勾股定理中的易错题辨析

勾股定理易错题

一、审题不仔细，受定势思维影响

例1 在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且2()()a b a b c +-=，则（ ）

（A ）A ∠为直角 （B ）C ∠为直角 （C ）B ∠为直角 （D ）不是直角三角形

错解：选（B ）

分析：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为C ∠，因而有同学就习惯性的认为C ∠就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为222a b c -=，即222a b c =+，因根据这一公式进行判断.

正解：222a b c -=，∴222a b c =+.故选（A ）

例2 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.

错解：5==.

分析：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边.

正解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长为

5==；

（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为

=二、概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理

例3 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）

（A ）1、2、3 （B ）2223,4,5 （C （D 错解：选（B ）

分析：未能彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足222a b c +=的形式.

正解：因为222

+=，故选（C ） 例4 在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60︒方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，

甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？

错解：甲船航行的距离为BM=8216⨯=（海里），

乙船航行的距离为BP=15230⨯=（海里）.

34=（海里）且MP=34（海里）

∴△MBP 为直角三角形，∴90MBP ∠=︒，∴乙船是沿着南偏东30︒方向航行的.

分析：虽然最终判断的结果也是对的，但这解题过程中存在问题.勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需对三角形做出判断，判断的依据是勾定理的逆定理.其形式为“若222a b c +=，则90C ∠=︒.错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念，导致错误运用.

正解：甲船航行的距离为BM=8216⨯=（海里），

乙船航行的距离为BP=15230⨯=（海里）.

∵22216301156,341156+==，∴222BM BP MP +=，

∴△MBP 为直角三角形，∴90MBP ∠=︒，∴乙船是沿着南偏东30︒方向航行的.