工程光学第5章角度及角位移测量
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sin sin( 180 ) e sin e R R 当 90或270时, max e / R . 如e 1m, R 50m m, 则 max 4 因1 2, 1 偏心引起的误差 ( 1 2) 0 2
影像法测角的瞄准 方法结构示意图
相对测量
单一角度的相对测量，是将被测角与角度块规或 其它角度基准进行比较，用小角度测量仪测得偏差值， 小角度测量仪的示值范围较小，一般的为10′，较大 的可至30′ ，也有更小的仅为1′ 。
1. 光学自准直仪
组成： 体外反射镜、带有物镜组的光管部件、自准直测 微目镜部件。
原理：
自准直分化板2和测微分划板5都位于物镜3的焦平面上。 光源1发出的光束照射自准直分划板2，由物镜3将分划板 像成至无穷远；经反射镜 或工件表面反射后，自准直分 划板2的像有由物镜再次成像在目镜测微分划板5的刻划 面上，用目镜6可观察到自准直分划板像与测微分划板零 位的相对位臵，由此可确定反射面4的法线与光轴的夹角。
绝对法测量齿距误差数据处理举例
i 360/ z i i Fpi r i / 206.265
P129
表６－２
三、圆分度误差的相对测量
圆分度误差的相对测量是用某一个定角（由两个瞄准 装臵组成的角度或任选的一个分度间隔）作相对基 准，依次与被检器件的各分度间隔进行比较，从而测 得各分度间隔相对于相对基准的偏差值。再利用圆周 封闭特性，求出相对基准对理论分度间隔的偏差，继 而求得个分度间隔的绝对间隔误差。
A
A0
( i ) (θi θi S/ 2 )/ 2
i iS/2
B0
(i)
推倒过程：
B
O
( i ) θi A θi S/ 2 ( i ) B
A B
在对径位臵上安臵两个读数显微镜取其读数的 平均值作为测得值可以消除偏心e的影响 A 如:度盘中心O， R为半径，轴系回转中 心O1 ,偏心为e 当轴系的转角为时,度盘读值为0误差 为= 0- ,由图可知
f i 0,i 1 0,i
分度误差也具有圆周封闭性，即
f
i 0
s 1
i
f 0 f 1 f 2 f s 1 ( 1 0 ) ( 2 1 ) ( 3 2 ) ( 0 s 1 ) 0
4．直径误差 为减小度盘圆分度误差对测量的影响，很多测角仪器瞄准度 盘上对径位臵上两刻线的平均位臵读数，或在对径位臵上安 臵两个读数显微镜取其读数的平均值作为测得值。这时度盘 的分度精度不再以单个刻线误差作指标，而以度盘对径位臵 上两刻线分度误差的平均值作指标，该平均值即为直径误差， 用(i)表示。直径误差的一般表达式为
f ( ) i ( i 1 ) ( i ) n 2 ( 0 ); ( 0 ) 2 n
n 1 2 i 0
n为偶数
n 1 2 i 0
( 0,i )
n 1 2 i 0
( i )
(
0,i
)
3．光学分度头
——测量齿轮的齿距偏差，齿距累计偏差 非度盘类零件的间隔误差可能用其他名字，如齿轮的分 度间隔误差称为齿距偏差，最大分度间隔误差称为齿距 累计误差。 用分度头测量时需配以长度侧微或定位装臵。测量方法 有两种：1．长度侧微装臵定位，在分度头上读出齿距角 的累积值（″）；2．分度头定位，长度侧微装臵读数， 直接读的齿距偏差的累计值。 下面应用第一种测量方法：测得齿距角累积值 i ，经 数据处理获得齿距角偏差累计值 i （″）、齿距偏差 累计值 Fpi （um)、齿距累积偏差 Fp 、齿距偏差 f pt 。
o1
B
R
e
o
0
o
2
1
二、圆分度误差的绝对测量法 将被测圆分度器件与标准圆分度器件同轴安装，并 进行直接比较测量以求得被测圆分度误差的方法，是圆 分度误差的绝对测量法。其测量原理简单，标准件的误 差和测微瞄准、读数装臵的误差是两项最主要的误差。 为提高圆分度误差直接测量法的精度，必须设法减小标 准分度器件的误差与瞄准、读数装臵的误差。 1.标准度盘平均瞄准法的原理 作为圆分度器件的标准度盘是圆周封闭的，其刻线误 差也是周而复始的，故可把度盘的刻线误差值看成是 的函数 f ( ) 一个以2∏为周期的刻线位臵 。把它展 开成为傅氏级数
t与 角的关系为:
t tg2α , f
t 2f α
如图b所示， 当反射镜倾斜一 a角时，则按光的 反射定律，将在 分划板上距O点 为t的O’点成象， 被测量就是通过t 反映出来的。
测量时，使标准角度块和北侧角度块的定位面处于 同一位臵定位，然后依次对构成标准角和被测角的另一 平面瞄准。若瞄准标准角度块时，调整自准直仪光轴的 方位使读数为零，则瞄准被测角度块时的读数即为被测 角相对于标准角的偏差值。
第三节
圆分度误差测量
把圆周进行等分(例如n等分)，从而得到所需 要的角度，称为圆分度。度盘、圆光栅盘、圆感应 同步器、多面棱体、多齿分度盘等均可做为标准圆 分度器件。 对圆周进行等分时产生的不均匀性就是圆分度 误差。
圆周封闭特性：整周上圆分度误差值和等于零 的特性。
一．圆分度误差的评定指标
1．圆分度误差 各分度刻线(或具有分度特性的几何要素)的实际位臵 对其理论位臵的偏差。用i表示。分度误差有正负值。 以刻线的理论位臵为准，实际刻线在角度增加的一侧， 则分度误差为正，反之为负。图中，θ0为正值，θ1 为负值，θ2为零。
( i ) /()
0 +0.2 +0.6 +0.65 +0.1 -0.2
(0, i ) /() f ( ) /() i
-0.2 +0.4 +0.8 +0.85 +0.3 0 +0.05 +0.2 +0.4 +0.05 -0.55 -0.3
( 0,i ) ( i ) ( 0 );
第二节 单一角度尺寸的测量
直接测量
1.测角仪（绝对测量）
2.工具显微镜（绝对测量） 3.自准直仪
(相对测量）!!!!!!!!!!!! 4.激光干涉小角度测量仪（相对测量）
间接测量
坐标测量 平台测量
其他测量方法
2. 工具显微镜 测量范围：
角度样板、螺纹的牙型角、齿 条上的齿形角以及刀具锥柄的锥角 等。采用影像法瞄准时，成像的平 行光应与被测角度所在平面垂直， 必须正确调焦使轮廓影像清晰。由 于对线精度高于压线精度，所以， 用分划板上的米线瞄准角轮廓时， 采用如图所示的对线方法，即让米 字虚线与轮廓边缘保持一个狭窄光 隙，以上光隙的宽度是否一致来判 断是否对准。
二Байду номын сангаас角度的自然基准和圆周封闭原则
自然基准：360°圆周角 圆周封闭原则：整圆周上所有角间隔的误差之和为零（圆 周内误差封闭的原理 ）
三．实物基准 实物基准：传统的角度实物基准是角度块规，后来是 以高精度等分360o的圆分度器件. 包括：高精度度盘、圆光栅、圆感应同步器、角编码 器、多面棱体、多齿分度盘!!!!! 1.高精度度盘：常用于角度及圆分度误差的静态测量。 2.圆光栅：光栅盘的分辨率多为10,20,用于动态测 量。因其能自动瞄准读数，常用于高精度智能化仪 器及加工机械中。 3.圆感应同步器：包括激磁绕组（固定盘）和感应绕 组（动盘）两部分。由于抗干扰能力强，常用于加 工现场的测量。
多面棱体分度角的相对测量法
多面棱体是一种高精度的角度计量标准器，它是以底面为 定位基面的正棱体，带中心孔也可做定位用。 下图为用相对法测量多面棱体的示意图，定角为两精度相 等的自准直仪光轴组成的夹角β 。β不要求已知，但 在测量过程中应保持恒定，测量时将其依次与被测棱体各 相邻工作面法线间的夹角φi进行比较。用自准直仪定位， 自准直仪读数，共读得n个读数，则应有a1、a2…an、 则应有
第六章 角度及角位移测量
本章主要内容: 1. 角度的量值传递系统及圆封闭原则 2. 角度的各种测量方法 3. 圆分度误差的测量和评价
第一节 概述
一．角度单位及量值传递
角度单位：度（°），分（′），秒（″）和弧度（rad) 角度测量： 将被测角度与标准角度进行比较并确定被测角度的量值。 角度量值的传递过程： 逐级用高精度角度标准检定低精度角度标准。
j 0
线误差值。因此，度盘的刻线误差可写为A0=0，度盘的 刻线误差可写为
f ( ) Ai sin( i i )
i 1
在度盘刻度圆上均匀地分布m个读数装臵，他们相互间 夹角为： 2
m
Akm sin( km1 km )
k 1
n/ m
将前面两式进行比较可以看出，在标准度盘上均匀 布臵m个读数装臵并取它们读数的平均值作为度盘 读数时，可将度盘刻线误差中除m及其正整数倍以 外的各次谐波予以消除，从而减少了标准度盘刻线 系统误差对测量结果的影响。 由此可知，在精密测角仪器中常常采用的对径合 象读数，不仅消除了度盘偏心和度盘刻线误差中基 波成分对测量的影响，也消除了刻线误差中其它奇 次谐波分量的影响。
圆分度误差的大小取决于刻线的理论位臵。用于质量评定 的刻线理论位臵是以全部圆分度误差之和等于零为条件来 确定的。即根据理论位臵确定的刻线误差具有 : s 1
i 0
i
0
的特性，且由该理论位臵得到的圆分度误差是唯一确定的 2．零起分度误差 以零刻线的实际位臵为基准，确定全部刻线的理论位臵， 并由此求得的分度误差称为零起分度误差，用 0,i 表示。 零起分度误差的一般表达式为
f ( ) A0 A1 sin( 1 ) A2 sin( 2 2 ) Ai sin( i i ) A0 Ai sin( i i )
i 1
实际上度盘刻线是有限的（设为2n条），并且常取全 2 n 1 部刻线误差之和为零（即 f ( j ) 0 ）来确定各刻
1.光源 2.自准直分划板 3.物镜 4.反射面 5.测微分划板 6.目镜
平行光管与反射镜即构成自准直光管（准直仪） 自准直法就是通过将被测量转换为反射镜的倾斜量进 行测量的，如测量直线度、平面度误差。
a
图a中，光源S发出的光，照 亮了位于物镜焦面上的分划 板，经物镜后成平行光束， 这样的简单光学装臵即平行 光管。垂直于光轴的反射镜 反射回来的平行光束通过物 镜仍在分划板上的原来位臵 成一实象。这种现象称为 “自准直”。
度盘分度误差检定数据处理
度盘刻 直径误 度/（°） 差 零起直 径误差 直径间 隔误差 度盘刻 直径误 度/ （°） 差 零起直 径误差 直径间 隔误差
( i ) /() (0, i ) /() f ( )i /()
0 15 30 45 60 75 -0.2 -0.4 -0.1 -0.45 -0.15 -0.05 0 -0.2 +0.1 -0.25 +0.05 +0.15 -0.2 +0.3 -0.35 +0.3 +0.1 90 105 120 135 150 165
0,i i 0
测量中，一般先测出刻线的零起分度误差，然后再算出用于 质量评定的唯一确定的圆分度误差。计算公式为 s 1
i 0,i 0 0,i ( 0,i ) / s
i 0
3．分度间隔误差 度盘上相邻两刻线之间的角距离称为间隔，实际 间隔角度值 i ,i 1 与理论间隔角度值0之差即为 分度间隔误差(如图所示)，用 f i 表示。分度间隔 误差的一般表达式为 f i i 1 i 分度间隔误差与零起分度误差的关系为
1 a1
2 a 2
n a n
......
由圆周封闭特性可知
o 360 i i 1 n
所以得
360 / n ( a i ) / n
影像法测角的瞄准 方法结构示意图
相对测量
单一角度的相对测量，是将被测角与角度块规或 其它角度基准进行比较，用小角度测量仪测得偏差值， 小角度测量仪的示值范围较小，一般的为10′，较大 的可至30′ ，也有更小的仅为1′ 。
1. 光学自准直仪
组成： 体外反射镜、带有物镜组的光管部件、自准直测 微目镜部件。
原理：
自准直分化板2和测微分划板5都位于物镜3的焦平面上。 光源1发出的光束照射自准直分划板2，由物镜3将分划板 像成至无穷远；经反射镜 或工件表面反射后，自准直分 划板2的像有由物镜再次成像在目镜测微分划板5的刻划 面上，用目镜6可观察到自准直分划板像与测微分划板零 位的相对位臵，由此可确定反射面4的法线与光轴的夹角。
绝对法测量齿距误差数据处理举例
i 360/ z i i Fpi r i / 206.265
P129
表６－２
三、圆分度误差的相对测量
圆分度误差的相对测量是用某一个定角（由两个瞄准 装臵组成的角度或任选的一个分度间隔）作相对基 准，依次与被检器件的各分度间隔进行比较，从而测 得各分度间隔相对于相对基准的偏差值。再利用圆周 封闭特性，求出相对基准对理论分度间隔的偏差，继 而求得个分度间隔的绝对间隔误差。
A
A0
( i ) (θi θi S/ 2 )/ 2
i iS/2
B0
(i)
推倒过程：
B
O
( i ) θi A θi S/ 2 ( i ) B
A B
在对径位臵上安臵两个读数显微镜取其读数的 平均值作为测得值可以消除偏心e的影响 A 如:度盘中心O， R为半径，轴系回转中 心O1 ,偏心为e 当轴系的转角为时,度盘读值为0误差 为= 0- ,由图可知
f i 0,i 1 0,i
分度误差也具有圆周封闭性，即
f
i 0
s 1
i
f 0 f 1 f 2 f s 1 ( 1 0 ) ( 2 1 ) ( 3 2 ) ( 0 s 1 ) 0
4．直径误差 为减小度盘圆分度误差对测量的影响，很多测角仪器瞄准度 盘上对径位臵上两刻线的平均位臵读数，或在对径位臵上安 臵两个读数显微镜取其读数的平均值作为测得值。这时度盘 的分度精度不再以单个刻线误差作指标，而以度盘对径位臵 上两刻线分度误差的平均值作指标，该平均值即为直径误差， 用(i)表示。直径误差的一般表达式为
f ( ) i ( i 1 ) ( i ) n 2 ( 0 ); ( 0 ) 2 n
n 1 2 i 0
n为偶数
n 1 2 i 0
( 0,i )
n 1 2 i 0
( i )
(
0,i
)
3．光学分度头
——测量齿轮的齿距偏差，齿距累计偏差 非度盘类零件的间隔误差可能用其他名字，如齿轮的分 度间隔误差称为齿距偏差，最大分度间隔误差称为齿距 累计误差。 用分度头测量时需配以长度侧微或定位装臵。测量方法 有两种：1．长度侧微装臵定位，在分度头上读出齿距角 的累积值（″）；2．分度头定位，长度侧微装臵读数， 直接读的齿距偏差的累计值。 下面应用第一种测量方法：测得齿距角累积值 i ，经 数据处理获得齿距角偏差累计值 i （″）、齿距偏差 累计值 Fpi （um)、齿距累积偏差 Fp 、齿距偏差 f pt 。
o1
B
R
e
o
0
o
2
1
二、圆分度误差的绝对测量法 将被测圆分度器件与标准圆分度器件同轴安装，并 进行直接比较测量以求得被测圆分度误差的方法，是圆 分度误差的绝对测量法。其测量原理简单，标准件的误 差和测微瞄准、读数装臵的误差是两项最主要的误差。 为提高圆分度误差直接测量法的精度，必须设法减小标 准分度器件的误差与瞄准、读数装臵的误差。 1.标准度盘平均瞄准法的原理 作为圆分度器件的标准度盘是圆周封闭的，其刻线误 差也是周而复始的，故可把度盘的刻线误差值看成是 的函数 f ( ) 一个以2∏为周期的刻线位臵 。把它展 开成为傅氏级数
t与 角的关系为:
t tg2α , f
t 2f α
如图b所示， 当反射镜倾斜一 a角时，则按光的 反射定律，将在 分划板上距O点 为t的O’点成象， 被测量就是通过t 反映出来的。
测量时，使标准角度块和北侧角度块的定位面处于 同一位臵定位，然后依次对构成标准角和被测角的另一 平面瞄准。若瞄准标准角度块时，调整自准直仪光轴的 方位使读数为零，则瞄准被测角度块时的读数即为被测 角相对于标准角的偏差值。
第三节
圆分度误差测量
把圆周进行等分(例如n等分)，从而得到所需 要的角度，称为圆分度。度盘、圆光栅盘、圆感应 同步器、多面棱体、多齿分度盘等均可做为标准圆 分度器件。 对圆周进行等分时产生的不均匀性就是圆分度 误差。
圆周封闭特性：整周上圆分度误差值和等于零 的特性。
一．圆分度误差的评定指标
1．圆分度误差 各分度刻线(或具有分度特性的几何要素)的实际位臵 对其理论位臵的偏差。用i表示。分度误差有正负值。 以刻线的理论位臵为准，实际刻线在角度增加的一侧， 则分度误差为正，反之为负。图中，θ0为正值，θ1 为负值，θ2为零。
( i ) /()
0 +0.2 +0.6 +0.65 +0.1 -0.2
(0, i ) /() f ( ) /() i
-0.2 +0.4 +0.8 +0.85 +0.3 0 +0.05 +0.2 +0.4 +0.05 -0.55 -0.3
( 0,i ) ( i ) ( 0 );
第二节 单一角度尺寸的测量
直接测量
1.测角仪（绝对测量）
2.工具显微镜（绝对测量） 3.自准直仪
(相对测量）!!!!!!!!!!!! 4.激光干涉小角度测量仪（相对测量）
间接测量
坐标测量 平台测量
其他测量方法
2. 工具显微镜 测量范围：
角度样板、螺纹的牙型角、齿 条上的齿形角以及刀具锥柄的锥角 等。采用影像法瞄准时，成像的平 行光应与被测角度所在平面垂直， 必须正确调焦使轮廓影像清晰。由 于对线精度高于压线精度，所以， 用分划板上的米线瞄准角轮廓时， 采用如图所示的对线方法，即让米 字虚线与轮廓边缘保持一个狭窄光 隙，以上光隙的宽度是否一致来判 断是否对准。
二Байду номын сангаас角度的自然基准和圆周封闭原则
自然基准：360°圆周角 圆周封闭原则：整圆周上所有角间隔的误差之和为零（圆 周内误差封闭的原理 ）
三．实物基准 实物基准：传统的角度实物基准是角度块规，后来是 以高精度等分360o的圆分度器件. 包括：高精度度盘、圆光栅、圆感应同步器、角编码 器、多面棱体、多齿分度盘!!!!! 1.高精度度盘：常用于角度及圆分度误差的静态测量。 2.圆光栅：光栅盘的分辨率多为10,20,用于动态测 量。因其能自动瞄准读数，常用于高精度智能化仪 器及加工机械中。 3.圆感应同步器：包括激磁绕组（固定盘）和感应绕 组（动盘）两部分。由于抗干扰能力强，常用于加 工现场的测量。
多面棱体分度角的相对测量法
多面棱体是一种高精度的角度计量标准器，它是以底面为 定位基面的正棱体，带中心孔也可做定位用。 下图为用相对法测量多面棱体的示意图，定角为两精度相 等的自准直仪光轴组成的夹角β 。β不要求已知，但 在测量过程中应保持恒定，测量时将其依次与被测棱体各 相邻工作面法线间的夹角φi进行比较。用自准直仪定位， 自准直仪读数，共读得n个读数，则应有a1、a2…an、 则应有
第六章 角度及角位移测量
本章主要内容: 1. 角度的量值传递系统及圆封闭原则 2. 角度的各种测量方法 3. 圆分度误差的测量和评价
第一节 概述
一．角度单位及量值传递
角度单位：度（°），分（′），秒（″）和弧度（rad) 角度测量： 将被测角度与标准角度进行比较并确定被测角度的量值。 角度量值的传递过程： 逐级用高精度角度标准检定低精度角度标准。
j 0
线误差值。因此，度盘的刻线误差可写为A0=0，度盘的 刻线误差可写为
f ( ) Ai sin( i i )
i 1
在度盘刻度圆上均匀地分布m个读数装臵，他们相互间 夹角为： 2
m
Akm sin( km1 km )
k 1
n/ m
将前面两式进行比较可以看出，在标准度盘上均匀 布臵m个读数装臵并取它们读数的平均值作为度盘 读数时，可将度盘刻线误差中除m及其正整数倍以 外的各次谐波予以消除，从而减少了标准度盘刻线 系统误差对测量结果的影响。 由此可知，在精密测角仪器中常常采用的对径合 象读数，不仅消除了度盘偏心和度盘刻线误差中基 波成分对测量的影响，也消除了刻线误差中其它奇 次谐波分量的影响。
圆分度误差的大小取决于刻线的理论位臵。用于质量评定 的刻线理论位臵是以全部圆分度误差之和等于零为条件来 确定的。即根据理论位臵确定的刻线误差具有 : s 1
i 0
i
0
的特性，且由该理论位臵得到的圆分度误差是唯一确定的 2．零起分度误差 以零刻线的实际位臵为基准，确定全部刻线的理论位臵， 并由此求得的分度误差称为零起分度误差，用 0,i 表示。 零起分度误差的一般表达式为
f ( ) A0 A1 sin( 1 ) A2 sin( 2 2 ) Ai sin( i i ) A0 Ai sin( i i )
i 1
实际上度盘刻线是有限的（设为2n条），并且常取全 2 n 1 部刻线误差之和为零（即 f ( j ) 0 ）来确定各刻
1.光源 2.自准直分划板 3.物镜 4.反射面 5.测微分划板 6.目镜
平行光管与反射镜即构成自准直光管（准直仪） 自准直法就是通过将被测量转换为反射镜的倾斜量进 行测量的，如测量直线度、平面度误差。
a
图a中，光源S发出的光，照 亮了位于物镜焦面上的分划 板，经物镜后成平行光束， 这样的简单光学装臵即平行 光管。垂直于光轴的反射镜 反射回来的平行光束通过物 镜仍在分划板上的原来位臵 成一实象。这种现象称为 “自准直”。
度盘分度误差检定数据处理
度盘刻 直径误 度/（°） 差 零起直 径误差 直径间 隔误差 度盘刻 直径误 度/ （°） 差 零起直 径误差 直径间 隔误差
( i ) /() (0, i ) /() f ( )i /()
0 15 30 45 60 75 -0.2 -0.4 -0.1 -0.45 -0.15 -0.05 0 -0.2 +0.1 -0.25 +0.05 +0.15 -0.2 +0.3 -0.35 +0.3 +0.1 90 105 120 135 150 165
0,i i 0
测量中，一般先测出刻线的零起分度误差，然后再算出用于 质量评定的唯一确定的圆分度误差。计算公式为 s 1
i 0,i 0 0,i ( 0,i ) / s
i 0
3．分度间隔误差 度盘上相邻两刻线之间的角距离称为间隔，实际 间隔角度值 i ,i 1 与理论间隔角度值0之差即为 分度间隔误差(如图所示)，用 f i 表示。分度间隔 误差的一般表达式为 f i i 1 i 分度间隔误差与零起分度误差的关系为
1 a1
2 a 2
n a n
......
由圆周封闭特性可知
o 360 i i 1 n
所以得
360 / n ( a i ) / n