正余弦定理综合习题及答案

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高考正弦定理和余弦定理练习题及复习资料

高考正弦定理和余弦定理练习题与答案一、选择题1.已知△中, a＝c＝2, A＝30°, 则b＝( )A. B.2C.3.D. ＋1答案：B解析: ∵a＝c＝2, ∴A＝C＝30°, ∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2.2.△中, a＝ , b＝ , ＝ , 则符合条件的三角形有( )A.1.B.2个C.3.D.0个答案：B解析: ∵＝ ,∴<b＝ <a＝ ,∴符合条件的三角形有2个.3．(2010·天津卷)在△中, 内角A, B, C的对边分别是a, b, c.若a2－b2＝ , ＝2 , 则A＝( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°答案：A解析: 利用正弦定理, ＝2 可化为c＝2 b.又∵a2－b2＝ ,∴a2－b2＝ b×2 b＝6b2, 即a2＝7b2, a＝ b.在△中, ＝＝＝ ,∴A＝30°.4. (2010·湖南卷)在△中, 角A, B, C所对的边长分别为a, b, c, 若∠C＝120°, c＝ a, 则( )A. a>bB. a<bC. a＝bD. a与b的大小关系不能确定答案：A解析: 由正弦定理, 得＝ ,∴＝＝>.∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍, 则它的顶角的余弦值为( )A..B.C..D.答案：D解析: 方法一: 设三角形的底边长为a, 则周长为5a,∴腰长为2a, 由余弦定理知α＝＝ .方法二：如图, 过点A作⊥于点D,则＝2a, ＝ , ∴＝ ,∴α＝1－22＝1－2×＝.6.(2010·泉州模拟)△中, ＝ , ＝1, ∠B＝30°, 则△的面积等于( )A..B.C. 或.D. 或解析: ∵＝ ,∴＝·30°＝.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时, A＝90°, S△＝×1×＝ ,当C＝120°时, A＝30°, S△＝×1× 30°＝ .即△的面积为或.二、填空题7. 在△中, 若b＝1, c＝ , ∠C＝ , 则a＝.答案：1解析: 由正弦定理＝ , 即＝ , ＝ .又b<c, ∴B＝ , ∴A＝ .∴a＝1.8．(2010·山东卷)在△中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若a ＝ , b＝2, ＋＝ , 则角A的大小为．答案：解析: ∵＋＝ ,∴(B＋)＝1.又0<B<π, ∴B＝ .由正弦定理, 知＝ , ∴＝ .又a<b, ∴A<B, ∴A＝ .9.(2010·课标全国卷)在△中，D为边上一点，＝，∠＝120°，＝2.若△的面积为3－，则∠＝.答案: 60°解析: S△＝×2××＝3－ ,解得＝2( －1),∴＝－1, ＝3( －1).在△中, 2＝4＋( －1)2－2×2×( －1)×120°＝6,在△中, 2＝4＋[2( －1)]2－2×2×2( －1)×60°＝24－12 ,∴＝ ( －1),则∠＝＝＝ ,∴∠＝60°.三、解答题10.如图, △是等边三角形, ∠＝45°, ＝ , A.B.C三点共线.(1)求∠的值；(2)求线段的长.解: (1)∵△是等边三角形, ∠＝45°,∴∠＝45°＋60°,∴∠＝(45°＋60°)＝45°60°＋45°60°＝.(2)在△中, ＝ ,∴＝∠×＝×＝1＋.11.(2010·全国Ⅱ卷)△中, D为边上的一点, ＝33, ＝ , ∠＝ , 求. 解: 由∠＝ >0知B< ,由已知得＝ , ∠＝ ,从而∠＝(∠－B)＝∠－∠＝×－×＝.由正弦定理得＝ ,＝＝＝25.12.(2010·安徽卷)设△是锐角三角形, a, b, c分别是内角A, B, C 所对边长, 并且2A＝＋2B.(1)求角A的值；(2)若·＝12, a＝2 , 求b, c(其中b<c).解: (1)因为2A＝＋2B＝ 2B－ 2B＋2B＝ ,所以＝±.又A为锐角, 所以A＝ .(2)由·＝12, 可得＝12.①由(1)知A＝ , 所以＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2, 将a＝2 与①代入, 得c2＋b2＝52, ③③＋②×2, 得(c＋b)2＝100,所以c＋b＝10.因此c, b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根.解此方程并由c>b知c＝6, b＝4.。

正余弦定理练习题（含答案）

A.6B.2 C.3 D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．42 B ．43 C ．46 D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.146．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC C.32或3 D.34或3、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A.6 B ．2 C.3 D.2 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．组解．的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？的距离是多少？18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2、c ，且cos cos 22A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．的长．1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形．等腰三角形或直角三角形 7的面积为( ) A.32B.3428．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 17．如图所示，货轮在海上以40 40 km/h km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°A2，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b，那么26 6 6 ＝3－A.3 B.2 5 c 2＋3bc ＝3A.π B.π C.π或5π D.π或2π ＝3，c A.3 ．23 C.323 3，则边32＝13，则＝a ＋b －c 1为3，则(3－(3∶1023x 为2＝2sin 的面积为1sin ＝5，－π)A.6B.2 3 6 应用正弦定理得：＝，求得＝＝ 6. 42 43 46 D.32＝ 6. 3，42，则角由正弦定理＝得：＝＝2，又∵＝2，则B.1 D.1，由＝得＝2×2×sin 30°sin 30°＝中，若cos A ＝，则△∵＝sin B ，∴cos A ＝sin B ，π. 3A.3 B.3 C.3或3 D.3或3D.＝，求出＝3，∵1AB ，6A.6 C.3 D.2 由正弦定理得6＝2，＝ 2. 3，π，则＝2＝1. A ＝csin C，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B ⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×12×sin30°sin30°sin120°＝43， ∴．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________. 解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×12×sin60°sin60°sin60°××c ＝183， ∴c ＝6. 答案：12 6 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C ＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°， ∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R s in A －2sinB ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：2 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：由解析：由正弦定理正弦定理得：a sin a ＋c ＝8 3. 答案：83 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得，得 2R sin A ＝2·2·22R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：答案：等腰三角形等腰三角形13解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab s in C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：23 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．组解．解析：∵b sin C ＝＝BC ·sin ∠ABCsin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是102 2 km. km. 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c . 解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A2，得，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得，得b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 22A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．的值． 43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解．，∴此三角形无解．答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°140°))＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°105°))＝45°，由正弦定理得AC 年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C＝10，＝1－sin 2B ＝310. ＝3，∴＝5，25，25×310－5×10＝2. π. 3π2＝＝得5a ＝10b ＝2c 2b ＝5－b ＝2－，∴2＝2－＝2，c ＝ 5. 603×3×sin ＝1，∴∠3，sin A ＝sin B ，∴215. 21，那么6 6 46 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝ 42＋62－2×2×4×4×4×6×6×13＝6. ．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3A.3 2 C.5 2(3－2×((32. ＋3bc ＝＝－3bc 2bc ＝－32，：603153＝1153115. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos Bsin B . 显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3. 5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1 ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|·||AC →|·|·sin sin A＝12×4×4×1×1×1×sin sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×4×1×1×12＝2. 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) A.3 B ．23 C.3或23 D ．2 解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3. 9．已知△ABC π3. 在△ABD 中，中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×2×1×1×1×2×2×12＝ 3. 答案：3 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．，求最大角的度数．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10. 设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，，联想到余弦定理，代入得到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c C ．c D ．以上均不对．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c＝c . 6．如果把．如果把直角三角形直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形三角形 B ．直角三角形．直角三角形 C ．钝角三角形．钝角三角形 D ．由增加的长度决定．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( 的三个的三个内角内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的上的中线中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝＝－1，3，＝1ab ＝3，∴＝＝＝11，7，＝－132，43＝1，∴＝22. 1ab 431·32·22＝432 3. 答案：23 ＝＝49＋25－36 19，－19) ±12，又∵＝21或61. 答案：21或61 ，则角1ab ＝＝·1ab4＝78. 答案：723x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12) ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10. 18．已知△ABC AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1. (2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝A C ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°60°. . 19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；的值；(2)求sin(2A －π4)的值．的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A ，得AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210. 则îïíïìk 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的∴最小角的余弦余弦值为32＋42－222×2×3×3×817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；的长； (2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．的度数．解：(1)由题意及由题意及正弦定理正弦定理得AB ＋BC ＋＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C＝. sin C ，所以＝，得sin C ＝，。

(完整版)正余弦定理综合习题及答案

正余弦定理综合1.（2014天津）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14bca ，2sin 3sin BC ，则cos A 的值为_______.2.（2014广东）.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b Bc C b 2cos cos =+，则=ba. 3.已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（） A.8)(>+c b bc B.)(c a ac + C.126≤≤abc D. 1224abc ≤≤ 4. （2014江苏）若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是。

5.（2014新课标二）钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )A. 5B. 5C. 2D. 1 6、（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值。

（仰角为直线AP与平面ABC 所成角）7．(2011·天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为 ( )A.33B.36C.63D.668.（2014浙江）本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,3a b c ≠=，22cos -cos 3sin cos -3sin cos .A B A A B B = （I ）求角C 的大小；（II ）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积.9、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．10、(2011·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．11、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．12、在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且274sin cos222A B C +-=．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．正余弦定理综合答案1、解：142、23、A4、5、B6 7、D8、解：（I ）由题意得，1cos 21cos 2sin 222222A B A B ++-=-，112cos 22cos 222A AB B -=-， sin(2)sin(2)66A B ππ-=-，由a b ≠得，A B ≠，又()0,A B π+∈，得2266A B πππ-+-=，即23A B π+=，所以3C π=；（II ）由c =4sin 5A =，sin sin a c A C =得85a =，由a c <，得A C <，从而3cos 5A =，故()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=，所以ABC ∆的面积为118sin 225S ac B ==． 9、解 (1)由余弦定理知： cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.10、解 (1)由题设并由正弦定理，得⎩⎨⎧a ＋c ＝54，ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B .因为0<cos B <1，所以p 2∈⎝⎛⎭⎫32，2，由题设知p >0，所以62<p < 2. 11、解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3， ∴12ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ， ∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．12\解：（Ⅰ）∵ A 、B 、C 为三角形的内角， ∴ π=++C B A ．∵ 三角形中角的大小关系∴ …………2分 ∴ 27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C ．即 021cos 2cos 22=+-C C ． ……4分∴ 21cos =C ．又∵ π<<C 0 ， ∴ 3π=C ． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π=+B A ．∴ A A A sin 32cos cos 32sinsin ⋅-⋅+=ππ)6sin(3cos 23sin 23π+=+=A A A ．…10分 ∵ 320π<<A ，∴ 6566πππ<+<A ． ∴ 当26ππ=+A ，即 3π=A 时，B A sin sin +取得最大值为3．…………13分。

正弦定理、余弦定理习题及答案

正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1 C.2 D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中，,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 15.B 16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1. 2（-1） 2 3. 45° 4. 8 5.等腰三角形 6.：钝角三角形7. a=b sin A或b＜a8. 60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13. 120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)1.a=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶47.a=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大,最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.13.B1=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3（2）C=45°,B=15°。

(完整版)正余弦典型例题及详细答案

正余弦典型例题及详细答案一、解答题（题型注释）1（1（2【答案】(2【解析】试题分析:（1;（2）利用（1）,值.试题解析：（1（2考点：正余弦定理的综合应用及面积公式。

2,（1（2【答案】（（2【解析】试题分析:（1）利用正弦定理，（2试题解析：(1（2=”考点：解三角形，正余弦定理，基本不等式．3（1(2【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）等差数列再由正弦定理6sin(3045)4+=+=，再由正弦定理2245sin60sin7526224b a==⇒=+,,则11sin2(22ABCS ac B∆==⨯2分sin 6032A =4分 120，∴6分 675sin(3045)4+=+=分 245sin 60sin 752322b a b==⇒=2(31)6(31)b -=-，， 10分12分4．已知A 、B 、C 为三角形ABC 的三内角,其对应边分别为a ，b ，c,若有2acosC=2b+c 成立. (1）求A 的大小；（2)ABC 的面积. 【答案】（1（2【解析】试题分析：（1)A 的余弦值，从而求出角A ；（2,,再结合上题中求得的角A试题解析:(1（2)考点：正弦定理，余弦定理，三角形两边一夹角的面积公式,化归与转化的数学思想.。

正余弦定理(含答案)

解三角形1 正弦定理和余弦定理1.（2008·陕西理，3）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则 a.2.（2008·福建理，10）在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tan B =3ac ，则角B 的值为3π或32π . 3.下列判断中不正确的结论的序号是 ①③④ .①△ABC 中，a =7，b =14，A =30°,有两解 ②△ABC 中，a =30,b =25,A =150°，有一解 ③△ABC 中，a =6,b =9，A =45°，有两解 ④△ABC 中，b =9,c =10,B =60°,无解 4.△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ,b ,c ，设向量m =(a +b ,sin C ),n =()A B c ，a sin sin 3-+,若m ∥n ，则角B 的大小为65π . 5.（2008·浙江理，13）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若（3b -c ）cos A =a cos C ，则cos A = 33. 6在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°,求A 、C 和c . 故在△ABC 中，A =60°,C =75°,c =226+或A =120°,C =15°,c =226-.7在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2.（1）求角B 的大小；（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积. 解（1）B =32π.（2）S △ABC =21ac sin B =433. 8（14分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc =0. （1）求角A 的大小；（2）若a =3，求bc 的最大值；（3）求cb C a --︒)30sin(的值.解（1）A =120°.（2）当且仅当c =b =1时，bc 取得最大值为 1.（3）由正弦定理得：===CcB b A a sin sin sin 2R , CR B R C A R c b C a sin 2sin 2)30sin(sin 2)30sin(--︒=--︒ =CB C A sin sin )30sin(sin --︒ =CC C C sin )60sin()sin 23cos 21(23--︒- =C C C C sin 23cos 23)sin 43cos 43-- =21.9.（1）△ABC 中，a =8,B =60°,C =75°,求b ; 46.(2)△ABC 中，B =30°,b =4,c =8,求C 、A 、a . C =90°.∴A =180°-(B +C )=60°,a =22b c -=410.已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为S ，且2S =（a +b ）2-c 2，求tan C 的值. 解依题意得ab sin C =a 2+b 2-c 2+2ab ,由余弦定理知,a 2+b 2-c 2=2ab cos C .所以,ab sin C =2ab (1+cos C ),即sin C =2+2cos C ,所以2sin 2C cos 2C =4cos 22C 化简得：tan 2C =2.从而tan C =2tan 12tan22C C-=-34. 11.（2008·辽宁理，17）在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c =2,C =3π. （1）若△ABC 的面积等于3，求a 、b 的值；（2）若sin C +sin(B -A )=2sin2A ,求△ABC 的面积.解（1）由余弦定理及已知条件，得a 2+b 2-ab =4.所以21ab sin C =3，所以ab =4. ⎪⎩⎪⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得⎩⎨⎧==22b a .（2）由题意得sin(B +A )+sin(B -A )=4sin A cos A ,即sin B cos A =2sin A cos A ,当cos A =0时，A =2π，B =6π，a =334，b =332. 当cos A ≠0时，得sin B =2sin A , b =2a ,组⎪⎩⎪⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.334332b ，a 所以△ABC 的面积S =21ab sin C =332.12.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ,则△ABC 一定是等腰三角形. 13.在△ABC 中，A =120°,AB =5,BC =7，则C B sin sin 的值为 53. 14.已知△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,且面积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A = 45° . 由S △ABC =41（b 2+c 2-a 2）=21bc sin A ，得sin A =bc a c b 2222-+=cos A ,∴A =45°.15.在△ABC 中，BC =2，B =3π，若△ABC 的面积为23，则tan C 为 33. 16.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab ,则C = 60° .17.某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是3或2 .18.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，并且a 2=b (b +c ).（1）求证：A =2B ；（2）若a =3b ,判断△ABC 的形状. 所以△ABC 为直角三角形. 19.（2008·全国Ⅱ理，17）在△ABC 中，cos B =-135，cos C =54.（1）求sin A 的值；sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C =6533. （2）△ABC 的面积S △ABC =233，求BC 的长. BC =C A AB sin sin ⨯=211.2正弦定理、余弦定理的应用1.在△ABC 中，若(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,且sin C =2sin A cos B ,则△ABC 是等边三角形.2.线段AB 外有一点C ，∠ABC =60°,AB =200 km,汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以 50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始 t =4370h 后，两车的距离最小. 3要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB =75°，∠BCD = 45°，∠ADC =30°，∠ADB =45°，求A 、B 之间的距离. A 、B 之间的距离为5 km. 4如图所示，已知半圆的直径AB =2，点C 在AB的延长线上，BC =1，点P 为半圆上的一个动点，以 DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值.解设∠POB =θ，四边形面积为y ，则在△POC 中，由余弦定理得PC 2=OP 2+OC 2-2OP ·OC cos θ=5-4cos θ. ∴y =S △OPC +S △PCD =21×1×2sin θ+43（5-4cos θ）=2sin(θ-3π)+435.∴当θ-3π=2π，即θ=65π时，y max =2+435.所以四边形OPDC 面积的最大值为2+435. 5.某观测站C 在A 城的南偏西20°的方向.由A 城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人距C 为31千米正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A 城？这个人再走15千米就可到达A 城.正余弦定理单元练习1.在△ABC 中，A =105°，C =45°,AB =2，则AC = 1 .2.在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为3400m. 3.（2009·海安高级中学试题）（14分）在△ABC 中，设A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m =(cos A ,sin A ),n =(2-sin A ,cos A ),若|m +n |=2.（1）求角A 的大小；（2）若b =42,且C =2a ，求△ABC 的面积. 解（1）A =4π.(2)S △ABC =21×(42)2=16. 4.（2008·重庆理，17）（16分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A =60°,c =3b .求: (1)c a 的值(2)CB tan 1tan 1+的值.解 (1)由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =2)31(c +c 2-2·31c ·c ·21=97c 2，故c a =37.（2）C B tan 1tan 1+=C B B C C B sin sin sin cos sin cos +=C B C B sin sin )sin(+=CB Asin sin sin , 由正弦定理和（1）的结论得C B A s i n s i n s i n =A sin 1· bc a 2=32·c c c⋅31972=3314=9314.故C B tan 1tan 1+=9314.。

正弦定理余弦定理单元测试及答案

答案：sinA = a/c 答案：sinB = b/c 答案：sinC = a/b 答案：cosA = b² + c² - a² / 2bc
题目：已知三角形ABC的三边a、b、c，求角C的余弦值。答案：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
答案：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
余弦定理是描述三角形任意两边和其夹角余弦值的关系
余弦定理公式： c^2=a^2+b^2-
2ab*cos(C)
余弦定理的应用：求解三角形的边长、角
度等
余弦定理的证明方法：向量法、几何法等
解三角形：已知三角形的两边和夹角，求第三边和第三角的大小解四边形：已知四边形的两边和夹角，求其他边和角的大小解多边形：已知多边形的边和角，求其他边和角的大小解立体几何：已知立体几何体的边和角，求其他边和角的大小
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
01
03
02
04
正弦定理：在直角三角形中，任意一边的长度与它的对角的正弦值成正比余弦定理：在直角三角形中，任意一边的长度与它的对角的余弦值成正比正弦定理的应用：求解三角形的边长和角度余弦定理的应用：求解三角形的边长和角度
答案：cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)
题目：已知三角形ABC的三边a、b、c，求角C的余弦值。答案：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
答案：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
总正确率：80% 各题型正确率：选择题75%，填空题85%，解答题90% 各知识点正确率：正弦定理70%，余弦定理80% 错误原因分析：知识点掌握不牢固，解题技巧不足

(完整版)正余弦定理习题加答案详解超级详细

正余弦定理高中数学组卷一．选择题（共9小题）1．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．2．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2016•岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：14．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形5．（2016•河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（）A．B．C．D．6．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或7．（2016•岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2C．D．8．（2016•新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（）A．B．C．D．9．（2016•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）10．（2016•上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=．11．（2016•丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于．12．（2016•焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于．13．（2016•潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为．15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于．16．（2016•湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则b=．三．解答题（共4小题）17．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．18．（2016•安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b ﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．20．（2016•鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a ﹣c（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．正余弦定理高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，∴bcsinA=bc=，∴bc=3，①又a=2，A是锐角，∴cosA==，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．故选A．2．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：当sinA=sinB时，则有A=B，则△ABC为等腰三角形，故sinA=sinB是△ABC 为等腰三角形的充分条件，反之，当△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，若是A=C≠60时，则sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．故选A．3．（2016•岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．故选：C．4．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，∴sinBcosB=sinAcosA∴sin2A=sin2B∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，即有△ABC为等腰或直角三角形．故选C．5．（2016•河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（）A．B．C．D．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：=，即c2﹣b2=ac﹣a2，∴a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，∵B为三角形的内角，∴B=．故选：C．6．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或【解答】解：由正弦定理可得：sinA===∵a=＜b=∴∴∠A=，故选：B．7．（2016•岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2C．D．【解答】解：∵△ABC中，asinAsinB+bcos2A=a，∴根据正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，可得sinB（sin2A+cos2A）=sinA，∵sin2A+cos2A=1，∴sinB=sinA，得b=，可得=．故选：C．8．（2016•新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由条件及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=﹣2sinAcosB．即sin（B+C）=﹣2sinAcosB．∵A+B+C=π，A＞0∴sin（B+C）=sinA，又sinA≠0，∴cosB=﹣，而B∈（0，π），∴B=．故选：C．9．（2016•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵A+B+C=π，A=2B，∴===．再结合正弦定理得：．故选：D．二．填空题（共7小题）10．（2016•上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=．【解答】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：11．（2016•丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于30°．【解答】解：利用正弦定理化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=30°．故答案为：30°12．（2016•焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于4．【解答】解：∵a=8，B=60°，C=75°，即A=45°，∴由正弦定理，得：b===4．故答案为：413．（2016•潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．【解答】解：∵a•cosB+b•cosA=3c•cosC，∴利用余弦定理可得：a×+b×=3c×，整理可得：a2+b2﹣c2=，∴由余弦定理可得：cosC===．故答案为：．14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为1．【解答】解：由题意及正弦定理，得：AB+BC+AC=+1．BC+AC=AB，两式相减，可得AB=1．故答案为：1．15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于1．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c，外接圆半径为R，由正弦定理得，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵a+b+c=2（sinA+sinB+sinC），∴2RsinA+2RsinB+2RsinC=2（sinA+sinB+sinnC），∴R=1．故答案为：1．16．（2016•湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则b=2．【解答】解：B=π﹣A﹣C=，△ABC中，由正弦定理可得，∴b=2，故答案为：2．三．解答题（共4小题）17．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．18．（2016•安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b ﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．【解答】解：（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2=a﹣2a•，利用正弦定理可得（sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），即sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∴A=．（2）若a=，则由正弦定理可得==2，∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（﹣B）]=3sinB+cosB=2sin（B+）．由于，求得＜B＜，∴＜B+＜．∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c∈（3，2]．20．（2016•鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a ﹣c（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．【解答】解：（1）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA﹣sinC，﹣﹣﹣﹣（2分）在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴2cosBsinC=sinC，又∵C是三角形的内角，可得sinC＞0，∴2cosB=1，可得cosB=，∵B是三角形的内角，B∈（0，π），∴B=．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵S△ABC==，B=∴，解之得ac=4，﹣﹣﹣﹣（8分）由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，（当且仅当a=c=2时，“=”成立）∴当且仅当a=c=2时，b的最小值为2．﹣﹣﹣﹣（12分）综上所述，边b的取值范围为[2，+∞）﹣﹣﹣﹣（13分）。

完整版)正弦定理与余弦定理练习题

完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中，a=4，b=43，A=30°，求角B的大小。

解：根据正弦定理，有XXX，即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°，故选B。

2.已知锐角三角形ABC的面积为33，BC=4，CA=3，求角C的大小。

解：根据面积公式，有33=1/2×4×3×sinC，即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°，故选A。

3.已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且(2a+c)cosB+bcosC=0，求角B的大小。

解：根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。

代入已知式中，得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。

由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。

代入cosine double angle formula，得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。

由于cos2B≤1，可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2，即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值，当b=0时，不等式显然成立；当b>0时，由于a,b,c均为正数，不等式两边同除以b^4后，得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1]，即ac/b^2∈[2/3,1]。

由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2]，故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°，故选B。

正余弦定理专题练习(含答案)

正余弦定理专题2020.3一、选择题1、在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC外接圆的直径为( )A.4B.60C.5D.6【解析】选C.因为由三角形的面积公式得：S=acsin B=×1×c×=2，所以c=4，又因为a=1，cos B=，根据余弦定理得：b2=1+32-8=25，解得b=5.所以△ABC的外接圆的直径为==5.2、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c=a，B=30°，那么角C等于 ( )A.120°B.105°C.90°D.75°【解析】选A.因为c=a，所以sin C=sin A=sin(180°-30°-C)=sin(30°+C)=，即sin C=-cos C.所以tan C=-.又0°<C<180°，所以C=120°.3、在△ABC中，已知sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，且满足ab=4，则该三角形的面积为( )A.1B.2C.D.【解析】选D.因为sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，根据正弦定理得a2+b2-ab=c2，由余弦定理得2abcos C=ab，所以cos C=，所以sin C==，4、若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是( )A.(1，)B.(，5)C.(，)D.(1，)∪(，5)【解析】选D.(1)若x>3，则x对角的余弦值<0且2+3>x，解得<x<5.(2)若x<3，则3对角的余弦值<0且x+2>3，解得1<x<.故x的取值范围是(1，)∪(，5).所以S=absin C=×4×=.二、填空题5、在△ABC中，已知A=60°，tan B=，a=2，则c=________. 【解析】因为tan B=，所以sin B=，cos B=.又因为A=60°，所以sin C=sin[180°-(A+B)]=sin(120°-B)=sin 120°cos B-cos 120°sin B=+.由正弦定理，得=，即c===.答案：6、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2+c2-b2)tan B=ac，则角B的度数为________.【解析】由余弦定理，得2accos B·tan B=ac，整理，得sin B=，所以B=60°或120°.答案：60°或120°7、△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acos B-bcos A=c，则△ABC的形状为________.【解析】根据正弦定理，得a=2Rsin A，b=2Rsin B，C=2Rsin C(其中R是△ABC外接圆的半径)，代入acos B-bcos A=c得2Rsin Acos B-2Rsin Bcos A=2Rsin C，所以sin Acos B-sin Bcos A=sin (A+B)，所以sin Acos B-sin Bcos A=sin Acos B+sin Bcos A，所以2sin Bcos A=0，又因为sin B≠0，所以cos A=0，又A∈(0，π)，所以A=，所以该三角形为直角三角形.答案：直角三角形8、在△ABC中，若3b=2asin B，cos A=cos C，则△ABC的形状为________.【解析】由正弦定理知b=2R·sin B，a=2R·sin A，则3b=2a·sin B可化为：3sin B=2sin A·sin B.因为0°<B<180°，所以sin B≠0，所以sin A=，所以A=60°或120°，又cos A=cos C，所以A=C，所以A=60°，所以△ABC为等边三角形.答案：等边三角形9、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，1+2cos(B+C)=0，则边BC上的高为________.【解析】由1+2cos(B+C)=0和B+C=π-A，得1-2cos A=0，所以cos A=，sin A=.再由正弦定理，得sin B==.由b<a知B<A，所以B不是最大角，B<，从而cos B==.由上述结果知sin C=sin(A+B)=×=.设边BC上的高为h，则有h=bsin C=.答案：10、在锐角三角形ABC中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，A=2B，则的取值范围是________.【解析】在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°，即所以30°<B<45°.由正弦定理知：===2cos B∈(，)，故的取值范围是(，).答案：(，)三、解答题11、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B， C所对的边且b=6，a=2，A=30°，求ac的值.【解析】由正弦定理=得sin B===.由条件b=6，a=2，b>a知B>A.所以B=60°或120°.(1)当B=60°时，C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.在Rt△ABC中，C=90°，a=2，b=6，c=4，所以ac=2×4=24.(2)当B=120°时，C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°，所以A=C，则有a=c=2.所以ac=2×2=12.12、△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m=(a，b)与n=(cos A，sin B)平行.(1)求A.(2)若a=，b=2，求sin C.【解析】(1)因为m∥n，所以asin B-bcos A=0.由正弦定理，得sin Asin B-sin Bcos A=0，又因为sin B≠0，从而tan A=.由于0<A<π，所以A=.(2)由正弦定理，得=，从而sin B=，又由a>b，知A>B，所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin(B+)=sin Bcos +cos Bsin=.13、在△ABC中，求证：(1)=.(2)=.【证明】(1)由余弦定理，a2=b2+c2-2bccos A，于是==1-·2cos A=1-·2cos A===.(2)方法一：==·==.方法二：====.14、在△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C，确定△ABC的形状.【解析】由正弦定理得=，由2cos Asin B=sin C，有cos A==.又由余弦定理得cos A=，所以=，即c2=b2+c2-a2，所以a2=b2，所以a=b.又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab，所以(a+b)2-c2=3ab，所以4b2-c2=3b2，即b2=c2.所以b=c，所以a=b=c.15、所以△ABC为等边三角形.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，+=.(1)求角A的大小.(2)若a=2，△ABC的面积为，求边b，c.【解析】(1)由+=及正弦定理得+=，得，sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos A，即 sin(A+B)=2sin CcosA. 因为sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，且sin C≠0，所以，cos A=.又0<A<π，所以，A=.(2)因为△ABC的面积S=bcsin A=bcsin=，所以，bc=4.①由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A，22=b2+c2-2bccos所以，b2+c2=8，②联立①②解得，b=c=2.16、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2-(b-c)2=(2-)bc，sin Asin B=cos2，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小.(2)求△ABC的周长.【解析】(1)由a2-(b-c)2=(2-)bc，得a2-b2-c2=-bc所以cos A==.又0<A<π，所以A=.由sin Asin B=cos2，得sin B=，即sin B=1+cos C，则cos C<0，即C为钝角.所以B为锐角，且B+C=，则sin=1+cos C，化简得cos=-1，解得C=，所以B=.(2)由(1)知，a=b，在△ACM中，由余弦定理得AM2=b2+-2b··cos C=b2++=()2，解得b=2，所以a=2.在△ABC中c2=a2+b2-2abcos C=22+22-2×2×2×cos =12，所以c=2.所以△ABC的周长为4+2.。

(完整版)正弦定理、余弦定理综合训练题含答案

正弦定理、余弦定理综合训练题1. ［2016全国卷I ］ △ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c.已知a = 5, c = 2, cos A = 2，则 b =() A. .2B. 3 C . 2D . 32 1［解析］D 由余弦定理得5= b 2 + 4-2 X b X 2X 3,解得b = 3或b =- 3(舍去)，故选D. n 1B = —, BC 边上的高等于§BC ，贝U sin A =( )D.S 10D ，设BC = 3,则有 AD = BD = 1 , AB = 2，由余弦定理得AC = \ 5.由正弦定理得 “5= s^A , n sin Asin ’43. ［2013新课标全国卷I ］已知锐角厶 A + cos 2A = 0, a = 7, c = 6，贝U b =( A . 101［解析］D 由23cos2A + cos 2A = 0,得25cos2A = 1•因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A =. 51 12在A ABC 中，根据余弦定理，得 49 = b 2 + 36- 12b •即卩b 2—厂b5 545 4. ________________ ［2016全国卷n ］ △ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若cos A =5, cos C = ^, a = 1，贝U b= .4 53 12［解析］因为cos A = 5, cos C = 13，且A , C 为三角形的内角，所以sin A = 5, sin C =〔3, sin63 「, a b ~― asin B 21B = si n(A + C)= sin AcosC + cos As in C = 65.又因为 sin A = sin B ，所以 b = sin A =伯. 13—13 = 0,解得 b = 5 或 b =— 5 (舍去).5. ［2015 全国卷 I ］已知 a , b , c 分别是△ ABC 内角 A , B , C 的对边，sin 2B = 2sin Asin C. (1)若 a = b ,求 cos B;⑵若B = 90°，且a =〔 2, 求厶ABC 的面积. 解：(1)由题设及正弦定理可得b 2 = 2ac.又a = b ，所以可得b = 2c , a = 2c.2. ［2016全国卷川］在厶ABC 中, ［解析］D 作AD 丄BC 交BC 于点解得sin A =学=噜ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 23COS 2D . 5⑵由(1)知 b 2= 2ac.因为B = 90°，所以由勾股定理得a 2+ c 2= b 2. 故 a 2 + c 2= 2ac ,得 c = a = 2, 所以△ABC 的面积为1.6. [2015 全国卷n ] △ ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分/ BAC , BD = 2DC. sin / B (1)求跖/C ； ⑵若/ BAC = 60°，求/ B. 解：(1)由正弦定理得AD _ BD AD _ DC sin ZB sin /BAD’ sin ZC sin /CAD 因为AD 平分Z BAC , BD = 2DC ，所以 sin ZB DC 1 sinZC BD 2⑵因为/C = 180°—/BAC + /B),/BAC = 60°,所以、i'3 1sin ZC = sin( ZBAC +/B)= ? cos/B + in ZB.V 3由(1)知 2sinZB = sin/C ,所以 tanZB = 3，即/B = 30°7. [2014新课标全国卷n ]四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB = 1, BC = 3, CD 2.(1)求 C 和 BD ;⑵求四边形ABCD 的面积.解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2= BC 2+ CD 2— 2BC CDcos C =13 — 12cos C ,①BD 2= AB 2+ DA 2— 2AB DAcos A由余弦定理可得 cos B =a 2+ c 2— b2ac1 4.DA ==5 + 4cos C .②1 —由①②得 cos C = 2，故 C = 60°,BD =7.⑵四边形ABCD 的面积1 1S = ?AB DA si n A + ?BC CDsi n C1 1/ 1X 2 + 2 x 3X 2 sin 60°=2 38. ［2016 山东卷］△ ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c.已知 b = c , a 2= 2b 2(1 — sin A), 贝U A =(nCG'•b = c , a 2 = 2b 2( 1 — sin A),「.2b 2sin A = b 2+ c 2— a 2= 2bccos A = 2b 2cos A ,「.tanA=1，即 A = 4. 9.［2015广东卷］设厶ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c.若a = 2, c = 2.3, cos A =于且b<c ,则b =( ) A . 3B . 2 .2C . 2D. 3［解析］C 由余弦定理得 a 2= b 2 + c 2— 2bccos A ，所以22 = b 2+ (2\'勺)2— 2x b x 2屈，即卩 b 2— 6b + 8= 0，解得 b = 2 或 b = 4•因为 b<c,所以 b = 2. 10. ［2016上海卷］已知△ ABC 的三边长分别为3, 5, 7,则该三角形的外接圆半径等于32+ 52 — 72 1［解析］利用余弦定理可求得最大边 7所对角的余弦值为2x 3x 5 =—2，所以此角的正弦值为牙•设三角形外接圆的半径为R ,由正弦定理得2R=^|，所以R = 于.22冗 b11. ________________________________________________________ ［2016 北京卷］在厶 ABC 中，/ A =〒，a = ■. 3c ,则b = _______________________________ .3 c2 n b b［解析］由余弦定理 a 2= b 2+ c 2— 2bccos A 可得，3c 2= b 2+ c 2— 2bccos 3，整理得 2+ — 2= 0,3 c cnD.?［解析］C解得b= 1或c=—2（舍去）.12. [2016浙江卷]在厶ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.已知b + c = 2acos B. (1)证明：A = 2B ;2⑵若cos B = 3,求cos C 的值.解：⑴证明：由正弦定理得 sin B + sin C = 2sin Acos B ,故 2s in Acos B = sin B + sin (A + B)= sin B + sin Acos B + cos As in B ,于是 sin B = sin (A — B). 又 A , B € (0, n )，故 O V A — B Vn, 所以 B =n —(A — B)或 B = A — B , 因此A =%(舍去)或A = 2B ，所以A = 2B.=—cos(A + B) = — cos Acos B + sin A sin B =⑵由cos B =cos 2B = 2cos 2B — 1 = — 9,故 cos A =— 9, sin sin cos C。

正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)

正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。

正弦定理余弦定理习题及答案

正弦定理余弦定理习题及答案Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】正余弦定理1．在ABC∆中，A B >是sin sin A B >的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是（）（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=，则a= 。

5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为．6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-= （1）求A ∠的度数（2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值7、在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45? 求A 、C 及c .AB323π1、解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ．2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222C CA B -=⋅⋅=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+-cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ∆一定是等腰三角形选C3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C 【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得1sin sin 60A =得1sin 2A =，由a b <知60AB <=，所以30A =，180C A B =--90=，所以sin sin 90 1.C ==4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。

正弦定理余弦定理习题及答案

正余弦定理1．在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin02Cx x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是（）（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形.3、已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=，则a= 。

5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为．6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-= （1）求A ∠的度数（2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值7、在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c .1、解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ．2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222C CA B -=⋅⋅=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+-AB323πcos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ∆一定是等腰三角形选C3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得1sin 60A =得1sin 2A =，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =-- 90=，所以sin sin 90 1.C ==4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。

正弦定理和余弦定理习题及答案

正弦定理和余弦定理习题及答案正弦定理和余弦定理测试题一、选择题：1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63D.632．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )A.1627B.23C.33D.344．△ABC 中，若lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则△ABC的形状是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 36．已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a 、b 、c 是三角形中各内角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则( )A ．b ＋c ＝2aB ．b ＋c <2ªC ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a7、若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=15．15．53 D ．53-8、如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形9、ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为(A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23π10、已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（）Ａ．323 Ｃ．158Ｄ．15720、已知ABC △21，且sin sin 2A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．21、△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.43cos =B（Ⅰ）求cot A +cot C 的值；（Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a ＋c 的值.22、某海轮以30海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东︒60，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东︒30，海轮改为北偏东︒60的航向再行驶80分钟到达C 点，求P 、C 间的距离．答案1.解析：依题意得0°<B <60°，由正弦定理得a sin A ＝bsin B得sin B ＝b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63，选D. 2.解析：由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，故选A. 3.解析：设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23，由余弦定理得CE ＝CF ＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos45°＝53，所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF ＝45，所以tan ∠ECF ＝sin ∠ECF cos ∠ECF＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45245＝34. 答案：D 4.解析：∵lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，∴lg a c ＝lgsin B ＝lg 22.∴a c ＝sin B ＝22. ∵B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B ＝π4，由c ＝2a ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝3a 2－b 222a2＝22. ∴a 2＝b 2，∴a ＝b . 答案：D5.解析：2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33. 答案：C6.解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos2A ＝－12，又A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°. 所以b ＋c 2a ＝sin B ＋sin C2sin A＝2sinB ＋C2cosB －C23＝cosB －C2≤1，b ＋c ≤2a . 答案：c7.解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0，又25(sin cos )1sin 23A A A +=+=，故选A8.解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形。

第五讲正余弦定理练习题（含答案）

三角形（高二）知识点归纳：1、设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a,b,c,R是△ABC的外接圆半径. （1）正弦定理三角形的各边和它所对角的正弦的比相等，即。

(2)正弦定理的逆用①a= 2Rsin A, b= 2Rsin B,c= 2Rsin C(边到角的转换); ②(角到边的转换); ③a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 2、三角形常用面积公式(1) (h表示三角形长为a的边上的高）(2) (3) (r为三角形的内切圆半径）. 3、余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即a2= b2+c2-2bccos A , b2= c2+a2-2cacos B , c2= a2+b2-2abcos C. (2)余弦定理的逆用巩固提高1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于() A.6B.2 C.3 D．26 2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于() A．42 B．43 C．46 D.32 33．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B 为A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对．以上答案都不对4．在△ABC中，若cos Acos B＝ba，则△ABC是() A．等腰三角形．等腰三角形 B．等边三角形．等边三角形 C．直角三角形．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形．等腰三角形或直角三角形 5．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为() A.32B.34C.32或3 D.34或326.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则∠B 的值为() A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π37．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则a cos B＋b cos A等于() A．a B．b C．c D．以上均不对．以上均不对8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为() A．锐角三角形．锐角三角形 B．直角三角形．直角三角形 C．钝角三角形．钝角三角形 D．由增加的长度决定．由增加的长度决定 9．已知锐角三角形ABC中，|AB→|＝4，|AC→|＝1，△ABC的面积为3，则AB→·AC→的值为() A．2 B．－2 C．4 D．－4 10．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为() A.3 B．23 C.3或23 D．2 11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于A.6 B．2 C.3 D.2 12．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________．13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝________，c＝________. 14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则a－2b＋csin A－2sin B＋sin C＝________. 15．在△ABC中，已知a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝________. 16．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．组解．17.已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________．18．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝a2＋b2－c24，则角C＝________. 19．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．20．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？的距离是多少？21．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c . 22在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．的值．23．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．状．是三边的长，若满足等式的大小为中，已知，无解两解、在中，“”是“”的充分不必要条件充要条件．在中，若且，则是．、在中，若，则；在中，已知且,则这个三角形的边的长为．、在中，角的对边分别为，若，那么角=。

正余弦定理练习题(含答案)

正弦定理演习题1．在△ABC 中,∠A＝45°,∠B＝60°,a＝2,则b 等于( )A. 6B. 2C. 3 D ．26 2．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C＝75°,则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中,角A.B.C 的对边分离为a.b.c,A ＝60°,a＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不合错误4．在△ABC 中,a∶b∶c＝1∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不肯定解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中,a,b,c 分离是角A,B,C 所对的边,若A ＝105°,B＝45°,b＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.146．在△ABC 中,若cos A cos B ＝ba,则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC 中,AB ＝3,AC ＝1,∠B＝30°,则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或3D.34或328．△ABC 的内角A.B.C 的对边分离为a.b.c.若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a等于( )A.6B ．2C.3D.29．在△ABC 中,角A.B.C 所对的边分离为a.b.c,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A＝________.10．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sinB ＝________.11．在△ABC 中,已知∠A＝30°,∠B＝120°,b＝12,则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中,a ＝2bcosC,则△ABC 的外形为________．13．在△ABC 中,A ＝60°,a＝63,b ＝12,S△ABC＝183,则a ＋b ＋csinA ＋sinB ＋sinC＝________,c ＝________.14．已知△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,a＝1,则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中,已知a ＝32,cosC ＝13,S△ABC＝43,则b ＝________.16．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c＝2,则此三角形有________组解．17．如图所示,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正南偏向顺时针转到目的偏向线的程度转角)为140°的偏向航行,为了肯定船位,船在B 点不雅测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,不雅测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是若干？18．在△ABC 中,a.b.c 分离为角A.B.C 的对边,若a ＝23,sin C 2cos C 2＝14,sinBsin C ＝cos2A2,求A.B 及b.c.19．(2009年高考四川卷)在△AB C 中,A.B 为锐角,角A.B.C 所对应的边分离为a.b.c,且cos 2A ＝35,sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值;(2)若a －b ＝2－1,求a,b,c 的值．20．△ABC 中,ab ＝603,sin B ＝sin C,△ABC 的面积为153,求边b 的长．余弦定理演习题1．在△ABC 中,假如BC ＝6,AB ＝4,cosB ＝13,那么AC 等于()A ．6B ．26C ．36D ．462．在△ABC 中,a ＝2,b ＝3－1,C ＝30°,则c 等于()A. 3B.2C. 5 D ．23．在△ABC 中,a2＝b2＋c2＋3bc,则∠A 等于()A ．60° B．45°C．120° D．150° 4．在△ABC 中,∠A.∠B.∠C 的对边分离为a.b.c,若(a2＋c2－b2)tanB ＝3ac,则∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．在△ABC 中,a.b.c 分离是A.B.C 的对边,则acosB ＋bcosA 等于()A ．aB ．bC ．cD ．以上均不合错误6．假如把直角三角形的三边都增长同样的长度,则这个新的三角形的外形为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增长的长度决议7．已知锐角三角形ABC 中,|AB →|＝4,|AC →|＝1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC →的值为()A ．2B ．－2C ．4D ．－48．在△ABC 中,b ＝3,c ＝3,B ＝30°,则a 为()A.3B ．23C.3或23D ．29．已知△ABC 的三个内角知足2B ＝A ＋C,且AB ＝1,BC ＝4,则边BC 上的中线AD 的长为________．10．△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10,求最大角的度数．11．已知a.b.c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若a ＝4,b ＝5,S ＝53,则边c 的值为________．12．在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4,则cos A∶cos B∶cos C ＝________.13．在△ABC 中,a ＝32,cos C ＝13,S△ABC＝43,则b ＝________.14．已知△ABC 的三边长分离为AB ＝7,BC ＝5,AC ＝6,则AB →·BC →的值为________．15．已知△ABC 的三边长分离是 a.b.c,且面积S ＝a2＋b2－c24,则角C ＝________.16．(2011年广州调研)三角形的三边为持续的天然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中,BC ＝a,AC ＝b,a,b 是方程x2－23x ＋2＝0的两根,且2cos(A ＋B)＝1,求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1,且sin A ＋sin B ＝2sin C.(1)求边AB 的长;(2)若△ABC 的面积为16sin C,求角C 的度数．19．在△ABC 中,BC ＝5,AC ＝3,sin C ＝2sin A.(1)求AB 的值;(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中,已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab,且2cos Asin B ＝sinC,肯定△ABC 的外形．正弦定理1．在△ABC 中,∠A＝45°,∠B＝60°,a＝2,则b 等于( )A. 6B.2C.3D ．26解析：选A.运用正弦定理得：a sinA ＝b sinB ,求得b ＝asinBsinA＝ 6.2．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C＝75°,则b 等于( )A ．42B ．43C ．46D.323解析：选C.A ＝45°,由正弦定理得b ＝asinBsinA ＝4 6.3．在△ABC 中,角A.B.C 的对边分离为a.b.c,A ＝60°,a＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135° B．135°C．45° D．以上答案都不合错误 a sinA ＝b sinB 得：sinB ＝bsinA a ＝22,又∵a>b,∴B<60°,∴B＝45°. 4．在△ABC 中,a∶b∶c＝1∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不肯定解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中,a,b,c 分离是角A,B,C 所对的边,若A ＝105°,B＝45°,b＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14解析：选 A.C ＝180°－105°－45°＝30°,由b sinB ＝csinC 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中,若cos A cos B ＝ba,则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ,∴cos A cos B ＝sin Bsin A,sinAcosA ＝sinBcosB,∴sin2A＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π,即A ＝B,或A ＋B ＝π2.7．已知△ABC 中,AB ＝3,AC ＝1,∠B＝30°,则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3 D.34或32解析：选D.AB sinC ＝AC sinB ,求出sinC ＝32,∵AB＞AC,∴∠C 有两解,即∠C＝60°或120°,∴∠A＝90°或30°.再由S△ABC＝12AB·ACsinA 可求面积．8．△ABC 的内角A.B.C 的对边分离为a.b.c.若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D.26sin120°＝2sinC,∴sinC＝12.又∵C 为锐角,则C ＝30°,∴A＝30°, △ABC 为等腰三角形,a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中,角A.B.C 所对的边分离为a.b.c,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A＝________.解析：由正弦定理得：a sinA ＝csinC,所以sinA ＝a·sinC c ＝12.又∵a＜c,∴A＜C ＝π3,∴A＝π6.答案：π610．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sinB ＝________.解析：由正弦定理得a sinA ＝bsinB⇒sinB ＝bsinA a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中,已知∠A＝30°,∠B＝120°,b＝12,则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°,∴a＝c,由a sinA ＝b sinB 得,a ＝12×sin30°sin120°＝43, ∴a＋c ＝8 3. 答案：8312．在△ABC 中,a ＝2bcosC,则△ABC 的外形为________．解析：由正弦定理,得a ＝2R·sinA,b＝2R·sinB, 代入式子a ＝2bcosC,得2RsinA ＝2·2R·sinB·cosC, 所以sinA ＝2sinB·cosC,即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC, 化简,整顿,得sin(B －C)＝0.∵0°＜B ＜180°,0°＜C ＜180°, ∴－180°＜B －C ＜180°, ∴B－C ＝0°,B＝C. 答案：等腰三角形13．在△ABC 中,A ＝60°,a＝63,b ＝12,S△ABC＝183,则a ＋b ＋csinA ＋sinB ＋sinC＝________,c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sinA ＋sinB ＋sinC ＝a sinA ＝63sin60°＝12,又S△ABC＝12bcsinA,∴12×12×sin60°×c＝183, ∴c＝6.答案：12 614．已知△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,a＝1,则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得,∠A＝30°,∠B＝60°,∠C＝90°,∴2R＝a sinA ＝1sin30°＝2,又∵a＝2Rsin A,b ＝2Rsin B,c ＝2Rsin C,∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sinB ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C＝2R ＝2.答案：215．在△ABC 中,已知a ＝32,cosC ＝13,S△ABC＝43,则b ＝________.解析：依题意,sinC ＝223,S△ABC＝12absinC ＝43,解得b ＝2 3.答案：2316．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c＝2,则此三角形有________组解．解析：∵bsinC＝43×12＝23且c ＝2,∴c<bsinC,∴此三角形无解．答案：017．如图所示,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正南偏向顺时针转到目的偏向线的程度转角)为140°的偏向航行,为了肯定船位,船在B 点不雅测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,不雅测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是若干？解：在△ABC 中,BC ＝40×12＝20,∠ABC＝140°－110°＝30°,∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°, 所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°, 由正弦定理得AC ＝BC·sin∠ABC sinA＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△A BC 中,a.b.c 分离为角A.B.C 的对边,若a ＝23,sin C 2cos C 2＝14,sinBsin C ＝cos2A2,求A.B 及b.c.解：由sin C 2cos C 2＝14,得sinC ＝12,又C∈(0,π),所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin Bsin C ＝cos2A2,得sin Bsin C ＝12[1－cos(B ＋C)],即2sin Bsin C ＝1－cos(B ＋C),即2sin Bsin C ＋cos(B ＋C)＝1,变形得 cos Bcos C ＋sin Bsin C ＝1,即cos(B －C)＝1,所以B ＝C ＝π6,B ＝C ＝5π6(舍去),A ＝π－(B ＋C)＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C,得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3,B ＝π6,b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中,A.B 为锐角,角A.B.C 所对应的边分离为a.b.c,且cos 2A ＝35,sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值;(2)若a －b ＝2－1,求a,b,c 的值．解：(1)∵A.B 为锐角,sin B ＝1010,∴cos B＝1－sin2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin2A ＝35,∴sinA＝55,cos A ＝255,∴cos(A＋B)＝cos Acos B －sin Asin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π,∴A＋B ＝π4.(2)由(1)知,C ＝3π4,∴sin C＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C得5a ＝10b ＝2c,即a ＝2b,c ＝5b.∵a－b ＝2－1,∴2b －b ＝2－1,∴b＝1. ∴a＝2,c ＝ 5.20．△ABC 中,ab ＝603,sin B ＝sin C,△ABC 的面积为153,求边b 的长．解：由S ＝12absin C 得,153＝12×603×sin C,∴sin C＝12,∴∠C＝30°或150°.又sin B ＝sin C,故∠B＝∠C.当∠C＝30°时,∠B＝30°,∠A＝120°.又∵ab＝603,a sin A ＝bsin B,∴b＝215.当∠C＝150°时,∠B＝150°(舍去)．故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中,假如BC ＝6,AB ＝4,cosB ＝13,那么AC 等于()A ．6B ．26C ．3 6D ．46 解析：选A.由余弦定理,得AC ＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中,a ＝2,b ＝3－1,C ＝30°,则c 等于() A. 3 B.2 C. 5 D ．2解析：选B.由余弦定理,得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2,∴c＝ 2.3．在△ABC 中,a2＝b2＋c2＋3bc,则∠A 等于() A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选D.cos∠A＝b2＋c2－a22bc ＝－3bc 2bc ＝－32,∵0°＜∠A＜180°,∴∠A＝150°.4．在△ABC 中,∠A.∠B.∠C 的对边分离为a.b.c,若(a2＋c2－b2)tanB ＝3ac,则∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a2＋c2－b2)tanB ＝3ac,联想到余弦定理,代入得cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝32·1tanB ＝32·cosB sinB .显然∠B≠π2,∴sinB＝32.∴∠B＝π3或2π3.5．在△ABC 中,a.b.c 分离是A.B.C 的对边,则acosB ＋bcosA 等于() A ．a B ．b C ．c D ．以上均不合错误解析：选C.a·a2＋c2－b22ac ＋b·b2＋c2－a22bc ＝2c22c＝c.6．假如把直角三角形的三边都增长同样的长度,则这个新的三角形的外形为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增长的长度决议解析：选A.设三边长分离为a,b,c 且a2＋b2＝c2. 设增长的长度为m,则c ＋m ＞a ＋m,c ＋m ＞b ＋m,又(a ＋m)2＋(b ＋m)2＝a2＋b2＋2(a ＋b)m ＋2m2＞c2＋2cm ＋m2＝(c ＋m)2,∴三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中,|AB →|＝4,|AC →|＝1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC →的值为()A ．2B ．－2C ．4D ．－4 解析：选A.S△ABC＝3＝12|AB →|·|AC →|·sinA＝12×4×1×sinA,∴sinA＝32,又∵△ABC 为锐角三角形, ∴cosA＝12, ∴AB →·AC →＝4×1×12＝2. 8．在△ABC 中,b ＝3,c ＝3,B ＝30°,则a 为() A. 3 B ．23C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中,由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB,即3＝a2＋9－33a,∴a2－33a ＋6＝0,解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角知足2B ＝A ＋C,且AB ＝1,BC ＝4,则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B＝A ＋C,A ＋B ＋C ＝π,∴B＝π3. 在△ABD 中, AD ＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB＝1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案：310．△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10,求最大角的度数．解：∵sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10, ∴a∶b∶c＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k,b ＝(3＋1)k,c ＝10k(k ＞0),∴c 边最长,即角C 最大．由余弦定理,得cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝－12, 又C∈(0°,180°),∴C＝120°.11．已知a.b.c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若a ＝4,b ＝5,S ＝53,则边c 的值为________．解析：S ＝12absinC,sinC ＝32,∴C＝60°或120°. ∴cosC＝±12,又∵c2＝a2＋b2－2abcosC,∴c2＝21或61,∴c＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4,则cos A∶cos B∶cos C ＝________.解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4,设a ＝2k(k ＞0),则b ＝3k,c ＝4k,cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k×4k ＝1116, 同理可得：cos A ＝78,cos C ＝－14, ∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中,a ＝32,cos C ＝13,S△ABC＝43,则b ＝________. 解析：∵cos C＝13,∴sin C＝223. 又S△ABC＝12absinC ＝43, 即12·b·32·223＝43, ∴b＝2 3.答案：2314．已知△ABC 的三边长分离为AB ＝7,BC ＝5,AC ＝6,则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中,cosB ＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝49＋25－362×7×5＝1935, ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B)＝7×5×(－1935) ＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分离是a.b.c,且面积S ＝a2＋b2－c24,则角C ＝________.解析：12absinC ＝S ＝a2＋b2－c24＝a2＋b2－c22ab ·ab 2＝12abcosC,∴sinC＝cosC,∴tanC＝1,∴C＝45°. 答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为持续的天然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1,k,k ＋1(k≥2,k∈N),则⎩⎪⎨⎪⎧ k2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4,∴k＝3,故三边长分离为2,3,4,∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78. 答案：7817．在△ABC 中,BC ＝a,AC ＝b,a,b 是方程x2－23x ＋2＝0的两根,且2cos(A ＋B)＝1,求AB 的长．解：∵A＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B)＝1,∴cos(π－C)＝12,即cosC ＝－12. 又∵a,b 是方程x2－23x ＋2＝0的两根,∴a＋b ＝23,ab ＝2.∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝a2＋b2－2ab(－12) ＝a2＋b2＋ab ＝(a ＋b)2－ab＝(23)2－2＝10,∴AB＝10.18．已知△ABC 的周长为2＋1,且sin A ＋sin B ＝2sin C.(1)求边AB 的长;(2)若△ABC 的面积为16sin C,求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1,BC ＋AC ＝2AB,两式相减,得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC·AC·sin C＝16sin C,得BC·AC＝13, 由余弦定理得cos C ＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝AC ＋BC 2－2AC·BC－AB22AC·BC ＝12, 所以C ＝60°.19．在△ABC 中,BC ＝5,AC ＝3,sin C ＝2sin A.(1)求AB 的值;(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中,由正弦定理AB sin C ＝BC sin A, 得AB ＝sinC sinA BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中,依据余弦定理,得cos A ＝AB2＋AC2－BC22AB·AC ＝255, 于是sin A ＝1－cos2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin Acos A ＝45, cos 2A ＝cos2A －sin2A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2Acos π4－cos 2Asin π4＝210. 20．在△ABC 中,已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab,且2cos Asin B ＝sinC,肯定△ABC 的外形．解：由正弦定理,得sin C sin B ＝c b. 由2cos Asin B ＝sin C,有cosA ＝sinC 2sin B ＝c 2b. 又依据余弦定理,得cos A ＝b2＋c2－a22bc ,所以c 2b ＝b2＋c2－a22bc, 即c2＝b2＋c2－a2,所以a ＝b.又因为(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab,所以(a ＋b)2－c2＝3ab,所以4b2－c2＝3b2, 所以b ＝c,所以a ＝b ＝c,是以△ABC 为等边三角形．。

正余弦定理练习题集含答案解析

在A ABC 中，o, b, c 分別是角A. B. C 所对的边，若^ = 105% 8=45% b=迈，则c=（ A. 1 C. 2在4 ABC 中，已知ZA=30°, Z 8=120% b=12,贝I] o+c= 在“ABC 中，o=2bcosC,贝仏ABC 的形状为 ___________ •在bABC 中，已知 a = 3y[2. cosC=p Sg=4晶则 b=_____________ . 在4 ABC 中，b=4品C=30°, c=2,则此三角形有 _________组解・如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140。

的方向航行，为了确泄船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110% 航行半小时后船到达C 点，观测灯塔人的方位角是65。

・则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少C C 1A18.在茲 ABC 中，0、b 、c 分別为角 A 、8、C 的对边，若 o=2{i» sin^cos^^^* sin Bsin C=cos 分求 A 、B 及 b 、c.19. （2009年高考四川卷）^A ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B. C 所对应的边分别为6 b 、G 且cos 2A= 壬，sinB=^^.⑴求A+B 的值：（2）若O —6=迈一1,求a, fa, c 的值.20. “ABC 中，ob=60{i, sinfi=sinC △ ABC 的面枳为 15© 求边 b 的长.1- 高一数学正弦定理综合练习题在AAfiC 中，Z 人= 45°, Z 6=60% 0 = 2, 2. 3. 已知 0=8, 6=60% C=75%B ・4羽 C. 角人、8、C 的对边分别为a 、 B ・ 135" 4. 在△ ABC 中， A. 4迈在4 ABC 中， A- 45°或 135° B ・ 135" C ・ 45° 在 A ABC 中，o: b: c=l: 5 : 6.贝 IJsiM: sinB : sinC 等于（）A. 1:5:6B. 6:5:1C. 6:1:5解析：选 A.由正弦定理知 sinA : sine : sinC=o : b : c=l : 5 : 6.则b 等于（）D. 2^6 则b 等于（） 4& b 、G A=60。

正弦定理余弦定理练习题及答案(供参考)

正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为B.D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为°°°°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.C.D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是△B.锐角△ C.钝角△ D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=+（-1） C.（+1）10.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为12.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于°°°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.C.+1D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于+cos2B+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A.B.C.D.20.在△ABC中，,则k为D.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C 和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC 的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1.2（-1） 23. 45°4. 85.等腰三角形6.：钝角三角形7.a=b sin A或b＜a8.60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13.120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶4=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大, 最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3 （2）C=45°,B=15°。

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正余弦定理综合
1.（2014天津）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知1
4
b
c
a ，2sin 3sin B
C ，则cos A 的值为_______.
2.（2014广东）.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知
b B
c C b 2cos cos =+，则
=b
a
. 3.已知ABC ∆的内角
21)sin()sin(2sin ,+
--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积
满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（） A.8)(>+c b bc B.)(c a ac + C.126≤≤abc D. 1224abc ≤≤ 4. （2014江苏）若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值
是。

5.（2014新课标二）钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )
A. 5
B. 5
C. 2
D. 1 6、（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训
练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线
移动，此人为了准
确瞄准目标点
，需计算由点
观察点
的仰角
的大小.若
则
的最大值。

（仰角为直线AP
与平面ABC 所成角）
7．(2011·天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,
2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为 ( )
A.33
B.36
C.63
D.66
8.（2014浙江）本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,3a b c ≠=，22cos -cos 3sin cos -3sin cos .A B A A B B = （I ）求角C 的大小；（II ）若4
sin 5
A =
，求ABC ∆的面积.
9、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b
2a ＋c .
(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
10、(2011·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝
p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝5
4，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的
取值范围．
11、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π
3，且△ABC
的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．
12、在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2
7
4sin cos222
A B C +-=．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．
正余弦定理综合
答案
1、解：1
4
2、2
3、A
4、
5、B
6 7、D
8、解：（I ）由题意得，
1cos 21cos 22222A B A B ++-=，
11
2cos 22cos 222
A A
B B -=-， sin(2)sin(2)66
A B ππ
-=-，由a b ≠得，A B ≠，又()0,A B π+∈，得
2266
A B ππ
π-+-=，即23A B π+=，所以3C π=；
（II ）由c =4sin 5A =，sin sin a c A C =
得8
5
a =，由a c <，得A C <，从而3
cos 5
A =，故
()4sin sin sin cos cos sin 10
B A
C A C A C +=+=+=
，
所以ABC ∆的面积为118sin 225
S ac B =
=． 9、解 (1)由余弦定理知： cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
，
cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab .
将上式代入cos B cos C ＝－b
2a ＋c
得：
a 2＋c 2－
b 22a
c ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b
2a ＋c ，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac .
∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12
.
∵B 为三角形的内角，∴B ＝2
3π.
(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2
3π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，
得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，
∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－1
2，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝33
4.
10、解 (1)由题设并由正弦定理，得⎩⎨⎧
a ＋c ＝5
4
，
ac ＝1
4，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝14，
c ＝1.
(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B
＝p 2b 2－12b 2－1
2b 2cos B ，
即p 2＝32＋1
2
cos B .
因为0<cos B <1，所以p 2∈⎝⎛⎭⎫
32，2，由题设知p >0，所以
6
2
<p < 2. 11、解 (1)∵c ＝2，C ＝π
3，
∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，
∴1
2
ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2－ab ＝4，
ab ＝4，
解得a ＝2，b ＝2.
(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，
即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，
∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，
当cos A ＝0时，∵0<A <π，
∴A ＝π
2
，△ABC 为直角三角形；
当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
12\解：（Ⅰ）∵ A 、B 、C 为三角形的内角， ∴ π=++C B A ．
∵ 三角形中角的大小关系
∴ …………2分
∴ 2
7)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C ．即 021
cos 2cos 22=+-C C ． ……4分
∴ 21cos =C ．又∵ π<<C 0 ， ∴ 3
π
=C ． …7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π
=
+B A ．∴ A A A sin 3
2cos cos 32sin
sin ⋅-⋅+=π
π)6sin(3cos 23sin 23π+=+
=A A A ．…10分 ∵ 320π<<A ，∴ 6566π
ππ<+<A ．
∴ 当2
6
π
π
=
+A ，即 3
π
=
A 时，
B A sin sin +取得最大值为3．…………13分。