大学一年级上学期-微积分试题-9《微积分A》(上)期中试题
大一微积分练习题及答案
大一微积分练习题及答案《微积分（1）》练习题一．单项选择题1．设存在，则下列等式成立的有（）A．B．C．D．2．下列极限不存在的有（）A．B．C．D．3．设的一个原函数是，则（）A．B．C．D．4．函数在上的间断点为（）间断点。
A．跳跃间断点；B．无穷间断点；C．可去间断点；D．振荡间断点5．设函数在上有定义，在内可导，则下列结论成立的有（）A．当时，至少存在一点，使；B．对任何，有；当时，至少存在一点，使；D．至少存在一点，使；6．已知的导数在处连续，若，则下列结论成立的有（）A．是的极小值点；B．是的极大值点；C．是曲线的拐点；D．不是的极值点，也不是曲线的拐点；二．填空：1．设，可微，则2．若，则3．过原点作曲线的切线，则切线方程为4．曲线的水平渐近线方程为铅垂渐近线方程为5．设，则三．计算题：（1）（2）（3）（4）求（5）求四．试确定，使函数在处连续且可导。
五．试证明不等式：当时，六．设，其中在上连续，在内存在且大于零，求证在内单调递增。
《微积分》练习题参考答案单项选择题1．（B）2．（C）3．（A）4．（C）5．（B）6．（B）八．填空：（每小题3分，共15分）1．2．3．4．，5．，三,计算题：（1）（2）（3）（4）求（5）求又（九．试确定，使函数在处连续且可导。
（8分）解：，函数在处连续，（1）函数在处可导，故（2）由（1）（2）知十．试证明不等式：当时，（8分）证：（法一）设则由拉格朗日中值定理有整理得：法二：设故在时，为增函数，即设故在时，为减函数，即综上，十一．设，其中在上连续，在内存在且大于零，求证在内单调递增。
（5分）证：故在内单调递增。
大学一年级上学期-微积分试题-期末试卷A卷解答
………….5 分
再证： e−x2 ≤ 1
(x > 0)
1+ x2
亦即证：1 + x2 ≤ e x2
设 g(x) = ex2 − 1 − x2 ，则 g(0) = 0
………….7 分
g′(x) = 2xex2 − 2x = 2x(e x2 − 1) ≥ 0
………….8 分
当x > 0时, g(x)单增，⇒ x > 0时，有g(x) > 0.
−
y 2 )2 dy
−
π
1 y 4dy = 8 π
0
0
3
y x = y2
(1,1)
x = 2 − y2
(2,0) x
七、（8 分）解： f ′(x) = (x − 1)(x − 2)2 ，
令 f ′(x) = 0, 得驻点：x1 = 1, x2 = 2 ，列表
x
(−∞,1)
1
(1,2)
2
f ′(x)
0
t
………….7 分
∫ ∫ ∫ ∫ x
t+2
x+2
t+2
= [2 f (t) − f (s)ds]dt + [2 f (t) − f (s)ds]dt
0
t
x
t
∫ ∫ ∫ = F (x) + 2 x+2 f (t)dt −
x+2 t+2
[ f (s)ds]dt
x
x
t
∫ ∫ ∫ 2
x+2 2
= F (x) + 2 f (t)dt − [ f (s)ds]dt （由（1）的结论）
………….2 分
大学一年级上学期-微积分试题-期末试题A卷
课程编号：07000149 北京理工大学2008-2009学年第一学期2008级《微积分A 》期末试题A 卷班级 学号 姓名一、 填空（每小题3分，共30分）1. 极限=+→x x x sin 2)21(lim . 2. 不定积分 =++∫dx x xx )ln 1arctan (2 . 3. 函数的间断点是 ⎪⎩⎪⎨⎧>−=<−=1311113)(x x x x x x f ，是第 类间断点. 4. 设，则 )2tan(10x x y ==′y .5. 微分方程0=+′y y x 满足条件1)1(=y 的解是=y .6. 定积分=+++∫ππ−22523]cos )1ln([2dx x x e x x .7. 参数方程⎪⎩⎪⎨⎧−==ty t x 122所确定的函数的二阶导数=22dx y d .8. 广义积分=+∫∞+1)1(x x dx . 9. 设,1)()1ln(lim 220=+−+→xbx ax x x 则=a ，=b . 10. 设函数)(x y y =由方程1ln =+y xy 确定，则=′)0(y .二、（9分）求微分方程的通解.x x y y +=+′′2三、（9分）设函数，试讨论⎪⎩⎪⎨⎧≤>=∫00)(20x x x dt te x f x t )(x f 在点0=x 的连续性和可导性.四、（10分）证明：当0≥x 时，有221112x ex x +≤≤−−.五、（10分）设)(x f 是周期为2的连续函数.(1) 证明：对任意实数a 都有;)( )(202∫∫=+dt t f dt t f a a (2) 证明：是周期为2的周期函数.∫∫+−=x t t dt ds s f t f x F 02])()(2[)(六、（10分）设曲线，及)0(2>=y y x )0(22>−=y y x 0=y 围成一平面图形D.(1) 求平面图形D 的面积；(2) 求平面图形D 绕y 轴旋转一周而成的立体的体积.七、（8分）求函数的极值和它所表示的曲线的拐点的横坐标.dt t t x f x ∫−−=02)2)(1()(八、（8分）设已知跳伞运动员打开降落伞时，其速度为176m/s,假定空气阻力是v m 16千克力（其中是人伞系统的总质量），试求降落伞打开后m t 秒时的运动速度以及其极限速度.九、（6分）设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最小值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ′′′′=------------------------- 赠予 ------------------------【幸遇•书屋】你来，或者不来我都在这里，等你、盼你等你婉转而至盼你邂逅而遇你想，或者不想我都在这里，忆你、惜你忆你来时莞尔惜你别时依依你忘，或者不忘我都在这里，念你、羡你念你袅娜身姿羡你悠然书气人生若只如初见任你方便时来随你心性而去却为何，有人为一眼而愁肠百转为一见而不远千里晨起凭栏眺但见云卷云舒风月乍起春寒已淡忘如今秋凉甚好几度眼迷离感谢喧嚣把你高高卷起砸向这一处静逸惊翻了我的万卷 和其中的一字一句幸遇只因这一次被你拥抱过，览了 被你默诵过，懂了被你翻开又合起 被你动了奶酪和心思不舍你的过往和过往的你记挂你的现今和现今的你遐想你的将来和将来的你难了难了相思可以这一世。
微积分期中
微积分(上)期中模拟试卷(一)一、填空题 (每小题3分，共15分)1. 设⎩⎨⎧≥-<=0, 20, )(2x x x x x f ，则=-)]1([f f 。
2. =∞→xx x 21sin3lim 。
3. 函数23)3ln()(2+++=x x x x x f 的可去间断点为 。
4. 设xxx x f --+=11)(，则当补充定义=)0(f 时, )(x f 在0=x 处连续。
5. 设)(x f 在a x =处可导, 则=--→ha f h a f h )()2(lim 0___________ .二、选择题(每小题3分，共15分)1. 函数)(2x xf y =的图形关于（ ）对称。
(A) x 轴 (B) y 轴 (C) 原点 (D) 直线x y =2. 设⎩⎨⎧>≤=0,0,)(x x x x x f ，则)(x f 在点0=x 处（ ）。
(A) 无定义(B) 无极限(C) 不连续(D) 连续3. 设)(lim 0x f x x →存在, 则)(x f 在点0x 处（ ）。
(A) 必有定义(B) 必有定义, 但与极限值无关 (C) 可以没有定义(D) 函数值必须等于极限值.4. 若)(x f 在0x x =处可导，则)(x f 在0x x =处必（ ）. (A) 可导(B) 不可导(C) 连续(D) 不连续5. 0→x 时与x 等价的无穷小是（ ）.(A) x x +3 (B) 1sin 1-+x (C) )1e sin(-x (D) x cos 1-三、计算题(每小题6分，共48分)1. 求极限 )1ln()cos 1(1cossin 3lim2x x xx x x +++→ .2. 求极限 1e tan 1tan 1lim---+→xx xx .3. 求极限 xx x π)(coslim 0+→.4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 , 0 ,cos ln )(2x a x x xx f 在0=x 处连续，则=a .5. 设⎩⎨⎧<+≥+=0arctan 01 )(bx , x a x , x x f 在0=x 处可导，求常数b a ,。
大一上学期微积分练习题带答案
(A)连续；(B)可导；(C)可微；(D)连续、不可导.
20.若在 内 ，在 内， 且 ，则在 内有（）
（A） 且 ；（B） 且 ；
（C） 且 ；（D） 且 .答案C
21．若周期为4的函数 在 内可导且 ，则曲线
在点 处的切线斜率是（）
（A） ；（B）0；（C） ；（D） .答案(D)
11.当 时，若 ，则 之值一定为( ).
（A） ;( B ) 为任意常数;
( C ) 为任意常数;( D ) 为任意常数.答案：（B）
12.当 时，若 ，则 之值一定为().
（A） ;( B ) 为任意常数;
( C ) 为任意常数;( D ) 为任意常数.答案 （C）
13．设 在 上定义，在点 连续， ，则 是函数
（A） (B) (C) (D) 答案B
5．设函数 ， ，则 （）
(A) 0；(B) 1；(C) ；(D) 2.答案A
6.设 是偶函数， 是奇函数，则 是（）.
（A）奇函数 (B） 偶函数 (C)非奇非偶函数（D)不能确定答案B
7.若 ,则 ( ).
(A) ；(B) ；(C) ；(D) .答案(A).
32.设 ,下列命题中正确的是().
(A) 是极大值, 是极小值；(B) 是极小值, 是极大值；
(C) 是极大值, 也是极大值；(D) 是极小值, 也是极小值.答案：（B）
33.下列结论不正确的是（）
（A） ;(B) ;(C) ;(D) .答案：（C）
34.设 二阶可导, ,则 ().
(A) ；(B) ；(C) ；(D) .答(D).
答案： 在 上增，在 上减.
21．设某厂每月生产产品的总成本 是产量 的函数且 （元），若每单位
2019微积分期中模拟考试题(A卷)
2019年秋季学期基础学部大一学生模拟考试(A卷) 课程:微积分考试时间: 2019年11月日学号: 姓名:…………………………………………………………………………………………………………………选择题（每题1分，总分20分）1. 设f（x）在（a,b）内连续，且x0∈（a,b），则在点x0处（）A、f（x）的极限存在，且可导B、f（x）的极限存在，但不一定可导C、f（x）的极限不存在D、f（x）的极限不一定存在2. 当x→0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比另外三个更高阶的无穷小（）A、x1000B、1−cos xC、1−ln x4D、arc tan x3.limsinx√1−cosx3arctan(4√1−cosx3)=( )A、-4B、−12 C、2 D、144. 下列函数中在(-1,1)上满足罗尔定理的函数是（）A、y=|x|B、y=√x23 C、y=x3+1 D、y=x2+15. 若f(−x)=f(x) (-∞<x<+∞)，在(-∞，0)内有f′(x)>0 , f′(x)<0,则f(x)在(0,+∞)内有（）A、f′(x)>0，f′′(x)<0B、f′(x)>0，f′′(x)>0C、f′(x)<0，f′′(x)<0D、f′(x)<0，f′′(x)>06. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为（）A、3B、52 C、2 D、327. 设y=f(cos x)∙cos(f(x))，且f可导，则y′=（）A、f´(cos x)∙sin x∙sin(f(x))f′(x)B、f´(cos x)∙cos(f(x))+f(cos x)∙[−sin(f(x))]C、−f′(cos x)∙sin x∙cos(f(x))−f(cos x)∙sin(f(x))∙f′(x)D、f´(cos x)∙cos(f(x))−f(cos x)∙sin(f(x))∙f′(x)8.设函数y={√1−asin2x−bx2,x≠02,x=0在点x=0处连续，则a+b =（）A、-3B、3C、2D、-29. 设函数f(x)=|x3−1|φ(x),其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的（）A、充分必要条件B、必要但不充分条件C、充分但不必要条件D、既不充分又不必要条件10. f(x)与g(x)在R 有定义，f(x)连续且大于0，g(x)有间断点，则f(g(x))、g(f(x))、g(x)f(x)、f(x)g(x)中，必有间断点的函数个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、311. 函数f (x )=1x满足拉格朗日中值定理条件的区间是（ ） A 、[-2,2] B 、[1,2] C 、[-2,0] D 、[0,1]12. 设函数f(x)=lim n→∞√1+|x |3n n，则f(x)在(−∞,+∞)内（ ）A 、处处可导.B 、恰有一个不可导点.C 、恰有两个不可导点.D 、至少有三个不可导点. 13. 设函数y =f(x)具有二阶导数，且f ′(x)>0，f ″(x)>0，Δx 为自变量x 在x 0处的增量，Δy 与dy 分别为f(x)在点x 0处对应的增量与微分.若Δx >0，则（ ）A 、0<dy <ΔyB 、0<Δy <dyC 、Δy <dy <0D 、dy <Δy <0 14. 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是（ ） A 、若lim x→0f(x)x存在，则f (0)=0 B 、若limx→0f(x)+f(−x)x 存在，则f (0)=0C 、若limx→0f(x)x 存在，则f ′(0)存在 D 、若lim x→0f(x)−f(−x)x 存在，则f ′(0)存在 15. 设{x =sint y =tsint +cost （t 为参数），则d 2ydx 2|t=π4 =（ ）A.√2B.2C.4 D .√3 16. 函数f (x )=x 2−x x 2−1√1+1x2的无穷间断点的个数为（ ） A 、0. B 、1 C 、2. D 、3 17. 函数y =ln (1−2x )在x =0处的n 阶导数y (n )(0)=（ ）A 、2n (n −1)!B 、−2n n!C 、2n n!D 、−2n (n −1)!18. 设函数f (x )=(e x −1)(e 2x −2)………(e nx −n),其中n 为正整数，则f′(0)= （ ） A 、(−1)n−1(n −1)! B 、(−1)n (n −1)! C 、(−1)n−1n! D 、(−1)n n!19. 设f ′(x)在[a , b]上连续，且f ′(a)>0, f ′(b)<0，则下列结论中错误的是（ ）A 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) >f(a)B 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) > f(b)C 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f ′(x 0)=0D 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) =020. 下列关于数列{x n }的极限是a 的定义，正确的有（ ）个 ①对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ＞N 时，|x n −a |＜ε成立②对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ＞N 时，|x n −a |＜cε成立 c 为正常数 ③对于任意给定的正整数m ，存在正整数N,当n ＞N 时，|x n −a |＜1m成立 ④对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ≥N 时，|x n −a |＜ε成立 A 、2 B 、3 C 、1 D 、4基础学部百思堂 2019年11月2日参考答案1. B[解析] 由函数f （x ）在（a ，b ）内连续的定义知，lim x→x 0f (x )=f (x 0)，因此f （x ）在点x 0处的极限存在，但不一定可导如：f （x ）=|x|，在x =0处连续，但是不可导 2. C[解析] x1000与x 同阶，1−cos x 等价于x 22，1−ln x 4等价于−x 4，arc tan x 与x 同阶，所以c 为高阶无穷小3. D[解]lim sinx √1−cosx 3arctan(4√1−cosx 3)=lim sinx √1−cosx34√1−cosx3-lim 4√1−cosx3=lim x→0(e sinx −1)4(x 22)13+14-lim x→0sinx4(x 22)13=144. C5. C [解析] f(-x)=f(x)，则−f ′(−x )=f ′(x )所以，f 1(x )为奇函数，同理，f ′′(x )为偶函数，已知在(-∞，0)内有f ′(x )>0 , f ′′(x )<0则有χϵ(0,+∞)时f ′(x )<0，f ′′(x )<06. C[解析] ∵f （x ）=ax 2+bx+c∴f ′（x ）=2ax+b ，f ′（0）=b ＞0 ∵对任意实数x 都有f （x ）≥0∴a ＞0，c ＞0，b 2-4ac ≤0即 b 2≤4ac b ≤2√acf (1)f ′(0)=a+b+c b =1+a+cb≥1+2√acb≥1+bb =27. C[解析] 复合函数求导 导数的四则运算y`=[f(cosx)]`cos(f(x))+f(cosx)[cos(f(x))]`=f`(cosx)(-sinx)cos(f(x))+f(cosx)[-sin(f(x))]f`(x) =-f`(cosx)sinxcos(f(x))-f(cosx)sin(f(x))·f`(x) 8. A 9. A[解析] 若|x 3−1|φ(x)在x=1处可导，则lim h→0+|(1+h)3−1|φ(h)h= lim h→0−|(1+h)3−1|φ(h)h所以lim h→0+h 3+3h 2+3h h φ(h) = lim h→0−−h 3−3h 2−3hhφ(h) 所以必有lim h→0φ(x)=0若φ(x )=0 则lim h→0+|(1+h)3−1|φ(h)h= lim h→0−|(1+h)3−1|φ(h)h= 0所以，在1处可导所以，充要条件 10. B[解析] 对于f(g(x))， g(x)有间断点，但只要f(x)为常函数，则f(g(x))无间断点；对于g(f(x))，只要间断点小于等于0，因为f(x)＞0，则间断点无法取到； 对于g(x)/f(x)，f(x)>0，g(x)有间断点，则一定有间断点；对于第四个复合函数，仍然可以考虑常函数来举出反例 11. B 12. C[解析]当|x |<1时，f(x)=lim n→∞√1+|x |3n n=1；当|x |=1时，f(x)=lim n→∞√1+1n=1；当|x |>1时，f(x)=lim n→∞|x|3(1|x|3n+1)1n=|x |3.即f(x)={−x 3,1,x 3,x <−1,−1≤x ≤1,x >1. 可见f(x)仅在x=±1时不可导，故应选(C).13. A[解析]因为f ′(x)>0, 则f(x)严格单调增加f ″(x)>0,则f(x)是凹的又Δx >0,故0<dy <Δy 14. D[解析]本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
【清华】2012年大一上微积分期中考试
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b
x ≤ 0 在 (−∞,+∞) 内可导。 x>0
1
2.计算 lim ⎜⎛ π − arctan x ⎟⎞ln x 。
⎝ x→+∞ 2
⎠
3. 设 f ′′(x) 存在，且 f ′(x) ≠ 1,∀x ∈ (−∞,+∞) ，函数 y = y(x) 由方程 y = f (x + y) 确定， 求 y′ 与 y′′ 。
。
10. 设 y = ex + ln x (x > 0) ，则其反函数 x = x( y) 的导数 dx =
。
dy
11. 函数 f (x) = xex 的 n 阶导函数 (n ≥ 1) f (n) (x) =
。
12. 函数 f (x) = x4 − 2x2 + 5 在区间[−2,2] 上最大值为
13. 设 f (x) = x − sin x ，则 f ′(0) =
。
( ) 14. 曲线 y = (x + 1) 3 3 − x 在其上一点 (−1, 0) 的法线方程为
15. 曲线 y = 3 x3 + x2 + x +1 的渐近线方程为
。
。 。
二．计算题（每题 10 分，共 4 题）（请写出详细计算过程和必要的根据！）
1．确定 a,b
值使函数
f
(x)
=
⎧ sin ax ⎩⎨ln(1 + x) +
4．求 f (x) = x3 − 2x2 + x 的所有最大单调区间，上凸下凸区间，极大值点和极小值点，并画 出 y = f (x) 的图像示意图。
三．证明题（请写出详细的证明过程！）
微积分(上)期中试卷与参考答案
微积分（上）期中测验专业班级 学号 姓名 得分 一、填空：（每格3分，共33分）1. 因为0>∀ε，取==)(εδδ ，使得对于一切满足δ<-0x x 的x ，都有ε<-02cos 2cos x x 成立，故0 2cos 2cos lim 0x x x x =→。
2. 设0→x 时，x x e e sin tan -与n x 为同阶无穷小，则=n 。
3. 211)(+-+=x ex f 在区间______________上是上凹的。
4. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+>-+=0 , 0,1)1()(2x bxa x x x x f 在),(∞+-∞内连续可导，则⎪⎩⎪⎨⎧==。
，____________b a 5. 24)(x e x f x --=在)2,0(内的零点个数为________。
6. 13)(2-++=x x x x f 的斜渐近线为 。
7. 若1)1(-='f ,则=--+→kk f k f k )1()21(lim 0。
8. 若1])sh(4[lim 22=---∞→b xa x x ，则=a ，和=b 。
9. 设)()2)(1()(n x x x x x f +++= , 则=)0()(n f______________。
二、计算与证明：（共78分）1. )1ln()cos 1(2lim22x x xx e x x ---→ （8分）2．xx x x e cot arc 1lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→ （8分）3．设()e xxe f xy π++=)(arcsin cot 13, 求y '及dy （8分）4．设⎪⎩⎪⎨⎧-=+=ty tx arctan 1ln 2π, 求22,dx y d dx dy 以及在1=t 处的曲率半径 （8分） 5. 求由方程)ln()(2x y x y y x --=-所确定的函数)(x y y =的y '以及在)2,1(处的切线与法线方程 （8分）。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。
3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。
0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。
=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。
)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。
=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. 。
='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。
Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。
11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。
=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。
当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
大一上学期微积分期中试卷
大一上学期微积分期中试卷微积分期中试卷班级姓名1,cossinxx1设在区间(fxgx,,0，)内( )。
.()2,()()22,是增函数，是减函数fxgx()()fxgx是减函数，是增函数B()()C二者都是增函数二者都是减函数D2x20cossin、x,,时，与相比是( )exx,高阶无穷小,低阶无穷小,等价无穷小,同阶但不等价无价小1x,、,=,是函数,=(,-sinx)的( ),连续点,可去间断点,跳跃间断点,无穷型间断点,、下列数列有极限并且极限为,的选项为( ),1nnA X(1) B Xsin,,,,nnn211 Xcos,C X(1) ,,aDnnnna11d( =dx、)x1，122,0、求过点()的一条直线，使它与曲线y=相切。
这条直线方程为:x2432lnyx、求隐函数y，,的二阶导数:2xaxb，，lim2,,ab4、若则的值分别为:,21x,23xx，,nnn,,ab，lim5、,,,,,x,,2,,5、若在处取得最大值，则必有()f"() xx0A f'(x)0B f'(x)0,小于00C f'(x)0"(x)0D f"(xf'x,且小于f)不存在或()=00000一、填空题二、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小( )sinx2、在区间(，)是连续函数(),,，,limx,0x3、 f"(x)=0一定为f(x)的拐点()04、若f(X)在处取得极值，则必有f(x)在处连续不可导( ) xx000,15、设函数,(x)在上二阶可导且,,fxffCff'()0A'0B'(1),(1)(0),A>B>C( ),,,,,令()，则必有三、计算题122x1用洛必达法则求极限limxe ,x02xtt,,，ln(1),dy2 已知求,,232dxytt,，,42x求极限lim(cos)x3 ,x05x,13求的导数yx,,(31)4 x,23tanxdx5 ,求xxdxarctan6 ,237 将多项式P(x)=1+3x+5x-2x表示成(的正整数指数幂的多项式。
大学一年级上学期-微积分试题-微A9(1)期末试题(A)
课程编号：MTH17005 北京理工大学2009-2010学年第一学期2009级《微积分A 》期末试卷(A)一、填空（每小题4分，共28分）1. 极限=−−→x e e xx x sin lim 0 .设)1(x f e y =，f 为可微函数，则=dy .3. 不定积分∫=+dx xx tan 1cos 12 ; 定积分=∫ππ−dx x x 22sin .4. 设函数)(x y y =由方程确定，则012=−∫+−x y t dt e x =dx dy ,==0x dx dy.5. 微分方程的通解为 x xy y 24=+′.6. 曲线 在⎩⎨⎧=++=−+010)1(y te t t x y 0=t 处的切线方程为 , 法线方程为 .=+∫∞+221dx x x 7. 广义积分.二、（10分）已知⎩⎨⎧≥<+=0,arctan 0,1)(x x x x x f ，求 （1）的表达式；)11()()(1≤≤−=∫−x dt t f x F x （2）研究)(x F 在上的连续性和可导性.]1,1[−三、（9分）已知,sin 4lim )1(lim 0202x x dt t t b ax x x xx x −+=−−++∫→+∞→求常数的值. b a ,四、（9分）在曲线x y ln =上求曲率最大的点的坐标及曲率的最大值.五、（10分）设星形线的方程为, )20(sin cos 33π≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 求星形线的弧长; 求星形线所围的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.六、(10分) 设函数)(x y y =y 满足微分方程：，且其图形在点处的切线与曲线在该点的切线重合，求函数x e y y y 223=+′−′′)1,0(12+−=x x )(x y y =.七、（9分）已知)(x f 是连续函数，求证：∫∫−+=aa dx x a f x f dx x f 020)]2()([)( 并计算.cos 1sin 02∫π+dx x x x八、（9分）一容器内盛有10升盐水，其中含盐100克，今用3升/分的匀速将净水由A管注入容器，并以2升/分的匀速让盐水由B 管流出，求30分钟末容器内溶液的含盐量（假定溶液在任一时刻都是均匀的）.九、(6 分)设)(x f 在上连续，在内有二阶导数，且]2,0[)2,0(,01))(2ln(lim1=−+→x x f x ，证明：至少存在一点∫10(f =)0(x f )dx )2,0(∈ξ，使得0)()(=ξ′′+ξ′f f .------------------------- 赠予 ------------------------【幸遇•书屋】你来，或者不来我都在这里，等你、盼你等你婉转而至盼你邂逅而遇你想，或者不想我都在这里，忆你、惜你忆你来时莞尔惜你别时依依你忘，或者不忘我都在这里，念你、羡你念你袅娜身姿羡你悠然书气人生若只如初见任你方便时来随你心性而去却为何，有人为一眼而愁肠百转为一见而不远千里晨起凭栏眺但见云卷云舒风月乍起春寒已淡忘如今秋凉甚好几度眼迷离感谢喧嚣把你高高卷起砸向这一处静逸惊翻了我的万卷 和其中的一字一句幸遇只因这一次被你拥抱过，览了 被你默诵过，懂了被你翻开又合起 被你动了奶酪和心思不舍你的过往和过往的你记挂你的现今和现今的你遐想你的将来和将来的你难了难了相思可以这一世。
多元微积分期中考试试题A卷参考解答_.doc
2011年多元微积分期中考题A卷填空题(每空3分，共15空)(请将答案直接填写在横线上！)1.将定义在区间(0,兀)上的函数e，展成周期为2m的正弦级数，记S(x)为级数的和函数, 则S(O)= °2.lim ----- = 1/e才I x >3.设z = f(x+y,x-y),其中f e C(1)，则dz =(h+ f)dx +(九-九)曲=丁" =#(")〔Y工. e土J u|(w,v)=(x+y,x-y) J Jv| (w,v)=(x+y,x-j)a2z4.设z = x y ,则---- =x y~l(l+ yinx)dxdy5.方程xy + zlny-be yz = e在(0,1,1)点附近确定隐函数z = z(x, y),则臣■= -----^―-dx In y + ye y 注：如只计算偏导数兰在点(0,1,1)的值(- 1/e),仍算正确解答，得3分。
dx尤+ y + z = 06.设y = y(x), z = z(x)为由方程组＜x2y2z2确定的隐函数，c2y b2z ,—T +4 +-T =1[a b c则dy=曾dx a (c y-b z)注：所求导数也可写作也=一"?七? + *|。
dx a [c y + b (x+ 3^)]7.函数x+y2 + z3在点(1,1,1)处沿方向j的方向导数为28.函数x2 + y2在点(1,2)处函数值增大最快的方向为(2,4)9.设cos 伊cos。
，则它的 Jacobi 矩阵的行列式det°3")= -sin^cos^y = cos 伊sin。
10.参数曲面尤=〃 + v, v = uv,z = usinv在(以,v) = (1,0)处的切平面方程为y-z = 0x - y + 2z-6 2x-2y - z-2 x — 1 y + 2 z— 2 ~~T~ -4 -6 71 o 解答完11.曲线<x 2 + y 2 + z 2 = 6: ? 在点(1-1,2)处的切线方程为 z = x+y 12.曲面X 2 + 2/ + 3Z 2=21在点(1-2,2)处的法线方程为 13.曲面z = arc tan —在点[1,1,^ j 处的单位法向量为 ± 14. M 是曲线x = t,y = t 2,z = t 3_h 的一点，此点处切线平行于平面x + 2y + z = 4,则M点的坐标为(―1,1,—1)或6厂万'15.函数/(x, y) = e*(sin y + cos y)在(0,0)点的带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为2 21 工 ),22、l + x+ ^ + — + xy- — + o{x + y )二.计算题(每题10分，共40分)1.求函数f ⑴ T 一，—--的Fourier 级数，并求数项级数习 ---------------------- 的和。
大一上学期某校数学试卷和答案
一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=43939)(22x x x x x f 的定义域是（A ）；(A) )4,3[- (B) )4,3(- (C) ]4,3(- (D) )4,4(-2. 函数214y x=-的渐近线有（Ａ）； 3. 设函数)1,0()1(log 2≠>++=a a x x y a ,则该函数是(A)(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 既奇又偶函数4. 下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（A ）；5.若()f x =，则点2x =是函数()f x 的（Ｂ）；()A 左连续点 ()B 右连续点 ()C 驻点 ()D 极值点6. 已知点（1，3）是曲线23bx ax y +=的驻点，则b a ,的值是（B ）（A ） 9,3=-=b a （B ） 9,6=-=b a （C ） 3,3=-=b a （D ） 3,6=-=b a7. 当0x →时，下列函数极限不存在的是（C ）；8. 极限 =-→x x x 1ln lim 0（C ）；()1()0()1()A B C D -不存在9.下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（C ）； 10．若函数()f x 在点0x 处可导，则极限x x x f x x f xx ∆∆--∆+→2)2()2(lim000＝（C ）；11. 0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的函数是（C ）(A) x tan (B) )1ln(x + (c) x x sin - (D) x sin12.下列极限中，极限值为e 的是（Ｄ）；13. 若ln xy x=，则dy ＝（D ）； 14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）；15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2()x f x dx '⎡⎤=⎣⎦⎰（Ｄ）． 微积分题目二.计算题（每小题7分，共56分） 1.xex x y -+-=1121，求y '解：)11()1(1)()1(1122112'-+'-+-='+'-='--xex x x e x x y xx2112211222)1(1)1(1221x e x x e x x x xx--+-=--+--+-=-- 2. 求极限 xx x 12)1(lim+∞>- 解：1lim )1(lim 012lim)1ln(lim)1ln(12222=====++++∞→∞→∞→∞→e e e ex x xx x xx x xx x x 3. 求曲线1204=+-y x x y 在1=x 对应的点处的切线方程．解：0x =时，代入方程得 1y =；方程两边对x 求导得 020*******3='++-'y y x yx y ，将01x y ==与代入，得011x y y =='=， 故所求的切线方程为1y x -=，即1y x =+4. 设函数221()1ax x f x x bx -≥⎧=⎨-<⎩ 在1x =处可导，求常数a 和b 解：由已知()f x 在1x =连续，且21111lim ()lim()1lim ()lim(2)2x x x x f x x b b f x ax a --++→→→→=-=-=-=- 可得3b a =- ①又因()f x 在1x =处可导，且221111232(1)lim lim lim 1211(2)2()lim 1x x x x x b a x a a f x x x ax a f x a x -+++-→→→+→--+-+-+'===+=----+'==-又得2a = 代入① 得1b =故21a b ==5. 求函数2ln(14)y x =+的上凸区间、下凸区间与拐点．２分５分７分３分６分 ７分２分 ２分5分7分7分解：222288(14)1,,0,14(14)2xx y y y x xx -'''''====±++令得 列表讨论如下：6. 求 ⎰dx xx tan解：⎰⎰⎰+-=-==c x x d x x d xx dx xx cos ln 2cos cos 12cos sin 2tan7. 求 ⎰xdx e xsin解：⎰⎰⎰⎰-=-==x x x x x x xde x e xdx e x e xde xdx e cos sin cos sin sin sin⎰--=xdx e x e x e x x x sin cos sin 移项可得c e x x xdx e x x +-=⎰)cos (sin 21sin 8. 已知2xxe是(2)f x 的一个原函数，求()2x xf e dx -⎰22222222222222(2)()2(12)()(1)()(1)22()(1)(1)2(1)22222[(1)()]2[(1)]2222(2)(4)2x x x x xux x xx xx x x xx xf x xe e xe e x x xf u e u f e x x x x f e dx e e dx e dx de x x xe e d e e c x e c x e c ----------'==+=+∴=+∴=+∴=+=+=-+=-++-=-+++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰解：三.证明题（本题6分）设函数()f x 在区间[0,]c 上连续，其导数()f x '在(0,)c 内存在且单调减少，又(0)0f =，证明不等式：()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）２分７分6分６分2分7分2分4分7分5分7分 2分证明：0a =时，(0)0f = ()()()f a b f b fa f b∴+==+ 0a > 时，在区间[0,]a 和[,]b a b +上，()f x 满足拉格朗日定理条件，1122()(0)()()((0,)()()()()()((,)f a f f a f a a af b a f b f b a f b f b a b b a b aξξξξ-'∴==∈+-+-'==∈++-有有又()f x 在[0,]c 上单调减少，而12ξξ<21()()f f ξξ''∴<即()()()f b a f b f a a a +-<故有 ()()(f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）3分6分。
微积分（上）习题200题及答案
填空题：（30题）1.()___________2则20102sin 设函数设函数2=÷÷øöççèæîíì<£+<<-=p f x xx x x f f代入函数可得答案,220££p答案：412p+2._________的定义域是24函数2--=x x y即可得到答案且由02-04-2¹³x x答案：](()¥+È-¥-,22, 3.()[]()的定义域求,1,0的定义域是设2x f x fy =[]的范围，进而得到的范围是者函数由原函数定义域知道后x x 1,02 答案：[]1,1-4.()()()[]______则1,ln 1已知=+=+=x g f x x g x x f()()[][]()1ln 11,1++=+=+=x x f x g f x x g5.()()()x f d c b a dcx bax x f 1求反函数为常数,,,设-++= ()可知反函数,--,--,0--,a cy dyb x dy b x a cy b ax dy cxy d cx bax y ===+++=答案：acx dxb --6._________1sin lim 3310=®xx x答案：07.______sinlim =+¥®xx x x答案:是有界的由于x xxx x sin 1sin lim=+¥®8.()0______1lim 0>=-®a xa x x 答案:a a a xa x x x x ln 1ln lim 1lim 00==-®® 9.()_____1lim 1=-®x x x答案：1-e10._____则,22sin sin lim 若0==®m xmx x答案：411.()()_____则在其定义域内连续若函数011sin 00sin 1设=ïïïîïïïíì>+=<=k x f x x x x k x xx x f 解：因为()在其定义域内连续函数x f ，所以1sin lim k 0==®xx x12.()()_____的间断点是412函数+++=x x x y 答案：1-=x 13._____的连续区间是321函数2--=x x y答案：()()()¥+È-È-¥-,33,11,14.__________,则,14lim设21===+++-®b a b x ax x x 解：()34lim 145lim ,5,04lim 12121=+=+++===++-®-®-®x x x x b a ax x x x x 。
微积分期中A
n +1 1 1 + 。 n + 1
4 x + 3 y − 12a= 0,3 x − 4 y + 6a= 0
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9、计算 3 998.5 的近似值。 解： 3 998.5 =
3
= 3 x ， f '( x) 1000 − 1.5 ，设函数 f ( x) =
1 −2 1 ， x 3 , f '(1000) = 3 300
−
a 2 x ln a ⋅ arccos(a x ) 1 − a2x
dx
7、设 y = y ( x) ，由方程 sin( xy ) = ln
x+e 确定的隐函数。求 y '(0) 和 y ''(0) 的值。 y
3at x= 1+ t2 8、求曲线 t = 2 处的切线方程和法线方程。 2 在点 y = 3at 1+ t2
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1、 lim 2n sin
n →∞
x ( x ≠ 0) ； 2n
2、 lim
x →0
tan x − sin x ； sin 3 x
(e x − 1) − tan 2 3、 lim
x →0
2
x 1 + x 3 sin x 2 cos 3 x − 1
微积分(上)复习题
x0 x 0
x0 x
所以 f (0) lim g( x) cos 1 0 .
x0 x
x
32
8. 设函数 f ( x) 在[1，1] 上连续, g( x) f ( x)sin2 x ,
求 g(0) 。
解 g(0) lim g( x) g(0) lim f ( x)sin2 x
。
（A） 2(1 x2 )2 C （B） 2(1 x2 )2 C
（C） 1 (1 x2 )2 C （D） 1 (1 x2 )2 C
2
2
解
xf
(1
x2 )dx
1 2
f
(1
x2 )d(1
x2)
1 (1 x2 )2 C . 2
选(D).
27
三、计算题
1.
求极限
lim
.
3
解 y 2arcsin x , x sin y ,
3
3
2
x 3sin y , f 1( x) 3sin x .
2
2
3.
若
f
(x)
1 x2 , x 1 ,则 f ( f (0))
x 1, x 1
.
解 f (0) 1 , f ( f (0)) 0 .
3
4.
设
f (x)
以上论断正确的是（ C ）。
（A）Ⅲ （B）Ⅰ,Ⅲ （C）Ⅱ,Ⅲ （D）Ⅰ,Ⅱ
14. 如果 f ( x) 的导函数是sin x ，则 f ( x) 的一个
原函数是（ C ）。
（A） 1 sin x （C） 1 sin x
（B）1 cos x （D）1 cos x
的一个原函数，则下式中
大一微积分试题
大一微积分试题1. 求函数$\displaystyle f( x) = x^{2} - 2x + 1$在区间$\displaystyle [ 0,2]$上的定积分。
解析：我们首先对函数$\displaystyle f( x)$进行积分，得到$\displaystyleF( x) = \dfrac{x^{3}}{3} - x^{2} + x$.然后，我们计算上下限值$\displaystyle F( 2) = \dfrac{2^{3}}{3} -2^{2} + 2= \dfrac{8}{3} - 4+ 2= \dfrac{2}{3}$和$\displaystyle F( 0) =0^{3} - 0^{2} + 0= 0$.根据定积分的定义，我们可以计算出$\displaystyle f( x)$在$\displaystyle [ 0, 2]$上的定积分为$\displaystyle \int _{ 0}^{ 2}( x^{2} - 2x + 1) dx=\displaystyle [ \dfrac{2}{3}] ^{ 2} - \dfrac{1}{3}[ 2^{ 3} - 2x^{2} + 2] = \dfrac{2}{3} - \dfrac{8}{3} + 8- 4+ 2= \dfrac{2}{3}$。
因此，函数$\displaystyle f( x) = x^{2} - 2x + 1$在区间$\displaystyle [ 0, 2]$上的定积分为$\displaystyle \dfrac{2}{3}$。
2. 求函数$\displaystyle g( x) =\sqrt{ 1- x^{2}}$在区间$\displaystyle [ - 1, 1]$上的定积分。
解析：首先，我们将$\displaystyle g( x)$写成指数形式，得到$\displaystyle g( x) = ( 1- x^{2})^{ 0.5}$。
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并求
lim
n→∞
xn
.
七、（9分）试利用泰勒公式确定当 x → 0 时，无穷小 1 − x2 − cos x2 的阶，并写
出其最简形式的等价无穷小.
x2 + y2 =1
八、（9分）在椭圆
4 的第一象限部分求一点 P 的坐标，使 P 点处的切线
与两坐标轴所围三角形的面积最小.
九、（9分）设
f
(x) 在[0 ,
=
.
3 ． 设 函 数 y = y(x) 由 方 程 y − 2x = (x − y) ln(x − y) 确 定 ， 则
y′ =
， y′(0) =
.
4． x → 0 时， ln(1 − 2x) = ax + bx2 + o(x2 ) ，则 a =
，b =
.
lim(sin 2 + cos 1)n =
5．数列极限 n→∞ n
n
.
⎧ f (x) = ⎨
x2
x≤3
6．设函数
⎩ax + b x > 3在 x = 3 处可导，则 a =
，b =
.
y = x2 , 7．设 1 − x
则 y(n) =
.
⎧ x = 1−t ⎨ 二、（9分）设 ⎩ y = arcsin
t
，求
dy d 2 y dx , dx2 .
课程编号：MTH17005
北京理工大学2009-2010学年第一学期
2009级《微积分A》期中试卷
一、填空（每小题4分，共28分）
1． 设 y = 2 f (arctan x ) + xtan x ，2． f 为可微函数，3．
则 dy =
.
lim⎜⎛ 2．极限 x→0⎝
1 x2
−
1 ⎟⎞ x tan x ⎠
f (x)
= 1+ 2x2 x
+1
的性态.
Hale Waihona Puke 即求：(1)函数f (x) 的
单调区间和极值； （2） f (x) 的凹凸区间和曲线 y = f (x) 的拐点；（3）曲线
y = f (x) 的渐近线.（注：请列表讨论）
六、（9分）设 x1 = 3, xn+1 = 3 + xn , (n = 1,2,L), 证明数列{xn}极限存在，
0<
三、（9分）证明：当
x1
<
x2
<
π tan x2 2 时， tan x1
>
x2 . x1
1
f
(
x)
=
⎪⎧ ⎨
x
2
sin
1 x
,
x≠0
四、（9分）设函数
⎪⎩ 0,
x =0，
(1)求 f ′(x) ; （2）讨论 f ′(x) 在 x = 0 处的连续性。若不连续，请指明间断点
的类型.
五、（9分）试利用导数研究函数
1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且
f
(0) =
f
(1)
=
0
f
，
(1) = 1, 2
试证：（1）至少存在一点
η∈
(1 2
,1),
使得
f
(η)
=
η
；
（2）对任意实数 λ ，必存在 ξ ∈ (0 , η), 使得 f ′(ξ) − 1 = λ[ f (ξ) − ξ].
2
------------------------- 赠予 ------------------------
【幸遇•书屋】
你来，或者不来 我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至 盼你邂逅而遇
你想，或者不想 我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔 惜你别时依依
你忘，或者不忘 我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿 羡你悠然书气
人生若只如初见 任你方便时来 随你心性而去 却为何，有人
为一眼而愁肠百转 为一见而不远千里
晨起凭栏眺
但见云卷云舒 风月乍起
春寒已淡忘 如今秋凉甚好
几度眼迷离
感谢喧嚣 把你高高卷起 砸向这一处静逸 惊翻了我的万卷 和其中的一字一句 幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了 被你默诵过，懂了
被你翻开又合起 被你动了奶酪和心思
不舍你的过往 和过往的你
记挂你的现今 和现今的你
遐想你的将来 和将来的你 难了难了
相思可以这一世