第三章平面问题的有限元法作业及答案

合集下载

平面问题有限元法

第三章平面问题有限元法重庆大学机械工程学院一、平面单元一、平面单元矩形单元正方形单元二、三角形三节点单元2.1 单元位移模式xy{}(,,)Ti ii u v i j m δ ={}T TeTT T i j mi i j j m m u v u v u v δδδδ ==节点数:3；自由度自由度（（DOF ): 6节点位移节点位移：：单元位移单元位移：：二、三角形三节点单元三角形三节点单元位移模式123456u x y v x y αααααα=++=++(3-1)节点：i ()i i y x ,()i i v u ,节点：j ()j j y x ,()j j v u ,()m m y x ,()m m v u ,节点：m二、三角形三节点单元将三个节点的坐标和位移代入将三个节点的坐标和位移代入（（3-1），），得得ii i y x u 321ααα++=jj j y x u 321ααα++=mm m y x u 321ααα++=321ααα，，ii i y x v 654ααα++=j j j y x v 654ααα++=mm m y x v 654ααα++=654ααα，，二、三角形三节点单元mm m j j ji i iy x v y x v y x v A214=αmmmj j ji i i y x u y x u y x u A211=αm mj j i i y u y u y u A111212=αmm j ji i u x u x u x A111213=αmm j ji i y v y v y v A111215=αmm j j i i v x v x v x A111216=αmmj ji iy x y x y x A 1112=(3-2)二、三角形三节点单元将（3-2）代入代入（（3-1），），并整理并整理i i j j m m i i j j m m u N u N u N u v N v N v N v =++=++(3-3))(2111121y c x b a A y x y x yxAN i i i m mj ji ++==)(2111121y c x b a A y x y xy x AN j j j mmii j ++==)(2111121y c x b a A yxy x y x AN m m m j jiim ++==m j i N N N ,,称为形函数二、三角形三节点单元jm m j mmj j i y x y x y x y x a −==m i i m ii mmj y x y x y x y x a −==ij j i jji i m y x y x y x y x a −==mj mji y y y y b −=−=11im im j y y y y b −=−=11ji jim y y y y b −=−=11二、三角形三节点单元)(m j mj i x x x x c −−==)(11i m im j x x x x c −−==)(11j i jim x x x x c −−==二、三角形三节点单元将（3-3）写成矩阵形式：{}}}ee v uf =(3-4)形函数的性质1）形函数形函数在节点处的值为处的值为11，在其余节点处之值为零i N i≠==ij i j y x N j j i 01),((3-5)mj N N ,？？形函数的性质2）在单元内任一点的三个形函数之和等于在单元内任一点的三个形函数之和等于在单元内任一点的三个形函数之和等于11(3-6)1i j m N N N ++=3）在单元某一边上的形函数与第三个顶点的坐标无关形函数的性质0),(=y x N m )/()()/()(),(i j j i j j i y y y y x x x x y x N −−=−−=)/()()/()(),(i j i i j i j y y y y x x x x y x N −−=−−=在边上ij形函数的性质4）形函数在单元面积形函数在单元面积A A 上的二重积分之值上的二重积分之值，，等于高为等于高为11、底为底为A A 的三角锥的体积的三角锥的体积。

有限元大作业

250250试题 5：图示为带方孔（边长为 80mm ）的悬臂梁，其上受部分均布载荷（P=10KN/m ）作用，试采用一种平面单元，对图示两种结构进行有限元分析，并就方孔的布置（即方位）进行分析比较，如将方孔设计为圆孔，结果有何变化？（板厚为 1mm ，材料为钢）。

3001KN9003001KN图6-1一、几何建模与分析由图6-1及问题描述可知，板的长宽尺寸远远大于厚度，研究结构为一很薄的等厚度薄板，满足平面应力的几何条件；作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用，满足平面应力的载荷条件。

故该问题属于平面应力问题，薄板所受的载荷为面载荷，分布情况及方向如图6-1所示，建立几何模型，进行求解。

薄板的材料为钢，则其材料参数：弹性模量E=2.1e11，泊松比σ=0.3。

二、有限元分析及其计算结果选取PLANE182作为分析的单元，来分析薄板的位移和应力，由于此问题是平面应力问题，并在K3选择str w/thk ，设置THK 为1。

1）方孔竖直制，划分方式采用自由方式，划分后网格的模型如图6-2所示。

计算得到的位移和应力分布如图6-3所示。

图6-2 方孔竖直的网格划分图6-3 位移及应力分布云图2）方孔正直制，划分方式采用自由方式，划分后网格的模型如图6-4所示。

计算得到的位移和应力分布如图6-5所示。

图6-4 方孔正直的网格划分图6-5 位移及应力分布云图3）圆孔按图6-1所示模型进行建模。

并用PLANE182单元进行划分网格，网格大小采用全局网格控制，划分方式采用自由方式，划分后网格的模型如图6-6所示。

计算得到的位移和应力分布如图6-7所示。

图6-4 方孔正直的网格划分图6-5 位移及应力分布云图根据以上的模型分析的位移和应力图，可以得出方孔竖直、方孔正直、圆孔的最大最小位移应力的分布如表6-1所示。

三、比较与分析1）方孔竖直与方孔正直的比较，发现方孔正直的位移变形较小，应力相差不大2）圆孔与方孔比较，发现圆孔的位移变性最小，应力也最小，故可以得出圆孔的布置结构对整体布置的效果最好。

有限元作业—三梁平面框架结构的有限元分析

三梁平面框架结构的有限元分析针对如图1所示的框架结构，其顶端受均布力作用，用有限元方法分析该结构的位移。

结构中各个截面的参数都为：E=3.0 10 Pa，I =6.5 10〃m，2A =6.8 10 m，生成相应的有限元分析模型。

在ANSY平台上，完成相应的力学分析。

416~N nt3000N② ③144mI ------------------------------------------------------------------------------------------ |图1框架结构受一均布力作用ANSYS军答：对该问题进行有限元分析的过程如下。

（1）进入ANSYS设定工作目录和工作文件）程序—An sys —ANSYS In teractive —Worki ng directory （设置工作目录）—Initial jobname（设置工作文件名）:beam3 —Run —OK（2）设置计算类型ANSYS Main Menu: Preferences , —Structural —OK（3）选择单元类型ANSYS Main Me nu: Preprocessor —Eleme nt Type —Add/Edit/Delete , —Add, —beam 2node188 —OK （返回到Element Types 窗口）—CloseCross-sectional area:6.8e-4 （梁的横截面积）—OK —Close八 Library of Element Types Library of Element TypesElement type referenc ■亡 number（4）定义材料参数ANSYS Mai n Me nu: Preprocessor — Material Props — Material Models —Structural — Lin ear — Elastic — Isotropic: EX:3e11 （弹性模量）—OKANSYS Main Menu: Preprocessor — Real Constants , — Add/Edit/Delete —Add — Type 1 Beam3 — OK — Real Constant Set No: 1 （第 1 号实常数）,Ry finite 戟『気2 node 1882 node 188Canttl—鼠标点击该窗口右上角的“ ”来关闭该窗口。

有限元法基本原理及应用第3章重庆大学龙雪峰

有限元原理及应用
第三章弹性力学有限元法
• 3．单元分析 • 单元分析包括位移模式选择，单元力学分析两个内容。 • 位移模式也称位移函数或插值函数，在有限元位移法中是以节点位移为基本未知量，再由这些节点位移插值得到单元内任意一点的位移值。单元的位移模式一般采用多项式，因为多项式计算简便，并且随着项数的增加，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。 • 单元力学分析根据所选单元的节点数和单元材料性质，应用弹性力学几何方程和物理方程得到单元刚度矩阵。由于连续体离散化后假定力是通过节点在单元间传递的，因此要利用插值函数把作用在单元上的体积力、面积力和集中力按静力等效原则移到节点上。
Hale Waihona Puke 有限元原理及应用第三章弹性力学有限元法
• 5．结果后处理和分析 • 求解线性方程组得到位移矢量后，由几何和物理关系可以得到应变和应力。 • 由于应变（应力）来自位移的微分可能导致单元间应力不连续，这会使应力计算误差较大，要在节点附近进行平均化处理。 • 通过后处理还可得到位移、应变和应力的最大最小值及其所在位臵以及主应力、主应变或其它定义的等效应力。 • 结果的输出可以应用图表、动画等各种方式。最后还要对这些结果进行分析以指导工程设计、产品开发等等。
有限元原理及应用第三章弹性力学有限元法?如果挠度与板厚相比不再为小量如金属板当挠度如果挠度与板厚相比不再为小量如金属板当挠度ww与板厚tt的关系在范围内板的中面应变就不能忽略如图的关系在范围内板的中面应变就不能忽略如图35所示面内的两个自由度也要一并考虑所示面内的两个自由度也要一并考虑导致单元的每个节点上a四边形弯曲单元b三角形弯曲单元图34薄板弯曲单元导致单元的每个节点上就要有五个自由度此类单元一般称为薄板单元
有限元原理及应用

计算固体力学第三章_1

TSINGHUA UNIVERSITY
8. 可处理大变形和非线形材料带来的非线形问题.
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
3 协调模型分析
1. 建立协调模型的一般方法
大部分有限单元,都是根据虚功原理, 或由它导出的能量原理建立的, 这类单元统称为“协调模型”或“相容模型”（Conforming model)。
每个节点有三个转动分量和三个位移分量.
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
如图1.4, 用120个节点和297个平面应变三角形单元模拟. 将对称性应用于整个杆端的一半. 此分析的目的是找出杆端应力集中最高的位置.
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
有限元法无论对什么样的结构（杆系，平面，三维，板壳）分析过程是一样的，一般为：
有限元法基本步骤:
TSINGHUA UNIVERSITY
有限元法基本步骤
将物体划分为具体有相关节点的等价系统,选择最适当的单元类型来最接近的模拟实际的物理性能. 所用的单元总数和给顶物体内单元大小和类型的变化是需要工程判断的主要问题. 单元必须小到可以给出有用的结果,又必须足够大以节省计算费用.
一点的位移列阵：一点的应变列阵：
一点的应力列阵：
一点的体积力列阵：一点的表面力列阵：
边界外法线方向余弦矩阵：
其中：
平衡方程：（内力与体积力的关系方程）
写成矩阵形式：
其中
A - 微分算子矩阵
几何方程：(应变与位移的关系方程)
写成矩阵形式：
物理方程（应力与应变的关系方程)

有限元分析——平面问题

Re=
NT
s
Pstds
江西五十铃发动机有限公司
技术中心 12 /33
4、整体分析整体刚度矩阵整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵；将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单元的扩大刚度矩阵；将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量为
江西五十铃发动机有限公司
技术中心 4 /33
σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
江西五十铃发动机有限公司
技术中心 9 /33
重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
江西五十铃发动机有限公司
图2 平面应变问题
技术中心 5 /33
根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1

平面有限元法作业

在单元的边界 x = ±a 及 y = ±b 上，位移是按线性变化的，而在公共边界上有两个节点相
连，这两个公共节点有共同的节点位移值，从而保证了两个相邻单元在其公共边界上位移的连续性。故四节点矩形单元满足位移连续性条件。#
{ } 3-7：求以下受力单元的等效节点载荷 R 。已知：lij、lim、lmj 、
⎢⎣ 0 0 0
0 0.5 0
0
0 − 0.5 − 0.5 0 0.5 ⎥⎦12×12
利用矩阵的运算关系
[ ] [ ] [k]T =
B]T [D][B]tA T
= [B]T [D]T
[B]T
T
tA
由于 [D]是对称矩阵， [D]T = [D]
所以 [k]T = [B]T [D] [B]tA = [k]，即 [k]为对称矩阵。#
3-5：图示平面等腰三角形单元，若 μ = 0.3 ，弹性模量为 E，厚度为 t，求形函数矩阵 [N ]、应变矩阵 [B] 及单元刚度矩阵 [K ]。（补充题意：平面应力情况）
q、P，厚度 t，P 点作用在 jm 中点处，沿 x 方向，三角形分布载荷垂直于 ij 边。
4
解：q 的单元 N/m2 ，设厚度为 t，如图示
Xi
=
−
1 3
qlij
t
cos
30°
=
−
3 6
qlij
t
Yi
=
−
1 3
qlij
t
sin
30°
=
−
1 6
qlij
t
等效节点载荷
X
j
=
−
1 6
qlijt cos30° +
第三章作业

有限元习题及答案

有限元习题及答案有限元习题及答案有限元方法是一种常用的数值计算方法，用于求解各种工程和科学问题。

在学习有限元方法的过程中，练习习题是非常重要的，可以帮助学生巩固所学的知识，并提高解决实际问题的能力。

本文将介绍一些有限元习题及其答案，希望对学习有限元方法的同学有所帮助。

习题一：一维热传导问题考虑一个长度为L的一维杆，其两端固定，杆上的温度满足以下热传导方程：∂²T/∂x² = 0，其中T为温度，x为位置。

已知杆的两端温度分别为T1和T2，求解杆上的温度分布。

解答一：根据热传导方程，可以得到温度分布的一般解为T(x) = Ax + B，其中A和B为常数。

根据边界条件，可以得到方程组：T(0) = B = T1T(L) = AL + B = T2解方程组可得A = (T2 - T1) / L，B = T1。

因此，温度分布为T(x) = ((T2 - T1) / L) * x + T1。

习题二：二维弹性问题考虑一个矩形薄板，其长为L，宽为W，材料的弹性模量为E，泊松比为ν。

已知薄板的边界上施加了一定的边界条件，求解薄板上的位移场。

解答二：对于二维弹性问题，可以使用平面应力假设，即假设薄板内部的应力只有两个分量σx和σy，并且与z轴无关。

根据平面应力假设和胡克定律，可以得到位移场的偏微分方程：∂²u/∂x² + ν * (∂²u/∂y²) + (1 - ν) * (∂²v/∂x∂y) = 0∂²v/∂y² + ν * (∂²v/∂x²) + (1 - ν) * (∂²u/∂x∂y) = 0其中u和v分别为位移场在x和y方向上的分量。

边界条件根据具体情况给定。

通过数值方法，如有限元方法，可以求解位移场的近似解。

习题三：三维流体力学问题考虑一个三维流体力学问题，流体在一个封闭容器内流动，容器的形状为一个长方体，已知流体的速度场和压力场的初始条件，求解流体的运动状态。

有限单元法部分课后题答案

１.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的?(１)离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元,并在其上设定有限个节点;用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体,而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。

(２）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。

因节点位移个数是有限的,故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。

(３）有限元法的标准化程式:结构或区域离散，单元分析,整体分析,数值求解。

１.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零)。

整体刚度矩阵的性质:对称性、奇异性、稀疏性。

单元Ｋiｊ物理意义Ｋij 即单元节点位移向量中第ｊ个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时,在第ｊ个自由度方向引起的节点力。

整体刚度矩阵K 中每一列元素的物理意义是:要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。

2．２什么叫应变能?什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？(1)在外力作用下,物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来,这种能量称为应变能。

(2)外力势能就是外力功的负值。

（3）势能变分原理可叙述如下:在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零δ∏p=δ Uε+δV=0此即变分方程。

对于线性弹性体,势能取最小值,即δ2∏Ｐ=δ2Uε+δ2Ｖ≥０此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。

有限元分析及应用习题答案

有限元分析及应用习题答案有限元分析及应用习题答案有限元分析是一种广泛应用于工程领域的数值计算方法，可以用来解决各种结构力学问题。

在学习有限元分析的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固理论知识，提高应用能力。

本文将给出一些有限元分析及应用的习题答案，希望对读者有所帮助。

1. 什么是有限元分析？有限元分析的基本步骤是什么？有限元分析是一种通过将结构划分为有限数量的子域，然后对每个子域进行数值计算，最终得到整个结构的应力、应变等力学参数的方法。

其基本步骤包括：建立有限元模型、选择适当的数学模型、进行数值计算、分析计算结果。

2. 有限元分析的优点是什么？有限元分析具有以下优点：- 可以处理任意形状的结构，适用范围广。

- 可以考虑材料非线性、几何非线性等复杂情况。

- 可以对结构进行优化设计，提高结构的性能。

- 可以得到结构的应力、应变等力学参数分布，为工程实际应用提供参考。

3. 有限元分析中的单元是什么？常见的有哪些类型？有限元分析中的单元是指将结构划分为有限数量的子域，每个子域称为一个单元。

常见的单元类型有：- 一维单元：如梁单元、杆单元等，适用于解决一维结构问题。

- 二维单元：如三角形单元、四边形单元等，适用于解决平面或轴对称问题。

- 三维单元：如四面体单元、六面体单元等，适用于解决立体结构问题。

4. 如何选择适当的单元类型？选择适当的单元类型需要考虑结构的几何形状、边界条件、材料性质等因素。

一般来说，对于简单的结构，可以选择较简单的单元类型；对于复杂的结构，需要选择更复杂的单元类型。

此外，还需要根据具体问题的要求和计算资源的限制进行选择。

5. 有限元分析中的边界条件有哪些类型？有限元分析中的边界条件包括：- 位移边界条件：指定某些节点的位移或位移的导数。

- 力边界条件：施加在结构上的外力或力矩。

- 约束边界条件：限制某些节点的位移或位移的导数为零。

6. 有限元分析中的材料模型有哪些？有限元分析中常用的材料模型有：- 线性弹性模型：假设材料的应力与应变之间存在线性关系。

有限元试题及答案

有限元试题及答案一、选择题1. 有限元法是一种数值方法，主要用于求解什么类型的数学问题？A. 线性代数方程B. 微分方程C. 积分方程D. 偏微分方程答案：D2. 在有限元分析中，以下哪项不是网格划分的基本原则？A. 网格应尽量均匀B. 网格应避免交叉C. 网格应尽量小D. 网格应适应几何形状答案：C3. 有限元方法中，单元的局部刚度矩阵可以通过以下哪种方式获得？A. 直接积分B. 矩阵乘法C. 线性插值D. 经验公式答案：A二、填空题1. 有限元方法中，______ 是指将连续的域离散化成有限数量的小单元。

答案：离散化2. 在进行有限元分析时，______ 是指在单元内部使用插值函数来近似求解场变量。

答案：近似3. 有限元法中，______ 是指在单元边界上满足的连续性条件。

答案：边界条件三、简答题1. 简述有限元法的基本步骤。

答案：有限元法的基本步骤包括：（1）定义问题域；（2）离散化问题域，生成网格；（3）为每个单元定义局部坐标系和形状函数；（4）组装全局刚度矩阵和载荷向量；（5）施加边界条件；（6）求解线性代数方程；（7）提取结果并进行后处理。

2. 描述有限元分析中的单元类型有哪些，并简述每种单元的特点。

答案：常见的单元类型包括：（1）一维单元，如杆单元和梁单元，特点是沿一个方向传递力；（2）二维单元，如三角形和四边形单元，特点是在平面内传递力；（3）三维单元，如四面体和六面体单元，特点是在空间内传递力。

每种单元都有其特定的形状函数和刚度矩阵。

四、计算题1. 给定一个简单的一维弹性杆问题，其长度为L，两端固定，中间施加集中力P。

使用有限元法求解该杆的位移和应力分布。

答案：首先，将杆离散化为一个单元。

使用一维杆单元的局部刚度矩阵和形状函数，可以推导出全局刚度矩阵。

然后，施加边界条件，即杆的两端位移为零。

最后，将集中力P转换为等效节点载荷，求解线性代数方程，得到节点位移。

应力可以通过位移和杆的截面特性计算得出。

《有限单元法》1-5章课后习题答案

2
δδ∏00且或∏,泛函极值性对于判断解的近似性质有意义,利用它可以对解的上下界做出估计。
思考题1.9什么是里兹法?通过它建立的求解方法有什么特点?里兹方法收敛性的定义是
什么?收敛条件是什么?
里兹法:在某一函数空间寻找试探函数,利用加权值的独立变分性将该函数的驻值问题转化
为该函数关于权值的极值问题。其特点是:试探函数是全域的,解的精度依赖于试探函数的
5qL L 5qL
wx L x当x , w
5 4
120EI + kl 2 480EI + 4kL
4
L 5qL
精确解w ???,应该是三角级数更接近精确解。因为是最小位能原理建立的
2 384EI
泛函,因此近似解比精确解要偏小。因此只要比较三角函数和幂函数的结果,就可以知道哪
个更精确了。另外,取不同的阶数,逼近速度不同,三角函数更快。
可得最终结果(略)。3 2 2 2 w ww ww
δδw n ds?+ n dsδ dxdy?
xx?∫∫3 2∫2 2
ΓΓ?x xx ?x ?x? 2 2 2 3? ww ?
+δ dxdy?+δδ n ds w n ds? y y
∫22∫2∫2ΓΓ
?y ?x ?y ?x y xD?
0
2 2 2 3 ww ?
12
23
L LL
3
x
上式中的最后一项前面没有待定系数,这是由于使用了在xL处φ1的强制边界条件。
3
L
从物理意义上说,相当于给定边界条件的解为齐次方程的通解加一个特解的缘故。将(1 )
式代入教材(1.2.26 )式,得到残量:
x 66 xx
R x a ?6 + a 2? + + Qx

有限元课后第三章习题答案

有限元课后第三章习题答案有限元课后第三章习题答案第一题：根据题目给出的信息，我们可以得出以下结论：1. 题目中提到了一个平面问题，即只考虑二维情况。

2. 材料的弹性模量为E = 210 GPa。

3. 材料的泊松比为ν = 0.3。

4. 材料的厚度为t = 10 mm。

5. 材料的长度为L = 100 mm。

6. 材料的宽度为W = 50 mm。

7. 材料的边界条件为固定边界。

根据以上信息，我们可以开始解题。

首先，我们需要确定有限元模型的几何形状和单元类型。

由于题目给出的是一个平面问题，我们可以选择使用二维平面应力单元来建模。

根据题目给出的材料尺寸，我们可以选择一个矩形区域作为有限元模型的几何形状。

接下来，我们需要确定有限元模型的单元划分。

由于题目没有给出具体的单元划分要求，我们可以根据经验选择适当的单元尺寸和划分密度。

在这里，我们可以将矩形区域划分为若干个等大小的四边形单元。

然后，我们需要确定有限元模型的边界条件。

根据题目给出的信息，材料的边界条件为固定边界。

这意味着模型的边界上的节点在计算过程中将保持固定位置，不发生位移。

因此，我们需要将边界上的节点固定。

接下来，我们可以开始进行有限元计算。

首先，我们需要确定有限元模型的节点和单元编号。

然后，我们可以根据材料的弹性模量和泊松比，以及节点和单元的位置信息，计算出每个节点和单元的刚度矩阵。

然后，我们可以根据边界条件，将固定边界上的节点的位移设置为0。

这样，我们就可以得到一个由位移未知数构成的线性方程组。

通过求解这个线性方程组，我们可以得到模型中每个节点的位移。

最后，我们可以根据节点的位移和单元的刚度矩阵，计算出每个单元的应力和应变。

根据题目给出的材料厚度，我们可以得到每个单元的应力和应变的平均值。

综上所述，根据题目给出的信息，我们可以使用有限元方法来求解这个平面问题。

通过建立有限元模型，确定边界条件，进行有限元计算，我们可以得到模型中每个节点的位移和每个单元的应力和应变。

有限元复习题及答案

1.两种平面问题的根本概念和根本方程；答：弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。

平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。

平面应力问题设有张很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。

由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有：，，剩下平行于XY面的三个应力分量未知。

平面应变问题设有很长的柱体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。

平面问题的根本方程为：平衡方程几何方程物理方程〔弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到〕•平面应力问题的物理方程平面应力问题有•平面应变问题的物理方程平面应变问题有在平面应力问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应力问题的物理方程。

2弹性力学中的根本物理量和根本方程；答：根本物理量有：空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。

其中包括6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量。

平面问题共8个方程，2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程，相应3个应力分量，3个应变分量，2个位移分量。

根本方程有：1.平衡方程及应力边界条件：平衡方程：边界条件：2.几何方程及位移边界条件：几何方程：边界条件：3.物理方程:3.有限元中使用的虚功方程。

对于刚体，作用在其上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功为0，这就是刚体的平衡条件，或者称为刚体的虚功方程。

对于弹性变形体，其虚位移原理为：在外力作用下处于平衡的弹性体，当给予物体微小的虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。

设想一处于平衡状态的弹性体发生了任意的虚位移,相应的虚应变为,作用在微元体上的平衡力系有〔X,Y,Z〕和面力。

外力的总虚功为实际的体力和面力在虚位移上所做的功，即：在物体产生微小虚变形过程中，整个弹性体内应力在虚应变上所做的功为总虚应变能，即：其中为弹性体单位体积内的应力在相应的虚应变上做的虚功，由此得到虚功方程：4.节点位移，单元位移及它们的关系。

完整版有限元法课后习题答案

1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法2、有限元法将连续的求解域离散为假设干个子域,得到有限个单元,单元和单元之间用节点连接3、直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力和弯矩两个.4、平面刚架结构在外力的作用下横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩.5、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角6、平面刚架有限元分析,节点位移有轴向位移、横向位移、转角 .7、在弹性和小变形下,节点力和节点位移关系是线性关系.8、弹性力学问题的方程个数有15个,未知量个数有15个.9、弹性力学平面问题方程个数有8,未知数8个.10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程11、物理方程是描述应力和应变关系的方程12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态14、9形函数在单元上节点上的值 ,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_15、形函数是三角形单元内部坐标的线性函数他反映了单元的位移状态16、在进行节点编号时,同一单元的相邻节点的号差尽量小.17、三角形单元的位移模式为_线性位移模式_-18、矩形单元的位移模式为双线性位移模式19、在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何各向同性20、单元刚度矩阵描述了节点力和节点位移之间的关系21、矩形单元边界上位移是连续变化的1.诉述有限元法的定义答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2.有限元法的根本思想是什么答：首先,将表示结构的连续离散为假设干个子域,单元之间通过其边界上的节点连接成组合体.其次,用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量.3.有限元法的分类和根本步骤有哪些答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化,单元分析,单元集成,引入约束条件,求解线性方程组,得出节点位移.4.有限元法有哪些优缺点答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构,得出其近似解；通过计算机程序,可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便, 对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合,以便发挥各自的优点.缺点：有限元计算,尤其是复杂问题的分析计算, 所消耗的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的. 对无限求解域问题没有较好的处理方法. 尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术, 但在具体应用时,采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验.5.梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定答：由每个节点位移分量的总和确定6.简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1,其他节点位移分量等于0时,对应的第m个节点力分量.7.有限元法根本方程中的每一项的意义是什么P14答：Q——整个结构的节点载荷列阵〔外载荷、约束力〕；整个结构的节点位移列阵；结构的整体刚度矩阵,又称总刚度矩阵.8.位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解,引入边界条件,使整体刚度矩阵求的唯一解.9.简述整体刚度矩阵的性质和特点P14答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正.10简述整体坐标的概念P25答：在整体结构上建立的坐标系叫做整体坐标,又叫做统一坐标系.11.简述平面钢架问题有限元法的根本过程答：1〕力学模型确实定,2〕结构的离散化,3〕计算载荷的等效节点力,4〕计算各单元的刚度矩阵,5〕组集整体刚度矩阵,6〕施加边界约束条件,7〕求解降价的有限元根本方程, 8〕求解单元应力,9〕计算结果的输出.12.弹性力学的根本假设是什么.答：连续性假定,弹性假定,均匀性和各向同性假定,小变形假定,无初应力假定.13.弹性力学和材料力学相比,其研究方法和对象有什么不同.答：研究对象：材料力学主要研究杆件,如柱体、梁和轴,在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移.弹性力学研究各种形状的弹性体,除杆件外,还研究平面体、空间体,板和壳等.因此,弹性力学的研究对象要广泛得多.研究方法：弹性力学和材料力学既有相似之外,又有一定区别.弹性力学研究问题,在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,在边界上严格考虑受力条件或约束条件,由此建立微分方程和边界条件进行求解,得出较精确的解答.而材料力学虽然也考虑这几方面的条件,但不是十分严格的,材料力学只研究和适用于杆件问题. 14.简述圣维南原理. 答；把物体一小局部上的面力变换为分布不同但静力等效的面力,但影响近处的应力分量, 而不影响远处的应力.“局部影响原理〞15.平面应力问题和平面应变问题的特点和区别各是什么试各举出一个典型平面应力和平面应变的问题的实例.答：平面应力问题的特点：长、宽尺寸远大于厚度,沿板面受有平行板的面力,且沿厚度均匀分布,体力平行于板面且不沿厚度变化,在平板的前后外表上无外力作用平面应变问题的特点：Z向尺寸远大于x、y向尺寸,且与z轴垂直的各个横截面尺寸都相同,受有平行于横截面且不沿z向变化的外载荷,约束条件沿z向也不变,即所有内在因素的外来作用都不沿长度变化.区别：平面应力问题中z方向上应力为零,平面应变问题中z方向上应变为零、应力不为零.举例：平面应力问题等厚度薄板状弹性体,受力方向沿板面方向,荷载不沿板的厚度方向变化,且板的外表无荷载作用.平面应变问题一一水坝用于很长的等截面四柱体,其上作用的载荷均平行于横截面,且沿柱长方向不变法.16.三角形常应变单元的特点是什么矩形单元的特点是什么写出它们的位移模式.答：三角形单元具有适应性强的优点,较容易进行网络划分和逼近边界形状,应用比较灵活.其缺点是它的位移模式是线性函数,单元应力和应变都是常数,精度不够理想.矩形单元的位移模式是双线性函数,单元的应力、应变式线性变化的,具有精度较高, 形状规整,便于实现计算机自动划分等优点,缺点是单元不能适应曲线边界和斜边界,也不能随意改变大小,适用性非常有限.17.写出单元刚度矩阵表达式、并说明单元刚度与哪些因素有关.答：单元刚度矩阵与节点力坐标变换矩阵,局部坐标系下的单元刚度矩阵,节点位移有关的坐标变换矩阵.18.如何由单元刚度矩阵组建整体刚度矩阵〔叠加法〕答：〔1〕把单元刚度矩阵扩展成单元奉献矩阵 ,把单元刚度矩阵中的子块按其在整体刚度矩阵中的位置排列, 空白处用零子块填充.〔2〕把单元的奉献矩阵的对应列的子块相叠加, 即可得出整体刚度矩阵 .19.整体刚度矩阵的性质.答：〔1〕整体刚度矩阵中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一节点沿坐标方形发生单位为移,而其他节点都保持为零的变形状态,在各节点上所需要施加的节点力；〔2〕整体刚度矩阵中的主对角元素总是正的；〔3〕整体刚度矩阵是一个对称阵；〔4〕整体刚度矩阵式一个呈带状分布的稀疏性矩阵.〔5〕整体刚度矩阵式一个奇异阵,在排除刚体位移后,他是正定阵.20.简述形函数的概念和性质.答：形函数的性质有：〔1〕形函数单元节点上的值,具有“本点为一、他点为零〞的性质；〔2〕在单元的任一节点上,三角函数之和等于1; 〔3〕三角形单元任一一条边上的形函数,仅与该端点节点坐标有关,而与另外一个节点坐标无关；〔4〕型函数的值在0〜1之间变换.21.结构的网格划分应注意哪些问题 .如何对其进行节点编号.才能使半带宽最小.P50, P8相邻节点的号差最小答：一般首选三角形单元或等参元.对平直边界可选用矩形单元,也可以同时选用两种或两种以上的单元.一般来说,集中力,集中力偶,分布在和强度的突变点,分布载荷与自由边界的分界点,支撑点都应该取为节点,相邻节点的号差尽可能最小才能使半带宽最小22.为了保证解答的收敛性,单元位数模式必须满足什么条件答：〔1〕位移模式必须包含单元刚体位移；〔2〕位移模式必须包含单元的常应变；〔3〕位移模式在单元内要连续,且唯一在相邻单元之间要协调.在有限单元法中,把能够满足条件1和条件2的单元称为完备单元,把满足条件3的单元叫做协调单元或保续单元.23有限元分析求得的位移解收敛于真实解得下界的条件.答：1.位移模式必须包含单元的刚体位移,2.位移模式必须包含单元的常应变,3.位移模式在单元内要连续,且位移在相邻单元之间要协调.24.简述等参数单元的概念.答：坐标变换中采用节点参数的个数等于位移模式中节点参数的个数,这种单元称为等参单元.25.有限元法中等参数单元的主要优点是什么答：1〕应用范围广.在平面或空间连续体,杆系结构和板壳问题中都可应用.2〕将不规那么的单元变化为规那么的单元后,易于构造位移模式.3〕在原结构中可以采用不规那么单元,易于适用边界的形状和改变单元的大小.4〕可以灵活的增减节点,容易构造各种过度单元.5〕推导过程具有通用性.一维,二维三维的推导过程根本相同.26.简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程.答：〔1〕通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元,并选取单元的唯一模式；〔2〕通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；〔3〕将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程,得到单元应变分量的计算式,再将单元应变代入平面问题的物理方程,得到平面四节点等参数单元的应力矩阵〔4〕用虚功原理球的单元刚度矩阵,,最后用高斯积分法计算完成.27.为什么等参数单元要采用自然坐标来表示形函数为什么要引入雅可比矩阵答：简化计算得到形函数的偏导关系.28. ANSYS软件主要包括哪些局部各局部的作用是什么答：1.前处理模块：提供了一个强大的实体建模及网络划分工具,用户可以方便地构造有限元模型.2.分析计算模块：包括结构分析、流体力学分析、磁场分析、声场分析、压电分析以及多种物理场的耦合分析,可以模拟多种物理介质的相互作用,具有灵敏度分析及优化分析水平.3.后处理模块：可将计算后果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示等图形方式显示出来,也可将计算结果以图表、曲线形式显示出来或输出.29. ANSYS软件提供的分析类型有哪些答：结构静力分析、机构动力分析、结构非线性分析、动力学分析、热分析、流体力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析.30.简述ANSYS软件分析静力学问题的根本流程.答：1.前处理器：1〕定义单元类型,2〕定义实常数,3〕定义材料属性,4〕创立实体几何模型,5〕划分网络；2.求解器：1〕定义分析类型,2〕施加载荷和位移约束条件,3〕求解；三角形三节点单元的位移是连续的,应变和应力在单元内是常数,因而其相邻单元将具有不同的应力和应变,即在单元的公共边界上和应变的值将会有突变.矩形单元的边界上,位移是线性变化的,显然,在两个相邻矩形单元的公共边界上,其位移是连续的.节点的选用原那么：一般说,集中力、集中力偶、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点、支承点都能赢取为节点.单元的划分原那么：〔1〕划分单元的数目,视要求的计算精度和计算机的性能而定.〔2〕单元的大小,可根据部位的不同而有所不同.1、试述街节点力和节点载荷的区别.节点力是单元与节点之间的作用力；如果取整个结构为研究对象,节点力为内力,节点载荷是作用在节点上的外载荷.2、试述求整体刚度矩阵的两种方法.分别建立各节点的平衡方程式,写成矩阵形式,可求得整体刚度矩阵；将各单元刚度矩阵按规律叠加,也可得整体刚度矩阵.3、平面问题中划分单元的数目是否越多越好不是越多越好.划分单元的数目,视要求的计算精度和计算机的性能而定.随着单元数目的接连多,有限元解逐步逼近于真实解,但是,单元数目接连加,刚求解的有限元线性方程组的数目接连多, 需要占用更多的计算机内存资源,求解时间接连长,所以,在计算机上进行有限元分析时,还要考虑计算机的性能.单元数过多并不经济.4、写出单元刚度矩阵的表达式,并说明单元刚度与那些因素有关[B]-单元应变矩阵,[D]-弹性矩阵,t-厚度〕单元刚度矩阵取决于单元的大小、方向、和弹性常数,而与单元的位置无关,即不随单元或坐标轴的平移而改变.5、选择多项式为单元的位移模式时,除了要满足单元的完备性和协调性要求,还须考虑什么因素还须考虑两个因素：1、所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关,即几何各向同性. 2、多项式位移模式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的自由度数,通常取多项式的项数与单元的外节点的自由度数想等.。

有限元作业——精选推荐

有限元作业等参单元的原理及应⽤摘要：在平⾯问题的有限元法中，最简单因⽽最常⽤的是具有三个节点的简单三⾓形单元，其次是具有四个节点的矩形单元。

矩形单元能较好地反映实际盈利的变化情况，但是矩形单元不鞥适应曲线边界和⾮正交的直线边界，也不能随便改变其⼤⼩，如果改⽤任意四边形单元，则在相邻两单元的公共边界上，位移将不是相性变化，公共边上位移的连续性将得不到保证。

利⽤等参变换，则可以解决这个⽭盾。

关键字：等参单元；有限元⽅法；Newton-Cotes 积分；刚度矩阵；1概述部分：1.1等参单元的概念及其原理所谓的等餐变换是指单元的位移模式与坐标变换表达式中具有完全相同的插值函数的变换。

采⽤等参变换的单元即称为等参单元。

对于如图1.1（a ）所⽰的任意四边形单元，参照前⾯源于矩形单元的位移模式，可以取+++=+++=4433221144332211νννννN N N N u N u N u N u N u （1-1）图1.1 等参单元⽽其中的形函数为：()()1114i i i N ξξηη=++ （1-2）式中：ζ、η为该四边形单元的局部坐标，ζi 、ηi 为四个⾓节点的局部坐标值，其值为：（1-3）由公式（1-1）、（1-2）可以看出，该位移模式在四个节点处给出节点位移。

⽽且，在单元的死边上，位移是线性变化的，从⽽保证了位移的连续性，因此，式（1-1）、（1-2）就是所需的正确的位移模式。

同时，如果效仿位移模式式（1-1）、（1-2），把坐标变换式取为：+++=+++=4433221144332211x N x N x N x N y x N x N x N x N x （1-4）也显然可见，该变换式在四个节点处给出节点的整体坐标；⽽且，在单元的四边上，⼀个局部坐标等于±1，⽽另⼀个局部坐标是线性变化的，从⽽课件，整体坐标也是线性变化的。

因此，式（1-4）就是所需的正确的坐标变换式。

在这⾥，图1-1（b ）中的正⽅形单元称为基本单元或母单元，⽽图1-1（a ）中的任意四边形单元，是由该基本单元通过变换⽽得来的实际单元。

平面问题有限元例题

0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 2 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0
1
3 0
0
4
0
0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 0 1 2 0 0 1
1 2 1 5 3 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 2 0 2 0 0 0 1 1 0
0
1
6
E 4
0 0
0 0
0 1
0 0
00 00
0 3
0 0 1 2 0 0 1
0 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 1 2 1 0 0
4 3 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 5 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 00 0 0 00 0
0 1
0 0
0 0
0 0
2 0 1 1
2
0
0 返1回Βιβλιοθήκη 6所以结构总方程为：
R K
其中
R 0 P 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0T
u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 u5 v5 u6 v6 T
考虑到边界条件：
u1 u2 u3 v4 v5 v6 0
返回
用对角元乘大数法消除奇异性后的结构总体方程为：
0
1
1
0
1 1
i
k 3
E 4
0 0
1 0
1 0
0 2
1 1 0 2
j
2 1 1 0 3 1
m
0 1 1 2 1 3
各单元的节点编号与总体结构的总编号之间的对应关系见表3-2。

129331406890781250平面有限元法作业

第三章作业3-1：试证明平面三角形单元内任一点的形函数之和恒等于1。

证明1：设单元发生X 方向的刚体位移0u ，则单元内到处应有位移0u ，有0u u u u m j i ===()00u u N N N u N u N u N u m j i m m j j i i =++=++=1=++m j i N N N若位移函数不满足此要求，则不能反映单元的刚体位移，不能得到正确的结果。

#证明2：设P 是三角形内任一点，可用面积坐标表示为()m j i L L L P 。

由面积坐标的定义和性质知1=++m j i L L L ，且三节点三角形的一点的面积坐标即为其形函数，故平面三角形单元内任一点的形函数之和恒等于1。

#3-2：试证明三角形单元的任一边上的一点的三个形函数与第三个顶点的坐标无关。

证明1：设k 是三角形ij 边上的任一点，点k 面积坐标得0==m m L N #证明2：三角形单元是协调单元，必须在单元边界上保持连续性，所以在单元边界上的点的位移只能由边上两个节点的形函数来贡献，否则就会撕裂和重叠，即（如在ij 边上的点）jj i i j j i i v N v N v u N u N u +=+=故三角形的三边上的点的形函数只与边上节点的坐标有关，而与第三点无关。

#3-3：证明三角形单元是常应变单元。

证明：y x u 321ααα++=，y x v 654ααα++=2αε=∂∂=xux 6αε=∂∂=yvy53ααγ+=∂∂+∂∂=xv y u xy # 即三角形单元是常应变单元。

3-4：已知单元刚度矩阵[][][][]tdxdy B D B k TA e⎰⎰=，试说明[][]D B ,分别是什么矩阵，与单元的那些特性有关？若厚度为t 的平面三角形常应变单元ijm 的单元刚度矩阵记为：[][][][][][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=mm jm jj im ij ii k k k k k k k 说明子块[]ij k 的物理意义，并证明[]k 为对称矩阵。

第三章平面问题的有限元法作业及答案

第三章平面问题的有限元法作业1. 图示一个等腰三角形单元及其节点编码情况，设μ=0，单元厚度为t 。

求 1）形函数矩阵[]N ；2）应变矩阵[]B ；3）应力矩阵[]S 。

4第1题图第2题图2. 如题图所示，结构为边长等于a 的正方形，已知其节点位移分别为：11(,)u v 、22(,)u v 、33(,)u v 、44(,)u v 。

试求A 、B 、C 三点的位移。

其中A 为正方形形心，B 为三角形形心。

3.直角边边长为l 的三角形单元，如题图所示。

试计算单元等效节点载荷列阵（单元厚度为t ，不计自重）。

第3题图第4题图4. 如题图所示，各单元均为直角边边长等于l 的直角三角形。

试计算（1）单元等效节点载荷列阵；（2）整体等效节点载荷列阵。

已知单元厚度为t ，不计自重。

5．下列3个有限元模型网格，哪种节点编号更合理？为什么？934679121134612142(a) (b) (c)第5题图6.将图示结构画出有限元模型；标出单元号和节点号；给出位移边界条件；并计算半带宽（结构厚度为t ）。

2a(a) (b) 无限长圆筒 (c) 第6题图7. 结构如图所示，已知结构材料常数E 和，单元厚度为t 。

利用结构的对称性，采用一个单元，分别计算节点位移和单元应力。

第7题图答案：1. 1）形函数i x N a =， j y N a = ， 1m x y N a a=-- 2）应变矩阵[]1000101000101011011B a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦3）应力矩阵[]10001010001011111002222S a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦2. A 点的位移为()2312A u u u =+ ， ()2312A v v v =+ B 点的位移为()24313B u u u u =++ ， ()24313B v v v v =++ C 点的位移为()1223C a u u u =+ ， ()C 1223av v v =+ 3. 单元等效节点载荷列阵为{}111100003663Tei j i jR q q q q ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦4. （2）整体等效节点载荷向量为{}111100006322TR qlt P qlt P Pqlt qlt ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ 7. （1）减缩后的整体刚度方程22122122222221110222021102(1)22102x x b b ab R b ab b P v Etab a b ab ab R v b a μμμμμμμμμ---⎡⎤--⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪--⎪⎪⎢⎥⎪⎪-⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬---++⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭-⎢⎥⎩⎭+⎢⎥⎣⎦ 节点位移22(1) PbvEat μ+=-，2212212b av vbμ-+=单元应力为愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。