变化率与导数及计算ppt
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2022-2023学年人教A版选择性必修第二册 5-1-1 变化率问题与导数的概念 课件(31张)
3．在 f′(x0)＝lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 不可能为(
C
)
A．大于 0 B．小于 0
C．等于 0 D．大于 0 或小于 0
强研习·重点难点要突破
研习 1 函数的平均变化率
[典例 1] (1)函数 y＝1x从 x＝1 到 x＝2 的平均变化率为( B )
A．－1
B．－12
C．－2
D．2
(2)已知函数 y＝3x－x2 在 x0＝2 处的增量为 Δx＝0.1，则ΔΔxy的值为( B )
A．－0.11
B．－1.1
C．3.89
D．0.29
(1) [解析] 平均变化率为ΔΔxy＝122－ －11＝－12. (2) [解析] ∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11， ∴ΔΔyx＝－00.1.11＝－1.1.
研习 2 求瞬时速度 [典例 2] 一个做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度．
[解] (1)当 t＝0 时的速度为初速度． 在 0 时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2， ΔΔst＝3Δt－ΔtΔt2＝3－Δt， Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0(3－Δt)＝3. ∴物体的初速度为 3.
时速度，即瞬时速度 v＝lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→ m0
st0＋ΔΔtt－st0.
知识点 2 函数的平均变化率 对于函数 y＝f(x)，设自变量 x 从 x0 变化到 x0＋Δx，相应地，函数值 y 就从 f(x0)变化到 f(x0＋Δx)．这时，x 的变化量为 Δx，y 的变化量为 Δy＝___f_(x_0_＋__Δ_x_)_－__f(_x_0_) __.我们把比值ΔΔyx， 即ΔΔyx＝f__x0_＋__Δ_Δx_x_－__f_x_0__叫做函数 y＝f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率．
人教A版高中数学选修22变化率与导数PPT课件
问题二：高台跳水
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
高中数学北师大版选修1-1课件：第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义
例2 已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，求：
(1)点A处的切线的斜率；
解
lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
21＋Δx2－2×12 Δx
4Δx＋2Δx2
＝ lim Δx→0
Δx
＝lim (4＋2Δx)＝4， Δx→0
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程.
解 点A处的切线方程是y－2＝4(x－1)，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图像中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
跟踪训练4 (1)已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图所示，设 f2－f1＝ 2－1
a，则下列不等式正确的是 A.f′(1)<f′(2)<a
√B.f′(1)<a<f′(2)
C.f′(2)<f′(1)<a
反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0). (2)求导函数f′(x). (3)求切线的斜率f′(x0). (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.
跟踪训练3 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的 值及切点坐标.
D.a<f′(1)<f′(2)
解析 由图像可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越
来越大，
f2－f1
∵
＝a，∴易知 f′(1)<a<f′(2).
2－1
(2)曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴及直线x＝a围成的三角形的面积 为 16，则a＝__±_1__.
导数的四则运算法则课件
工具
第三章 变化率与导数
4．求下列函数的导数． (1)y＝x4－x3－x＋3；(2)y＝x22＋x33； (3)y＝x·ax(a>0)；(4)lnxx(x>0)． 解析： (1)y′＝(x4－x3－x＋3)′ ＝(x4)′－(x3)′－(x)′＋3′ ＝4x3－3x2－1.
工具
第三章 变化率与导数
工具
第三章 变化率与导数
4．两函数商的求导法则的特例 gfxx′＝f′xgxg－2xfxg′x(g(x)≠0)， 当 f(x)＝1 时，g1x′＝1′·gxg－2x1·g′x＝－gg′2xx (g(x)≠0)． 这是一个函数倒数的求导法则．
工具
第三章 变化率与导数
2．函数四则运算的求导法则 (1)和(或差)的导数：(u±v)′＝u′±v′， 推广：(u1±u2±…±un)′＝u′1±u′2±…±u′n. (2)积的导数：(u·v)′＝u′v＋uv′， 特别地：(cu)′＝cu′. (3)商的导数：uv′＝u′v－v2 uv′(v≠0)
工具
第三章 变化率与导数
(3)y′＝(x)′·ax＋x·(ax)′＝ax＋x·axlna ＝ax(1＋xlna)． (4)y′＝lnxx′＝lnx′·x－x2 lnx·x′＝1x·x－x2 lnx ＝1－x2lnx.
工具
第三章 变化率与导数
求下列函数的导数 (1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝x22＋x33； (3)f(x)＝1＋sinsixnx；(4)f(x)＝xlg x.
工具
第三章 变化率与导数
5．两函数积与商求导公式的说明
(1)
类
比
：
(uv)′
＝
u′v
＋
uv′
高中数学 第二章 变化率与导数 2.1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修22
∴瞬时速度为4a,即4a=8.∴a=2.
Δ
即为平均速度,
Δ
答案:A
=
5-3(1+Δ)2 -5+3×12
=-3Δt-6.
Δ
探究一
探究二
探究三
思维辨析
瞬时变化率
1
【例2】 已知s(t)= 2gt2,其中g=10 m/s2.
(1)求t从3 s到3.1 s的平均速度;
(2)求t从3 s到3.01 s的平均速度;
(3)求t在t=3 s时的瞬时速度.
(2)函数y=3x2+2在区间[2,2+Δx]上的平均变化率为
(2+Δ)-(2)
Δ
=
3(2+Δ)2 +2-(3×22 +2)
Δ
=
12Δ+3(Δ)2
=12+3Δx.
Δ
反思感悟求函数平均变化率的步骤
第一步,求自变量的改变量Δx=x2-x1,
第二步,求函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).
Δ
=
4Δ+(Δ)2
=4+Δt,
Δ
∵≤5,∴4+Δt≤5,∴Δt≤1.
又∵Δt>0,∴Δt的取值范围是(0,1].
答案:(0,1]
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因错用平均变化率公式而致误
【典例】 已知曲线y=-2x3+2和这条曲线上的两个点P(1,0),Q(2,14),求该曲线在PQ段的平均变化率.
名师点拨对平均变化率的理解
(1)y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间[x1,x2]
上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率-1公开课PPT课件
【答案】
fx0＋Δx－fx0 Δx
函数在一点处变化的快慢
函数 f(x)＝x2 在 x＝1 处的瞬时变化率为__________． 【解析】 ΔΔyx＝1＋ΔΔxx2－12＝2Δx＋ΔxΔx2＝Δx＋2，当 Δx 趋于 0 时，ΔΔxy趋 于 2.
【答案】 2
【自主解答】 Δx＝x0＋Δx－x0＝Δx. Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝3(x0＋Δx)2＋2－(3x20＋2) ＝6x0·Δx＋3(Δx)2. ∴ΔΔyx＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx. 即函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 6x0＋3Δx. 当 x0＝2，Δx＝0.1 时， 6x0＋3Δx＝6×2＋3×0.1＝12.3. 即函数 y＝3x2＋2 在[2,2.1]上的平均变化率为 12.3.
)
A．4 B．4x
C．4＋2Δ
D．4＋2Δx2
【解析】 Δy＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝2(Δx)2＋4Δx. ∴ΔΔyx＝2ΔxΔ2＋x 4Δx＝2Δx＋4. 【答案】 C
教材整理 2 瞬时变化率
阅读教材 P55“练习 1”以下至 P58“练习 2”以上部分，完成下列问题． 对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中，若设 Δx＝x1－ x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是ΔΔyx＝fxx11－－xf0x0＝________________. 当 Δx 趋于 0 时，平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画 的是__________________________．
探究 2 在上述问题中，请求出 t＝3 秒时的瞬时速度． 【提示】 在 t＝3 附近取一个小时间段 Δt， 即 3≤t≤3＋Δt(Δt>0)， ∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝5×(3＋Δt)2－5×32＝5·Δt·(6＋Δt)， ∴ΔΔst＝5Δt6Δ＋t Δt＝30＋5Δt. 当 Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于 30. ∴在 t＝3 时的瞬时速度为 30 m/s.
北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的计算 课件
(3) cost ;
(4) -sin .
3 ( 5) 4 ; x
2013-4-2
1 ( 6) 3 2 . 3 x
2.选择题
（1）下列各式正确的是（
C）
A.(sin )' cos (为常数） B . cos x )' sin x （ C .(sin x )' cos x 1 6 D.( x )' x 5
1 x ′ (x)=____。 （8）若f(x)=lnx,则f
2013-4-2
e
(a>0,且a≠1);
课堂小结： （1）基本初等函数公式的求导公式 （2）公式的应用 作业布置： 见练习册P34页3、4、6、7
五、教学反思：
2013-4-2
（3）若f(x)=sinx,则f
cosx ′(x)=_____;
-sinx ′(x)=_____; （4）若f(x)= cosx,则f xlna(a>0) a x,则f ′(x)=____; （5）若f(x)=a
2013-4-2
x x,则f′ (x)=____; （6）若f(x)=e
1 ′ (x)=_____ a x ln （7）若f(x)=logax,则f
'
记 一
1 公式7 (1oga ) 记 1 x ln a ' 公式8 (1nx ) x 不需推导，但要注意符号的运算.
x '
2013-4-2
公式5 (a ) a ln a x ' x 公式6 (e ) e
x ' x
记忆公式5遍!
2013-4-2
练习
(1)
4 5x
;
(2)
《变化率和导数》课件
变化率的计算方法
直接代入法
将自变量和因变量的值代入公式 进行计算。
差商法
通过比较函数值的变化量与自变量 的变化量的比值来计算变化率。
极限法
利用极限的概念，将自变量趋近于 某一点时函数值的变化量与自变量 的变化量的比值定义为该点的变化 率。
变化率的实际应用
物理学中的速度和加速度
速度是位置随时间的变化率，加速度 是速度随时间的变化率。
，从而做出更优的决策。
02
供需关系
导数在经济学中还可以用来描述供需关系的变化。例如，需求函数和供
给函数的导数可以用来分析市场价格与需求量或供给量之间的关系，从
而预测市场的变化趋势。
03
最优化问题
在经济学中，最优化问题是一个常见的问题。通过求函数的导数并令其
为零，我们可以找到使函数取得极值的点。这种方法在生产、分配、投
05
总结与展望
总结变化率和导数的知识点
变化率的概念
变化率描述了函数值随 自变量变化的速率，是
导数的基础。
导数的定义
导数表示函数在某一点 的切线斜率，是变化率
的极限形式。
导数的计算方法
包括基本初等函数的导 数、复合函数的导数、
参数方程的导数等。
导数的几何意义
导数等于切线的斜率， 可以用于研究函数的单 调性、极值和拐点等。
THANKS
感谢观看
展望导数在未来的应用和发展
导数的应用
导数在各个领域都有广泛的应用，如经济学 、生物学、物理学等。例如，边际分析、速 度与加速度的研究、最优化的求解等。
导数的未来发展
随着科学技术的发展，导数作为数学的一个 重要分支，将会在理论和应用方面得到更深 入的研究。例如，在人工智能、大数据分析 等领域，导数将发挥更大的作用。同时，随 着数学与其他学科的交叉融合，导数将会在 解决实际问题中发挥更加重要的作用。
高中数学第1节 变化率与导数、导数的计算优秀课件
三 理
(2)由已知得 f′(x)＝2f′(1)－1x，令 x＝1 得 f′(1)＝2f′(1)－1，解得 f′(1)＝1，则 f(1)＝2f′(1)
科 数 学 备
＝2. (3)由 f(x)＝(x2－a)ln x，得 f′(x)＝2xln x＋x2－x a.∴f′(1)＝1－a＝－2，解得 a＝3.
课 组
22xx－ ＋11，则 f′(x)＝________.
州 (2)(角度 2)(2020·雅礼中学月考)已知函数 f(x)的导函数是 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(1)
中 学 高
＋ln
1，则 x
f(1)＝(
)
三 A.－e
B.2
C.－2
D.e
理 科
(3)(角度 1)(2020·天津重点学校联考)已知函数 f(x)＝(x2－a)ln x，f′(x)是函数 f(x)的导
课
组
27
基础知识诊断
考点聚焦突破
达 布置作业：
州
复习资料p278
中
A级：1 ， 4 ， 10题。
学 高
B 级： 15题。
三
预习导数的几何意义！
理 科 数 学 备 课 组
28
基础知识诊断
考点聚焦突破
理 科 数 学 备 课 组
11
基础知识诊断
考点聚焦突破
达
州 2.(老教材选修2－2P3问题2改编)在高台跳水运动中，t s时运发动相对于水面的高度
中 学
(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，那么运发动的速度v＝________ m/s，加速
高 度a＝________ m/s2.
三 解析 理
理 科 数 学 备 课 组
《平均变化率与导数》课件
平均变化率可以用来估计函数在某一 点处的导数，即当时间间隔趋近于0时 ，平均变化率的极限值即为该点的导 数值。
02
导数
导数的定义
瞬时速度
导数被定义为函数在某一点处的切线的斜率，即 函数在该点的瞬时变化率。
几何意义
在几何上，导数表示曲线在某一点处的切线的斜 率。
函数变化
导数描述了函数在某一点附近的局部变化情况， 反映了函数在该点的变化趋势。
对于参数方程$x = x(t), y = y(t)$， 其导数为$frac{dy}{dx} = frac{y'(t)}{x'(t)}$。
05
导数的应用
利用导数研究函数的单调性
总结词
通过导数的符号，判断函数在某区间内的单调性。
详细描述
导数在某区间内的符号决定了函数在该区间内的单调性。如果导数大于0，则函数在该区间内单调递 增；如果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。因此，利用导数可以方便地研究函数的单调性。
反函数求导法则
03
对于反函数$y = f^{-1}(x)$，其导数为$(f^{-1})' = frac{1}{f'}$
。
隐函数的导数计算
对数求导法则
对于隐函数$y = f(x)$满足$e^y = f(x)$，其导数为$frac{dy}{dx} = frac{f'(x)}{f(x)}$。
参数方程求导法则
详细描述
在解决实际问题时，如最优化问题、经济问 题等，可以利用导数来求解最优解。通过建 立数学模型，将实际问题转化为求函数的最 值问题，然后利用导数求出最优解，为实际 问题的解决提供理论支持。
THANKS
感谢观看
当自变量改变量趋于0时，平均变化率趋于导数，即导数是平 均变化率的极限形式。
02
导数
导数的定义
瞬时速度
导数被定义为函数在某一点处的切线的斜率，即 函数在该点的瞬时变化率。
几何意义
在几何上，导数表示曲线在某一点处的切线的斜 率。
函数变化
导数描述了函数在某一点附近的局部变化情况， 反映了函数在该点的变化趋势。
对于参数方程$x = x(t), y = y(t)$， 其导数为$frac{dy}{dx} = frac{y'(t)}{x'(t)}$。
05
导数的应用
利用导数研究函数的单调性
总结词
通过导数的符号，判断函数在某区间内的单调性。
详细描述
导数在某区间内的符号决定了函数在该区间内的单调性。如果导数大于0，则函数在该区间内单调递 增；如果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。因此，利用导数可以方便地研究函数的单调性。
反函数求导法则
03
对于反函数$y = f^{-1}(x)$，其导数为$(f^{-1})' = frac{1}{f'}$
。
隐函数的导数计算
对数求导法则
对于隐函数$y = f(x)$满足$e^y = f(x)$，其导数为$frac{dy}{dx} = frac{f'(x)}{f(x)}$。
参数方程求导法则
详细描述
在解决实际问题时，如最优化问题、经济问 题等，可以利用导数来求解最优解。通过建 立数学模型，将实际问题转化为求函数的最 值问题，然后利用导数求出最优解，为实际 问题的解决提供理论支持。
THANKS
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当自变量改变量趋于0时，平均变化率趋于导数，即导数是平 均变化率的极限形式。
3.1变化率与导数
h2 t h2 我们称确定值 13.1是 当t趋近于0时的极限. t
速度v就无限趋近于 t 2时的瞬时速度 .因此, 运动 员在 t 2时的瞬时速度是 13.1m / s. h2 t h2 为了表述方便 , 我们用 lim 13.1 t 0 t 表示"当t 2, t 趋势近于 0时, 平均速度 v 趋近于确 定值 13.1".
当△t = – 0.01时, v 13.051
当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时,
v 13.149
当△t =0.001时, v 13.1049
2 2
2
y lim lim (2 x) 2 x 0 x x 0 ' y | x 1 2
f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) .
计算x=2和x=6时的导数.
根据导数的定义,
f (2 x) f (2) 4x (x) 2 7x x 3 x x f lim (x 3) 3. 所以, f (2) lim x 0 x x 0
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1,
Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
理解
y 1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 x
1 0
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础 知
识
梳
线的关系
理
聚
曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点，若切线斜率
焦 考
向
透
存在时，切线斜率为 k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线 y＝f(x) 析
感
过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点，点 P 可以是切点，也可
悟 经
典
考
以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
基 础 知 识 梳 理
聚 焦计算
感 悟
经
典
考
题
课 时 规 范 训 练
基
础
知
识
1．了解导数概念的实际背景．
梳 理
2．理解导数的几何意义．
聚 焦
考
3．能根据导数定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，
向 透 析
y＝1x，y＝ x的导数．
)
基 础 知
识
梳
A．3x－y＋3＝0
B．x＋3y－3＝0
理
聚
C．3x－y－3＝0
D．x＋3y－1＝0
焦 考
向
透
解析：∵k＝f′(1)＝2x＋x12＝3，∴切线方程为 y＝3(x－1)，即
析
感 悟
经
3x－y－3＝0.
典 考
题
答案：C
课 时
规
范
训
练
3．已知函数 y＝f(x)＝2x2 图像上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2
经 典
考
题
如果一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数 课
时
值记作 f′(x)：f′(x)＝
fx＋ΔΔxx－fx，则 f′(x)是关于 x 的
规 范 训 练
函数，称 f′(x)为 f(x)的导函数，通常也简称为导数．
(3)导数的几何意义
基
函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的
题
课 时 规 范 训 练
基 础 知 识 梳 理
聚 焦 考 向 透 析
感 悟 经 典 考 题
课 时 规 范 训 练
题
课
时
规
范
训
练
2．导数的概念
(1)f(x)在 x＝x0 处的导数
基
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是
础 知 识
梳
fx0＋Δx－fx0＝ Δx
ΔΔxy，称其为函数 y＝f(x)在 x＝x0
理
聚 焦
考
处的导数，记作 f′(x0)＝
fx0＋ΔΔxx－fx0.
向 透 析
感
悟
(2)导函数
础
解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．
知 识 梳
理
答案：3(x2－a2)
聚
焦
5．(2011·高考江西卷改编)若 f(x)＝x2－2x－4ln x，则 f′(x)>0
考 向 透
析
的解集为________．
感
悟
经
解析：令 f′(x)＝2x－2－4x＝2x－2xx＋1>0，解得 x>2.
原函数
导函数
基
础
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝0
知 识
梳
f(x)＝xα(α 是实数)
f′(x)＝αxα－1
理
聚
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
焦 考
向
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
透 析
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a
感 悟
经
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
典 考 题
典 考 题
课
答案：(2，＋∞)
时 规
范
训
练
基
础
知
识
梳
理
◆一条原则
聚
焦
函数求导的原则：
考 向
透
析
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导
感
悟
时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导
经 典
考
题
的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不
课
时
必要的运算失误．
悟
内的每一个确定的值 x0 都对应着一个确定的导数 f′(x0)．这样就在
经 典 考
题
开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数 f(x)的导函数 f′(x)．在 课
时
不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．
规 范
训
练
基
(2)曲线 y＝f(x)在“点 P(x0，y0)处的切线与”过点 P(x0，y0)的切
规 范
训
练
◆两个关系
基
础
(1)“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的关系
知 识
梳
理
①函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)是一个常数；
聚
焦
②函数 y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点 x 而言的．如
考 向
透
析
果函数 y＝f(x)在区间(a，b)内每一点 x 都可导，是指对于区间(a，b) 感
础 知
识
梳
切线的斜率．
理
聚
(3)导函数也简称导数．所以
焦 考
向
透
“导数”f导x函在数一点x0处的导数个别与
析
感 悟 经
典
一般
考 题
(4)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x
课 时
规
范
＝x0 处的函数值．
训 练
3．基本初等函数的导数公式
基 础
知
＋Δy)，则ΔΔxy等于(
)
识 梳 理
聚
焦
A．3＋2Δx B．4＋Δx C．4＋2Δx D．3＋Δx
考 向
透
解析：∵Δy＝2(1＋Δx)2－2＝2Δx2＋4Δx，
析
感
悟
∴ΔΔxy＝2Δx2Δ＋x 4Δx＝2Δx＋4，故选 C.
经 典 考 题
答案：C
课 时
规
范
训
练
4．(教材改编题)函数 f(x)＝(x＋2a)(x－a)2 的导数为________． 基
感 悟 经 典
考
题
4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法
课
时
则求简单函数的导数．
规 范
训
练
基
础
知
识
【知识梳理】
梳
理
1．平均变化率及瞬时变化率
聚 焦
考
(1)f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率是ΔΔxy＝fxx22－ －fx1x1.
向 透 析
感
悟
经
典
考
(2)f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是
f(x)＝logax
f′(x)＝xl1na
课 时 规 范
训
f(x)＝lnx
f′(x)＝1x
练
基
础
知
识
4.导数运算法则
梳 理
聚
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
焦 考
向
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
透 析
感
(3)gfxx′＝f′xgx[g－ xf]2xg′x(g(x)≠0)．
悟 经 典 考
题
课 时 规 范 训 练
【基础自测】
基 础
知
识
1．f′(x)是函数 f(x)＝13x3＋2x＋1 的导函数，则 f′(－1)的值为
梳 理
聚
焦
()
考 向
透
A．1
B．3
C．1 或 3
D．4
析
感
解析：∵f′(x)＝x2＋2，∴f′(－1)＝3.
悟 经 典
考
答案：B
题
课
时
规
范
训
练
2．曲线 y＝x2－1x在点(1,0)处的切线方程为(