《梯形四个相等公式及梯形性质》

梯形四个相等公式及梯形性质

梯形的两臂相等、丙胯相等、两翼相等和两躯之识等于两翼之积等四个公式称为梯形四个相等公式

关键词：左臂，右臂，左胯，右胯。两臂相等，两胯相等，两翼相等。两翼公式，躯翼公式。‘上下躯差’，‘上下底和’。

一、梯形的左臂、右臂、左胯和右胯

一条对角线BD把梯形面积划分为两个三角形：靠左腰和上底△，称为：左臂；靠右腰和下底的△，称为右胯。如下列梯形图①㈠所示：

另一条对角线AC把梯形面积划分为两个三角形：靠左腰和下底△，称为：左胯；靠右腰和上底的△，称为右臂。如下列梯形图①㈡所示：

左臂与右臂，又称为：左右臂，科称；两臂、左胯和右胯，又称为：左右胯，科称；两胯。它们都为面积名词。

二、两臂相等

1、证明：

2、设：左臂＝右臂

3、如下列梯形图②㈠～②㈣所示：∵左臂与右臂同底等高，∴左臂等于右臂。

4、结论：两臂相等。

5、则有：

（1）“两臂相等”公式。

（2）左臂＝上躯＋左翼。

（3）右臂＝上躯＋右翼。

三、两胯相等

1、证明：

2、设：左胯＝右胯

3、如下列梯形图④㈠～④㈣所示：∵左胯与右胯同底等高，∴左胯等于右胯。

（4）结论：两胯相等。

（5）则有：

（1）“两胯相等”公式。

（2）左胯＝左翼＋下躯。

（3）右胯＝右翼＋下躯。

（4）‘上下躯差’＝下躯―上躯。

（5）‘上下躯差’＝左胯―右臂。

（6）‘上下躯差’＝右胯―左臂。

（7）‘上下躯差’＝下底×高÷2―上底×高÷2。

（8）‘上下躯差’＝（下底上底）×高÷2。

（9）‘上下底和’乘高除2等于梯形面积。

（10）‘上下底差’乘高除2等于‘上下躯差’。

（11）二倍梯形面积＝高线ב上下底和’。

（12）梯形‘面积和’公式：

梯形面积＝上躯＋下躯＋左翼＋右翼

四、两翼相等

1、证明：

2、设：左翼＝右翼

3、如下列梯形图③㈠～③㈢所示：

∵左臂与右臂同底等高，∴左臂等于右臂。

又∵左臂―上躯＝左翼，右臂―上躯＝右翼，∴左翼＝右翼（等到量减等到量差相等）。

4、结论：两翼相等。

五、两躯之积等于两翼之积

1、证明：

2、设：上躯×下躯＝左翼×右翼。

3、如下列梯形图④㈠～④㈡所示：

∵上躯∶右翼＝AO∶OC（两三角形在一条直线上：其面积

的比等于底边的比。）

又∵左翼∶下躯＝AO ∶OC （两三角形在一条直线上：其面积的比等于底边的比。）

综合上述：

∵上躯∶右翼＝AO ∶OC ………………①式 又∵左翼∶下躯＝AO ∶OC ……………②式

∴上述①式与②式，它们的等到号后完全相等；故上述①式与②式的等到号前也相等，则有：

上躯∶右翼＝左翼∶下躯

4、上躯×下躯＝左翼×右翼（内项相乘之积等于外项相乘这积）。

5、结论：梯形的两躯相乘之积等于两翼相乘之积。

6、则有：

（1）上躯×下躯＝左翼×右翼

（2）上躯＝下躯

右翼

左翼⨯。

（3）下躯＝上躯右翼

左翼⨯。

（4）左翼＝

右翼

下躯

上躯⨯。

（5）右翼＝左翼

下躯

上躯⨯。

（6）两翼公式

∵两翼相等，∴① 左翼＝下躯上躯⨯。② 左翼＝

下躯上躯⨯。

六、梯形性质

1、上躯×下躯＝左翼×右翼

2、两臂相等。

3、两胯相等。

4、两翼相等。

5、‘上下底和’乘高除2等于梯形面积。

6、‘上下底差’乘高除2等于‘上下躯差’。

7、上躯＋下躯＋左翼＋右翼＝梯形面积。

8、上躯∶左翼＝右翼∶下躯

9、上躯∶右翼＝左翼∶下躯

10、下底

上底下底上底+⨯×2＝交点线。

11、

下底

上底下底

上底+⨯＝交左线。

12、下底

上底下底上底+⨯＝交右线。

13、上底×上底÷{（上底＋下底）×2÷高 }＝上躯。 14、下底×4下底÷{（上底＋下底）×2÷高 }＝下躯。 15、上底×下底÷{（上底＋下底）×2÷高 }＝左翼。 16、上底×下底÷{（上底＋下底）×2÷高 }＝右翼。 17、‘上下躯差’＝（下底－上底）×高÷2。如果下底是上底的

上底

下底倍，则下躯就是上躯的(

上底

下底×

上底

下底)倍。那么：

（1）∵‘上下躯差’就是上躯的)1(

－上底

下底

上底下底⨯倍， ∴上躯＝‘上下躯差’×11

－上底

下底上底下底⨯；

（2）∵‘上下躯差’就是下躯的

)1(－上底

下底上底下底上底下底

上底下底⨯⨯倍，

∴下躯＝‘上下躯差’×)1(－上底

下底上底下底上底

下底

上底下底⨯⨯

；

（3）∵‘上下躯差’是左翼的 {1

1－上底下底上底下底⨯×上底下底

}倍，

∴左翼＝‘上下躯差’×1－上底

下底

上底下底上底下底

⨯； （4）∵‘上下躯差’是右翼的{1

1－上底

下底上底下底⨯×上底下底

}倍，

∴右翼＝‘上下躯差’×1－上底

下底

上底下底上底下底⨯。