利用导数研究函数的性质

)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• [答案] A
[ 解析]
不等式化为 exf(x)－ex－5>0，
设 g(x)＝ exf(x)－ ex－5，∴g′(x)＝ exf(x)＋ exf ′(x)－ ex＝
ex[ f (x)＋f ′(x)－1] >0， 所以函数 g(x)在定义域上单调递增， 又因为 g(0)＝0，所以 g(x)>0 的解集为(0，＋∞)．
• 4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实 数a的取值范围是________． • [答案] a<－3或a>6 • [解析] 由于f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1，有f ′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋ 6)． • 若f(x)有极大值和极小值，则Δ＝4a2－12(a＋6)>0，从而有a>6或 a<－3.
lnx lnx 2 lnx2 (理)(2014· 安徽安庆二模)设 1<x<2，则 ，( ) ， 2 的大 x x x 小关系是( ) lnx lnx 2 lnx2 B. <( ) < 2 x x x lnx2 lnx 2 lnx D． 2 <( ) < x x x lnx 2 lnx lnx2 A．( ) < < 2 x x x lnx 2 lnx2 lnx C．( ) < 2 < x x x
第三章
第二节 利用导数研究函数的性质
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
课 时 作 业
自主预习学案
• 1.了解函数单调性和导数的关系． • 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多 项式函数一般不超过三次)． • 3．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． • 4．会用导数求函数的极大值、极小值，会用导数求闭区间上函 数的最大(小)值(其中多项式函数一般不超过三次).
典例探究学案
利用导数研究函数的单调性
(理)(2015· 黄冈中学月考 )定义在 R 上的函数 f(x)满足： f ′(x)>1－f(x)，f(0)＝6 ，f ′(x)是 f(x)的导函数，则不等式 exf(x)>ex＋5(其中 e 为自然对数的底数)的解集为(
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞) C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(3，＋∞)
充分不必要
充分不必要
• 2．函数的极值 • (1)函数极值的定义 < > • 设x0是函数y＝f(x)的定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有 点x，都有f(x)______f(x0)(或f(x)______f(x0))，则称f(x)在点x0取得极 大(小)值，称x0是f(x)的一个极大(小)值点． • 3．函数的最大值与最小值 • 在闭区间[a，b]内可导的函数f(x)必有最大值与最小值；但在开区 间(a，b)内可导的函数f(x)不一定有最大值与最小值．
• 2．已知函数f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图 象最有可能的是( )
• [答案] A • [解析] 由图可知，当x>0时，f ′(x)<0，∴函数f(x)的图象在(0，＋ ∞)上是单调递减的；当x<－2时，f ′(x)<0，∴函数f(x)的图象在(－ ∞，－2)上也是单调递减的，所以只有A符合，故选A.
• 利用导数研究函数的性质，是高考必定考查的内容，常见的考查 方式有两种形式：一是直接把导数应用于多项式函数性质的研究， 考查多项式函数的单调性、极值、最值等，二是把导数与函数、 方程、不等式、数列等相联系，进行综合考查，主要考查函数的 最值或求参数的值(或范围)等.
• 1.函数的单调性 > • (1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，如果f ′(x)____0，则f(x)在区 间(a，b)内为增函数；如果f ′(x)______0，则f(x)在区间 < (a，b)内为 减函数． • (2)若在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则f(x)等于常数． • 对于可导函数f(x)来说，f ′(x)＞0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的 ____________条件，f ′(x)＜0是f(x)在(a，b)上为单调减函数的 ____________条件．
[ 解析]
• [答案] A
1 x－1 令 f(x)＝x－lnx(1<x<2)， 则 f ′(x)＝1－ ＝ >0， x x
∴函数 y＝f(x)在(1,2)内为增函数． lnx ∴f(x)>f(1)＝1>0，∴x>lnx>0⇒0< <1. x lnx 2 lnx ∴( ) < . x x lnx2 lnx 2lnx－xlnx 2－xlnx 又 2－ ＝ ＝ >0， x x x2 x2 lnx2 lnx lnx 2 lnx lnx2 ∴ 2 > .∴( ) < < 2 ，选 A. x x x x x
• 1.(文)(2013·沈阳质检)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1， f ′(x)>1，则f(x)>x的解集是( ) • A．(0,1) • B．(－1,0)∪(0,1) • C．(1，＋∞) • D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) • [答案] C
• [解析] 设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f ′(x)－1>0， • ∴g(x)在R上是增函数， • 又g(1)＝f(1)－1＝1－1＝0， • ∴当x>1时，g(x)>g(1)＝0， • 即当x>1时，f(x)>x. • ∴f(x)>x的解集为(1，＋∞)．
• 3．(文)设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f ′(x)、g′(x)分别为f(x)、g(x) 的导函数，且满足f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时，有( ) • A．f(x)g(b)>f(b)g(x) B．f(x)g(a)>f(a)g(x) • C．f(x)g(x)>f(b)g(b) D．f(x)g(x)>f(a)g(a) • [答案] C • [解析] 因为f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′，所以[f(x)g(x)]′<0， 所以函数y＝f(x)g(x)在给定区间上是减函数，故选C.