间接平差原理

§4-1 间接平差原理

2学时

间接平差法（参数平差法）是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。

例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L1、L2和L3。求此三角形各内角的最或然值。若能选取两个内角的最或然值作为参数、，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式

（4-1-1）可得

（4-1-2）

为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点

在实际计算中是非常重要的，令，则（4-1-2）式可写成如下形式：

（4-1-3）

式（4-1-2）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一

个观测值，且系数为1。单纯为消除矛盾，、、可有多组解，为此引入最小二乘原则：可求得唯一解。因此，间接平差是选取与观测

值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。对上述三角形，引入最小二

乘原则，要求：，设观测值为等精度独立观测，则有：

按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得

代入误差方程式，得到观测值的最或然值

此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。

一般地，间接平差的函数模型为

（4

-1-4）

平差时，为了计算方便和计算的数值稳定性，一般对参数都取近似值，令

（4-1-5）代入（4-1-4）式，并令

（4-1-6）由此可得误差方程

（4-1-7）

式中为误差方程的自由项，对于经典间接平差，将未知参数视为非随机参数，不考虑其先验统计性质，根据（4-1-5）式，可得平差后，由（4-1-6）式可得。

间接平差的随机模型为

（4-1-8）平差准则为

（4-1-9）

间接平差就是在最小二乘准则要求下求出误差方程中的待定参数，在数学中是求多元函数的自由极值问题。

一、间接平差一般原理

设平差问题中有n个观测值L，已知其协因数阵，必要观测数为t，选定t个独立参数，其近似值为，观测值L与改正数V之和，称为观测量的平差值。按具体平差问题，可列出n个平差值方程为

（i=1，2，3，…，n）（4-1-

10）令

则平差值方程的矩阵形式为

（4-1-11）令

（4-1-12）式中为参数的充分近似值，于是可得误差方程式为

（4-1-

13）

按最小二乘原理，上式的必须满足的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法，得

转置后得

（4-

1-14）

以上所得的（4-1-13）和（4-1-14）式中的待求量是个和个，而方程个数也是个，有唯一解，称此两式为间接平差的基础方程。

解此基础方程，一般是将（4-1-13）式代入（4-1-14）式，以便先消去

，得

（4-1-15）

令

上式可简写成

（4-1-16）

式中系数阵为满秩矩阵，即，有唯一解，上式称为间接平差的法方程。解之，得

（4-1-17）

或

（4-1-18）

将求出的代入误差方程（4-1-13），即可求得改正数V，从而平差结果为

（4-1-19）

特别地，当P为对角阵时，即观测值之间相互独立，则法方程（4-1-16）的纯量形式为

（4-1-20）

二、按间接平差法求平差值的计算步骤

1．根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数；

2. 将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数非线性要将其线性化，列出误差方程（4-1-13）；

3．由误差方程系数B和自由项组成法方程（4-1-16），法方程个数等于参数的个数t ；

4. 解算法方程，求出参数，计算参数的平差值；

5．由误差方程计算V，求出观测量平差值；

6.评定精度。

例[4-1] 在图4-1所示的水准网中，A、B、C为已知水准点，高差观测值及路线长度如下：= +1.003m，= +0.501m，= +0.503m，=

+0.505m；=1km，=2km，=2km，=1km。已知=11.000m，

=11.500m，=12.008m，试用间接平差法求及点的高程平差值。

图4-1

解：1.按题意知必要观测数=2，选取、两点高程、为参数，取未知参数的近似值为、

，令2km观测为单位权观测，则

。

2．根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式如下

代入具体数值，并将改正数以(mm)为单位，则有

可得、和矩阵如下

、、

3．由误差方程系数和自由项组成法方程得

解得

4. 解算法方程，求出参数，计算参数的平差值；

5．由误差方程计算，求出观测量平差值；