相似三角形基本模型

模型构建：相似三角形的基本模型的构建类型一：“A”字型1．(盘锦中考)如图，已知△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，点D 在边AB 上，且△ACD ＝△B ，则线段AD 的长为 ．解析：952．(佛山中考)如图，在Rt△ABC 中，AB ＝BC ，△B ＝90°，AC ＝10 2.四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形(点D 、E 、F 在△ABC 的边上)．则此正方形的面积是 .解析：在Rt △ABC 中，AB 2＋BC 2＝AC 2.∵AB ＝BC ，AC ＝102，∴2AB 2＝200，∴AB ＝BC ＝10.设EF ＝x ，则AF ＝10－x .∵EF ∥BC ，∴△AFE ∽△ABC ，∴EF BC ＝AF AB ，即x 10＝10－x10，∴x ＝5，∴EF ＝5，∴此正方形的面积为5×5＝25.3．如图△，AB △BD ，CD △BD ，垂足分别为B 、D ，AD 和BC 交于点E ，EF △BD ，垂足为F ，我们可以证明1AB ＋1CD ＝1EF 成立，若将图△中的垂直改为斜交，如图△，AB △CD ，AD 与BC交于点E ，过点E 作EF △AB 交BD 于F ，则1AB ＋1CD ＝1EF 还成立吗？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．解析：成立．证明如下：∵AB ∥EF ∥CD ，∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ， ∴EF AB ＝DF DB ，EF CD ＝BF DB ，两式相加得EF AB ＋EF CD ＝DF DB ＋BFDB ＝DF ＋BF DB ＝DB DB＝1， 等式两边同除以EF 得1AB ＋1CD ＝1EF.类型二：“X”字型4．如图，已知AB△CD，AD与BC相交于点O，AO△DO＝1△2，那么下列式子正确的是（）A．BO△BC＝1△2 B．CD△AB＝2△1C．CO△BC＝1△2 D．AD△DO＝3△1解析：B5．(安顺中考)如图，△ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3△2 B．3△1 C．1△1 D．1△2解析：D类型三：旋转型6．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，△A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB上，A′B′交AC于F，则图中与△AB′F相似的三角形有(不再添加其他线段)（）A．1个B．2个C．3个D．4个解析：D7．如图，在△ABC和△ADE中，△BAD＝△CAE，△ABC＝△ADE.(1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线)；(2)请分别说明两对三角形相似的理由．解析：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；(2)①△ABC∽△ADE.理由如下：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.又∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE；②△ABD∽△ACE.理由如下：∵△ABC∽△ADE，∴ABAD＝ACAE，∴ABAC＝ADAE.又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.类型四：垂直型8．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，CD△AB于点D，则图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对解析：C9．如图，四边形ABCD中，AD△BC，△B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(△A、△B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（）A.15 B．215 C.17 D．217解析：∵AD∥BC，∴∠ADF＋∠FCB＝180°.根据折叠前后的图形全等得到DF＝DA＝3，∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，∠DFE＝∠EFC＝90°，∴∠FDE＝∠FEC，∴△DEF∽△ECF，∴EFCF＝DFEF，∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，∴EF＝15.故选A.10．如图，矩形ABCD中，M是BC边上且与B、C不重合的点，点P是射线AM上的点，若以A、P、D为顶点的三角形与△ABM相似，则这样的点有个．解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD ，∴∠DAP ＝∠AMB .①DP ⊥AM 于P 时，两三角形相似；②P 为AM 与DC 延长线的交点时，两三角形相似．故这样的点有2个．11．△(宿迁中考)如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为 ．解析：根据“垂线段最短”，得PM 长的最小值就是当PM ⊥AB 时PM 的长．∵直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，∴令x ＝0，得y ＝－3，∴点B 的坐标为(0，－3)，即OB ＝3.令y ＝0，得x ＝4，∴点A 的坐标为(4，0), 即OA ＝4，∴PB ＝OP ＋OB ＝4＋3＝7.在Rt △AOB 中，根据勾股定理得AB ＝OA 2＋OB 2＝42＋32＝5.在Rt △PMB 与Rt △AOB 中，∵∠B ＝∠B ，∠PMB ＝∠AOB ，∴Rt △PMB ∽Rt △AOB ，∴PM OA ＝PB AB ，即PM 4＝75，解得PM ＝285.类型五：一线三等角型12．(蜀山区月考)如图，AB △BD ，ED △BD ，C 是线段BD 的中点，且AC △CE ，ED ＝1，BD ＝4，则AB 的长为【方法12】（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5解析：C13．(嘉定区期末)如图，△ABC 与△ADE 均为等腰三角形，BA ＝BC ，DA ＝DE ，如果点D 在边BC 上，且△EDC ＝△BAD ，点O 为AC 与DE 的交点．(1)求证：△ABC △△ADE ； (2)求证：DA ·OC ＝OD ·CE .证明：(1)∵∠ADC ＝∠ABC ＋∠BAD ＝∠ADE ＋∠EDC ，∠EDC ＝∠BAD ，∴∠ABC ＝∠ADE .又∵△ABC 与△ADE 均为等腰三角形，∴BA BC ＝DA DE ＝1，∴BA DA ＝BCDE，∴△ABC ∽△ADE ； (2)∵△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ＝∠CDE .∵∠COD ＝∠EOA ，∴△COD ∽△EOA ，∴OC OE ＝OD OA ，即OA OE ＝ODOC.又∵∠AOD ＝∠COE ，∴△AOD ∽△EOC ，∴DA CE ＝ODOC，即DA ·OC ＝OD ·CE .14．△如图，等腰梯形ABCD 中，AD △BC ，AD ＝3，BC ＝7，△B ＝60°，P 为BC 边上一点(不与B ，C 重合)，过点P 作△APE ＝△B ，PE 交CD 于E .(1)求证：△APB △△PEC ； (2)若CE ＝3，求BP 的长．(1)证明：∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，∴∠B ＝∠C ＝60°.∵∠APC ＝∠APE ＋∠EPC ＝∠B ＋∠BAP ，又∵∠APE ＝∠B ，∴∠BAP ＝∠EPC ，∴△APB ∽△PEC ；(2)解析：如图，过点A 作AF ∥CD 交BC 于F .则四边形ADCF 为平行四边形，△ABF 为等边三角形，∴CF ＝AD ＝3，AB ＝BF ＝7－3＝4.∵△APB ∽△PEC ，∴BP CE ＝ABPC .设BP ＝x ，则PC ＝7－x .又∵CE ＝3，AB ＝4，∴x 3＝47－x ，整理得x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4.∴BP的长为3或4.解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法类型一：找线段对应的三角形，利用相似证明1．(虹口区模拟)如图，在△ABC 中，△C ＝90°，AD 是△CAB 的平分线，BE △AE ，垂足为点E ，求证：BE 2＝DE ·AE .证明：∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠BAD .∵∠C ＝90°，AE ⊥BE ，∴∠ADC ＋∠CAD ＝∠BDE ＋∠DBE .∵∠ADC ＝∠BDE ，∴∠CAD ＝∠DBE ，∴∠BAD ＝∠DBE ，∴Rt △ABE ∽Rt △BDE ，∴BE DE ＝AEBE，∴BE 2＝DE ·AE .2．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点F ，点E 是BD 上一点，且△BAC ＝△BDC ＝△DAE .求证：AB AC ＝AE AD.证法一：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD .又∵∠BAC ＝∠BDC ，∠BF A ＝∠CFD ，∴180°－∠BAC －∠BF A ＝180°－∠BDC －∠CFD ，即∠ABE ＝∠ACD ，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AEAD.证法二：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD .又∵∠BEA ＝∠DAE ＋∠ADE ，∠ADC ＝∠BDC ＋∠ADE ，∠DAE ＝∠BDC ，∴∠AEB ＝∠ADC ，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AEAD.3．如图，在△ABCD 中，AM △BC ，AN △CD ，M ，N 分别为垂足．求证：AM AB ＝MNAC.证明：在▱ABCD 中，∠B ＝∠D ，AD ＝BC ，又∵∠AMB ＝∠AND ＝90°，∴Rt △AMB ∽Rt △AND ，∴AM AN ＝AB AD ＝ABBC.又∵AB ∥CD ，AN ⊥CD ，∴AN ⊥AB .∴∠BAM ＋∠MAN ＝∠BAM ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝∠MAN ，∴△AMN ∽△BAC ，∴AM AB ＝MNAC.类型二：利用等线段代换证明4．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，△ADB ＝△ACB .求证：ABAE ＝AC AD.证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .又∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB .又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AC ＝AE AB ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝ACAD.5．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于E ，交AD 于F .求证：DE 2＝BE ·CE .证明：如图，连接AE .∵EF 垂直平分AD ，∴AE ＝DE ，∴∠DAE ＝∠4.∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE ＝∠2＋∠3，∠4＝∠B ＋∠1，∴∠B ＝∠3.又∵∠BEA ＝∠AEC ，∴△BEA ∽△AEC ，∴AE CE ＝BEAE，∴AE 2＝BE ·CE ，∴DE 2＝BE ·CE .6．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE △AC 且交AC 于F ，过F 作FG △AB ，交AE 于G .求证：AG 2＝AF ·CF .证明：∵BE ⊥AC ，∴∠AFB ＝∠BFC ＝90°，∴∠ABF ＋∠BAF ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，∴∠ABF ＋∠CBF ＝90°，∴∠BAF ＝∠CBF ，∴△ABF ∽△BCF ，∴BF CF ＝AFBF，∴BF 2＝AF ·CF .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠D ＝∠BCE ＝90°.又∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，∴△ADE ≌△BCE ，∴AE ＝BE .∵GF ∥AB ，∴AG AE ＝BF BE，∴AG ＝BF ，∴AG 2＝AF ·CF .◆类型三 找中间比利用等积式代换7．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，AE △BC ，ED 交AB 于P ，交AC 的延长线于Q .求证：PD ·EQ ＝PE ·DQ .证明：∵AE ∥DC ，∴△QCD ∽△QAE ，∴DQ EQ ＝CD AE .∵AE ∥BD ，∴△BDP ∽△AEP ，∴PDPE ＝BD AE .∵点D 为BC 的中点，∴BD ＝CD ，∴PD PE ＝DQEQ，即PD ·EQ ＝PE ·DQ . 8．△如图，CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 于F .求证：AC ·CF ＝BC ·DF .证明：∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，∴∠ACB ＝∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴∠DAC ＋∠B ＝∠B ＋∠DCB ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCB ，∴△ADC ∽△CDB ，∴AD CD ＝ACBC .∵E 为BC的中点，∴DE ＝CE ，∴∠EDC ＝∠DCE ＝∠DAC ，∴∠FDC ＝∠F AD .又∵∠F ＝∠F ，∴△FDC ∽△F AD ，∴CF DF ＝CD AD ，∴DF CF ＝AD DC ，∴AC BC ＝DFCF，∴AC ·CF ＝BC ·DF .9．△如图，在△ABC 中，△BAC ＝90°，AD △BC 于D ，点E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 于F .求证：AB AC ＝DFAF.证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠CDA ＝90°，∠BAD ＋∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAD ＝∠C ，∴△ABD ∽△CAD ，∴AB AC ＝BDAD .在Rt △ADC 中，∵点E 为AC 的中点，∴DE ＝CE ，∴∠C ＝∠EDC ，∴∠BAD ＝∠EDC .又∵∠EDC ＝∠FDB ，∴∠FDB ＝∠BAD ，即∠FDB ＝∠F AD .又∵∠F ＝∠F ，∴△DFB ∽△AFD ，∴DF AF ＝BD AD .∴AB AC ＝DF AF .难点探究：相似三角形中动点及探究型问题类型一：相似中的动点问题1．如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 边上的动点，N 在CD 上，且CN ＝14CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝ 时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．解析：12或452．如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝3cm ，BC ＝6cm.某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动．若以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似，则运动的时间t 为 s.解析：2.4或1.53．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，直线l 经过C ，且l ∥AB ，P 为l 上一个动点，若△ABC 与△P AC 相似，则PC ＝ .解析：6.4或104．如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB ＝6cm ，CD ＝4cm ，BD ＝14cm ，点P 在直线BD 上，由B 点向D 点移动．(1)当P 点移动到离B 点多远时，△ABP ∽△PDC? (2)当P 点移动到离B 点多远时，∠APC ＝90°？解析：(1)由AB ＝6cm ，CD ＝4cm ，BD ＝14cm ，设BP ＝x cm ，则PD ＝(14－x )cm.若△ABP ∽△PDC ，∴AB PD ＝BP DC ，即614－x ＝x4，变形得14x －x 2＝24，即x 2－14x ＋24＝0，解得x 1＝2，x 2＝12，∴BP ＝2cm 或12cm 时，△ABP ∽△PDC ；(2)若∠APC ＝90°，则∠APB ＋∠CPD ＝90°.又∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴∠A ＋∠APB ＝90°，∴∠A ＝∠CPD ，∴△ABP ∽△PDC ，由(1)得此时BP ＝2cm 或12cm ，则当BP ＝2cm 或12cm 时，∠APC ＝90°.◆类型二 相似中的探究型问题5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边AB 上，线段DC 绕点D 逆时针旋转，端点C 恰巧落在边AC 上的点E 处．如果AD DB ＝m ，AEEC ＝n .那么m 与n 满足的关系式是：m＝ (用含n 的代数式表示m )．解析：2n ＋16．(盐城中考)设△ABC 的面积为1，如图①，将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②，将边BC 、AC 分别3等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2…依此类推，则S n 可表示为 (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．解析：12n ＋1 7．(淄博中考)如图，在△ABC 中，点P 是BC 边上任意一点(点P 与点B ，C 不重合)，平行四边形AFPE 的顶点F ，E 分别在AB ，AC 上．已知BC ＝2，S △ABC ＝1.设BP ＝x ，平行四边形AFPE 的面积为y .(1)求y 与x 的函数关系式；(2)上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x 取何值时，y 有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．解析：(1)∵四边形AFPE 是平行四边形，∴PF ∥CA ，∴△BFP ∽△BAC ，∴S △BFP S △BAC ＝⎝⎛⎭⎫x 22.∵S △ABC ＝1，∴S △BFP ＝x 24， 同理：S △PEC ＝⎝⎛⎭⎫2－x 22，∴y ＝1－x 24－4－4x ＋x 24，∴y ＝－x 22＋x ； (2)上述函数有最大值，最大值为12.理由如下：∵y ＝－x 22＋x ＝－12(x －1)2＋12，－12＜0，∴y 有最大值，∴当x ＝1时，y 有最大值，最大值为12. 难点探究：相似与几何图形的综合问题类型一：相似与三角形1．(娄底中考)一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为(0，1)，直角顶点C 的坐标为(－3，0)，△B ＝30°，则点B 的坐标为 ．解析：如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E .易证△EBC ∽△OCA ，∴EB OC ＝BC CA ＝EC OA.∵点A 的坐标为(0，1)，点C 的坐标为(－3，0)，∴OA ＝1，OC ＝3，∴AC ＝OA 2＋OC 2＝10.在Rt △ACB 中，∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝210，∴BC ＝AB 2－AC 2＝30，∴BC AC ＝ 3.∴BE ＝33，EC ＝3，∴EO ＝EC ＋CO ＝3＋3，∴点B 的坐标为(－3－3，33)．2．(无锡中考)如图，Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处．再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为解析：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5.∵将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处，∴AE ＝DE ，CE ⊥AB .易得△AEC ∽△ACB ，∴AC AB ＝AE AC，∴AE ＝95.∵S △ABC ＝12AB ·CE ＝12AC ·BC ，∴CE ＝125.∵将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，∴∠ECF ＝45°，∴EF ＝CE ＝125，∴BF ＝AB －AE －EF ＝5－95－125＝45类型二：相似与四边形3．△(黄石中考)现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图△所示的形状，R 为DE 的中点，BR 分别交AC ，CD 于P ，Q ，易证BP △PQ △QR ＝3△1△2.(1)若取四个直角三角形拼成如图△所示的形状，S 为EF 的中点，BS 分别交AC ，CD ，DE 于P ，Q ，R ，则BP △PQ △QR △RS ＝ ；(2)若取五个直角三角形拼成如图△所示的形状，T 为FG 的中点，BT 分别交AC ，CD ，DE ，EF 于P ，Q ，R ，S ，则BP △PQ △QR △RS △ST ＝ .解析：(1)由题意可知AB BC ＝CE ＝12BE .设CQ ＝a .∵S 是EF 的中点，∴EF ＝2ES .∵CD ∥EF ，∴△BCQ ∽△BES ，∴CQ ES ＝BC BE ＝12，∴ES ＝2CQ ＝2a ，∴AB ＝CD ＝EF ＝2ES ＝4a ，QD ＝3a .∵AB ∥CD ，∴△ABP ∽△CQP ，∴BP QP ＝AB CQ ＝41.同理：PQ QR ＝CQ QD ＝13，QR RS ＝QD ES ＝32.∴BP ∶PQ ∶QR ∶RS ＝ 4∶1∶3∶2.故答案为4∶1∶3∶2； (2)设CP ＝b .由题意可知BC ＝CE ＝EG ＝13BG .∵T 是FG 的中点，∴FG ＝2TG .∵AC ∥DE ，∴△BCP ∽△BER ，∴CP ER ＝BC BE ＝12，∴RE ＝2CP ＝2b .同理：△BCP ∽△BGT ，∴CP TG ＝BC BG ＝13，∴TG ＝3CP ＝3b ，∴AC ＝DE ＝FG ＝6b ，∴AP ＝5b ，DR ＝4b ，FT ＝3b .∵AB ∥CD ，∴△ABP ∽△CQP ，∴BP QP ＝AP CP ＝51.同理：PQ QR ＝CP DR＝14，QR RS ＝ DR RE ＝42，RS ST ＝ RE FT ＝23.∴BP ∶PQ ∶QR ∶RS ∶ST ＝ 5∶1∶4∶2∶3.故答案为5∶1∶4∶2∶3.4．△△(安徽中考)如图△，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接AG 、BG 、CG 、DG ，且△AGD ＝△BGC .(1)求证：AD ＝BC ；证明：∵点E 是AB 的中点，GE ⊥AB ，∴GE 是线段AB 的垂直平分线，∴AG ＝BG .同理可得GD ＝GC .在△AGD 与△BGC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝BG ，∠AGD ＝∠BGC ，GD ＝GC ，∴△AGD ≌△BGC ，∴AD ＝BC ；(2)求证：△AGD △△EGF ；证明：∵∠AGD ＝∠BGC ，∴∠AGB ＝∠DGC .∵AG ＝BG ，DG ＝CG ，且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴∠AGE ＝12∠AGB ，∠DGF ＝12∠DGC ，∴∠AGE ＝∠DGF ，∴∠AGE －∠DGE ＝∠DGF －∠DGE ，即∠AGD ＝∠EGF .∵GE ⊥AB ，GF ⊥CD ，∴∠AEG ＝∠DFG ＝90°，∴△AGE ∽△DGF ，∴AG DG ＝GE GF ，∴AG GE ＝DG GF.又∵∠AGD ＝∠EGF ，∴△AGD ∽△EGF ； (3)如图△，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求AD EF的值． 解析：如图，延长AD 交BC 的延长线于点M .∵AD 、BC 所在的直线互相垂直，∴∠DAB ＋∠ABC ＝90°，即∠DAB ＋∠ABG ＋∠GBC ＝90°.由(1)可知△AGD ≌△BGC ，∴∠GAD ＝∠GBC .∴∠DAB ＋∠ABG ＋∠GAD ＝90°，即∠GAB ＋∠GBA ＝90°.由(1)可知AG ＝BG ，∴∠GAB ＝∠GBA ，∴∠GAB ＝45°.又∵GE ⊥AB ，∴∠AEG ＝90°，∴GA ＝AE 2＋GE 2＝2GE ，∴GA GE ＝ 2.由(2)可知△AGD ∽△EGF ，∴AD EF ＝GA GE ＝ 2.类型三：运用相似解决几何图形中的动点问题5．如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 边上的动点，N 在CD 上，CN ＝14CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝ 时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．解析：12或456．△(钦州中考)如图，在平面直角坐标系中，以点B (0，8)为端点的射线BG △x 轴，点A 是射线BG 上的一个动点(点A 与点B 不重合)，在射线AG 上取AD ＝OB ，作线段AD 的垂直平分线，垂足为E ，与x 轴交于点F ，过点A 作AC △OA ，交射线EF 于点C ，连接OC 、CD ，设点A 的横坐标为t .(1)用含t 的式子表示点E 的坐标为 ；(2)当t 为何值时，△OCD ＝180°？解析：(1)(t ＋4，8)(2)∵EF 是线段AD 的垂直平分线，点C 在射线EF 上，AD ＝BO ＝8，∴AE ＝DE ＝12AD＝4，∠AEC ＝90°，∴∠ECA ＋∠EAC ＝90°.又∵AO ⊥CA ，∴∠OAC ＝90°，∴∠BAO ＋∠EAC ＝90°，∴∠ECA ＝∠BAO .又∵BG ∥x 轴，∴BG ⊥y 轴，则∠OBA ＝90°，∴∠AEC ＝∠OBA ，∴△ABO ∽△CEA ，∴BO EA ＝AB CE ，即84＝t CE .∴CE ＝12t .当∠OCD ＝180°时，点C 在线段OD上．∵EF ⊥BG ，BO ⊥BG ，∴CE ∥BO ，∴△CDE ∽△ODB ，∴CE OB ＝DE DB ，即12t 8＝4t ＋8，∴12t 2＋4t －32＝0，解得t 1＝45－4，t 2＝－45－4(不合题意，舍去)．∴当t ＝45－4时，∠OCD ＝180°.7．△如图，在一块直角三角板ABC 中，△C ＝90°，△A ＝30°，BC ＝1，将另一个含30°角的△EDF 的30°角的顶点D 放在AB 边上，E 、F 分别在AC 、BC 上，当点D 在AB 边上移动时，DE 始终与AB 垂直，若△CEF 与△DEF 相似，求AD 的长度．解析：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠B ＝60°.∵∠EDF ＝30°，ED ⊥AB 于D ，∴∠FDB ＝60°，∴△BDF 是等边三角形．∵BC ＝1，∴AB ＝2.∵BD ＝BF ，∴2－AD ＝1－CF ，∴AD ＝CF ＋1.(Ⅰ)如图①，若∠FED ＝90°，则∠FED ＝∠ADE ，∴EF ∥AB ，∴∠CEF ＝∠A ＝30°，∴CF ＝12EF ，∠CEF ＝∠EDF .又∵∠C ＝∠FED ＝90°，∴△CEF ∽△EDF ，∴CF EF ＝EF DF ，即CF 2CF ＝2CF 1－CF，解得CF ＝15，∴AD ＝15＋1＝65；(Ⅱ)如图②，若∠EFD ＝90°，则∠CFE ＝180°－90°－60°＝30°，∴CE ＝12EF ，∠CFE ＝∠FDE .又∵∠C ＝∠EFD ＝90°，∴△CEF ∽△FED ，∴CF FD ＝CE FE ，即CF 1－CF ＝12，解得CF ＝13，∴AD ＝13＋1＝43.综上所述，若△CEF 与△DEF 相似，AD 的长为65或43. 考点综合：相似三角形与其他知识的综合类型一：相似与四边形1．如图，菱形ABCD 中，点M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ，NF ⊥AB .若NF ＝NM ＝2，ME ＝3，则AN ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6解析：B2．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F .S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25.则DE ∶EC ＝ .解析：2∶33．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且CF ＝3FD ，△ABE 与△DEF 相似吗？为什么？解析：△ABE 与△DEF 相似．理由如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝AD ＝CD .设AB ＝AD ＝CD ＝4a ，∵E 为边AD 的中点，CF ＝3FD ，∴AE ＝DE ＝2a ，DF＝a ，∴AB DE ＝4a 2a ＝2，AE DF ＝2a a ＝2，∴AB DE ＝AE DF，而∠A ＝∠D ，∴△ABE ∽△DEF .4．(上海中考)如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE ＝OB ，连接DE .(1)求证：DE ⊥BE ；(2)如果OE ⊥CD ，求证：BD ·CE ＝CD ·DE .证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝OD .∵OE ＝OB ，∴OE ＝OD ，∴∠OBE ＝∠OEB ，∠OED ＝∠ODE .∵∠OBE ＋∠OEB ＋∠OED ＋∠ODE ＝180°，∴∠BEO ＋∠DEO ＝∠BED ＝90°，∴DE ⊥BE ；(2)∵OE ⊥CD ，∴∠CEO ＋∠DCE ＝∠CDE ＋∠DCE ＝90°，∴∠CEO ＝∠CDE .∵OB ＝OE ，∴∠DBE ＝∠CEO ，∴∠DBE ＝∠CDE .∵∠BED ＝∠BED ，∴△BDE ∽△DCE ，∴BD CD＝DE CE，∴BD ·CE ＝CD ·DE . ◆类型二 相似与函数5．(滨州中考)如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y ＝－1x 、y ＝2x的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 的大小的变化趋势为（ ） A ．逐渐变小 B ．逐渐变大 C ．时大时小 D ．保持不变解析：D6．(重庆模拟)如图，点A 在双曲线y ＝3x 上，点B 在双曲线y ＝k x(k ≠0)上，AB ∥x 轴，过点A 作AD ⊥x 轴于D .连接OB ，与AD 相交于点C ，若AC ＝2CD ，则k 的值为（ ）A ．6B ．9C ．10D ．12解析：过点B 作BE ⊥x 轴于E ，延长线段BA ，交y 轴于F .∵AB ∥x 轴，∴AF ⊥y 轴，∴四边形AFOD 是矩形，四边形OEBF 是矩形，∴AF ＝OD ，BF ＝OE ，∴AB ＝DE ，∵点A 在双曲线y ＝3x 上，∴S 矩形AFOD ＝3，同理S 矩形OEBF ＝k ，∵AB ∥OD ，∴OD AB ＝CD AC ＝12，∴AB ＝2OD ，∴DE ＝2OD ，∴S 矩形OEBF ＝3S 矩形AFOD ＝9，∴k ＝9.故选B.7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，O 为矩形的对称中心，OE ⊥OF ，若设OE ＝x ，OF ＝y ，则x 与y 之间的函数关系为 ．解析：y ＝34x 8．(宿迁中考)如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，求PM 长的最小值．解析：如图，过点P 作PM ⊥AB ，则∠PMB ＝90°，当PM ⊥AB 时，PM 最短，因为直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，可得点A 的坐标为(4，0)，点B 的坐标为(0，－3)．在Rt △AOB 中，AO ＝4，BO ＝3，AB ＝32＋42＝5.∵∠BMP ＝∠AOB ＝90°，∠ABO ＝∠PBM ，PB ＝OP ＋OB ＝7，∴△PBM ∽△ABO ，∴PB AB ＝PM AO ，即75＝PM 4，∴可得PM ＝285.。