04第四章 李雅普诺夫稳定性理论PPT课件

例：
0 0 J1 0 -1
李氏稳定
0 1 J 2 0 0
不稳定
0 0 J3 0 0
李氏稳定
0 0 A J1 0 -1
e At
1
0
0
e
-t
x(t)eAxt01 0e0 -tx x1 20 0x10e-x t20
1,2,,n
对非线性系统，首先要在平衡点附近线性化，得 到一近似的线性化方程，然后再进行判断。
一、线性定常系统的稳定性
x Ax xe 0是一个平衡点
(1)李氏稳定 A的约当标准形J中，实部为0的特征 值所对应的约当块的维数是一维的，其余特征值均 有负实部。
说明：
JP 1AP A~ 考 JeJ察 即 t 可 eA的 t看有 出界
• 李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造
• 线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 • 李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ判别
❖ 研究的目的和意义：稳定性是自动控制系统正 常工作的必要条件，是一个重要特征。
❖ 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态 被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来 的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。
Xe
说明：
(1) 若系统渐近稳定，则对于x’=Ax而言，A特 征值应均有负实部。
x(t)eAxt00 teA B ()u()d
(2) 若系统大范围渐近稳定，则其必要条件是在整个 状态空间中只有一个平衡点。
(3) 除非 S()对应于整个,状 否态 则平 这面 些定义只
于平衡状态的邻域。
(4) 对于(图 d)轨 , 迹离S(开 ),说明平衡状态,却 不不 稳说 定明 轨迹趋于无穷远迹处还。可轨能S趋 ()于 处的某一极限
❖ 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状 态方程解的收敛性，而与输入作用u无关。
❖ 经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈 魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据
❖ 非线性系统：相平面法(适用于一、二阶非线 性系统)
❖ 1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性 定理采用了状态向量来描述，适用于单变量， 线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。
平衡点,存在摩
擦力时,小球最
A
终静止在A点。
定义4-4(大范围渐近稳定)：
若对任 x0都 意有 tl i mx(t)xe,则称 xe是大范围渐近 又称全局稳定。
S( ) S( )
Xe
必要条件：只 有一个平衡点。
定义4-5(不稳定)：
对任意给 0,不 定论 多 实么 数 ,至小 少有 x0,当 一 x0xe ,则x有 (t)xe ,则x称 e不稳定。
类似 ,定 地 义S球 ()S ,域 ().
在 H 邻域 ,对内 任 0意 H ,均有：
(1) 如果对应于每S(一),存 个在一S个 (),使得当 t 时,始于S()的轨迹不脱 S(离 ),则平衡状xe 态 0称为在 Lyapun意ov义下是稳定的。 ,有对 (于 ,t0)即与,t0 有关。如与 果t0无关,则此平衡状态称稳 为定 一的 致
S( ) S( )
Xe
B
无摩擦， 等幅振荡
A
定义4-3(渐近稳定)：
若系统 L不 ay仅 p意 u是 n义 ov下 ,且 的 tl 有 i 稳 m x(t) 定 xe
则x称 e是渐近稳 (定 ,t0)的 ()与 。 t0无 若 ,则 关称
一致渐近稳定。
几何意义 S( ) S( )
Xe
物理意义
球受外力离开
2. 初态： x =f(x,t)的解为 x(t; x0 ,t0 )
x(t0,x0,t0)x0初态
3. 平衡状态：
xef(xe,t)0 xe 系统的平衡状态
a. 线性系统 x Ax xRn
A非奇异：
Aex0 xe0
解唯一,平衡 点只有一个
A奇异： Axe 0有无穷多 xe 个
b. 非线性系统
xf(xe,t)0可能有一个或多个 xe
第四章
动态系统的稳定性分析
1 稳定性基本概念 2 李雅普诺夫意义下的稳定性 3 李雅普诺夫第一法 4 李雅普诺夫第二法 5 线性定常系统渐近稳定性判别法
教学要求：
1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定 性概念
2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法 3.掌握线性系统渐近稳定性分析方法
重点内容：
平衡状— 态—又称一致李氏稳定。
几何意义：
当t t0时,系统受扰,平 动衡状态受破 ,产坏生对应初始状 x0,当t t0后,运动状x态 (t)会发生变化。
若无论多么小S球 ()域 ,总存在一个球 S(域 ),当
x0 S()时,x(t)轨线不会超S(出 ),则平衡x点 e为
Lyapun意 ov义下稳定。 实际上，工程中的李氏 稳定是临界不稳定
(线性定常系统,则 不不 稳稳 定定平衡点发附的近轨出迹将 趋于无穷 ;但远对非线性,这 系一 统结论不) 成立
(5)线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线 性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。
第二节 李雅普诺夫间接法
李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 或者说系统极点来判断系统稳定性。
❖ 应用：自适应，最优控制，非线性控制等。
主要内容： 李氏第一法（间接法）：根据线性系统特征值
或极点来判别稳定性。若是非线性系统，需先 线性化。 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构 造Lyapunov标量函数。
第一节 李雅普诺夫稳定性定义
一、稳定性基本概念
1. 自治系统：输入为0的系统 x =Ax+Bu(u=0)
例： x1 x1
x2 x1 x2 x23
令 x1 0 x2 0
xe1
0
0
0
xe3
1
0 xe2 1
xe1,xe2,xe3在状态空间中,称 是其 孤为 立孤 的立平
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的 邻域内不存在别的平衡状态。
说明： (1) 系统不一定都存在平衡点； (2) 但系统也可能有多个平衡点； (3) 平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当
的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）； (4) 稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对
多平衡点问题需针对各状态讨论。
二、李雅普诺夫意义下的稳定性
定义4-2：系x 统 f(x,t)平衡 xe的 状 H 邻态 域 xxe H, H0, 为 2范(数 欧几里)德范
即 x x e x 1 x e 1 2 x 2 x e 2 2 x n x e2 n