《概率论》PPT课件

P( X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn ), xi R, i 1, 2,, n.
对于固定的 n ，我们称 {FX ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ), ti T} 为随机过程 { X (t ), t T } 的 n 维分布函数族。 注:可以证明（柯尔莫哥洛夫），在一定条件 下，随机过程的统计特性完全由它的有限维分布 函数族决定。
例 1 抛掷一枚硬币的试验，样本空间是 {H , T } ， 现籍此定义
cos t X (t ) t 当出现H 当出现T t (, )
其中 P( H ) P(T ) 1/ 2 。对任意固定的 t ，X (t ) 是一 定义在 上的随机变量；对不同的 t ， X (t ) 是不同 的随机变量，所以 {X (t ), t (, )} 是一族随机变 量，即他是随机过程。
如何描述这样的变化过程?
1. 如果对其变化过程的全过程做一次观察,得到 一个位置与时间关系的函数x1(t ),若再次观察， 又得到函数x2(t ),… ,因而得到一族时间函数. 2. 如果在时刻t观察质点的位置x(t ),则x(t )是一 个随机变量,这样对于每个时刻t便得到一个随 机变量X(t ),于是我们就得到一族随机变量 {X(t),t≥0},（最初始时刻为t=0）,它描述了此随 机的运动过程。
诸数字特征的关系：
2 X (t ) RX (t , t ),
C X ( s, t ) RX ( s, t ) X ( s) X (t )
2 2 X (t ) CX (t , t ) RX (t , t ) X (t )
2．二个随机过程的情况
① ②
RXY (t , s) E[ X (t )Y (s)], t , s T
（ 2 ） 如 果 对 任 意 的 正 整 数 n, m ， 任 意 的 数 组 , t2 ,, tm T ， n 维 随 机 变 量 t1 , t2 ,, tn T ; t1 ( X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )) 与 m 维 随 机 变 量
), Y (t2 ),, Y (tm )) 相互 独立， 则称 随机过 程 (Y (t1 X (t ) 和 Y (t ) 是相互独立的。
引例:(热噪声电压)电子元件或器件由于内 部微观粒子（如电子）的随机热骚动所引起的端 电压称为热噪声电压，在无线电通讯技术中，接 收机在接收信号时， 机内的热噪声电压要对信号 产生持续的干扰，为要消除这种干扰（假设没有 其他干扰因素） ，就必须考虑热噪声电压随时间 变化的过程， 现以电阻的热噪声电压为例说明这 种变化过程的描述方法， 我们通过某种装置对电 阻两端的热噪声电压进行长时间的测量， 并把结 果记录下来，作为一次试验结果，便得到一个电 V1 (t ) , 压-时间函数 （即电压关于时间 t 的函数） 如图
④ C X ( s, t ) Cov( X ( s), X (t ))
E[ X ( s) X ( s)][X (t ) X (t )]
为{X(t),tT}的自协方差函数.
⑤ RX (t , s) E[ X (t ) X (s)] 为{X(t),tT}的自相关函数.
为 X (t ) 和 Y (t ) 的互相关函数
CXY (t, s) E{[ X (t ) X (t )][Y (s) Y (s)]}
RXY (t, s) X (t )Y (s)
t , s T
为 X (t ) 和 Y (t ) 的互协方差函数 ③ 若对于任意的 s, t T , RXY (t , s) 0 称 X (t ) 和Y (t ) 正交
例3: 考虑抛掷一颗骰子的试验，(i)设 X n是第n次 （n 1）抛掷的点数，对于n=1,2…的不同值, X n是
不同的随机变量，因而 { X n , n 1} 构成一随机过程，
称为贝努利过程或贝努利随机序列，(ii)设Xn是前
n次抛掷中出现的最大点数，
过程。
{ X n , n也是一随机 1}
（3）随机过程就是一族随机变量。随机过程 可以看成是多维随机变量的延伸。
（4） 随机过程 { X (t ), t T } 中参数 t 通常解释 为时间集。但参数 t 可以表示为其它的量， 例如序号，距离等等. 一般常用的参数有： （ i ）T N0 {0,1,2,} ； （ ii ）T {0,1,2,} ； （ iii ）T [a, b] ，其中 a 可以取 0 或 ，b 可 以取 。当参数取可列集时，一般称随机 过 程 为 随 机 序 列 。 此 时 常 记 成 { X n , n 0,1, 2,} 。
例 5 英国植物学家 Brown 发现漂浮在液面上的微 小粒子不断地进行大量无规则运动，这种运动是 分子大量随机碰撞的结果，称为 Brown 运动，以
X (t ) 表示粒子在平面上的横坐标的位置，则它是
平面上的 Brown 运动。
二 随机过程的概率分布
（一）随机过程的分布函数族
1.一维分布函数族
给定随机过程 { X (t ), t T } 对 于每一个固定的 t T ， 随机变量 X (t ) 的分布函数一般与 t 有关， 记为
例 4 在时间 [0,t] 内某地段出现的交通事故次数
X (t ) ,它是一个随机变量， 且对于不同的 t 0 ，X (t )
是不同的随机变量。于是， { X (t ), t 0} 是一个随机 过程，且他的状态空间是 I {0,1, 2,} 。记 Wn 是第 n 次事故发生的时间，则 Wn 也是一个随机过程。
) y1 , Y (tm ) ym} P{X (t1 ) x1,, X (tn ) xn , Y (t1
为 {( X (t ), Y (t )), t T } 的 n m 维分布函数或随机过程 X (t ) 与 Y (t ) 的 n m 维联合分布函数。 类似的可定义 有限维分布函数族。
图7-1
它在任一确定时刻的值是随机变量.显然这 个随机过程的状态空间为 (, )。
我们称这种随时间的进展而变化与发展的随 机现象为随机过程。
定义 1 设 E 是一随机实验 ,样本空间为 {} ， 参数 T (, ) ,如果对每个 ,总有一个确 定的时间函数 X (, t ) 与之对应 , 这样对于所有的 ,就得到一族时间 t 的函数 ,我们称此族时 间 t 的函数为随机过程 ,而族中每一个函数称为这 个随机过程的样本函数。 定义 2：设 E 是一随机实验，样本空间 {} ，参 数 T (, ) , 如果对任意 t T ，有一定义在Ω上 的随机变量 X (, t ) 与之对应,则称 {X (, t ), t T } 为随 机过程，简记为 { X (t ), t T } 或 { X (t )} ,也可记为 X (t ) .
随机过程及其统计描述
随机过程的基本概念
随机过程的分类 泊松过程
7.1 随机过程的基本概念
一 引言 现实世界中的许多现象是随时间的进展而变化 与发展的，这些现象通常称为过程。可分为两类： (1)确定性的变化过程： (2)不确定的变化过程： 如果质点在一个随机的力（它由各种随机因 素形成）的作用下，那么质点的运动也是随机的。
注释： (1) 随机过程 { X (t ), t T } 是定义在Ω×T上的二元函 数，因此可以从两个角度去理解, 因而有如上的两 个定义。 在理论分析往往用随机变量族的描述方式，在 实际测量和处理中往往采用样本函数族的描述方式
(2) 通常将随机过程 { X (t ), t T } 解释为一个物理系 统 , X (t ) 表示系统在时刻 t 所处的状态 , X (t ) 的所 有可能状态所构成的集合称为状态空间，记为 I， 对于给定的 t0 T ，及 x I , X (t0 ) x 说成是在时 刻 t 0 ，系统处于状态 x 。
第七章 随机过程及其统计描述
在概率论中主要研究一个或有限个随机 变量,即一维或者n维随机变量(随机向量), 随着科学技术的发展,往往需要接连不断的 观察或研究随机变量的变化过程,这就要同 时考虑无穷多个随机变量,或者说一族随机 变量,随机过程这是在这种要求下,于上世纪 产生并发展起来的一个数学分支,它是研究 随机现象变化过程的规律性的理论.目前以 广泛应用于许多现代科学技术领域之中.
（二）二维随机过程的联合分布函数
1．定义：
设 X (t ), Y (t ) 为定义在同一样本空间Ω和同一参 数集 T 上的随机过程，对于任意 t T ，若 ( X (t ), Y (t )) 是 二维随机变量，则称 {( X (t ), Y (t )), t T } 为二维随机过 程。
2．有限维分布函数和独立性
(1) {( X (t ),(Y (t )), t T } 为二维随机过程 ,对于任意的 , t2 ,, tm T ， 正整数 n 和 m ,以及任意的 t1 , t2 ,, tn ; t1 称 n m 元函数
, t2 ,, tm ) F ( x1, x2 , xn ; t1, t2 ,, tn : y1, y2 ,, ym ; t1
2 (1, ) 2
1 2
1 (0, ) 4
1 2
p
三 随机过程的数字特征
1.单个随机过程的情况
① 函数
X (t ) E[ X (t )], t T
为{X(t),tT}的均值函数. 2 2 ( t ) E [ X (t )] ② X 为{X(t),tT}的均方值函数.
③
2 X (t ) DX (t ) D[ X (t )] 为{X(t),tT}的方差函数.
p
1 1 2
0
1 2
1 X( ) 4
p
1 2
2 2
1 4
1 2
0, x 0, 1 F ( x , 0) , 0 x 1, 2 1, x 1.
1 ( X (0), X ( )) 4
1 0, x , 4 1 1 2 1 F ( x, ) , x , 4 2 2 4 2 . 1, x 2
FX ( x, t ) P{X (t ) x}, x R
称他为随机过程 { X (t ), t T } 的一维分布函数，而 {Fx ( x, t ), t T} 称为一维分布函数族。
2. n维分布函数族
对 任 意 正 整 数 n 可 取 定 t1 , t2 ,, tn T 则 ( X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )) 是一个 n 维随机变量，他的分 布函数为 FX ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn )
例 6 求例1中的随机过程的一维分布函数
1 F ( x , 0), F ( x , ) 4
和二维分布函数
cos t
1 2
1 F ( x , y , 0, ) 4
解：对任意实数 t R, 有
X (t )
t
1 2
1 X( ) 4
p
特别的
X (0)
p
1 1 2
0
1 2
p
1 2
2 2
Байду номын сангаас
1 4
1 2
X (0)
另一方面，做一次试验，若出现 H ，样本函数 x1 (t ) cos t ;若出现 T ，样本函数为 x2 (t ) t ，
所以该随机过程对应的一族样本函数仅含 两个函数：{cos t, t} 。显然这个随机过程的 状态空间为 (, ) .
例 2 一醉汉在路上作随机游动， 以 p 的概率向右迈 一步，以 q 的概率向左迈一步，以1 p q 的概率 在原地不动，选定某个初始时刻，若以 X n 记他在 时刻 n 的位置，则 X n 就是直线上的随机序列。