位，可得故C不符合题意；直线向右平移1个单位，可得故D不符合题意.故答案为：B.【分析】一次函数y=kx+b向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=k(x+m)+b；一次函数y=kx+b向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=k(x-m)+b；一次函数y=kx+b向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=kx+b+m；一次函数y=kx+b向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=kx+b-m，据此一一判断得出答案.2．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意将y＝x2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y＝（x+2）2+1，故答案为：C【分析】根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减的原则求解即可。

初中数学二次函数平移变换练习1含答案

二次函数平移变换练习1一.选择题(共40小题)1.将二次函数y=2?+5的图象先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，则平移后的函数关系式是( )A. y=2 (x+3) 2+6B. y=2 (x+3) 2+4C. y=2 (x-3) 2+6D. y=2 (x-3) 2+42.将二次函数.y=2?的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是( )A. y=2 (A - 1) 2-5B. y=2 (x+D 2-5C. y=2 (x- 1) 2+5D. y=2 (x+1) 2+53.若将抛物线y=f-3向上平移5个单位长度，则得到的新抛物线的顶点坐标为( )A. (0, 2)B. (0, -8)C. (5, -3)D. (-5, -3)4.把抛物线y=』+l向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为( )A. y= (x+1) 2+1B. y= (x - 1) 2+1C. y=x2+2D. y=)r5.将二次函数y= (x- 1) 2+2的图象向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为( )A. y= (A+2) 2 - 1B. y= (x - 3) 2+5C. y= (x+1) 2+5D. y= (x - 1) 2+56.把函数y=』+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为( )A. y=/+lB. y= (x- 1) 2+2C. y=(x+1) 2+2D. y= (x - 1) 27.将抛物线y=-2 (x+1) 2向右平移3个单位，所得抛物线解析式为( )A. y= - 2 (A+4) 2B. 3,= - 2 (x - 2) 2C. y= - 2 (x+1) 2 - 3D. ),= - 2 (x+1) 2+38.将抛物线y=-2 (x- 1) 2-3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是()A. y= - 2 (x - 4) 2 - 1B. y= - 2 (x+2) 2 - 1C. y= - 2 (x - 4) 2 - 5D. y= - 2 (x+2) 2-59.把函数y=(x-l)?+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为( )A. y=/+2B. y= (x - 1) 2+1C. y= (x- 2) 2+2D. y= (x - 1) 2 - 310.将抛物线y=?图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得图象解析式为( )A. y= (x+1) 2+3B. y= (x - 1) 2+3C. y= (x+D 2+2D. y= (x- 1) 2+211.将抛物线y=-"平移，得到抛物线y=-2 (x-1) 2.3,下列平移方式中，正确的是( )A.先向左平移1个单位，再向上平移3个单位B.先向右平移1个单位，再向上平移3个单位C.先向左平移1个单位，再向下平移3个单位D.先向右平移1个单位，再向下平移3个单位12.把抛物线y=2^的图象先向右平移4个单位，再向下平移3个单位所得的解析式为( )A. y=2 (A-3) 2+4B. y=2 (x+4) 2-3C. y=2 (x-4) 2-3D. y=2 (x-4) 2+313.平面直角坐标系中，将抛物线＞，=-『先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是( )A. y= (x+\) 2+2B. y= (x- 1) 2+2C. y= - (A- - 1) 2+2D. y= - (x - 1) 2-214.抛物线经过平移得到抛物线y=L(x—6)2+3,平移过程正确的是( )2 2A.先向左平移6个单位，再向上平移3个单位B.先向左平移6个单位，再向下平移3个单位C.先向右平移6个单位，再向上平移3个单位D.先向右平移6个单位，再向下平移3个单位15.将二次函数y= (x- 1) 2+2的图象向下平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式是()A. y= G+2) 2+2B. y= (x-4) 2+2C. y= (x- 1) 2 - 1D. y= (x- 1) 2+516.把抛物线丁= (x-2) ,4向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后所得抛物线的表达式为( )A. y= (x - 4) 2+3B. y=；+3C. y= (A - 4) 2+5D. y=，+517.将抛物线y=2f向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为( )A. y=2 (A -2) 2+3B. y=2 (x-2) 2-3C. y=2 (A+2) 2-3D. y=2 (x+2) 2+318.抛物线y=/经过平移得到抛物线y=9+2x+l,平移的方法是( )A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向上平移1个单位D.向下平移1个单位19.将抛物线y= - (A+1)2+3向右平移2个单位再向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为( )A. y= - (A+3) 2+1B. y= - (x - 1) 2+5C. y= - (A+1 ) 2+5D. y= - (x+3) 2+520.将抛物线y=/通过一次平移可得到抛物线y= (x-3) 2.对这一平移过程描述正确的是( )A,沿x轴向右平移3个单位长度B.沿x轴向左平移3个单位长度C.沿y轴向上平移3个单位长度D,沿y轴向下平移3个单位长度21.将抛物线y=向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到( )A. y= - (A- - 3) 2+4B. y= (x - 3) 2+4C.)，= - (A+3) 2-4D. y= (x+3) 2-422.在平面直角坐标系中，把抛物线y=f-2r+5向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的为( )A. y= (x - 5) 2+4B. y= (x+3) 2+8C. y= (x+3) 2+1D. y= (x-5) 2+l23.将二次函数y=2 (x - 1) 2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为( )A. y=2 (A- - 1) ?+4B. >>=2 (x - 1) 2C. y=2 (x-3) 2+2D. y=2 (x+1) 2+224.将抛物线)，=上?向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后所得到4的抛物线解析式是( )A. )=▲ (x-3) 2-3B. v=— G-3) 2+34 4C. y=A (x+3) 2-3D. y=A (x+3) 2+34 425.若函数>=-/的图象经过两次平移得到函数y=-『+4x-5的图象，则下列平移正确第3页(共11页)的是( )A.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位B.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位C.先向上平移1个单位，再向右平移2个单位D,先向下平移1个单位，再向右平移2个单位26.将抛物线y=3 (x+2) 2 - 1向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线为( )A. y=37+2 B, y=3 (x+4) 2+2C. y=3 (x+5) 2-3D. y=3f-427.将抛物线y=-2 (x+l) 2+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为( )A. y= - 2 (A+4) 2+1B. y= - 2 (x - 2) 2+1C. y= - 2 (A+4) 2+5D. ),= - 2(x+4) 2+528.将抛物线)，=-2(1+1)2-2向下平移3个单位后的新抛物线解析式为( )A. y= -2 (A - 1) 2+1B. y= -2 (x+1) 2-5C. y= -2 (x - 1) 2-5D. y= -2 (x+1) 2+l29.在平面直角坐标系中，将函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移5个单位后，得到的图象的函数表达式是( )A. y= - (x+1) 2+5B. y= - (x - 1) 2+5C. y= - (x+1) 2-5D. y= - (x - 1) 2 - 530.将抛物线.y=/ -4x-4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为( )A. y= (x+1) 2 - 13B. y= (A - 5) 2 - 5C. y= (x-5) 2- 13D. y= (x+D 2-531.抛物线y=- G-l) 2-3是由抛物线经过怎样的平移得到的( )A.先向右平移1个单位，再向上平移3个单位B.先向左平移1个单位，再向下平移3个单位C.先向右平移1个单位，再向下平移3个单位D.先向左平移1个单位，再向上平移3个单位32.在平面直角坐标系中，抛物线y= (x+3) (x- 1)经过变换后得到抛物线y=(A+1)(%第4页(共11页)5.-3),则这个变换可以是( A.向左平移2个单位 C.向左平移4个单位33 .将抛物线丫= -3(A+1) 2+3向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为()A. y= -3 (x+3) 2+4 B. y= - 3 (x - 1) 2+2 C. y= - 3 (x+3) 2+2D. y= - 3 (x - 1) 2+434 .将二次函数y= (x- 1) 2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为()A. y= (x+2) 2- 2 B. y= (x - 4) 2+2 C. y= (x- 1) 2- 1 D. y= (x- 1) 2+5 35 .将抛物线G ： y=，-2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线。

二次函数图象的平移(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：二次函数的表达式有几种？用法分别是什么？问题2：二次函数图象、对称轴以及顶点坐标问题3：二次函数图象的平移口诀及其针对的表达式问题4：尝试利用配方法，推导抛物线的顶点坐标与对称轴；二次函数图象的平移一、单选题(共12道，每道8分)1.在平面直角坐标系中，若将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移2.抛物线如何平移可得到抛物线( )A.向左平移4个单位，再向上平移1个单位B.向左平移4个单位，再向下平移1个单位C.向右平移4个单位，再向上平移1个单位D.向右平移4个单位，再向下平移1个单位答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移3.要得到二次函数的图象，需将的图象( )A.向左平移2个单位，再向下平移2个单位B.向右平移2个单位，再向上平移2个单位C.向左平移1个单位，再向上平移1个单位D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移4.抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b，c的值分别为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移5.若把函数的图象记作，把函数的图象记作，则可以由______平移得到．( )A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移6.如图，把抛物线沿直线向上平移个单位后，其顶点在直线上的点A 处，则平移后的抛物线解析式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移7.已知抛物线C：，将抛物线C平移到．若两条抛物线C，关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是( )A.将抛物线C向右平移个单位B.将抛物线C向右平移3个单位C.将抛物线C向右平移5个单位D.将抛物线C向右平移6个单位答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移8.把二次函数的图象先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为，则b的值为( )A.2B.4C.6D.8答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移9.在求下面函数图象的解析式时，设某种解析式求解会很简便，这种解析式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数交点式10.在求下面函数图象的解析式时，设某种解析式求解会很简便，这种解析式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数顶点式11.已知二次函数的顶点坐标是，且过点，可快速地求解该二次函数的解析式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数顶点式12.如图，已知抛物线经过，其顶点为D，对称轴是直线，与x轴交于点H，则该抛物线的解析式为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：待定系数法求二次函数的解析式。

二次函数图像的平移顶点对称轴练习题(附答案)

二次函数图像的平移顶点对称轴练习题一、填空题1.把抛物线2y x =先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后的抛物线的表达式是。

2.将抛物线向上平移2个单位,再向右平移4个单位,所得新抛物线的解析式为22y x =-,则原抛物线的解析式为_________.3.如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于,A B 两点，顶点C 的纵坐标为2-，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线2111y a x b x c =++，则下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号)①0b >；②0a b c -+<；③阴影部分的面积为4；④若1c =-，则24b a =.4.如图所示，已知抛物线0C 的解析式为22y x x =-.将抛物线0C 每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线123,,n C C C C （n 为正整数）. 则抛物线1C 与x 轴的两个交点12,A A 的距离是；抛物线n C 的解析式是 .5.抛物线23y x =先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得的抛物线为 .6.把抛物线2243y x x =-+向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 .7.在平面直角坐标系中，若抛物线23y x =不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为 .8.将抛物线2y ax =向左平移2个单位长度后，经过点(4,4)--，则a = .9.如图,将二次函数21(2)12y x =-+的图象沿y 轴向上平移得到一个新函数的图象,其中点(1,),(4,)A m B n 平移后的对应点分别为点,A B ''.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数解析式是 .10.如图，点,D C 的坐标分别为()1,4-和()5,4-，抛物线的顶点在线段CD 上运动(抛物线随顶点一起平移)，与x 轴交于,A B 两点(A 在B 的左侧)，点B 的横坐标最大值为3，则点A 的横坐标最小值为 .11.如图,将抛物线212y x =-+向右平移1个单位长度得到抛物线2y ,则图中阴影部分的面积S = .12.如图，把抛物线2y x =，沿直线y x =A 处，则平移后抛物线的解析式是 .13.把抛物线212y x =向左平移3个单位长度,就得到抛物线 ,抛物线21(3)2y x =-是由抛物线212y x =向平移个单位长度得到的,抛物线21(1)2y x =-可以由抛物线21(4)2y x =-向平移个单位长度得到. 14.抛物线2y x =-向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到图象的解析式为。

二次函数平移题目

二次函数平移题目一、二次函数平移的基本原理1. 二次函数的一般式为y = ax^2+bx + c（a≠0），其顶点式为y=a(x - h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。

2. 平移规律：- 向左平移m个单位时，x变为x + m；- 向右平移m个单位时，x变为x - m；- 向上平移n个单位时，y变为y - n；- 向下平移n个单位时，y变为y + n。

二、典型题目及解析题目1：将二次函数y = x^2的图象向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的图象对应的二次函数表达式是什么？解析：1. y = x^2的图象向上平移3个单位，根据平移规律，此时函数变为y=x^2+3。

2. 然后，再将y=x^2+3的图象向右平移2个单位，此时x变为x - 2，所以得到的二次函数表达式为y=(x - 2)^2+3。

- 展开y=(x - 2)^2+3，y=(x^2-4x + 4)+3=x^2-4x+7。

题目2：二次函数y = 2(x+1)^2-3向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的函数表达式是什么？解析：1. 对于二次函数y = 2(x + 1)^2-3，向左平移2个单位，此时x+1变为x+1+2=x + 3，函数变为y = 2(x+3)^2-3。

2. 再向下平移1个单位，y变为y+1，所以得到的函数表达式为y=2(x + 3)^2-3-1=2(x + 3)^2-4。

- 展开y = 2(x + 3)^2-4，y=2(x^2+6x+9)-4 = 2x^2+12x + 18-4=2x^2+12x+14。

题目3：已知二次函数y=ax^2+bx + c的图象经过点(0,0)，(1, - 3)，(2,-8)，将这个二次函数的图象向左平移3个单位，再向上平移5个单位，求平移后的二次函数表达式。

解析：1. 把点(0,0)，(1,-3)，(2,-8)代入y = ax^2+bx + c中，得到方程组：- 当x = 0,y = 0时，c = 0；- 当x = 1,y=-3时，a×1^2+b×1 + c=-3，即a + b=-3；- 当x = 2,y=-8时，a×2^2+b×2 + c=-8，即4a+2b=-8。

二次函数中的平移试题

二次函数中的平移方法及典型试题一．平移法：y=ax2→y=ax2+c；y=ax2→y=a(x+h)2；y=ax2→y=a(x+h)2→y=a(x+h)2+k具体步骤：第一步：将一般式变形为顶点式（配方法）第二步：找出原型函数并用描点法画出其图象第三步：先左右平移，再上下平移。

（移动规律是“上加下减，左加右减”）。

二．选择题1.若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=(x-2)2+k，则b,k的值分别为（）.A．0，5 B.0，1 C-4,5. D.-4,12．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A.y=（x-1）2+2B．y=（x+1）2+2C．y=（x-1）2-2D．y=（x+1）2-23．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位4．在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x-3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（）A．（-3，-6）B．（1，-4）C．（1，-6）D．（-3，-4）5．若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到的抛物线是（）A、y=2(x-1)2-5 B、y=2(x-1)2+5 C、y=2(x+1)2-5 D、y=2(x+1)2+56．将二次函数y=x2的图象如何平移可得到y= x2+4x+3的图象（）A．向右平移2个单位，向上平移一个单位B．向右平移2个单位，向下平移一个单位C．向左平移2个单位，向下平移一个单位D．向左平移2个单位，向上平移一个单位7．把抛物线y= x2+2x+5的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是（）A.y= x2-2x+5B. y= x2+8x+18C. y= x2-4x+6D.y= x2+2x+38．把抛物线y= x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的解析式是y= x2-3x+5，则有（）A、b=3，c=7B、b=－9，c=－15C、b=3，c=3D、b=－9，c=219．直角坐标平面上将二次函数y= x2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（0，﹣1）D．（﹣1，﹣1）10.将抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．A． y=-2x2-12x+16 B．y=-2x2+12x-16 C． y=-2x2+12x-20 D．y=-2x2+12x-1911.将抛物线y=2x2-4x-5向上平移6个单位长度，再向左平移2个单位长度，最后所得抛物线绕原点转180°，得到新的抛物线解析式（）A.y=2x2-4x-5B.y=-2x2+4x-1C. y=2x2+12x+19D. y=-2x2-12x-1712.抛物线y＝－2x2－4x－5经过平移后得到抛物线y＝－2x2，平移方法是( )A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位13.抛物线y＝x2－4x＋3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为() A．(4，－1) B．(0，－3) C．(－2，－3) D．(－2，－1)14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1/2 x2经过平移得到抛物线y=1/2 x2−2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A．2B．4C．8D．1615.如图，已知抛物线l1：y=1/2（x-2）2-2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（）A.y=1/2（x-2）2+4B．y=1/2（x-2）2+3C．y=1/2（x-2）2+2D．y=1/2（x-2）2+116.小智将如图两水平线L1、L2的其中一条当成x轴，且向右为正向；两铅直线L3、L4的其中一条当成y轴，且向上为正向，并在此坐标平面上画出二次函数y=ax2+2ax+1的图形．关于他选择x、y轴的叙述，下列何者正确？（）A.L1为x轴，L3为y轴B．L1为x轴，L4为y轴C．L2为x轴，L3为y轴D．L2为x轴，L4为y 轴17.如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=1/2x2+bx+c的顶点，则方程1/2x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2B．0或1C．1或2D．0，1或2二．填空题1.将抛物线y=（x-3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为2.把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，所得图象的解析式是y=x2-3x+5则a+b+c= .3.抛物线y=3x2-4向上平移3个单位，再向左平移4个单位，得到的抛物线的解析式是。