2015-2017三年高考分析极坐标与参数方程

坐标系与参数方程

一． 考纲

（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

（2） 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.

（3） 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.

（4）了解参数方程，了解参数的意义.

（5） 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 二、坐标系与参数方程命题分析

解答题坐标系与参数方程命题的概率是1.0，都位于解答题的第六题，虽然是倒数第一题，但不是压轴题，是选考题，二选一共10分，属于解答题中的容易或比较容易的试题。容主要涉及曲线与极坐标方程、参数方程、普通方程关系，求曲线的轨迹方程、求曲线的交点，极坐标与直角坐标的转化等知识与方法。从多年命题情况分析，总体是比较容易解决的。 三、考点

（一）方程互化问题

互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.

互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩

⎪

⎨⎧≠=+=)

0(tan 2

22x x y

y x θρ（θ的象限由点(x,y)所在的象限确定） 名师点睛：“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易. 1、极坐标方程与直角坐标方程的互化 考题1（直角坐标方程化为极坐标方程）

（2016全国卷2）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2

2

(6)25x y ++=．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

答案：（Ⅰ）2

12cos 110ρρθ++= 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化 命题意图：重点考查了转化与化归能力

试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程2

12cos 110.ρρθ++= 总结升华：极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的围．要注意转化的等价性.

强化训练1. （2015新课标1，23）在直角坐标系xOy 中。直线

1

C :

2x =-，圆2C ：

()()

22

121

x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （I ） 求

1

C ，

2

C 的极坐标方程；

解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+= 考题2（极坐标方程化为直角坐标方程）

（2015新课标2 ，23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα

=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其

中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3

：

ρθ=。（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；

答案：(0,0)

和3

)22

考点：直角坐标及极坐标方程的互化

试题解析：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2

2

20x y y +-=，曲线3C

的直角坐标方程为

220x y +-=.

联立2

2

22

20,0

x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得0,0,x y =⎧⎨=⎩

或3.2

x y ⎧

=⎪⎪

⎨⎪=⎪⎩

所以2C 与3C 交点的直角坐标为(0,0)

和3(

)22

总结提升：1.运用互化公式：222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，

可转化直角坐标系的情境进行．

3.若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以ρ，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决. 强化训练

1．（2016 全国卷3，23）在直角坐标系xOy 中，曲线1C

的参数方程为()

sin x y θ

θθ

⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C

的极坐标方程为

sin()4

ρθπ

+=.

（I ）

写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；

答案：1C 的普通方程为2

213

x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. 2、参数方程普通方程的互化

考题1（参数方程化为普通方程）

（2017课标3，22）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+,,

x t y kt =⎧⎨

=⎩（t 为参数），直

线2l 的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪

⎨

=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为

曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标

系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ)

=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.

答案：（1）22

4(0)x y y -=≠；（2）5

试题解析：（1）直线1l 的普通方程为(2)y k x =-，直线2l 的普通方程为2x ky =-+， 消去k 得 224x y -=，

00k y ≠∴≠ 即C 的普通方程为224(0)x y y -=≠.

（2）3l

化为直角坐标方程为x y +=

，

联立22

4

x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 得

x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ， ∴222182

544

x y ρ=+=

+=， ∴3l 与C 的交点M

考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程