正余弦定理综合习题及答案

正余弦定理综合

1.（2014天津）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知1

4

b

c

a ，2sin 3sin B

C ，则cos A 的值为_______.

2.（2014广东）.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知

b B

c C b 2cos cos =+，则

=b

a

. 3.已知ABC ∆的内角

21)sin()sin(2sin ,+

--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积

满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A.8)(>+c b bc B.)(c a ac + C.126≤≤abc D. 1224abc ≤≤ 4. （2014江苏）若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值

是 。

5.（2014新课标二）钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )

A. 5

B. 5

C. 2

D. 1 6、（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训

练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线

移动，此人为了准

确瞄准目标点

，需计算由点

观察点

的仰角

的大小.若

则

的最大值 。（仰角为直线AP

与平面ABC 所成角）

7．(2011·天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,

2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为 ( )

A.33

B.36

C.63

D.66

8.（2014浙江）本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,3a b c ≠=，22cos -cos 3sin cos -3sin cos .A B A A B B = （I ）求角C 的大小；（II ）若4

sin 5

A =

，求ABC ∆的面积.

9、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b

2a ＋c .

(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．

10、(2011·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝

p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝5

4，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的

取值范围．

11、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π

3，且△ABC

的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．

12、在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2

7

4sin cos222

A B C +-=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．

正余弦定理综合

答案

1、解：1

4

2、2

3、A

4、

5、B

6 7、D

8、解：（I ）由题意得，

1cos 21cos 22222A B A B ++-=，

11

2cos 22cos 222

A A

B B -=-， sin(2)sin(2)66

A B ππ

-=-，由a b ≠得，A B ≠，又()0,A B π+∈，得

2266

A B ππ

π-+-=，即23A B π+=，所以3C π=；

（II ）由c =4sin 5A =，sin sin a c A C =

得8

5

a =， 由a c <，得A C <，从而3

cos 5

A =，故

()4sin sin sin cos cos sin 10

B A

C A C A C +=+=+=

，

所以ABC ∆的面积为118sin 225

S ac B =

=． 9、解 (1)由余弦定理知： cos B ＝a 2＋c 2－b 2

2ac

，

cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab .

将上式代入cos B cos C ＝－b

2a ＋c

得：

a 2＋c 2－

b 22a

c ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b

2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac .

∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12

.

∵B 为三角形的内角，∴B ＝2

3π.

(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2

3π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，

得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，

∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－1

2，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝33

4.

10、解 (1)由题设并由正弦定理，得⎩⎨⎧

a ＋c ＝5

4

，

ac ＝1

4，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝14，

c ＝1.

(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B

＝p 2b 2－12b 2－1

2b 2cos B ，

即p 2＝32＋1

2

cos B .

因为0

32，2， 由题设知p >0，所以

6

2

3，

∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，

∴1

2

ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＋

b 2－ab ＝4，

ab ＝4，

解得a ＝2，b ＝2.

(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，

即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，