斜率乘积为定值的问题探究(安金龙)

斜率乘积为定值的问题探究

【教学目标】

会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用． 【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学过程】

一．基础知识、基本方法梳理

问题1．已知AB 是圆O 的直径，点P 是圆O 上异于A ，B 的两点，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1.k 2= .

问题2．（类比迁移1）点P 是椭圆上22

143

x y +=上异于长轴端点以外的任一点，A 、B 是该

椭圆长轴的两个端点，直线P A ,PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2= .

问题3.（引申拓展1）求证：椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连

线斜率之积为2

2b a

-．

问题4.（引申拓展2）设 A 、B 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上关于原点对称的两点，点P

是该椭圆上不同于A ，B 的任一点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2是否为定值？并给予证明．

问题5.（类比迁移2）设 A 22

221(0)x y a b a b

-=>>不同于A ，B 的任一点，直线P A ,PB 否为定值？并给予证明．

知识梳理：

结论1.设 A 、B 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同

于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则2

122b k k a

=-．

结论2.设 A 、B 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线

上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则2

122b k k a

=．

友情提醒：以上两结论在解决填空题的时候，在你确保结论没记错的前提下，你可任性地使用；但：

在解决解答题的时候，若要用到该结论，不可任性，需要进行简单的证明，否则，受伤的只是你。

二．基础训练

1.(2012天津理19改编)设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、

右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为12

-，则椭圆的离心率为 .

解析：利用k AP ·k BP ＝22b a

-，很快可以得到椭圆的离心率为2

2.

2.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，F 1,F 2分别为椭圆

22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D .若cos ∠F 1BF 2＝7

25

，则直线CD 的斜率为 ．

解析：由已知可得2

1227cos cos 2cos 125FOF OBF ∠=∠-=

，所以24cos 5b

OBF a

∠==，所以35c a =，又因为BD b

k c =-，且BD CD k k ⋅=2

2b a

-，所以2

2CD b b k c a -⋅=-，所以4312

5525

CD b c k a a =

⋅=⋅=． y x

B A

P

O

3.（2016如东月考）已知椭圆2

2:12x C y +=

125,,

,M M M 为其长轴AB 的6为(0)k k ≠的一组平行线，交椭圆C 于点1210,,,P P P ,条直线1AP ,210,

,AP AP 的斜率的乘积为 1

32

-

．变式.（吓吓你）已知椭圆2

2:12

x C y +=，点122017,M M 点，分别过这2017个点作斜率为(0)k k ≠的一组平行线，交椭圆C 于点124034,,,P P P ,则这4034

条直线1AP ,2344034,,,

,AP AP AP AP 的斜率的乘积为 ．

4.（2011江苏18改编）如图3，已知椭圆方程为2

42

2+y x 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 率为k ，对任意0k >，

求证：PA ⊥PB ．

分析：可以转化为证明K PA K PB =-1，注意到K AB K PB =22b a -=1

2

-法一：由题意设0000110(,),(,),(,),(,0)P x y A x y B x y C x --则，

A 、C 、

B 三点共线，

0101

10010,2y y y y x x x x x +∴==-+又因为点P 、B 在椭圆上，222200111,14242x y x y ∴+=+=，两式相减得：

01012()PB x x k y y +=-+，00110010011001()()

[]12()()()

PA PB y x x y y x x k k x y y x x y y +++∴=-=-=-+++，PA PB ∴⊥．

法二：设112200111(,),(,),A,B N(x ,y ),P(-,),C(-,0)A x y B x y x y x -中点则,

A 、C 、

B 三点共

线，2211

21211,2AB y y y y k x x x x x -∴

===+-又因为点A 、B 在椭圆上,222222111,14242

x y x y ∴+=+=,