间接平差原理
测量误差与数据处理(3)
（3）根据改正数方程，可求得改正数为：
V P1ATK
0.5 1.0
1 1
4.8
1 2.4 2.4
0.5 1
4.8
（4）由此得高差的平差值为：
hˆ hV
即：
1.004 4.8
0.9992
1.504
2.4
103
1.5064
2.512 4.8
2.5072
h 1 0 .99 m ， h 9 2 1 2 .50 m ， h 6 3 2 4 .50 m 7
示例的解算
解：（1）此例n = 3，t = 2，故r = 1，列出 如下平差值条件方程：
H A h ˆ 1 h ˆ 2 h ˆ 3 H B 0
以代入上式，可得条件方程为：
v 1 v 2 v 3 ( H A h 1 h 2 h 3 H B ) 0
将已知高程和观测高差代入计算闭合差（ 单位mm），然后用矩阵表示如下：
1. 根据平差的具体问题，确定条件方程的个 数，列出条件方程式，条件方程的个数等于 多余观测数r；
条件方程
➢平差值条件方程：
a1 Lˆ1
a 2 Lˆ 2
a n Lˆ n
a0
0
b1 Lˆ1
b 2 Lˆ 2
b n Lˆ n
b0
0
r1 Lˆ1
r2 Lˆ 2
rn Lˆ n
r0
0
➢改正数条件方程：
0 0 p
n
1
p1
0 1 0
p2
0 0 1
pn
基于闭合差条件的条件平差
❖条件平差原理 ➢ 由于高程控制网中存在r个多余观测，就会产生r 条件方程。
➢高程控制网平差归结为以r个条件方程为基础，根 据最小二乘法求出一组高差改正数。
21间接平差--求平差值一般原理
Lˆ1 a1Xˆ1 b1Xˆ 2 t1Xˆ t d1 Lˆ2 a2 Xˆ1 b2 Xˆ 2 t2 Xˆ t d2
Lˆn an Xˆ1 bn Xˆ 2 tn Xˆ t dn
纯量形式
令
Lˆn an Xˆ1 bn Xˆ 2 tn Xˆ t dn
带入
v1 a1xˆ1 b1xˆ2 t1xˆt l1
v2 a2 xˆ1 b2 xˆ2 t2 xˆt l2
Lˆi Li vi
存在
令
解得
xˆ
N
W 1
bb
或 xˆ (BT PB)1 BT Pl
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
5.计算参数平差值
6. 计算观测值平差值
参数平差值计算：
Xˆ X 0 xˆ 令
观测值改正数计算
V Bxˆ l
令 观测值平差值计算
Lˆ L V
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
X
0 2
BXˆ d
平差值误差方程
矩阵形式
V Bxˆ l
改正数误差方程
记 L0 BX 0 d 令 l L L0
n,1
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
2.基础方程
转化
问题
V Bxˆ l
？ n<n+t，得不到唯一解
为此按最小二乘原理，
BT PV 0 V Bxˆ l
得 BT PBxˆ BT Pl 0
令
令
Nbb
t ,t
BT PB,
W BT Pl
t ,1
测绘技术中的平差原理及应用
测绘技术中的平差原理及应用导语：测绘技术在现代社会中扮演着极为重要的角色，它为我们提供了地理信息和地形数据，为城市规划、基础设施建设等提供了参考依据。
而平差作为测量中不可或缺的环节，更是保证了测绘数据的精确性和可靠性。
本文将介绍测绘技术中的平差原理及其应用，并探讨其在现代社会中的重要性。
一、平差原理的概述平差是测绘技术中一种重要的数据处理方法，它通过将测量结果进行修正和调整，消除误差，从而提高数据的准确性。
平差的基本原理是根据误差的传递规律，通过权衡各个观测值的权重来修正测量结果。
二、平差的分类根据观测数据量和形式的不同，平差可以分为间接平差和直接平差。
间接平差是指通过多个观测量之间的关系，将各个观测值进行联立求解的平差方法。
而直接平差是指通过最小二乘法求解各个观测值的平差方法。
三、平差的应用领域在测绘技术中，平差被广泛应用于各个领域。
首先，它在制图中起着关键作用。
通过对测量数据进行平差，可以获得更为准确的地形图和地图，为城市规划、土地利用等提供精确的基础数据。
其次，在工程测量中，平差也扮演着重要的角色。
在道路建设、大型桥梁和隧道的设计和施工过程中，平差可以提供精确的地形信息和测量结果，确保工程的顺利进行。
此外，平差还应用于船舶导航、航空导航等领域，为船只和飞机的航行提供准确的数据。
四、平差的实施步骤平差的具体实施步骤可以分为观测准备、观测操作、数据处理和结果分析等几个步骤。
首先，进行观测准备，包括确定目标区域、选择观测仪器，并进行校准和调整。
然后进行观测操作，按照预定的方法和步骤进行测量。
接下来，进行数据处理，包括数据的录入、数据的校验和数据的平差计算等。
最后，进行结果分析，对平差后的数据进行检查和分析，评估其准确性和可靠性。
五、平差技术的挑战与发展随着科技的不断进步，测绘技术也在不断发展，平差技术也面临着新的挑战和机遇。
首先，高精度测量技术的发展提出了对平差技术更高的要求。
其次，大数据和人工智能的兴起为平差技术的应用带来了新的机遇。
高程平差方法 举例说明
高程平差方法举例说明引言在工程建设中不免要对高程控制网进行高精度计算，手工计算对于较为简单的控制网还可适应，但对于较为复杂、节点较多的高程控制网来讲使用手工计算容易出现误差且非常耗时，因此我们针对高程控制网的平差计算原理进行了分析，并利用这一原理结合计算机技术进行了高效的控制网平差计算。
1 平差模型的建立1. 1 平差原理下面以一个水准网的算例来说明水准网间接平差原理，水准网如图1 所示：已知A 点高程HA=237. 483m，为求B、C、D 三点的高程，进行了水准测量，观测结果为见图1, h1、h2、h3、h4、h5 分别为观测值，对应的水准路线长度为S1、S2、S3、S4、S5。
取B、C、D 三点的高程值平差值为参数，其近似值为X01、X02、X03 其中：X01=HA+h1; X02=HA+h3; X03=HA+h5 于是观测值误差方程为v：常数项l：权P：如下：其中：改正数V= 系数阵A= 参数x= 常数项l=可以解出由此可以计算出高程平差值由上可知，水准网间接平差主要分为三个步骤：（1）高程近似值的计算；（2）列立观测值的误差方程；（3）解误差方程并求高程平差值。
1. 2 常数项矩阵的问题在求近似高程时，同一个未知点的近似高程并不是唯一的一个确定值，它的值随着计算时选择的线路不同而改变，因此得出的常数项矩阵L 也并不是唯一的，在下面的程序计算里面，输入已知数据时线路的排序不同，得出的常数项矩阵L 也不同，当然最后得到的高程改正数也不一样，由于进行平差计算时设的未知数就是未知点高程的近似值，因此在最后得到的未知点的高程平差值跟计算高程近似值时选择的线路无关，只要计算正确，最终得到的高程平差值也是正确的。
这一点可以在使用程序的过程中进行检验，无论线路排序如何改变，只要数据输入正确，得到的结果是一样的。
2 平差程序设计2. 1 关于程序语言的选用考虑到本软件所要解决的问题主要是数据的处理与计算，不涉及到计算机系统底层的操作，因此选用相对简单的Visual Basic 6. 0 来进行程序的编写，使用间接平差模型，在保证计算精度的同时，一来减少了代码编写的难度，二来提高了代码执行的效率。
(整理)测量平差
测量平差一．测量平差基本知识 1.测量平差定义及目的在设法消除系统误差、粗差影响下，其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。
人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。
测量平差的目的：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评定观测成果的质量。
2.协方差传播律及协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。
①观测值线性函数的方差： 函数向量：Y=F(X) Z=K(X)其误差向量为：ΔY=F ΔX ΔZ=K ΔX则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====F D K D K D F D K D K D F D F D TXZYTXYZTXZTXY②多个观测值线性函数的协方差阵t×n×n ×t×n T n XX t t ZZ K D K D =③非线性的协方差传播T XX ZZ K KD D =3.权及常用的定权方法①权表示比例关系的数字特征称之为权，也就是权是表征精度的相对指标。
权的意义不在于它们本身数值的大小，而在于它们之间所存在的比例关系。
()n i iiP ,...,2,1220==σσi P 为观测值i L 的权，20σ是可以任意选定的比例常数。
②单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。
确定一组权时，只能用同一个0σ，令0σσ=i ，则得:iiP ===02202021σσσσ上式说明20σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。
凡是方差等于20σ的观测值，其权必等于1。
权为1的观测值，称为单位权观测值。
无论20σ取何值，权之间的比例关系不变。
③ ⅰ.水准测量的权NC P h =式中，N 为测站数。
SC P h =式中，S 为水准路线的长度。
ⅱ.距离量测的权ii S C P =式中，i S 为丈量距离。
ⅲ.等精度观测算术平均值的权CP ii N=式中，i N 为i 次时同精度观测值的平均值。
第五章条件平差
二、法方程及改正数方程
将V T PV min的原则作用于条件方程 。
组成新函数:
V T PV－2k T AV W
式中
r 1
k k a , kb , k r 条件方程联系数
T
对新函数求导： T T 2V P 2A k ---改正数方程
dSCD ˆ f T dL SCD ˆ SCD T 2 T ˆ f D f f QL ˆL ˆ ˆL ˆ f 0 L S CD
得测边相对中误差为： 3、大地四边形测角网
2
ˆS
CD
SCD
＝
ˆ 0 f T QL ˆL ˆ f
设
F ( f1 , f 2 , f m )
T T
G ( g1 , g 2 , g m ) 有
均为m维向量函数，且 f i、g i 均为x的函数， d F G dG F T dG T dF F G dx dx dx dx
注意：当N为满秩方阵时，才有 N 1唯一存在,法方程才有唯
测方向网
测角网
测角网
三角网
测边网
测边长
测边＋测方向
边角网
（导线网） 测边＋测角
三、三角网的布设－－从高级到低级逐级布设 四、三角网平差的方法 1。严密平差 ----遵守VTPV=min原则 ； 2。近似平差
5.3 测角网条件平差
独立网（经典自由网）－-－只有必要起算数据d。
非独立网（附合网）－-－已知条件超过必要起算数据。
3 图形条件： n=12 t=2×2+4=8 r =4 1 极条件：
v2 v1 v6 v5 v11 v10 W1 0
测量程序设计_条件平差和间接平差
程序代码如下：
disp(‘-------水准网间接平差示例-------------’) disp(‘已知高程’) Ha = 5.015 % 已知点高程，单位m Hb = 6.016 % 已知点高程，单位m
A h2 D h1
C h6 E h7 B h4
h5
h3
disp(‘观测高差，单位m’)
L = [1.359; 2.009; 0.363; 1.012; 0.657; -0.357] disp(‘系数矩阵B’)
则： PV AT K
V P A K QA K
T
1 T
4、法方程： 将条件方程 AV+W=0代入到改正数方程V=QATK 中，则得到：
AQAT K W 0
r1 r1 r1
记作： 由于
N aa K W 0
rr
R( Naa ) R( AQAT ) R( A) r
Naa为满秩方阵， K Naa1W ( AQAT )1 ( AL A0 )
if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB==0 && H(2,1)H(4,1)==0 disp(‘检核正确') else disp(‘检核错误') end disp(‘平差后的高程值') HC = HA + H(1,1) HD = HA + H(1,1) + H(4,1)
二、间接平差的基本原理
其中l＝L－d.
ˆ 设误差Δ和参数X的估计值分别为V 和 X
则有
ˆ V AX l
X0 为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值
ˆ ˆ X X0 x
则误差方程表示为
误差理论与测量平差基础第七章 间接平差
第七章——间接平差
c、标准曲线拟合
对于标准曲线，由于其方程已知，其拟合方法有所不同。如图
所示，测得m个点的坐标，要求拟合圆曲线。由于圆曲线的参数方程
为：
X?i ? X?0 ? R?cos??i
Y?i ? Y?0 ? R?sin??i
式中：(x0 , y0 )为圆心坐标，R为半径，
这三个参数是圆的基本参数，? i 为第i
第七章——间接平差
例：水准网如右图所示，已知 H A =5.000m，H B =3.953m， HC =7.650m。各点的近似高程为：
H0 p1
?
HB ?
h2
? 5.053m
H0 p2
?
H A ? h7
? 8.452m
H0 p3
?
HC
? h4
? 7.450m
观测值见下表，试列出误差方程。
1234567 (m)
第七章——间接平差
例如在下图，我们选 X?1 ? X?C , X?2 ? Y?C , X?3 ? X? D , X?4 ? Y?D
第七章——间接平差
于是，误差方程为：
v1 ? ( X A ? X?3 ) 2 ? (YA ? X?4 )2 ? L1 v2 ? ( XB ? X?3 ) 2 ? (YB ? X?4 ) 2 ? L2 v3 ? ( X?1 ? X?3 )2 ? ( X?2 ? X? 4 ) 2 ? L3 v4 ? ( XA ? X?1 )2 ? (YA ? X?2 ) 2 ? L4 v5 ? ( XB ? X?1 )2 ? (YB ? X?2 ) 2 ? L5
? l?
基础方程的个数与未知数的个数相等，故有唯一解。
为解此基础方程，将第二式代入第一式，消去V，得
第三章-间接平差2009
⎞ ⎛ n ⎜ ∑ aij b ji ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ j =1
61
所以（B6）式得征。
−1 T −1 −1 T −1 −1 = N bb B PQPBN bb = N bb B PBN b b = N bb
−1 T −1 T Q VV = (BN bb B P − I )Q(BN bb B P − I) T −1 T −1 T = (BN bb B P − I )Q(PBN bb B − I)
2 2 D =σ0 Q =σ0 P −1 ，且 rk(Q) = n
n×n
n× n
平差准则为最小二乘原理
V T PV = min ˆ ，进而求得 V 值，在数学中就是 间接平差就是在最小二乘原理要求下求出误差方程的待定参数 x
求多元函数的极值问题。
§3.1 间接平差原理
在间接平差的函数模型中，有 n = t + r 个误差方程，即
【 ∗ 】二次型对向量的导数
T
T
在二次型 V PV 中，矩阵 P 中的各元素为常数，向量 V 的各元素作为自变量，则该二次型的 导数为
T
d (V T PV ) = dV T ( PV ) + (V T P ) dV
T
上式右端每一项的值在转置后是不变的，因此得
T T T dV T ( PV ) = ⎡ ⎣ dV ( P V ) ⎤ ⎦ = V P dV
−1 T −1 T = (BN bb B − Q)(PBN bb B − I)
−1 T −1 T −1 T −1 T = BN bb B PBN bb B − BN bb B − QPBN bb B +Q
−1 T −1 T −1 T = BN bb B − BN bb B − BN bb B +Q
测量误差
mz k12mx21 k22mx22 kn2mx2n
第3章 测量误差
第3章 测量误差
3.4 误差传播定律
对n次等精度观测，算术平均值及线性函数的中误差分别为：
因为x是等l1精l度2n观测l，n 则mm 1=x m 2= 1 n … 2 =m m1 2 n =1 nm 2m ，2 2m 为 观 测1 n 值2m n 2 的中误差。由此得到按观测值的中误差计算算术平均值的中 误差的公式：
第3章 测量误差
第3章 测量误差 3.3 算术平均值及观测值的中误差
三、按观测值的改正值计算中误差 （白塞尔公式）
衡量观测精度的理想量是标准差，但实际工作中没有无限 次观测，故只能用中误差来代替标准差。
多数情况下，观测值的真值不可知，故真误差不可知，无 法求中误差。
实际计算为：对有限的n次观测值求算术平均值，由其计
第3章
3.4 误差传播定律
测量误差
因观测值含有误差，使得其函数受其影响也含有误差，称 为误差传播。
误差传播定律：反映观测值的中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律。
一、观测值的函数
1、和差函数 2、倍函数 3、线性函数 4、－般函数
z x 1 x 2 x n
zkx
z k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n
( X x ) 2 [ ] 2 2 1 2 2 2 n 2 ( 1 2 1 3 1 2 )
n 2
n 2
n 2
第3章 测量误差
第3章 测量误差 3.3 算术平均值及观测值的中误差
因此可得： 按观测值的改正值计算中误差 ——白塞尔公式
m []m [vv]
n
n1
精度：反映一组观测值误差分布的密集或离散程度的数值。
四种经典平差模型的分析与设计
3.四中经典平差模型的分析与设计在生产实践中观测的数据可以通过以最小二乘原理为基本原理进行平差提高测量精度，但由于所设参数个数与观测个数和非必要观测个数的关系不同，可以分为条件平差、附有参数的条件平差、间接平差、附有限制条件的间接平差四种。
通过对它们的分析，可以很好地解决生产实践中的实际问题，亦可为以后的某些理论推导作必要的准备。
3.1条件平差模型条件平差的函数模型：AV+W=0其中A=，W=，V=随机模型：D=法方程：其中：解之得 K= 误差方程： V=观测量平差值：平差值函数：其权函数式为单位权方差的估值：平差值函数的协因数阵：条件平差的基本向量的协因数和互协因数3.2附有限制参数的条件平差模型在一个平差问题中，如果观测值个数为n，必要观测数为t，则多余观测数r=n-t。
若不增选参数，只需列出r个条件方程，这就是条件平差方法。
如果又选了u个独立量为参数（0<u<t）参加平差计算，这就可建立含有参数的条件平差作为平差的函数模型，这就是附有参数的条件平差方法。
②式中，V为观测值L的改正数，为参数近似值的改正值，即随机模型：D=为了求出能使的一组解，按求函数条件极值的方法，组成函数式中，K是对应于条件方程②的联系数向量，为求的极小值，将其分别对V和求一阶导数并令其等于零，则有由两式转置之后第一式左乘，再加②式得其基础方程解算此基础方程，通常是将其中的改正数方程代入条件方程，得到一组包含K和的对称线性方程组，即令,上式也可写成：③上式称为附有参数的的条件平差的法方程。
解上面的的第一式得，又以左乘③的第一式，并与第二式想减，且令,得：解之，得求出后，即可求得K，最后可以求定V：继而，可计算平差值平差值的权函数式为单位权方差的估值：平差值函数的协因数阵：其中，、、、可以通过查表获得它们的的公式L W X K VL QW AQX 0 0K 0 0V 0 00 03.3间接平差模型在一个平差问题中，当所选的独立参数的个数等于必要观测数t时，可将每个观测值表达成这t个参数的函数，组成观测方程，这种以观测方程为函数模型的平差方法，这就是间接平差。
用MATLAB解决 条件平差和间接平差
C h6 E h3 h5 h7 B h4
disp(‘C是单位权观测高差的线路公里数，S是线路长度’) 是单位权观测高差的线路公里数， 是线路长度 是线路长度’ 是单位权观测高差的线路公里数 C = l*ones(1,6)
S = [1.1, 1.7, 2.3, 2.7, 2.4, 4.0] P = C./S % 定义观测值的权， 定义观测值的权， P = diag(P) % 定义权阵 disp(‘参数的解’) 参数的解’ 参数的解 x = inv(B’*P*B)*B’*P*l disp(‘误差 误差V(mm), 各待定点的高程平差值 （m）’) 各待定点的高程平差值L1（ ） 误差 V = B*x - l % 误差方程 误差方程(mm) L1 = L + V/1000 % 观测值的平差值， 观测值的平差值， disp(‘精度评定’) 精度评定’ 精度评定 n = 6; % 观测值的个数 t = 2; % 必要观测数 delta = sqrt(V’*P*V/(n – t))
H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HAH(2,1)if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB==0 && H(2,1)H(4,1)==0 disp(‘检核正确 检核正确') disp( 检核正确') else disp(‘检核错误 检核错误') disp( 检核错误') end disp(‘平差后的高程值 平差后的高程值') disp( 平差后的高程值') HC = HA + H(1,1) HD = HA + H(1,1) + H(4,1)
二、间接平差的基本原理
在一个控制网中，设有t个独立参数， 在一个控制网中，设有t个独立参数，将每一个观测值都表达 成所选参数的函数，以此为基础进行平差， 成所选参数的函数，以此为基础进行平差，最终求得参数的估 计值。 计值。 选择参数应做到足数（参数的个数等于必要观测数）和独 选择参数应做到足数（参数的个数等于必要观测数） 参数间不存在函数关系）。 ）。利用参数将观测值表示为 立（参数间不存在函数关系）。利用参数将观测值表示为
测角网间接平差原理及应用
x , - xj
得线性化后的式为：
( < +%) _($+〜 ）
(3)
将 式 (3)按 泰 勒 级 数 展 开 ， 取至一次项， 略去二次及以上项,
选 择 待 定 点 和 &的 坐 标 为 未 知 参 数 ， 相应的近似值为： 设近似坐标的改正数为 (
:arctan
' ，yP ,(m
) ,(m
W
i dajk \ i xr 、 4 l巧
\ /
I \ yr \d x j %
-
r d〇 yi\ Jk , SYk )
⑷
) ,则有:
通过本方法实例计算结果与文献[1 ]和文献[6 ]的方法比较分 析， 验证了该方法的可行性。该方法与圆柱拟合的其他方法相比， 形式简单、 易于理解、 精度较高， 是一种可以运用的圆柱面拟合方法。 参考文献： [ 1 ] 潘国荣， 谷 川 .改 进 的 遗 传 算 法 用 于 工 业 测 量 数 据 处 理 [J ] •大地测量与地球动力学, 2 0 0 8 , 2 8 ( 1 ) :55.
[ 2 ]
王丽华 ， 谷
川
， 万
军.基于改进遗传算法的雷达天线曲
面 拟 合 参 数 辨 识 [； [].机 电 一 体 化 ,2008， 1 4 ( 4 ) :54. [ 3 ]
陈 义 ， 沈 云中， 刘大杰.适用于大旋转角的三维基准转换 的一种简便模型 [ J ] .武汉大学学报（ 信息科学版） ， 2004,29
摘 要 :介 绍 了 测 量 平差中测角网间接平差误差方程式 的 列 立 原 则 和 方 法 ， 得出了列立角度误差方程式的关键是建立角度所对应 的两个方向的方位角改正数方程,并对方位角改正数方程给出了说明， 以供参考。 关键词： 三 角网， 精度， 坐标， 中误差 中图分类号:TU198.2 文献标识码:A
间接平差的基本原理
5.组成法方程，求参数改正数
2.9
1 0 0
1 NBB BT PB 0
0
1 1 0
0 1 0
0 1 1
100
3.7 2.5 3.3
1 1
0
0 1 0
0
1 1
4.0 0 0 1
6.6 3.7 0 3.7 9.5 3.3
0 3.3 7.3
2.9
0
1 W BT Pl 0
14
l5 h5
X
0 3
H
A
0
4.列误差方程，确定观测值的权：
v1 xˆ1 v2 xˆ1 xˆ2
v3
xˆ2
v4
xˆ2 xˆ3
v5
xˆ3
0
203
14
或
v1 1 0
v2
1 1
vv43
0 0
1 1
0
0
0
0
1
xˆ1 xˆ2 xˆ3
23
0
14
0
23
0
14
9
2mm
9
v5 0 0 1
0 7
hhˆˆ12
h1 v1
h2
v2
5.847 3.791
hhˆˆ43
hh43
v3 v4
9.638m 7.375
hˆ5 h5 v5 2.263
Hˆ
Hˆ Hˆ
B C
Xˆ Xˆ
1 2
X X
h1 5.835m, s1 3.5km; h2 3.782m, s2 2.7km; h3 9.640m, s3 4.0km; h4 7.384m, s4 3.0km, h5 2.270m, s4 2.5km
间接平差原理
§4-1 间接平差原理2学时间接平差法（参数平差法）是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。
例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L1、L2和L3。
求此三角形各内角的最或然值。
若能选取两个内角的最或然值作为参数、，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式（4-1-1）可得（4-1-2）为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令，则（4-1-2）式可写成如下形式：（4-1-3）式（4-1-2）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。
单纯为消除矛盾，、、可有多组解，为此引入最小二乘原则：可求得唯一解。
因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。
对上述三角形，引入最小二乘原则，要求：，设观测值为等精度独立观测，则有：按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得代入误差方程式，得到观测值的最或然值此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。
一般地，间接平差的函数模型为（4-1-4）平差时，为了计算方便和计算的数值稳定性，一般对参数都取近似值，令（4-1-5）代入（4-1-4）式，并令（4-1-6）由此可得误差方程（4-1-7）式中为误差方程的自由项，对于经典间接平差，将未知参数视为非随机参数，不考虑其先验统计性质，根据（4-1-5）式，可得平差后，由（4-1-6）式可得。
《平差基础》课件
异常值和缺失值的影响：可能导 致模型预测不准确，需要谨慎处 理
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缺失值处理：通过插值、填充、 删除等方式处理缺失值
异常值和缺失值的检测方法：箱 线图、散点图、直方图等可视化 方法，以及统计方法如t检验、卡 方检验等
数据插值：根据已知数据点，估计未知数据点的值 插值方法：线性插值、多项式插值、样条插值等 外推：根据已知数据点，预测未来数据点的值 外推方法：趋势外推、季节性外推、指数外推等
模型选择：根据实际需求选择合适的模型 模型确定：根据实际数据确定模型的参数 模型验证：通过实验验证模型的准确性和稳定性 模型优化：根据实验结果对模型进行优化和改进
模型参数：包括观测值、观测 误差、观测方程等
参数估计方法：最小二乘法、 最大似然估计等
参数估计步骤：选择模型、设 定参数、求解参数等
平差结果在科学研究中的 应用
案例背景：某公司需要进行地形测量，但地形复杂，需要采用平差技术 平差方法：采用GPS测量和地形测量相结合的方法 平差结果：经过平差处理后，地形测量结果更加精确 案例总结：平差技术在实际地形测量中具有重要意义，可以提高测量精度和效率
案例背景：某工程测量项目
平差方法：采用最小二乘法进行数据处理
启示3：平差方法 需要掌握一定的数 学和计算机知识， 需要不断学习和实 践
基本思想：最小 化误差平方和
数学模型：线性 方程组
求解方法：迭代 法、最小二乘法
应用领域：测量 学、统计学、工 程学等
点估计：通过样本数据计算 得到总体参数的一个估计值
估计方法：包括点估计和区 间估计
基本概念：参数估计就是通 过样本数据来估计总体参数 的过程
区间估计：通过样本数据计 算得到总体参数的一个置信
间接分组平差中多组平差原理及应用
间接分组平差中多组平差原理及应用一、多组平差原理1. 多组间接平差的概念：多组间接平差是一种延续了传统间接平差原理的编制方法，即在已经编制了一组控制网络的基础上，再采用这一控制网络编制另一组更加发达的测量网，从而将两个网络联系起来，并在此基础上增加粗略测量，最后对网络中的全部观测值数据进行总体调整，得出网络测量精度的扩展和创新。
2. 精度优化：多组间接平差采用的精度优化原理，即将精度低的网络和精度高的网络联接在一起，且都调整到同一精度水平，从而使得空间相互联系。
3. 平差闭合：多组间接平差的本质是将两个网络联接起来，并用精密网向粗略网传播精度，从而让网络间满足平差闭合。
二、多组间接平差的应用1. 标准正控网络：采用多组间接平差原理，可以综合精、粗两种控制形式，高效解决不同精度测量需求，使程序得到有效实施，即粗略网的精度会传递到精密网中，从而形成一个完整的、结构完整的正控网络，维护站点的坐标精度。
2. 精确图形拟合：采用多组间接平差可以实现精确的图形拟合，从而提高测量的精度、并缩短上下文的数据处理工作，如测量建筑物轮廓，更加准确的拟合建筑物的外轮廓，以及测量大型管道安装和调整等。
3. 数据分析：多组间接平差可以用于数据分析，比如地形地貌的布置，利用多组网络间接平差原理，可以综合和优化数据，从而更好地分析面积、形状、位置等数据信息，使结果更加准确、可靠。
4. 数字地理信息绘图：多组间接平差原理可以用于数字地理信息的绘制，如通过该原理编制精确的正控网络，提高建筑物周边环境的精度，有利于求出精确、可靠的数字地理信息图纸。
三、总结多组间接平差是一种延续了传统间接平差原理的编制方法，通过将有限的粗糙测量数据和精密测量数据联系起来，可以有效的提高网络的精度。
同时，多组间接平差可以用于提供标准正控网络、完成图形拟合、进行数据分析和数字地理信息绘图等测量工作，在实际开发和应用中具有重要的意义。
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§4-1 间接平差原理
2学时
间接平差法（参数平差法）是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。
例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L1、L2和L3。
求此三角形各内角的最或然值。
若能选取两个内角的最或然值作为参数、，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式
（4-1-1）可得
（4-1-2）
为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点
在实际计算中是非常重要的，令，则（4-1-2）式可写成如下形式：
（4-1-3）
式（4-1-2）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一
个观测值，且系数为1。
单纯为消除矛盾，、、可有多组解，为此引入最小二乘原则：可求得唯一解。
因此，间接平差是选取与观测
值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。
对上述三角形，引入最小二
乘原则，要求：，设观测值为等精度独立观测，则有：
按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得
代入误差方程式，得到观测值的最或然值
此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。
一般地，间接平差的函数模型为
（4
-1-4）
平差时，为了计算方便和计算的数值稳定性，一般对参数都取近似值，令
（4-1-5）代入（4-1-4）式，并令
（4-1-6）由此可得误差方程
（4-1-7）
式中为误差方程的自由项，对于经典间接平差，将未知参数视为非随机参数，不考虑其先验统计性质，根据（4-1-5）式，可得平差后，由（4-1-6）式可得。
间接平差的随机模型为
（4-1-8）平差准则为
（4-1-9）
间接平差就是在最小二乘准则要求下求出误差方程中的待定参数，在数学中是求多元函数的自由极值问题。
一、间接平差一般原理
设平差问题中有n个观测值L，已知其协因数阵，必要观测数为t，选定t个独立参数，其近似值为，观测值L与改正数V之和，称为观测量的平差值。
按具体平差问题，可列出n个平差值方程为
（i=1，2，3，…，n）（4-1-
10）令
则平差值方程的矩阵形式为
（4-1-11）令
（4-1-12）式中为参数的充分近似值，于是可得误差方程式为
（4-1-
13）
按最小二乘原理，上式的必须满足的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法，得
转置后得
（4-
1-14）
以上所得的（4-1-13）和（4-1-14）式中的待求量是个和个，而方程个数也是个，有唯一解，称此两式为间接平差的基础方程。
解此基础方程，一般是将（4-1-13）式代入（4-1-14）式，以便先消去
，得
（4-1-15）
令
上式可简写成
（4-1-16）
式中系数阵为满秩矩阵，即，有唯一解，上式称为间接平差的法方程。
解之，得
（4-1-17）
或
（4-1-18）
将求出的代入误差方程（4-1-13），即可求得改正数V，从而平差结果为
（4-1-19）
特别地，当P为对角阵时，即观测值之间相互独立，则法方程（4-1-16）的纯量形式为
（4-1-20）
二、按间接平差法求平差值的计算步骤
1．根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数；
2. 将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数非线性要将其线性化，列出误差方程（4-1-13）；
3．由误差方程系数B和自由项组成法方程（4-1-16），法方程个数等于参数的个数t ；
4. 解算法方程，求出参数，计算参数的平差值；
5．由误差方程计算V，求出观测量平差值；
6.评定精度。
例[4-1] 在图4-1所示的水准网中，A、B、C为已知水准点，高差观测值及路线长度如下：= +1.003m，= +0.501m，= +0.503m，=
+0.505m；=1km，=2km，=2km，=1km。
已知=11.000m，
=11.500m，=12.008m，试用间接平差法求及点的高程平差值。
图4-1
解：1.按题意知必要观测数=2，选取、两点高程、为参数，取未知参数的近似值为、
，令2km观测为单位权观测，则。
2．根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式如下
代入具体数值，并将改正数以(mm)为单位，则有
可得、和矩阵如下
、、
3．由误差方程系数和自由项组成法方程得
解得
4. 解算法方程，求出参数，计算参数的平差值；
5．由误差方程计算，求出观测量平差值；。