2015-2017三年高考分析极坐标与参数方程
全国卷历年高考极坐标与参数方程真题归类分析(含答案)复习进程
全国卷历年高考极坐标与参数方程真题归类分析(含答案)全国卷历年高考极坐标与参数方程真题归类分析（含答案）一、极坐标1.（2015年1卷）在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ∆的面积.【解析】：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分 （Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=22，2ρ=2，|MN|=1ρ－2ρ=2，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 121sin 452⨯⨯⨯=12.1.（2015年2卷）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ (t 为参数,且t≠0),其中0≤α<π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标.(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.【解析】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2x=0.联立x y y x y x 2222⎧+-2=0⎪⎨+-23=0⎪⎩，解得x y =0⎧⎨=0⎩，或x y ⎧3=⎪⎪2⎨3⎪=⎪⎩2. 2C 与3C 交点的直角坐标为(,)00和(,).3322(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4|sin(α-)|.当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.3.（2107全国2卷理科22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．解析 （1）设()()00M P ρθρθ，，，，则0||OM OP ρρ==，． 由000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得4cos ρθ=，化直角坐标方程为()2224x y -+=()0x ≠. （2）联结AC ，易知AOC △为正三角形，||OA 为定值．所以当高最大时，AOB △的面积最大，如图所示，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于点H ，交圆C 于B 点，此时AOB S △最大，max 1||||2S AO HB =⋅()12AO HC BC =+32=.二、参数方程1.（2016年3卷）在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为x αy sin α⎧⎪=⎨⎪=⎩ (α为参数),以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin πθ4⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程.(2)设点P 在C 1上,点Q 在C 2上,求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.【解析】(1)由x αy sin α⎧⎪=⎨⎪=⎩得2x 3+y 2=1.因为ρsin πθ4⎛⎫+ ⎪⎝⎭=ρsinθ+ρcosθ=2所以x+y=4.所以C 1的普通方程为2x 3+y 2=1,C 2的直角坐标方程为x+y=4.(2)由题意,可设点P的直角坐标为)α,sin α,因为C 2是直线,所以PQ 的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值,d(α)=πsin α23⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.当且仅当α=2kπ+π6 (k ∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P 的直角坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭5.（2017年1卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为()41x a tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数.（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la .解析 （1）当1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=，曲线C 的标准方程为2219x y +=. 联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭，. （2）直线l 一般式方程为440x y a +--=，设曲线C 上点()3cos sin p θθ，． 则点P 到l的距离d ==，其中3tan 4ϕ=．依题意得max d 16a =-或8a =.三、普通方程（2016年1卷）在直线坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为x acost,y 1asint⎧=⎨=+⎩ (t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cosθ.(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程.(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.【解析】(1)x acost,y 1asint⎧=⎨=+⎩ (t 为参数),所以x 2+(y-1)2=a 2. ①所以C 1为以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.方程为x 2+y 2-2y+1-a 2=0. 因为x 2+y 2=ρ2,y=ρsinθ,所以ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,即为C 1的极坐标方程. (2)C 2:ρ=4cosθ,两边同乘ρ,得ρ2=4ρcosθ,∵ρ2=x 2+y 2,ρcosθ=x, ∴x 2+y 2=4x.即(x-2)2+y 2=4. ②C 3:化为普通方程为y=2x,由题意:C 1和C 2的公共方程所在直线即为C 3. ①-②得:4x-2y+1-a 2=0,即为C 3,所以1-a 2=0,所以a=1.（2016年2卷）在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB =，求l 的斜率．【解析】解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=． ⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，=，即22369014k k =+，整理得253k =，则k =．6.（2017全国3卷理科22）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x ty kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mm m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3cos sin 0l ρθθ+=：，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．6．解析 ⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ①()21:2l y x k=+ ② ⨯①②，消k 可得224x y -=，即点P 的轨迹方程为224x y -=()0y ≠. ⑵将极坐标方程转化为一般方程3:0l x y +-=，联立224x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，解得ρ=M．。
专题25 选修部分—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(解析版)
1.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）． （1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ． 【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2）8a =或16a =-．试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=． 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-． （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =．当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d=，所以16a =-． 综上，8a =或16a =-． 【考点】参数方程【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表达椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a 的值．2【2017课标1，文23】已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ． （1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -<≤；（2）[1,1]-．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<≤． （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[1,1]-． 【考点】不等式选讲【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，在每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．3.【2017课标II ，文22】 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。
极坐标与参数方程的分析与启示
2017年高考全国卷（坐标系与参数方程）分析与启示一、特色解读2017年高考新课标卷对《坐标系与参数方程》的考查，题型没有变、第23题位置没有变，文理同题没有变，分值10分没有变，命题本源为选修内容没有变，命题延续了以往对主干知识的考查，以直线、椭圆参数方程为背景，求曲线的交点坐标和最值问题，注重基本运算及知识的应用，中规中矩，基本符合预期.6根据（2012—2017）的考查统计，可以看出，高考课标卷对《坐标系与参数方程》的考查主要体现在平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；常见曲线（直线、圆、椭圆、抛物线）的参数方程及参数方程的简单应用，以极坐标、参数方程与普通方程的互化，直线与曲线位置关系为主要考查形式.⇔⇔2．能力（1）通过不同坐标系或不同形式的方程之间转换，考查运算求解能力.（2）某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，因些，极坐标的几何意义，参数方程的应用是高考命题的频点.3．思想方法（1）通过极坐标或参数方程解决直线、圆、椭圆等问题，考查数形结合思想. （2）解决问题时采用何种形式的方程比较方便，考查化归与转化思想. 二、亮点扫描 【例题一】（2016课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【解析】（Ⅰ）C 的极坐标方程为2+12cos 110ρρα+=.（Ⅱ）【解法一】直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈∈；联立圆C 的极坐标方程；由 2+12cos 110θαρρθ=⎧⎨+=⎩ 得2+12cos 110ρρα+=,12AB ρρ=-==【解法二】直线l 的参数方程cos s i n x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆C 的普通方程22(6)25x y ++=， 得2+12cos 110t t α+=,12AB t t =-==【解法三】直线l 的普通方程为tan y kx α==,由22(6)25y kx x y =⎧⎨++=⎩ 得22(1)12110k x x +++=,12AB x =-==. 知识：圆的普通方程化为极坐标方程，直线参数方程参数和极坐标极角，极径的应用. 方法：求过原点的直线与曲线相交距离问题.（1）把直线的极坐标方程()R θαρ=∈∈与曲线的极坐标方程联立，两个交点距离为12ρρ-=.（2）把直线的参数方程与曲线的普通方程联立，两个交点距离为12t t -=（3）把直线与曲线全部化为普通方程，两个交点距离为12x -=【例题二】（2017全国课标Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（Ⅰ）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】（Ⅰ）设点P 的极坐标为(,)ρθ，点M 的极坐标为1(,)ρθ，OP ρ=14cos OM ρθ==，||||16OM OP ⋅=，1.16ρρ=，点P 的轨迹2C 的极坐标方4cos ρθ=，从而2C 的普通方程；22(2)4x y -+=（Ⅱ）点B 在曲线2C 上，点B 的极坐标为2(,)ρθ，24cos ρθ=，OAB ∆面积21.sin 4cos sin()2sin(2)233S OA AOB ππρααα=∠=-=--知识：极坐标方程化普通方程，轨迹问题，极坐标极角，极经的几何意义及其应用应用. 方法：某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，在教学中要十分重视极坐标方程，极坐标极角，极经的几何意义，而不是一味的转化为普通方程问题处理.【例题三】（2017全国课标III ）在直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (Ⅰ)写出C 的普通方程；(Ⅱ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3:(cos sin )0l ρθθ+，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．【解析】(Ⅰ)直线1l 的普通方程为(2)y k x =-，直线2l 的普通方程为1(2)y x k=+，由(2)1(x 2)y k x y k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去k 得224(0)x y y -=≠.(Ⅱ) 【解法一】直线3l的普通方程为0x y +=，曲线C 的普通方程为224x y -=，两曲线的交点()22M - 求得M 的极径. 【解法二】直线3l的参数方程为2y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线C 的普通方程224x y -=，得1t =-，M 求得M 的极径. 【解法二】曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=（02,θπθπ<<≠）直线3l的极坐标方程为(cos sin )0ρθθ+-=，联立2222cos sin 4(cos sin )0ρθρθρθθ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，ρ=知识：直线参数方程化为普通方程，轨迹问题，极坐标方程和参数方程的应用， 方法：求直线与曲线的交点坐标问题.（1）把直线与曲线分别化为普通方程，联立求交点坐标.（2）把直线与曲线分别化为参数方程和普通方程，联立求参数，得交点坐标. （3）把直线与曲线分别化为极坐标方程，求交点极坐标，获得极径， 【例题四】（15全国课标Ⅰ）直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若2C 与1C 交于点A ，3C 与1C 交于点B ，求AB 的最大值． 【解析】（Ⅰ）把2C 与3C 极坐标方程分别化为普通方程，求交点坐标；（Ⅱ）【解法一】曲线1C 的参数方程cos ,:sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），分别代入曲线2C 和3C 的普通方程得到(2sin ,),A αα,),A αα2sin AB αα=-.【解法二】曲线1C 是过原点的直线，其极坐标方程为()R θαρ=∈∈；分别代入曲线2C 极坐标方程2sin ρθ=和3C的极坐标方程ρθ=，得到两交点A 和B 的极径分别为12sin ρα=，2ρα= AB =12ρρ-=2sin αα-.【解法三】曲线1C 普通方程为tan y x α=，曲线2C 普通方程为222x y y +=，曲线3C普通方程为22x y +=，分别求曲线1C 与曲线2C ，3C 的交点坐标相当困难.知识：曲线参数方程化为普通方程，曲线极坐标方程化为普通方程. 方法：求过原点的直线与两条曲线分别相交，两个交点距离问题.（1）把直线的极坐标方程()R θαρ=∈∈与两条曲线的极坐标方程联立，得两个交点的极径，两个交点距离为12ρρ-.（2）把直线的参数方程与两条曲线的普通方程联立，分别获得交点直角坐标，求得两交点距离.（3）把曲线全部化为普通方程，本题问题难以解决.【例题五】（2017全国课标Ⅰ）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. (Ⅰ)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(Ⅱ)若C 上的点到l a 【解法一】(Ⅰ)若1a =-，直线l 的参数方程为14,1,x t t y t =-+⎧⎨=-⎩（为参数）.代入曲线C 的普通方程：2219x y +=得1,t =，125t =，为交点坐标2124(3,0),(,)2525-；【解法二】曲线C 的普通方程为：2219x y +=，直线l 的普通方程为430x y +-=，联立得交点坐标(Ⅱ) 直线l 的普通方程为440x y a +--=，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩曲线C 上的点可设为(3cos ,sin )P θθ，P 点到l 的距离d =.知识：曲线的参数方程化为普通方程，曲线普通方程化为参数方程，参数的应用.方法：椭圆的普通方程22221x y a b+=，参数方程为cos ,sin ,x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数），椭圆上的点可以设为(cos ,sin )P a b θθ，转化为数形结合思想.【例题六】（2014全国课标Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. (Ⅰ)求C 的参数方程；(Ⅱ)设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据(Ⅰ)你得到的参数方程，确定D 的坐标.【解析】(Ⅰ) C 的普通方程为222x y x +=，从而C 的参数 方程为1cos ,sin ,x y ααα=+⎧⎨=⎩（为参数）. (Ⅱ) 点D 在C 上，而C 的参数方程为1cos ,sin ,x y ααα=+⎧⎨=⎩（为参数）,所以(1cos ,sin ),(0)D αααπ+≤≤,(1,0)C , 直线CD 的斜率为sin 0sin 1cos 1cos αααα-=+-,CD l，sin cos 3απαα==.知识：圆的极坐标方程化为普通方程，圆的普通方程化为参数方程. 方法：圆的普通方程为222()()x a y b r -+-=，圆的参数方程为cos ,sin ,x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），圆上的点可以设为(+cos ,sin )P a r b r θθ+，转化为数形结合思想.【例题七】（2017江苏高考）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=.因为点P 在曲线C上，设2(2)P s ， 点P 到直线l的的距离22d ==β知识：直线的参数方程化为普通方程，参数的应用.方法：抛物线的普通方程为22y px =，参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数），抛物线上的点可以设为2(2,2)P pt pt ，转化为数形结合思想.三、复习启示1. 重视基础知识的复习①写出点的极坐标，与直角坐标的互化；②写出圆、椭圆、抛物线或相关轨迹的参数方程；③极坐标方程、参数方程、普通方程的互化；不断强化，提高准确率，减少失误. 2. 重视化归与转化思想方法较多关注参数方程和极坐标方程的应用，如： ①极坐标ρ的几何意义；②直线标准参数t 的几何意义；③圆、椭圆的三角参数；提高应用意识. 3. 重视知识的交汇联系①解析几何中直线与圆、椭圆、抛物线的交点、距离等问题；②三角恒等变换（辅助角公式）等知识；以横向联系和纵向联系为主线，对模块内容加以整合，优化认知结构，构建良序的知识网络.四、佳题欣赏【例题一】（2017年厦门市第二次检测）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3cos 1t y t x （t 为参数），其中πα<≤0.在以O 为极点，错误！未找到引用源。
三年高考分析极坐标与参数方程
极坐标与参数方程是解析几何中的两种常见的表示曲线的方式。
在三年高考中，几何部分是一个相对较为困难的部分，掌握极坐标与参数方程的概念和应用是解题的基础。
本文将对极坐标与参数方程的概念、特点以及在高考中的应用进行详细分析。
一、极坐标的概念与特点1.极坐标的定义：极坐标是用一个点到极点的距离和该点与参考轴之间的夹角来表示平面上的点的坐标。
以原点为极点，与正半轴的夹角为极角，到原点的距离为极径。
2.极坐标的表示：设有一个点P(x,y)，则可以用极坐标表示为P(r,θ)，其中r表示极径，θ表示极角。
-极径r：点P到原点O的距离，可以是非负实数；-极角θ：线段OP与参考轴正半轴之间的夹角，可以取任意实数。
3.极坐标与直角坐标之间的转换：-从直角坐标到极坐标的转换：极径r=√(x²+y²)极角θ = tan⁻¹(y/x)。
-从极坐标到直角坐标的转换：x = r*cosθy = r*sinθ。
4.极坐标的特点：-极坐标表示点与坐标轴的夹角，更符合几何直观；-极坐标式所描述的曲线，形状更规整，方程一般最简化。
二、参数方程的概念与特点1.参数方程的定义：参数方程是指用参数与函数之间的关系来表达的方程。
在平面几何中，参数方程用一个或多个参数来表示一个曲线上的点。
2.参数方程的表示：一般形式为{x=f(t),y=g(t)}，其中x、y为自变量的函数，t为参数。
3.参数方程的特点：-参数方程可以表示一些直角坐标系难以表示的曲线，如椭圆、双曲线等；-参数方程通常可以描述曲线上每一个点的运动轨迹；-参数方程的参数可以取多种形式，如时间、角度等。
三、极坐标与参数方程在高考中的应用1.极坐标的应用：-区间与曲线的关系：根据极坐标系下曲线的特点，可以确定曲线所在的区间；-曲线方程求解：通过转换极坐标与直角坐标，可以将曲线方程转化为直角坐标系下的方程来求解，简化计算；-弧长与面积的计算：使用极坐标系统计算弧长和面积，常见于平面图形的计算。
高考极坐标与参数方程题型及解题方法
高考极坐标与参数方程题型及解题方法1. 引言在高考数学考试中，极坐标与参数方程是比较常见的题型。
掌握这些题型的解题方法对于考生来说非常重要。
本文将针对高考中常见的极坐标与参数方程题型进行介绍，并给出相应的解题方法。
2. 极坐标题型及解题方法2.1 求曲线方程在给定了极坐标方程$r=f(\\theta)$的情况下，求曲线的方程是比较常见的题型。
要解决这类题目，一般有以下步骤：•首先，观察函数$f(\\theta)$的性质，判断是否是一个周期函数，通过实例来确定周期。
•根据这个周期，可以得到对应的关系式。
•使用关系式消去r和$\\theta$，得到曲线的直角坐标方程。
•最后，通过画图或其他方式，验证所得方程是否正确。
2.2 求曲线的长度求曲线的长度也是一个常见的问题，一般分为以下几步：•根据给定的极坐标方程$r=f(\\theta)$，利用弧长公式进行求解。
公式为：$$L=\\int_{\\alpha}^{\\beta}\\sqrt{[f'(\\theta)]^2+f^2(\\theta)}d\\theta$$ •其中$\\alpha$和$\\beta$为曲线所在区间，$f'(\\theta)$为导数。
•确定曲线所在区间，并计算导数$f'(\\theta)$。
•将上述求得的值带入弧长公式中，进行计算。
2.3 求曲线与极轴的夹角有时候，我们需要求出曲线与极轴的夹角。
对于这类问题，一般可以按照以下步骤进行求解：•首先，通过给定的极坐标方程$r=f(\\theta)$求出曲线与极轴的交点。
•然后，求出曲线在交点处的切线斜率k。
斜率的求解公式为：$$k=\\tan(\\pi/2-\\theta)=-\\frac{dr}{d\\theta}/r$$•最后，利用切线的斜率k求出曲线与极轴的夹角。
3. 参数方程题型及解题方法3.1 求曲线方程对于给定的参数方程x=f(t)和y=g(t)，求曲线的方程也是常见的高考题型。
高考数学试题分项版—极坐标参数方程(解析版)
2017 年高考数学试题分项版—极坐标参数方程（分析版）一、填空题2－ 2ρcos θ－ 4ρsin θ＋ 4＝ 0 上，点 P 的坐标1．(2017 北·京理， 11)在极坐标系中，点A 在圆ρ为(1,0) ，则 |AP|的最小值为 ________．1．【答案】 1222【分析】由ρ－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得x＋y－2x－4y＋4＝0，即( x－1) 2＋ (y－ 2)2＝ 1，圆心坐标为 C(1,2)，半径长为 1.∵点 P 的坐标为 (1,0) ，∴点 P 在圆 C 外．又∵点 A在圆 C上，∴|AP|min＝ |PC|－ 1＝ 2－1＝ 1.π2． (2017 天·津理， 11)在极坐标系中，直线4ρcos θ－6＋ 1＝ 0 与圆ρ＝ 2sin θ的公共点的个数为 ________．2．【答案】 2π【分析】由4ρcos θ－6＋ 1＝0，得 23ρcos θ＋ 2ρsin θ＋ 1＝ 0，故直线的直角坐标方程为23x＋ 2y＋ 1＝ 0，由ρ＝ 2sin θ，得ρ2＝ 2ρsin θ，故圆的直角坐标方程为x2＋ y2＝ 2y，即 x2＋(y－ 1)2＝ 1，圆心为 (0,1) ，半径为 1，∵圆心到直线 2 3x＋ 2y＋ 1＝ 0 的距离 d＝|2×1＋ 1|＝3＜ 1，2 3 2＋224∴直线与圆订交，有两个公共点．二、解答题1． (2017 全·国Ⅰ文， 22)[ 选修 4－4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参x＝ 3cos θ，(θ为参数 )，直线 l 的参数方程为x＝ a＋4t，(t 为参数 )．数方程为y＝ 1－ t y＝ sin θ(1)若 a＝－ 1，求 C 与 l 的交点坐标；(2) 若 C 上的点到 l 的距离的最大值为17，求 a.2x＋ y2＝ 1.1．解 (1) 曲线 C 的一般方程为9当 a＝－ 1 时，直线 l 的一般方程为x＋ 4y－ 3＝0.x221，＋y2＝ 1，x＝ 3，x＝－25由9解得或y＝ 024x＋ 4y－ 3＝0，y＝25.进而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)，－2125，2425 .(2)直线 l 的一般方程为 x＋ 4y－ a－ 4＝ 0，故 C 上的点 (3cos θ， sin θ)到 l 的距离为|3cos θ＋ 4sin θ－ a－ 4|d＝.17当 a≥－ 4 时， d 的最大值为a＋9.17a＋ 9由题设得＝17，所以 a＝ 8；－a＋ 1当 a<－ 4 时， d 的最大值为.17由题设得－a＋ 117，所以 a＝－ 16.＝17综上， a＝8 或 a＝－ 16.2． (2017 ·国Ⅱ文，全 22)[ 选修 4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M 为曲线 C1的动点，点 P 在线段 OM 上，且知足 |OM | ·|OP＝ 16，求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程；(2) 设点 A 的极坐标为2，π，点 B 在曲线 C2上，求△OAB 面积的最大值．32．解(1) 设点 P 的极坐标为 (ρ，θ)( ρ>0) ，点 M 的极坐标为 (ρ1，θ)( ρ1>0)．由题设知 |OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4. cos θ由|OM| ·|OP＝ 16 得 C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ>0)．所以 C2的直角坐标方程为( x－2) 2＋ y2＝ 4(x≠0)．(2)设点 B 的极坐标为 (ρB，α)(ρB>0)．由题设知 |OA|＝ 2，ρB＝ 4cos α，于是△OAB 的面积 S＝1B2|OA|ρ·· sin∠ AOB＝4cos α·sinα－π3＝2 sin 2α－π－3≤2＋ 3. 32π当α＝－12时，S获得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.3． (2017 全·国Ⅲ文， 22)[ 选修 4-4：坐标系与参数方程]x＝2＋ t，在直角坐标系xOy 中，直线 l 1的参数方程为(t 为参数 )，直线 l 2的参数方程为y＝ktx＝－ 2＋m，m(m 为参数 )．设 l1与 l 2的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C.y＝k(1)写出 C 的一般方程；(2) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋ sin θ)－2＝ 0， M 为 l 3与 C 的交点，求M 的极径．3．解(1) 消去参数t，得 l 1的一般方程l 1： y＝ k(x－ 2)；消去参数 m，得 l 2的一般方程l2： y＝1k(x＋ 2) ．y＝ k x－2 ，设 P(x， y)，由题设得1y＝k x＋2 .消去 k 得 x2－ y2＝ 4(y≠0)．所以 C 的一般方程为x2－ y2＝ 4(y≠0)．(2) C 的极坐标方程为222θ)＝ 4(0＜θ＜ 2π，θ≠π)．ρ(cos θ－sin222ρ cos θ－ sinθ＝ 4，联立得ρcos θ＋ sin θ－2＝ 0，cos θ－ sin θ＝ 2(cos θ＋sin θ)．191故 tan θ＝－3，进而 cos2θ＝10， sin 2θ＝10.2222代入ρ(cosθ－ sinθ)＝ 4，得ρ＝ 5，所以交点 M 的极径为 5.4． (2017 江·苏， 21)C． [ 选修 4— 4：坐标系与参数方程]x＝－ 8＋ t，在平面直角坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为t(t 为参数 )，曲线 Cy＝2x＝ 2s2，的参数方程为(s 为参数 )．设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最y＝ 22s小值．4．解直线l的一般方程为x－ 2y＋ 8＝ 0，由于点 P 在曲线 C 上，设 P(2s2,22s)，进而点 P 到直线的距离2－4 2s＋ 8|22＋ 4|d＝|2s＝|2 s－，554 5当 s＝ 2时， d min＝5 .所以当点 P 的坐标为 (4,4)时，曲线 C 上的点 P 到直线 l 的距离取到最小值455.5． (2017 全·国Ⅰ理， 22)[ 选修 4-4，坐标系与参数方程]x＝ 3cos θ，在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为(θ为参数 )，直线 l 的参数方程y＝ sin θx＝ a＋4t，(t 为参数 )．为y＝ 1－ t(1)若 a＝－ 1，求 C 与 l 的交点坐标；(2) 若 C 上的点到l 的距离的最大值为17，求 a.25．解(1) 曲线 C 的一般方程为x9＋y2＝1.当 a＝－ 1 时，直线l 的一般方程为x＋ 4y－ 3＝0.x＋ 4y－ 3＝0，由x2＋y2＝1，921x＝ 3，x＝－25，解得或y＝024，y＝252124进而 C 与 l 的交点坐标是 (3,0)，－25，25 .(2)直线 l 的一般方程是 x＋ 4y－ 4－ a＝ 0，故 C 上的点 (3cos θ，sin θ)到 l 距离为|3cos θ＋ 4sin θ－ a－ 4|d＝.17当 a≥－ 4 时， d 的最大值为a＋9.17a＋ 9由题设得＝17，所以 a＝ 8；－a＋ 1当 a<－ 4 时， d 的最大值为.17－a＋ 1由题设得＝17，17所以 a＝－ 16.综上， a＝8 或 a＝－ 16.6． (2017 ·国Ⅱ理，全 22)[ 选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝ 4.(1)M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且知足 |OM | ·|OP＝ 16，求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程；(2) 设点A 的极坐标为π2，3，点B 在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．6．解(1) 设点 P 的极坐标为 (ρ，θ)(ρ>0)，点 M 的极坐标为 (ρ1，θ)( ρ1>0)，由题设知，4|OP |＝ρ， |OM |＝ρ1＝.由|OM| ·|OP＝ 16，得 C2的极坐标方程ρ＝ 4cos θ(ρ>0) ．所以 C2的直角坐标方程为 ( x－2) 2＋ y2＝ 4(x≠0)．(2)设点 B 的极坐标为 (ρB，α)(ρB>0)．由题设知 |OA|＝ 2，ρB＝ 4cos α.于是△OAB 的面积1S＝2|OA| ρ·B· sin∠ AOB＝4cos α sinα－π3＝4cos α13sin α－2cos α2＝|sin 2α－ 3cos 2α－3|＝2 sin 2α－π－3≤2＋ 3.32πππ当 2α－3＝－2，即α＝－12时， S 获得最大值2＋3，所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.7． (2017 全·国Ⅲ理， 22)[ 选修 4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线 l 1的参x＝ 2＋ t，x＝－ 2＋ m，数方程为(t 为参数 ) ，直线 l2的参数方程为m(m 为参数 )．设 l 1与y＝ kt y＝kl 2的交点为P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的一般方程；(2) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋ sin θ)－2＝0， M 为 l 3与 C 的交点，求 M 的极径．7．解 (1) 消去参数 t，得 l 1的一般方程 l 1： y＝ k(x－ 2)；1(x＋ 2) ．消去参数 m，得 l 2的一般方程 l2： y＝ky＝ k x－2 ，设 P(x， y)，由题设得1y＝k x＋2 ，消去 k，得 x2－ y2＝4(y≠0)，所以 C 的一般方程为x2－ y2＝ 4(y≠0)．(2) C 的极坐标方程为222θ)＝ 4(0＜θ＜ 2π，θ≠π)，ρ(cos θ－sinρ2 cos2θ－sin2θ＝4，联立得ρcos θ＋ sin θ－2＝ 0，cos θ－ sin θ＝ 2(cos θ＋sin θ)．故 tan θ＝－1，进而 cos2θ＝9， sin 2θ＝1. 310102222＝ 5，代入ρ(cos θ－ sinθ)＝ 4，得ρ所以 l3与 C 的交点M 的极径为 5.。
2015-2017全国新课标卷圆锥曲线 极坐标参数方程高考真题汇编【解析版】
2015圆锥曲线【答案】（I；（II ）．试题分析：（I ）先写过点，的直线方程，再计算原点到该直线的距离，进而可得椭圆的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆的方程，设的方程，联立，消去，可得和的值，进而可得，再利用可得的值，进而可得椭圆的方程．试题解析：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为， 则原点O 到直线的距离， 由，得.(II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (1) 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且.易知，AB不与x 轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得设则 由，得解得. 从而.于是.由.故椭圆E 的方程为.解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (2) 221123x y +=(),0c ()0,b O E E AB ()2222144y k x x y b⎧=++⎪⎨+=⎪⎩y 12x x +12x x k AB =2b E 0bx cy bc +-=bcd a==12d c =2a b ==2c a =22244x y b +=|AB|(2)1y k x =++2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=1122(,y ),B(,y ),A x x 221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k++-+=-=-++124x x +=-28(21)4,14k k k +-=-+12k =21282x x b =-12|AB ||x x =-==|AB|=23b =221123x y +=22244x y b +=设则，， 两式相减并结合得. 易知，AB 不与x 轴垂直，则，所以AB 的斜率 因此AB 直线方程为，代入(2)得所以，.于是.由.故椭圆E 的方程为.考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.【分析及点评】本题题型较之往年几乎没有改变，第一问，求解曲线离心率，属于基础题型，稍微有点圆锥曲线基础的学生应该都能完成；第二问求解曲线方程，较之往年变换较大，无论从难度和出题角度都会对学生造成较大干扰。
2015年高考数学第一轮复习：极坐标与参数方程
2015年高考数学第一轮复习：极坐标与参数方程主编：宁永辉第一部分：极坐标知识点讲解一、极坐标系与极坐标：1、极坐标系：如下图所示：一条射线就是一个极坐标系。
其中射线的端点叫做极点，这条射线叫做极轴。
2、极坐标的表示：如下图所示：点到极点的距离叫做极径，其中极径用字母ρ表示；极径与极轴之间的夹角叫做极角，极角ρ。
用θ表示。
点P的极坐标为)(θ,二、极坐标与直角坐标的转换：1、极坐标与直角坐标的对应关系：如下图所示：2、极坐标转换为直角坐标：θρc o s =x ； θρs i n=y ； 例一：把下列的极坐标转换为直角坐标。
（1）、)3,2(π （2）、)32,3(π （3）、)2,4(π （4）、)23,3(π（5）、),4(π【解析】：（1）、12123c o s2=⨯=⋅=πx ；32323sin 2=⨯=⋅=πy ； 所以：极坐标)3,2(π转换为直角坐标)3,1(。
（2）、23)21(332cos3-=-⨯=⋅=πx ；23323332sin 3=⨯=⋅=πy ； 所以：极坐标)32,3(π转换为直角坐标)233,23(-。
（3）、因为：极角2πθ=；所以：点)2,4(π在y 轴正半轴上，对应的直角坐标为)4,0(； （4）、因为：极角23πθ=；所以：点)23,3(π在y 轴负半轴上，对应的直角坐标为)3,0(-；（5）、因为：极角),4(π；所以：点),4(π在x 轴的负半轴上，对应的直角坐标为)0,4(-； 3、直角坐标转换为极坐标坐标： 22y x +=ρ； 22s i n y x y +=θ；22c o s yx x +=θ；xy=θt a n例二：把下列的直角坐标转换为极坐标。
（1）、)3,3( （2）、)3,1(- （3）、)2,2(- （4）、)2,6(- （5）、)0,2(- （6）、)6,0( （7）、)3,0(- （8）、)0,2(【解析】：（1）、32)3(322=+=ρ，33tan =θ，点)3,3(为第一象限角，6πθ=。
历届高考中的极坐标与参数方程
1． 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，将1C 上的所有2倍后得到曲线2C . 以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=. Ⅰ）试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；Ⅱ）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.2、（2008课标）已知曲线C 1：cos ()sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，曲线C 2：()x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数。
（1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C ，2'C 。
写出1'C ，2'C 的参数方程。
1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由。
3、（2009课标）已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数），C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。
（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 1上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值4、（2010课标）已知直线1C :1cos .sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩ （t 为参数），圆2C :cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)， （Ⅰ)当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A,P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线;5、（2011课标）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数） M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .6、（2012课标）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上， 且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。
2017年高考坐标系与参数方程试题分析——以2017年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷为例
坐标为 （Ｐ ，０），再利用 Ｉ（） Ｉ·Ｉ Ｉ＝１６这个等式 ，即可得 到轨迹 ｃ 的极坐标方程 ，最后利 用极坐标 与直角坐标 的互
化 公 式 ，就 可 得 到 轨 迹 Ｃ 的直 角 坐 标 方 程 ．（２）首 先 ，可 利 用极坐标公式将 三角 形相应 的边 表示 出来 ，然后再 选择 合 适 的 面 积 表 达 式 去计 算 面积 ，根 据 式 于：的 特 点 ，得 到 最 大值 ．
化 以 及 根 据 已 知 条 件 求 未 知 参 数 的 值． 试 题 分 析 （１）可 以用 平 方 消 元 法 和 代 人 法 分 别 将 曲
线 ｃ和直线 ｚ的参数方程化成普通方程 ，然后联立两方程 即 可求 出交 点坐标 ；（２）由题 意 知 ，直线 ｚ的普 通方 程 为 ４ｙ一。一４＝０，设 Ｃ上 的 点 为 （３ｃｏｓ０，ｓｉｎ０），易 求 得 该 点 到 Ｚ
的距离为 ｄ：旦 兰 二
１７
． 对 。再 进 行 讨 论 ，即 当
ｏ≥ 一４和 ０＜一４时，求出 。的值．
注意 化参数方程 为普通 方程 的关 键是 消参 ，可 以利
用加减消元 、平 方消 元 、代 入法 ，等等．对 于 求 未知 参数 的
题 ，最 重要 的是 找到等量关 系 ，利用等量 关系反解 出未知数
注意 本题重 点考查 了转 化与化 归 能力 ，遇 到求 曲线
交点 、距离 、线段长 等几何 问题 时 ，求 解 的 一般 方 法是 分别 化 为普 通 方 程 和 直 角 坐 标 方 程 后 求 解 ，或 者 直 接 利 用 极 坐 标 的几 何 意 义求 解 ．解 题 时 要 结 合 题 目 自身 特 点 ，确 定 选 择
（２）设点Ａ的极坐标为ｆ ２，— ｌ，点Ｂ在曲线Ｃ２上，求
高考解读年高考全国卷坐标系与参数方程分析与启示
高考解读年高考全国卷（坐标系与参数方程)分析与启示————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2017年高考全国卷(坐标系与参数方程）分析与启示一、特色解读２0１７年高考新课标卷对《坐标系与参数方程》的考查，题型没有变、第23题位置没有变，文理同题没有变，分值10分没有变，命题本源为选修内容没有变,命题延续了以往对主干知识的考查,以直线、椭圆参数方程为背景,求曲线的交点坐标和最值问题,注重基本运算及知识的应用，中规中矩，基本符合预期．近6年的全国课标卷在本专题考查的知识点如下: 年份全国卷 全国卷涉及知识点2017I直线参数方程化为普通方程;椭圆的参数方程;点到直线距离; II 圆极坐标方程；极坐标化为直角坐标；点到直线的距离;方程互化; ＩI Ｉ 直线参数方程;直线的极坐标方程;双曲线直角坐标方程互化； 2016I直线极坐标方程；圆的参数方程、极坐标方程；方程互化； I Ｉ 圆的极坐标方程；直线的参数方程；方程互化;极坐标几何意义; III 椭圆的参数方程；直线的极坐标方程;方程互化；参数的应用； ２015I直线、圆的极坐标方程；方程互化；极坐标的几何意义;ＩＩ 直线的参数方程;圆极坐标方程；方程互化；极坐标几何意义； 2014I直线的参数方程;椭圆的参数方程;方程互化;三角参数的应用；I Ｉ 圆的极坐标方程；参数方程;方程互化;三角参数的应用; 2０13I圆的参数方程;极坐标方程；方程互化;I Ｉ圆的参数方程；轨迹的参数方程;三角参数的应用;2012I点的极坐标；椭圆参数方程;圆极坐标方程；坐标互化,参数应用； 根据(20１2—2０１7）的考查统计,可以看出，高考课标卷对《坐标系与参数方程》的考查主要体现在平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；常见曲线(直线、圆、椭圆、抛物线）的参数方程及参数方程的简单应用,以极坐标、参数方程与普通方程的互化,直线与曲线位置关系为主要考查形式.知识:极坐标方程⇔普通方程⇔参数方程之间转化；意义考查方向极坐标 极径ρ 到极点的距离ρ=PO ；所在直线过极点的两点间的距离; 极坐标 极角θ 与极轴的旋转角θ=∠Pox ; 表示点的极坐标； 参数 方程 参数直线 到定点所成的数量t P P =0; 直线上两点的距离（和、积、中点）等； 圆表示出圆上的点（θθsin ,cos r r );轨迹、交点个数、距方程椭圆 表示出椭圆上的点（ϕϕsin ,cos b a ）; 离(最值)等问题;抛物线表示出抛物线上的点（22,2pt pt ）;2．能力(1)通过不同坐标系或不同形式的方程之间转换,考查运算求解能力.（2）某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，因些,极坐标的几何意义，参数方程的应用是高考命题的频点.３．思想方法(1）通过极坐标或参数方程解决直线、圆、椭圆等问题，考查数形结合思想. （2）解决问题时采用何种形式的方程比较方便，考查化归与转化思想. 二、亮点扫描 【例题一】（201６课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为22(6)25x y ++=．(Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点,||10AB =，求l 的斜率.【解析】(Ⅰ)C 的极坐标方程为2+12cos 110ρρα+=．(Ⅱ)【解法一】直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈∈；联立圆C 的极坐标方程;由2+12cos 110θαρρθ=⎧⎨+=⎩ 得2+12cos 110ρρα+=,22121212()4144cos 44AB ρρρρρρα=-=+-=-.【解法二】直线l 的参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)代入圆C 的普通方程22(6)25x y ++=, 得2+12cos 110t t α+=，22121212()4144cos 44AB t t t t t t α=-=+-=-．【解法三】直线l 的普通方程为tan y kx α==，由22(6)25y kx x y =⎧⎨++=⎩ 得22(1)12110k x x +++=， 222121212214411()4441AB k x x k x x x x k=+-=++-=-+. 知识：圆的普通方程化为极坐标方程，直线参数方程参数和极坐标极角，极径的应用. 方法:求过原点的直线与曲线相交距离问题.（1)把直线的极坐标方程()R θαρ=∈∈与曲线的极坐标方程联立,两个交点距离为2121212()4ρρρρρρ-=+-.（2)把直线的参数方程与曲线的普通方程联立，两个交点距离为2121212()4t t t t t t -=+-．(３）把直线与曲线全部化为普通方程,两个交点距离为22212121211()4k x x k x x x x +-=++-.【例题二】（2017全国课标Ⅱ)在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(Ⅰ）M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值.【解析】（Ⅰ)设点P 的极坐标为(,)ρθ,点M 的极坐标为1(,)ρθ，OP ρ=14cos OM ρθ==,||||16OM OP ⋅=,1.16ρρ=,点P 的轨迹2C 的极坐标方4cos ρθ=,从而2C 的普通方程；22(2)4x y -+=（Ⅱ)点B 在曲线2C 上，点B 的极坐标为2(,)ρθ,24cos ρθ=,OAB ∆面积213.sin 4cos sin()2sin(2)2332S OA AOB ππρααα=∠=-=--. 知识：极坐标方程化普通方程,轨迹问题,极坐标极角，极经的几何意义及其应用应用. 方法：某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，在教学中要十分重视极坐标方程,极坐标极角，极经的几何意义,而不是一味的转化为普通方程问题处理．【例题三】(２０１7全国课标I ＩI)在直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩(ｔ为参数),直线2l 的参数方为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (Ⅰ)写出C 的普通方程;（Ⅱ）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设3:(cos sin )20l ρθθ+-=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．【解析】（Ⅰ)直线1l 的普通方程为(2)y k x =-,直线2l 的普通方程为1(2)y x k=+,由(2)1(x 2)y k x y k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去k 得224(0)x y y -=≠.（Ⅱ) 【解法一】直线3l 的普通方程为20x y +-=，曲线C 的普通方程为224x y -=，两曲线的交点322(,)22M - 求得M 的极径. 【解法二】直线3l 的参数方程为22222y t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线C 的普通方程224x y -=，得1t =-，322(,)22M - 求得M 的极径.【解法二】曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=（02,θπθπ<<≠)直线3l 的极坐标方程为(cos sin )20ρθθ+-=，联立2222cos sin 4(cos sin )20ρθρθρθθ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，5ρ=.知识:直线参数方程化为普通方程,轨迹问题,极坐标方程和参数方程的应用， 方法：求直线与曲线的交点坐标问题.（1）把直线与曲线分别化为普通方程,联立求交点坐标．(２）把直线与曲线分别化为参数方程和普通方程，联立求参数，得交点坐标. （3)把直线与曲线分别化为极坐标方程,求交点极坐标,获得极径， 【例题四】（2０1７江苏高考）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 参数方程为22,22x s y s⎧=⎪⎨=⎪⎩(s为参数）.设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值． 【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=.因为点P 在曲线C 上,设2(2,22)P s s ， 点P 到直线l 的的距离2222|2428|2(2)45(1)(2)s s s d -+-+==-+-,知识：直线的参数方程化为普通方程，参数的应用．方法：抛物线的普通方程为22y px =，参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数），抛物线上的点可以设为2(2,2)P pt pt ,转化为数形结合思想.三、佳题欣赏【例题一】(201７年厦门市第二次检测)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3cos 1t y t x （t 为参数)，其中πα<≤0．在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线1C :θρcos 4=.直线l 与曲线1C 相切.(Ⅰ）将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并求α的值;（Ⅱ)已知点)02(，Q ,直线l 与2C ：1322=+y x 交于B A ，两点，求ABQ ∆面积. 【解析】(Ⅰ)1C 的普通方程为0422=-+x y x ，将直线l 参数方程代入曲线得0)cos 2sin 32(2=-+t t αα,0∆=6πα=∴（Ⅱ）将直线l 的参数方程为312132x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线得063852=++t t 21221214)(t t t t t t AB -+=-=．考查知识：把圆的极坐标方程化为普通方程,直线与圆相切,直线与曲线相交的距离. 【例题二】（20１7年福州市第一次检测)在平面直角坐标系xOy 中,在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线[]214cos 30,02:,C ρρθθπ-+=∈，曲线[]23,0,24sin()6:C ρθππθ=∈-.(Ⅰ）求1C 的一个参数方程;（Ⅱ）若曲线1C 和曲线2C 相交于A 、B 两点,求AB 值．【解析】（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为：22(2)1x y -+=，从而1C 的一个参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)（Ⅱ)【解法一】曲线2C 的普通方程为22330x y --=因为直线2C :22330x y --=与曲线1C :22(2)1x y -+=相交于A 、B 两点，所以圆心到直线的距离为14d =，222AB r d =- . 【解法二】直线2C 过点3(,0)2,倾斜角为6π,曲线2C 的参数方程为332212x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入1C :22(2)1x y -+=，得242330t t --=，2121212()4t t t t t AB t -==+-.考查知识:将圆的极坐标化为普通方程,再把圆的普通方程转化为参数方程,直线与圆的位置关系，由于直线2C 没有过原点，因此使用极坐标方程方法比较困难.【例题三】(201７年三明市第二次检测）在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点，以X 轴的正半轴为极轴,建立极 坐标系，若直线的极坐标方程为2cos()204πρθ--=,曲线C 极坐标2sin cos ρθθ=，将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线为参数)1C .(Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程;（Ⅱ)已知直线l 与曲线1C 交于,A B 两点,点(2,0)P ，求PA PB +的值.【解析】（Ⅰ)1C 的直角坐标方程为222y x =-．（Ⅱ）直线l 的普通方程20x y +-=,(2,0)P 在l 上，l 参数方程为22222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)代入曲线1C 方程得22240t t +-=,120,0t t ><,212121212()4PA PB t t t t t t t t +=+=-=+-．考查知识:把直线方程化为参数方程，极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线参数的几何意义.212121212()4PA PB t t t t t t t t +=+=-=+-.四、复习启示１. 重视基础知识的复习①写出点的极坐标,与直角坐标的互化；②写出圆、椭圆、抛物线或相关轨迹的参数方程;③极坐标方程、参数方程、普通方程的互化；不断强化，提高准确率，减少失误. 2. 重视化归与转化思想方法较多关注参数方程和极坐标方程的应用，如: ①极坐标ρ的几何意义;②直线标准参数t 的几何意义;③圆、椭圆的三角参数；提高应用意识. 3. 重视知识的交汇联系①解析几何中直线与圆、椭圆、抛物线的交点、距离等问题；②三角恒等变换（辅助角公式)等知识；以横向联系和纵向联系为主线,对模块内容加以整合,优化认知结构,构建良序的知识网络.教学反思：对于极坐标和参数方程的题目,关键在于画图,利用数形结合,采用三种不同的方法，某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，在教学中要十分重视极坐标方程,极坐标极角,极经的几何意义,而不是一味的转化为普通方程问题处理.。
2015-2017三年高考分析极坐标与参数方程
2015-2017三年高考分析极坐标与参数方程坐标系与参数方程一． 考纲（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（2） 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.（3） 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.（4）了解参数方程，了解参数的意义.（5） 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 二、坐标系与参数方程命题分析解答题坐标系与参数方程命题的概率是 1.0，都位于解答题的第六题，虽然是倒数第一题，但不是压轴题，是选考题，二选一共10分，属于解答题中的容易或比较容易的试题。
内容主要涉及曲线与极坐标方程、参数方程、普通方程关系，求曲线的轨迹方程、求曲线的交点，极坐标与直角坐标的转化等知识与方法。
从多年命题情况分析，总体是比较容易解决的。
三、考点（一）方程互化问题互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ（θ的象限由点(x,y)所在的象限确定）名师点睛：“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易. 1、极坐标方程与直角坐标方程的互化 考题1（直角坐标方程化为极坐标方程） （2016全国卷2）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； 答案：（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=考点：圆的极坐标方程与普通方程互化命题意图：重点考查了转化与化归能力 试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= 总结升华：极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性. 强化训练1. （2015新课标1，23）在直角坐标系xOy中。
2014~2017年极坐标与参数方程全国高考题汇总(精编完美版)
2014~2017年极坐标与参数方程全国高考题汇总(精编完美版)1.【2014·全国Ⅱ】在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈(0,π)。
⑴求C的参数方程；⑵设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y＝3x＋2垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D的坐标。
解：⑴C的普通方程为(x-1)²+y²=1(0≤y≤1)，可得C的参数方程为x=1+cost。
y=sint} (t为参数，0≤t≤π)。
⑵设D(1+cost。
sint)。
由⑴知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆。
因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同，tant=3，t=π/3.故D的直角坐标为(1+cosπ/3.sinπ/3)，即(2.3√3)。
2.【2014·全国Ⅰ】已知曲线C：x²/4+y²/9=1，直线l：y=2-2t。
⑴写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；⑵过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l 于点A，求|PA|的最大值与最小值。
解析：⑴曲线C的参数方程为：{x=2cost。
y=3sint} (θ为参数)。
直线l的普通方程为：2x+y-6=0.⑵在曲线C上任意取一点P(2cost。
3sint)，到l的距离为d=|2cost+3sint-6|/√(4+9)，则|PA|=d/sin(30°)=2d。
设α为PA与x轴正半轴的夹角，则tanα=(2sint-3cost+3)/2cosθ，令其等于tan(30°)=√3/3，解得sinθ=5/√58，cosθ=7/√58.代入d的式子可得d=5/√58，故|PA|max=10/√58，|PA|min=2d=10/√58.3.【2015·全国Ⅰ】在直角坐标系xOy中。
直线⑴求C1，C2的极坐标方程；⑵若直线C3的极坐标方程为θ=π/4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积。
2015高考总复习数学(文)课件：18.2 极坐标与参数方程
5cosθ， π (θ 是参数， 0≤θ≤2) 5sinθ
2 x＝1－ 2 t， 和 C2： (t 是参数)， 它们的交点坐标为________． y＝－ 2t 2 解析：C1：x2＋y2＝5(0≤x≤ 5)，C2：y＝x－1，
2cosθ， (θ 是参数)，它们的交点坐标为________． 2sinθ
解析：C1：y2＝x(y>0)，C2：x2＋y2＝2，得交点坐标为(1,1)． 答案：(1,1)
(2)(2013 年湖南)在平面直角坐标系 xOy 中， 若 (t 为参数)过椭圆
x＝3cos φ， C： y＝2sin φ
3 )，则点M的极坐标为
π D.2，2kπ＋3(k∈Z)
2．极坐标方程 ρ＝cosθ 化为直角坐标方程为( D )
12 2 1 A.x＋2 ＋y ＝4
B．x
2
12 1 ＋y＋2 ＝4
C．x
2
12 1 ＋y－2 ＝4
12 2 1 D.x－2 ＋y ＝4
x＋y＝1， y－x＝1， π 1， . 2
π 答案：1，2
x＝0， 解得 y＝1，
则 交 点 为 (0,1) ， 对 应 的 极 坐 标 为
(2)曲线C的极坐标方程 ρ＝2cosθ，直角坐标系中的点 M的 坐 标 为 (0,2) ， P 为 曲线 C 上 任 意 一 点 ， 则 |MP| 的最 小 值 是 ________． 解析：由题设知：曲线C的直角坐标方程是x2＋y2＝2x，
第2讲
极坐标与参数方程
考纲要求 1.理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸 缩变换作用下平面图形的变化情况． 2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理 解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位 置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直 线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比 较这些图形在极坐标和平面直角坐标系中的方 程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系 的意义． 4．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的 位置的方法，并与空间直角坐标系表示点的位置 的方法相比较，了解它们的区别． 5．了解参数方程，了解参数的意义；能选择适 当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
全国卷历年高考极坐标与参数方程真题归类分析(含答案)
（2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ， 为 与 的交点，求 的极径．
6．解析⑴将参数方程转化为一般方程 ①
②
，消 可得 ，即点 的轨迹方程为 .
⑵将极坐标方程转化为一般方程 ，联立 ，解得 .
由 ，解得 ，即 的极半径是 ．
【解析】(1)由 得 +y2=1.因为ρsin = ρsinθ+ ρcosθ=2 ,
所以x+y=4.所以C1的普通方程为 +y2=1,C2的直角坐标方程为x+y=4.
(2)由题意,可设点P的直角坐标为 ,因为C2是直线,所以 的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)= .
当且仅当α=2kπ+ (k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为 ,此时P的直角坐标为
∴x2+y2=4x.即(x-2)2+y2=4.②
C3:化为普通方程为y=2x,由题意:C1和C2的公共方程所在直线即为C3.
①-②得:4x-2y+1-a2=0,即为C3,所以1-a2=0,所以a=1.
（2016年2卷）在直线坐标系xOy中，圆C的方程为 ．
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
∴ 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 .……5分
（Ⅱ）将 代入 ，得 ，解得 = ， = ，|MN|= － = ，
因为 的半径为1，则 的面积 = .
1.（2015年2卷）在直角坐标系xOy中,曲线 (t为参数,且t≠0),其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2 cos θ.
因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2 cos α,α).
【高中数学】参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳
参数方程和极坐标方程常考题型及解题方法归纳一、根据直线参数方程中ｔ的几何意义求与距离有关的问题经过点Ｐ（ｘ０，ｙ０），倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓαｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎ烅烄烆α（ｔ为参数），参数ｔ的几何意义是：直线上定点Ｐ到动点Ｍ的有向线段，ｔ表示参数ｔ对应的点Ｍ到定点Ｐ的距离，即｜ｔ｜＝｜ＰＭ｜．若Ａ，Ｂ为直线ｌ上两点，其对应的参数分别为ｔ１与ｔ２，则有：①ＡＢ＝｜ｔ１－ｔ２｜；②当Ａ，Ｂ在点Ｐ的同侧时，ｔ１与ｔ２同号；当Ａ，Ｂ分别在点Ｐ的两侧时，ｔ１与ｔ２异号．需要注意的是：有时候直线的参数方程也可写为ｘ＝ｘ０＋ａｔｙ＝ｙ０＋烅烄烆ｂｔ（ｔ为参数），如果ａ２＋ｂ２≠１，则参数ｔ没有上述几何意义．例１ 在直角坐标系中，以原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线Ｃ：ρｌｌ与ｌ的普通方程；（２）若ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，求ａ的值．分析 （１）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ即可将曲线Ｃ的极坐标方程转化为直角坐标方程，在直线ｌ的参数方程中消去参数ｔ即可得直线ｌ的普通方程；（２）将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可建立关于ａ的方程求解．解 （１）由ρｓｉｎ２θ＝ａｃｏｓθ得ρ２ ｓｉｎ２θ＝ａρｃｏｓθ，可得曲线Ｃ的平面直角坐标方程ｙ２＝ａｘ（ａ＞０）．由直线ｌ的参数方程消去参数ｔ，可得直线ｌ的普通方程为ｘ－ｙ－１＝０．（２）设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＰＭ＝ｔ１，ＰＮ＝ｔ２，ＭＮ＝ｔ１－ｔ２．将ｘ＝－１＋槡２２ｔ，ｙ＝－２ ＋槡２２ｔ代入ｙ２＝ａｘ，得ｔ２－（槡４ ２ ＋槡２ａ）ｔ＋８＋２ａ＝０．所以Δ＝（槡４ ２ ＋槡２ａ）２－４（８＋２ａ）＝２ａ２＋８ａ＞０，ｔ１＋ｔ２＝槡４ ２ ＋槡２ａ，ｔ１ｔ２＝８＋２ａ．由ＰＭ，ＭＮ，ＰＮ成等比数列，可以得到ｔ１－ｔ２２＝ｔ１ｔ２，所以（ｔ１＋ｔ２）２－４ｔ１ｔ２＝ｔ１ｔ２，即（槡４ ２ ＋槡２ａ）２－５（８＋２ａ）＝０，解得ａ＝１（ａ＝－４舍去）．例２ （２０１５年高考湖南卷）已知直线ｌ：ｘ＝５ ＋槡３２ｔｙ ＝槡３＋１２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓθ．（Ⅰ）将曲线Ｃ的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Ｍ的直角坐标为（５，槡３），直线ｌ与曲线Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，求｜ＭＡ｜·｜ＭＢ｜的值．分析 （Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ即可将已知条件中的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）注意到点Ｍ在直线ｌ上，将直线ｌ的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解．解 （Ⅰ）ρ＝２ｃｏｓθ等价于ρ２＝２ρｃｏｓθ，将ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ρｃｏｓθ＝ｘ代入即得曲线Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＝０．（Ⅱ）结合直线ｌ的参数方程，注意到点Ｍ在直线ｌ上，且（槡３２）２＋（１２）２＝１，可设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ＭＡ＝｜ｔ１｜，ＭＢ＝｜ｔ２｜，所以ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２． 将直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，整理得ｔ２ ＋槡５ ３ｔ＋１８＝０，则ＭＡ·ＭＢ＝ｔ１ｔ２＝１８．例３ 已知圆锥曲线Ｃ：ｘ＝２ｃｏｓαｙ＝ｓｉｎ｛α（α为参数）和定点Ａ（０，，槡３），Ｆ１，Ｆ２是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点Ｏ为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（１）求直线ＡＦ２的极坐标方程；（２）经过点Ｆ１且与直线ＡＦ２垂直的直线ｌ交此圆锥曲线于Ｍ，Ｎ两点，求ＭＦ１－ＮＦ１的值．解 （１）消去参数α即可将曲线Ｃ的方程化为普通方程ｘ２４＋ｙ２＝１，从而可求得Ｆ１（－槡３，０），Ｆ２（槡３，０），于是可得直线ＡＦ２的普通方程为ｘ＋ｙ－槡３＝０，利用互化公式化为极坐标方程为ρｃｏｓθ＋ρｓｉｎθ＝槡３．（２）由（１）可得ｋＡＦ２＝－１，所以直线ｌ的倾斜角为４５°，从而可得直线ｌ的参数方程为ｘ＝－槡３ ＋槡２２ｔｙ ＝槡２２烅烄烆ｔ（ｔ为参数），代入椭圆Ｃ的直角坐标方程：ｘ２４＋ｙ２＝１，得５ｔ２－槡２ ６ｔ－２＝０，设点Ｍ，Ｎ对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，注意到点Ｍ，Ｎ，Ｆ１都在直线ｌ上且点Ｍ，Ｎ在点Ｆ１两侧，所以｜ＭＦ１｜－｜ＮＦ１｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜＝槡２ ６５．评注 对于直线上与定点距离有关的问题，利用直线参数方程中参数ｔ的几何意义，能避免通过解方程组求交点坐标的繁琐运算，使解题过程得到简化．二、利用参数方程求最值和取值范围利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题，是解决这类问题的常用方法，优点是解题过程比较简洁．为此，需要熟悉常见曲线的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及参数方程的简单应用．例４ 已知曲线Ｃ１：ｘ＝８ｃｏｓｔｙ＝２ｓｉｎ｛ｔ（ｔ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程为ρ＝７ｃｏｓθ－ｓｉｎθ．（１）将曲线Ｃ１的参数方程化为普通方程，将曲线Ｃ２的极坐标方程化为直角坐标方程．（２）设Ｐ为曲线Ｃ１上的点，点Ｑ极坐标为（２槡２，π４），求ＰＱ的中点与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值．分析 （１）利用参数方程和普通方程之间的关系进行互化即可，（２）先把点Ｑ的极坐标化为直角坐标，设出点Ｐ的参数形式的直角坐标（ｔ为参数），进而得到ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标，可用公式得到点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ的表达式（用参数ｔ表示），再求最值即可．解 （１）由曲线Ｃ１的参数方程消去参数ｔ得曲线Ｃ１的普通方程ｘ２６４＋ｙ２４＝１．由曲线Ｃ２的极坐标方程得ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＝７，于是可得它的直角坐标方程为ｘ－ｙ－７＝０．（２）由点Ｑ的极坐标（槡２ ２，π４）可得它的直角坐标为（２，２），设Ｐ（８ｃｏｓｔ，２ｓｉｎｔ），则ＰＱ的中点Ｍ的直角坐标为（４ｃｏｓｔ＋１，ｓｉｎｔ＋１），所以，点Ｍ到直线Ｃ２的距离ｄ＝４ｃｏｓｔ－ｓｉｎｔ－７槡２＝槡１７ｃｏｓ（ｔ＋φ）－７槡２，其中φ为锐角，且ｔａｎφ＝１４．当ｃｏｓ（ｔ＋φ）＝１时，ｄ取得最小值ｄｍｉｎ＝槡７ ２ －槡３４２．所以，ＰＱ的中点Ｍ与曲线Ｃ２上的点的距离的最小值为槡７ ２ －槡３４２．例５ （２０１４年全国卷Ⅰ）已知曲线Ｃ：ｘ２４＋ｙ２９＝１，直线ｌ：ｘ＝２＋ｔｙ＝２－２｛ｔ（ｔ为参数）．（Ⅰ）写出曲线Ｃ的参数方程和直线ｌ的普通方程；（Ⅱ）过曲线Ｃ上任一点Ｐ作与ｌ夹角为３０°的直线，交ｌ于点Ａ，求｜ＰＡ｜的最大值与最小值．分析 （Ⅰ）利用椭圆的普通方程及直线的参数的特征进行互化即可；（Ⅱ）由椭圆的参数方程建立｜ＰＡ｜的三角函数表达式，再求最值．图１解 （Ⅰ）曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝２ｃｏｓθｙ＝３ｓｉｎ｛θ（θ为参数），直线ｌ的普通方程为２ｘ＋ｙ－６＝０．（Ⅱ）如图１，在曲线Ｃ上任意取一点Ｐ（２ｃｏｓθ，３ｓｉｎθ），它到直线ｌ的距离为：ｄ＝槡５５４ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ－６，则｜ＰＡ｜＝ｄｓｉｎ３０°＝槡２ ５５｜５ｓｉｎ（θ＋α）－６｜，其中α为锐角，且ｔａｎα＝４３．当ｓｉｎ（θ＋α）＝－１时，｜ＰＡ｜取得最大值，最大值为槡２２ ５５；当ｓｉｎ（θ＋α）＝１时，｜ＰＡ｜取得最小值，最小值为槡２ ５５．例６ （２０１５年高考陕西卷）在直角坐标系ｘΟｙ中，直线ｌ的参数方程为ｘ＝３＋１２ｔｙ ＝槡３２烅烄烆ｔ（ｔ为参数）．以原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙Ｃ的极坐标方程为ρ＝槡２ ３ｓｉｎθ．（Ⅰ）写出⊙Ｃ的直角坐标方程；（Ⅱ）Ρ为直线ｌ上一动点，当Ρ到圆心Ｃ的距离最小时，求Ρ的直角坐标．分析 （Ⅰ）利用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，由⊙Ｃ的极坐标方程可得它的直角坐标方程；（Ⅱ）先设点Ρ的参数坐标，可得ΡＣ的函数表达式，再利用函数的性质可得ΡＣ的最小值，进而可得Ρ的直角坐标；或将直线ｌ的方程化为普通方程，再求过圆心且垂直于直线ｌ的直线方程，联立两方程可解得点Ｐ的直角坐标．解 （Ⅰ）由ρ＝槡２ ３ｓｉｎθ，得ρ２ ＝槡２ ３ρｓｉｎθ，从而，⊙Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２ ＝槡２ ３ｙ，即ｘ２＋（ｙ－槡３）２＝３．（Ⅱ）设Ｐ（３＋１２ｔ，槡３２ｔ），又Ｃ（０，槡３），则｜ＰＣ｜＝（３＋１２ｔ）２＋（槡３２ｔ －槡３）槡２＝ｔ２＋槡１２，易知：当ｔ＝０时，ΡＣ取得最小值，此时Ρ点的直角坐标为（３，０）．评注 将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，常用的技巧有：代入消参、加减消参、整体消参、平方后加减消参等．如果题目中涉及圆、椭圆上的动点求相关最值（范围）问题时，可考虑用其参数方程设出点的坐标，将问题转化为函数问题来解决，可以使解题的过程更简洁．例７ （２０１６年全国卷Ⅱ理科第２０题）已知椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，Ａ是Ｅ的左顶点，斜率为ｋ（ｋ＞０）的直线交Ｅ于Ａ，Ｍ两点，点Ｎ在Ｅ上，ＭＡ⊥ＮＡ．（Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，求△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）当２ ＡＭ＝ＡＮ时，求ｋ的取值范围．分析 （Ⅰ）先结合已知条件设出直线ＡＭ的参数方程，代入椭圆方程，可求得ＡＭ，进而求得△ＡＭＮ的面积；（Ⅱ）设出直线ＡＭ、ＡＮ的参数方程（以直线ＡＭ的倾斜角α为参数），代入椭圆方程，用ｔ和α表示｜ＡＭ｜和｜ＡＮ｜，再利用２ ＡＭ＝ＡＮ将ｔ表示为ｋ的函数，结合ｔ＞３，可求得ｋ的取值范围．解 （Ⅰ）当ｔ＝４，ＡＭ＝ＡＮ时，可得点Ａ（－２，０），ｋ＝１．设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－２＋槡２２ｍｙ ＝槡２２烅烄烆ｍ（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得７２ｍ２－槡６ ２ ｍ＝０，故ＡＭ ＝槡１２ ２７，所以Ｓ△ＡＭＮ＝１２ＡＭ·ＡＮ＝１４４４９．（Ⅱ）设直线ＡＭ的倾斜角为α，又点Ａ（－槡ｔ，０），可设直线ＡＭ的参数方程为ｘ＝－槡ｔ＋ｍｃｏｓαｙ＝ｍｓｉｎ烅烄烆α（ｍ为参数），代入椭圆方程，整理得（３ｃｏｓ２α＋ｔ ｓｉｎ２α）ｍ２－６ｔｃｏｓα·ｍ＝０，所以ＡＭ＝６ｔｃｏｓα３ｃｏｓ２α＋ｔ ｓｉｎ２α．因为ＭＡ⊥ＮＡ，故直线ＡＮ的倾斜角为α＋π２，同理可得：ＡＮ＝６ｔｃｏｓ（α＋π２）３ｃｏｓ２（α＋π２）＋ｔ ｓｉｎ２（α＋π２）＝６ｔｓｉｎα３ｓｉｎ２α＋ｔ ｃｏｓ２α．由２ ＡＭ＝ＡＮ，ｋ＝ｔａｎα，代入化简得ｔ＝６ｋ２－３ｋｋ３－２．又因为椭圆Ｅ：ｘ２ｔ＋ｙ２３＝１的焦点在ｘ轴上，所以ｔ＞３，即６ｋ２－３ｋｋ３－２＞３，解得３槡２＜ｋ＜２．所以，ｋ的取值范围是（３槡２，２）．评注 本题属于圆锥曲线试题，常规思路是利用直角坐标直接求解，过程比较复杂．利用直线的参数方程来求解本题，使问题的求解过程变得简洁．三、利用极坐标中ρ的几何意义求有关距离或相关问题我们知道，极坐标中的ρ为极径，表示曲线上一点与原点Ｏ之间的距离，因此，与原点Ｏ有关的距离、面积等问题都可考虑运用极坐标中ρ的几何意义来解决，这是一种有效的解题策略，很多时候比化为直角坐标运算更简便．例８ （２０１５年高考全国卷Ⅱ）在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ１：ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数，ｔ≠０），其中０≤α＜π，在以Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Ｃ２：ρ＝２ｓｉｎθ，曲线Ｃ３：ρ＝２ 槡３ｃｏｓθ．（Ⅰ）求Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标；（Ⅱ）若Ｃ２与Ｃ１相交于点Ａ，Ｃ３与Ｃ１相交于点Ｂ，求ＡＢ的最大值．分析 （Ⅰ）可将曲线Ｃ２与Ｃ１的极坐标方程化为直角坐标方程后联立求交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立Ｃ２与Ｃ１、Ｃ３与Ｃ１的极坐标方程，求得Ａ，Ｂ的极坐标，由极径的概念用α表示出ＡＢ，转化为求关于α的三角函数的最大值．解 （Ⅰ）曲线Ｃ２的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０，曲线Ｃ３的直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２ －槡２ ３ｘ＝０．联立两方程解得：ｘ１＝０，ｙ１＝０烅烄烆，ｘ２＝槡３２，ｙ２＝３２烅烄烆，所以，Ｃ２与Ｃ１的交点的直角坐标为（０，０）和（槡３２，３２）．（Ⅱ）曲线Ｃ１的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ，ρ≠０），其中０≤α＜π．于是可得：点Ａ的极坐标为（２ｓｉｎα，α），点Ｂ的极坐标为（槡２ ３ｃｏｓα，α）．所以ＡＢ＝２ｓｉｎα－槡２ ３ｃｏｓα＝４｜ｓｉｎ（α－π３）｜，又０≤α＜π，所以，当α＝５π６时，ＡＢ取得最大值，最大值为４．评注 如果用直角坐标来处理本题，计算量较大．例９ （２０１６年全国卷Ⅱ理科第２３题）在直线坐标系ｘＯｙ中，圆Ｃ的方程为（ｘ＋６）２＋ｙ２＝２５．（Ⅰ）以坐标原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，求Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）直线ｌ的参数方程是ｘ＝ｔｃｏｓα，ｙ＝ｔｓｉｎα｛，（ｔ为参数），ｌ与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，｜ＡＢ｜＝槡１０，求ｌ的斜率．分析 （Ⅰ）利用ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｘ＝ρｃｏｓθ可得Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线ｌ的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可求得ｌ的斜率．解 （Ⅰ）由ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ可得Ｃ的极坐标方程ρ２＋１２ρｃｏｓθ＋１１＝０．（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线ｌ的极坐标方程为θ＝α（ρ∈Ｒ），与Ｃ的极坐标方程联立得ρ２＋１２ρｃｏｓα＋１１＝０．设点Ａ，Ｂ所对应的极径分别为ρ１，ρ２，则ρ１＋ρ２＝－１２ｃｏｓα，ρ１ρ２＝１１，所以｜ＡＢ｜＝｜ρ１－ρ２｜＝（ρ１＋ρ２）２－４ρ１ρ槡２＝１４４ｃｏｓ２α－槡４４．又｜ＡＢ｜＝槡１０，所以１４４ｃｏｓ２α－槡４４ ＝槡１０，解得ｃｏｓ２α＝３８，故ｔａｎα＝±槡１５３，所以，直线ｌ的斜率为槡１５３或－槡１５３．例１０ （２０１５年高考全国卷Ⅰ理科第２３题）在直角坐标系ｘＯｙ中，直线Ｃ１：ｘ＝－２，圆Ｃ２：（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝１，以坐标原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）若直线Ｃ３的极坐标方程为θ＝π４（ρ∈Ｒ），设Ｃ２与Ｃ３的交点为Ｍ，Ｎ，求△Ｃ２ＭＮ的面积．分析 （Ⅰ）根据公式ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，ｘ２＋ｙ２＝ρ２即可求得Ｃ１，Ｃ２的极坐标方程；（Ⅱ）联立直线Ｃ３和圆Ｃ２的极坐标方程得到关于ρ的方程，可求得ＭＮ，进而可求出△Ｃ２ＭＮ的面积．解 （Ⅰ）因为ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，所以，可求得：Ｃ１的极坐标方程为ρｃｏｓθ＝－２，Ｃ２的极坐标方程为ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０．（Ⅱ）将Ｃ３的极坐标方程θ＝π４代入Ｃ２的极坐标方程ρ２－２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ＋４＝０，得ρ２ －槡３ ２ρ＋４＝０，解得ρ１＝槡２ ２，ρ２＝槡２，所以，ＭＮ＝ρ１－ρ２＝槡２．又因为Ｃ２的半径为１，∠Ｃ２ＭＮ＝π４，所以△Ｃ２ＭＮ的面积为Ｓ＝１２×槡２×１×ｓｉｎπ４＝１２．评注 过坐标原点、倾斜角为θ０的直线的极坐标方程为θ＝θ０，其上两点Ｐ（ρ１，θ０），Ｑ（ρ２，θ０）间的距离为ＰＱ＝ρ１－ρ２．【一点感悟】参数方程和极坐标虽然是选考内容，也应得到充分的重视，如果能够将它们和普通方程有机联系，相互补充，可以优化解题思路，简化计算过程，减少运算量，提高解题的效率．。
选修专题-极坐标与参数方程(含答案)
2017高考二轮专题复习：极坐标与参数方程1．极坐标的基本概念极坐标(ρ，θ)的含义：设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的（极角相差2π的正数倍）． 2．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内任意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρtan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值，一般取[0,2)θπ∈. 3．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)， 其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B 2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ. 4．参数方程化为普通方程．由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x ，y 的限制．高考热点突破 （掌握极坐标方程与直角坐标方程；参数方程与普通方程；极坐标方程与参数方程之间的互化是前提）例：在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x （t 为参数，πα<<0），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 1-=p（0>p ），写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程.突破点1：求交点坐标(2013全国1卷)已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.相关练习：1.在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）, 以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。
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坐标系与参数方程一． 考纲（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（2） 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.（3） 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.（4）了解参数方程，了解参数的意义.（5） 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 二、坐标系与参数方程命题分析解答题坐标系与参数方程命题的概率是1.0，都位于解答题的第六题，虽然是倒数第一题，但不是压轴题，是选考题，二选一共10分，属于解答题中的容易或比较容易的试题。
容主要涉及曲线与极坐标方程、参数方程、普通方程关系，求曲线的轨迹方程、求曲线的交点，极坐标与直角坐标的转化等知识与方法。
从多年命题情况分析，总体是比较容易解决的。
三、考点（一）方程互化问题互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x yy x θρ（θ的象限由点(x,y)所在的象限确定） 名师点睛：“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易. 1、极坐标方程与直角坐标方程的互化 考题1（直角坐标方程化为极坐标方程）（2016全国卷2）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；答案：（Ⅰ）212cos 110ρρθ++= 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化 命题意图：重点考查了转化与化归能力试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= 总结升华：极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的围．要注意转化的等价性.强化训练1. （2015新课标1，23）在直角坐标系xOy 中。
直线1C :2x =-，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（I ） 求1C ，2C 的极坐标方程；解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+= 考题2（极坐标方程化为直角坐标方程）（2015新课标2 ，23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。
（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；答案：(0,0)和3)22考点：直角坐标及极坐标方程的互化试题解析：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=.联立222220,0x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与3C 交点的直角坐标为(0,0)和3()22总结提升：1.运用互化公式：222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．3.若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以ρ，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决. 强化训练1．（2016 全国卷3，23）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+=.（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；答案：1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. 2、参数方程普通方程的互化考题1（参数方程化为普通方程）（2017课标3，22）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ)=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.答案：（1）224(0)x y y -=≠；（2）5试题解析：（1）直线1l 的普通方程为(2)y k x =-，直线2l 的普通方程为2x ky =-+， 消去k 得 224x y -=，00k y ≠∴≠ 即C 的普通方程为224(0)x y y -=≠.（2）3l化为直角坐标方程为x y +=，联立224x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ， ∴222182544x y ρ=+=+=， ∴3l 与C 的交点M考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程总结升华：（1）消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。
消参过程要注意谁是参数以及等价性，即应考虑变量的取值围，一般来说应分别给出x,y 的围，在这过程中，实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。
（2）利用222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+将极坐标方程化直角坐标方程 强化训练1.（2017课标1，22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）．（1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；答案：（1）(3,0)，2124(,)2525-试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=． 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-． 2. （2016高考新课标23）在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．答案：（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1 试题解析：⑴cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ① ∴1C 为以()01，为圆心,a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210x y a -+-=,即为3C ∴210a -=,∴1a =考题2（普通方程化为参数方程化）已知曲线C ：22149x y +=，直线l ： (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；分析：在第(1)问中，可根据参数方程与普通方程的关系求解 解：（1）曲线C 的参数方程为（θ为参数）故直线l 的普通方程为2x+y-6=0名师点睛：本题考查参数方程与普通方程的转化（二）弦长问题考题1. 1（201621）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长解：椭圆C 的普通方程为2214y x +=，将直线l 的参数方程1122x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214yx +=，得22)12(1)124t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-.1216||7AB t t =-=. 考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.直线与圆相交的弦长问题总结升华：1、“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易. 2、计算直线与圆锥曲线相交得到的弦长，一般考虑三种方法：（1）将直线与圆锥曲线联立方程组，得到关于x 的一元二次方程，利用弦长公式计算。
其中，k 为直线的斜率，x1、x2为方程的两根；(这个方法的前提的直线的斜率必须存在) （2）利用直线的参数方程来解；（3）转化为极坐标方程来计算，极坐标方程中ρ的几何意义就表示距离。
变式训练1（2015新课标2，23）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.答案：（I ）()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭；（II ）4.试题解析：解：（I ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,曲线3C 的直角坐标方程为220x y +-=,联立两方程解得00x y =⎧⎨=⎩或232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以2C 与3C 交点的直角坐标()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭.（II ）曲线1C 极坐标方程为(),0,θαρρ=∈≠R 其中0απ≤< ,因此点A 的极坐标为()2sin ,αα,点B 的极坐标为(),αα,所以2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=2sin 4sin 3AB πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,当56πα=时AB 取得最大值,最大值为4. 2.（2016全国卷2）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．答案：（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3±. 试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 83αα==±，所以l 的斜率为3或3-. （三）距离问题考题 2 [2016高考新课标3，23]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.答案：（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=； （Ⅱ）31(,)22．试题分析：利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C1的参数方程为普通方程，利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩求C2的极坐标方程即可；利用参数方程表示出P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立PQ=d(a)的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点P 坐标即可。