艺术生文化课补习 高三数学复习

高三一轮复习三 ----数 列

一、复习要求

1、等差数列及等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式及性质；

2、一般数列的通项及前n 项和计算。 二、学习指导

1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。

研究数列，首先研究对应法则——通项公式：a n =f(n)，n ∈N +，要能合理地由数列前n 项写出通项公式，其次研究前n 项和公式S n ：S n =a 1+a 2+…a n ，由S n 定义，得到数列中的重要公式：⎩⎨⎧≥-==-2n S S 1n S a 1n n

1

n 。

一般数列的a n 及S n ,，除化归为等差数列及等比数列外，求S n 还有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。

2、等差数列

（1）定义，{a n }为等差数列⇔a n+1-a n =d （常数），n ∈N +⇔2a n =a n-1+a n+1（n ≥2，n ∈N +）； （2）通项公式：a n =a n +(n-1)d ，a n =a m +(n-m)d ； 前n 项和公式：2

)a a (n d 2)

1n (n na S n 11n +=

-+

=； （3）性质：a n =an+b ，即a n 是n 的一次型函数，系数a 为等差数列的公差； S n =an 2

+bn ，即S n 是n 的不含常数项的二次函数；

若{a n }，{b n }均为等差数列，则{a n ±n n },{∑=k

1

i k

a

},{ka n +c}（k ，c 为常数）均为等差数

列；

当m+n=p+q 时，a m +a n =a p +a q ，特例：a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…； 当2n=p+q 时，2a n =a p +a q ； 当n 为奇数时，S 2n-1=(2n-1)a n ；S 奇=21n +a 中，S 偶=2

1

n -a 中。 3、等比数列 （1）定义：

n

1n a a +=q （q 为常数，a n ≠0）；a n 2

=a n-1a n+1（n ≥2，n ∈N +）； （2）通项公式：a n =a 1q n-1

，a n =a m q n-m

;

前n 项和公式：⎪⎩⎪

⎨⎧≠--=--==1q q 1q a a q 1)q 1(a 1q na S n 1n 11

n ；

（3）性质

当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…， 当2n=p+q 时，a n

2

=a p a q ，数列{ka n }，{∑=k

1

i i

a

}成等比数列。

4、等差、等比数列的应用

（1）基本量的思想：常设首项、公差及首项、公比为基本量，借助于消元思想及解方程

组思想等；

（2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算； （3）若{a n }为等差数列，则{n a a }为等比数列（a>0且a ≠1）；

若{a n }为正数等比数列，则{log a a n }为等差数列（a>0且a ≠1）。

三、典型例题

例1、已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中1k a ，2k a ，…，n k a 恰为等比数列，

若k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1+k 2+…+k n 。 解题思路分析：

从寻找新、旧数列的关系着手 设{a n }首项为a 1，公差为d ∵ a 1，a 5，a 17成等比数列 ∴ a 52

=a 1a 17

∴（a 1+4d ）2

=a 1(a 1+16d) ∴ a 1=2d

设等比数列公比为q ，则3a d

4a a a q 1

n 15=+== 对n k a 项来说，

在等差数列中：1n n 1k a 2

1

k d )1k (a a n +=

-+= 在等比数列中：1n 11n 1k 3a q a a n --== ∴ 132k 1n n -⋅=-

∴ n )331(2)132()132()132(k k k 1n 1n 10n 21-+++=-⋅++-⋅+-⋅=++-- 1n 3n --=

注：本题把k 1+k 2+…+k n 看成是数列{k n }的求和问题，着重分析{k n }的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”。

例2、设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75,T n 为数列{

n

S n

}的前n 项和，求T n 。 解题思路分析：

法一：利用基本元素分析法

设{a n }首项为a 1，公差为d ，则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

=⨯+==⨯+=75d 21415a 15S 7d 2

67a 7S 11517

∴ ⎩

⎨⎧=-=1d 2

a 1

∴ 2

)

1n (n 2S n -+-= ∴

252n 21n 2n S n -=-+-= 此式为n 的一次函数 ∴ {

n

S n

}为等差数列 ∴ n 4

a n 41T 2n -=

法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2

+Bn

∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯==+⨯=75

B 1515A S 7

B 77A S 2

1527

解之得：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

-

==25B 2

1A

∴ n 2

5

n 21S 2n -=

，下略 注：法二利用了等差数列前n 项和的性质

例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且1a S 2n n +=，求： （1）数列{a n }的通项公式； （2）设1n n n a a 1b +=

，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：B n 2

1

<.

解题思路分析：

（I ）涉及到a n 及S n 的递推关系，一般都用a n =S n -S n-1（n ≥2）消元化归。 ∵ 1a S 2n n += ∴ 4S n =(a n +1)2

∴ 4S n-1=(a n-1+1)2（n ≥2） ∴ 4(S n -S n-1)=(a n +1)2

-(a n-1+1)2

∴ 4a n =a n 2

-a n-12

+2a n -2a n-1 整理得：(a n-1+a n )(a n -a n-1-2)=0 ∵ a n >0