函数周期性结论总结

函数周期性结论总结

① f(x+a)=-f(x) T=2a

② f(x+a)=±)

(1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b|

④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a

证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)

⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a

证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a

⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)

f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+t

f(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a

⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b|

证明：f(a+x)=f(a-x)

f(b+x)=f(b-x)

f(2b-x)=f(x)

假设a ＞b (当然假设a ＜b 也可以同理证明出)

T=2(a-b)

现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可

f(x+2a-2b)

=f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)]

⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称，T=2a-2b(a ＞b)

证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)

f(b+x)=-f(b-x) f(2b-x)=-f(x) f(x+2a-2b)

=f[a+(x+a-2b)]

=-f[a-(x+a-2b)]

=-f(2b-x)

=f(x)

——北师大集宁附中 王志敏老师