相似三角形基本模型

模型构建：相似三角形的基本模型的构建

类型一：“A”字型

1．(盘锦中考)如图，已知△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，点D 在边AB 上，且△ACD ＝△B ，则线段AD 的长为 ．

解析：95

2．(佛山中考)如图，在Rt△ABC 中，AB ＝BC ，△B ＝90°，AC ＝10 2.四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形(点D 、E 、F 在△ABC 的边上)．则此正方形的面积是 .

解析：在Rt △ABC 中，AB 2＋BC 2＝AC 2.∵AB ＝BC ，AC ＝102，∴2AB 2＝200，∴AB ＝BC ＝10.设EF ＝x ，则AF ＝10－x .∵EF ∥BC ，∴△AFE ∽△ABC ，∴EF BC ＝AF AB ，即x 10＝10－x

10，

∴x ＝5，∴EF ＝5，∴此正方形的面积为5×5＝25.

3．如图△，AB △BD ，CD △BD ，垂足分别为B 、D ，AD 和BC 交于点E ，EF △BD ，垂足为F ，我们可以证明1AB ＋1CD ＝1

EF 成立，若将图△中的垂直改为斜交，如图△，AB △CD ，AD 与BC

交于点E ，过点E 作EF △AB 交BD 于F ，则1AB ＋1CD ＝1

EF 还成立吗？如果成立，给出证明；

如果不成立，请说明理由．

解析：成立．证明如下：∵AB ∥EF ∥CD ，∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ， ∴

EF AB ＝DF DB ，EF CD ＝BF DB ，两式相加得EF AB ＋EF CD ＝DF DB ＋BF

DB ＝DF ＋BF DB ＝DB DB

＝1， 等式两边同除以EF 得

1AB ＋1CD ＝1

EF

.

类型二：“X”字型

4．如图，已知AB△CD，AD与BC相交于点O，AO△DO＝1△2，那么下列式子正确的是（）

A．BO△BC＝1△2 B．CD△AB＝2△1

C．CO△BC＝1△2 D．AD△DO＝3△1

解析：B

5．(安顺中考)如图，△ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）

A．3△2 B．3△1 C．1△1 D．1△2

解析：D

类型三：旋转型

6．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，△A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB上，A′B′交AC于F，则图中与△AB′F相似的三角形有(不再添加其他线段)（）A．1个B．2个C．3个D．4个

解析：D

7．如图，在△ABC和△ADE中，△BAD＝△CAE，△ABC＝△ADE.

(1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线)；

(2)请分别说明两对三角形相似的理由．

解析：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；

(2)①△ABC∽△ADE.理由如下：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.又∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE；

②△ABD∽△ACE.理由如下：∵△ABC∽△ADE，∴AB

AD＝

AC

AE，∴

AB

AC＝

AD

AE.又∵∠BAD

＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.

类型四：垂直型

8．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，CD△AB于点D，则图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对

解析：C

9．如图，四边形ABCD中，AD△BC，△B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(△A、△B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（）

A.15 B．215 C.17 D．217

解析：∵AD∥BC，∴∠ADF＋∠FCB＝180°.根据折叠前后的图形全等得到DF＝DA＝3，∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，∠DFE＝∠EFC＝90°，∴∠FDE＝∠FEC，∴△DEF∽△ECF，

∴EF

CF＝

DF

EF，∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，∴EF＝15.故选A.

10．如图，矩形ABCD中，M是BC边上且与B、C不重合的点，点P是射线AM上的

点，若以A、P、D为顶点的三角形与△ABM相似，则这样的点有个．

解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD ，∴∠DAP ＝∠AMB .①DP ⊥AM 于P 时，两三角形相似；②P 为AM 与DC 延长线的交点时，两三角形相似．故这样的点有2个．

11．△(宿迁中考)如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y ＝3

4x －3与

x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为 ．

解析：根据“垂线段最短”，得PM 长的最小值就是当PM ⊥AB 时PM 的长．∵直线y ＝3

4x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，∴令x ＝0，得y ＝－3，∴点B 的坐标为(0，－3)，即OB ＝3.令y ＝0，得x ＝4，∴点A 的坐标为(4，0), 即OA ＝4，∴PB ＝OP ＋OB ＝4＋3＝7.在Rt △AOB 中，根据勾股定理得AB ＝OA 2＋OB 2＝42＋32＝5.在Rt △PMB 与Rt △AOB 中，∵∠B ＝∠B ，∠PMB ＝∠AOB ，∴Rt △PMB ∽Rt △AOB ，∴PM OA ＝PB AB ，即PM 4＝7

5，解得

PM ＝28

5

.

类型五：一线三等角型

12．(蜀山区月考)如图，AB △BD ，ED △BD ，C 是线段BD 的中点，且AC △CE ，ED ＝1，BD ＝4，则AB 的长为【方法12】（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5