控制系统的时域分析
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第三章 控制系统的时域分析
在建立了系统数学模型（动态微微分方程、传递函数） 的基础上，就可以分析评价系统的动静（暂、稳） 态特性，并进而寻求改进系统性能的途径。 经典控制理论中，时域分析法、根轨迹法、频率特性 法是分析控制系统特性常用的三种方法，其中的时 域分析法适用于低阶次（三阶以下）系统，比较准 确直观，又称直接分析法，可提供输出响应随时间 变化的全部信息。 时域分析法就是一种在给定输入条件下，分析系统输 出随时间变化的方法，通常用暂态响应性能指标来 衡量。
第三章 控制系统的时域分析
3.2.3 典型输入信号 为了对系统性能进行分析、比较，给出了几种典型输入信号 （1）阶跃输入
A=1时称为单位阶跃信 （2）斜坡（匀速）
第三章 控制系统的时域分析
（3）抛物线（匀加速）
（4）脉冲
第三章 控制系统的时域分析
3.2.4 脉冲响应函数 单位脉冲函数δ(t)输入作用下的输出响应称王称为脉冲响 应函数g(t)。 关于脉冲响应函数，有如下几点需要说明： （1）系统输入一个单位脉冲函数，其输出响应拉氏变换 为其传函。 W(s)=Xc(s)/Xr(s)=L[g(s)]/L[δ(t)]=L[g(t)] (零初始线性定常) （2）利用g(t)求出任意输入信号下的输出响应 （3）知道系统的单位阶跃响应就可以知道其脉冲响应。 δ（t）=d(t)/dt 由于阶跃输入，系统处于最不利工作条件下，所以，人们 常用它来作为输入检验瞬态响应指标，其它典型输入下 的响应指标长能直接或间接地用阶跃响应指标得到。
当初始条件为零时，则有
上式表明，对系统的斜坡响应求导得系统的阶跃响应，对系统的阶跃响 应求导即为系统的脉冲响应。对于线形定常数系统上述结论均成立， 即系统对输入信号导数（或积分）的响应，等于系统对输入信号响应 的导数（或积分）。
第三章 控制系统的时域分析
3.4 二阶系统的动态响应
为了兼顾控制系统的稳定性和快速性相矛盾 的瞬态指标，我们总希望系统阶跃响
第三章 控制系统的时域分析
3.1 时域分析法介绍 所谓时域分析法，是指利用解析方法或实验方法求取系统在一特定的输入作用下
其输出的时间响应特性。在热工过程中，常采用的输入为阶跃函数。时域分
析法是一种最基本的控制系统的分析方法，具有以下特点。 ⑴ 具有直观、准确、物理概念清晰、易于理解等特点。
⑵ 尤其适合于一阶和二阶系统，可用解析方法求出其理论解，但其计算量会随
t T
上式表明，对于一阶系统，以初始速率不变时的 直线和稳态值交点处的时间为T。若由实验测 得响应曲线，符合以上特点，可确定为一阶系 统，并可确定时间常数T。
第三章 控制系统的时域分析
3.3.2 单位斜坡响应
C s G s R s
当 r t t 1 t 时，R s 12 , 故系统单位阶跃响应的象函数 s 为：
t 0
第三章 控制系统的时域分析
可见，无阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是围绕1的等幅 振荡曲线，其振荡频率为ωn ，系统不能稳定工作。 ⑶ 临界阻尼 （ ζ =1）
临界阻尼时二阶系统的特征根
Baidu Nhomakorabea
s1,2 n
第三章 控制系统的时域分析
如是两个相等的负实根 n 2 n 2 n 1 1 1 1 H s 2 s 2n s n 2 s s n 2 s s s n s n 2 故
第三章 控制系统的时域分析
⑵ 无阻尼 0 无阻尼时，二阶系统的特征根为两个共轭纯虚根，根 s1,2 jn 如图所示。
无阻尼状态下的闭环极点
故 h t 1 cos nt
n 2 1 1 s H s 2 s n 2 s s s 2 n 2
第三章 控制系统的时域分析
3.3.1 单位阶跃响应 1 当 r t 1 t 时，R s ，故系统单位阶跃响应的象 s 函数为： 1 1 1 H s G s R s
s Ts 1 s
对 H（s）进行拉氏变换，则
h t 1 e
第三章 控制系统的时域分析
3.3 一阶系统的动态响应 用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。一些控制 元部件及简单系统如RC网络、液位控制系统都可用 一阶系统来描述。 一阶系统的传递函数为：
C s 1 G s R s Ts 1
其中 T称为一阶系统的时间常数，它是唯一表征一阶 系统特征的参数，所以一阶系统时间响应的性能指 标与 密切相关。一阶系统如果作为复杂系统中的一 个环节时称为惯性环节。
故
h t 1 e nt cos d t 1 1 e nt 1 2 e nt 1
2
1
2
sin d t
1 2 cos d t sin d t
sin d t
t 0
由上式可见，二阶系统欠阻尼时的单位阶跃响应曲线是衰 减振荡型的，其振荡频率为 ω d，故称为ω d 为阻尼振荡 频率。而且当时间t 趋于无穷时，系统的稳态值为1，故 稳态误差为0。
s1 s1 s2
n 2
e
s1t
s2 s2 s1
n 2
e
s2t
t 0
第三章 控制系统的时域分析
可见，响应的暂态分量是由两个单调衰减的 指数项组成，所以过阻尼二阶系统的单位 阶跃响应曲线为单调非周期、无振荡、无 超调的曲线。
第三章 控制系统的时域分析
综观全部曲线可以得出以下结论： ⑴ 过阻尼（ ζ ＞1） 时，其时间响应的调节时间 最长，进入稳态很慢，但无超调量。 ⑵ 临界阻尼（ ζ =1） 时，其时间响应也没有超 调量，且响应速度比过阻尼要快。 ⑶ 无阻尼（ ζ =0） ,其响应是等辐振荡，没有稳 态。 ⑷ 欠阻尼（0＜ ζ ＜1） 时，上升时间比较快， 调节时间比较短，但有超调量，但如果选择合 理的 值，有可能使超调量比较小，调节时间 也比较短。
着系统阶次的升高而急剧增加，可实际中有许多高阶系统在多数情况下可近 似为一阶或二阶系统。因此，对一阶、二阶系统的研究将成为研究高阶系统 的基础，具有较大的实际意义。对于不能用一阶、二阶系统近似的高阶系统 可借助于计算机进行辅助计算或采用其他方法间接进行分析。 ⑶ 对于已有的系统，可以方便地利用实验方法求取瞬态响应。
s2 2n s n2 0 当阻尼比取不同值时，二阶系统的特征根在 平 面上分布位置不同，其单位阶跃响应也不同， 以下分别进行讨论。
n G s 2 s 2n s n 2
第三章 控制系统的时域分析
⑴ 欠阻尼 0 1 欠阻尼二阶系统是最为常见的，欠阻尼二阶系统的特征根为：
第三章 控制系统的时域分析
y(t)
p
5%,2%
1.0
0
tp
ts
t
稳定系统的单位阶跃响应具有衰减振荡
第三章 控制系统的时域分析
3.2.2 稳态性能指标
系统在稳态运行时，它的输出应该达到由给 定输入所定的希望值，但由于系统结构、 参数等各种因素，输出的实际值与希望值 有偏差。我们把t趋于无穷大时，系统希望 值与实际值之差定义为稳态误差ess。稳态 误差是评价系统稳态性能的指标。
第三章 控制系统的时域分析
3.2.1 动态性能指标 如下图所示的稳定系统的单位阶跃响应具有衰减振荡，系 统各动态性能指标参数如下： ⑴ 上升时间tr 。对于具有振荡的系统，指单位阶跃响应从 零第一次上升到稳态值所需的时间。对于单调变化的系 统，是指单位阶跃响应从稳态值的10%上升到90%所需 的时间。 ⑵ 峰值时间tp 。单位阶跃响应超过稳态值，到达第一个峰 值所需的时间。 ⑶ 调节时间ts 。单位阶跃响应与稳态值之间的偏差达到规 定的允许范围（±5%或±2%），且以后不再超出此范 围的最短时间。调节时间又称为过渡过程时间。 ⑷ 超调量 % 。单位阶跃响应的最大值超过稳态值的百分 比。
三种响应之间具有如下关系：
1 H s G s R s G s s 1 C s G s R s 2 G s s
K s H s s C s s2
dh t d 2c t K s dt dt 2
第三章 控制系统的时域分析
3.2时域性能指标 一个控制系统控制品质的优劣，常用一些性能指 标来评价。性能指标可以用计算的方法得到， 也可以从控制过程曲线(被调量的阶跃响应曲 线)上直观地得出。 控制系统的时间响应，从时间顺序上，可以划分 为动态和稳态两个阶段。其中动态过程是指系 统在输入信号作用下，系统输出量从初始状态 到接近最终状态的响应过程；其稳态是指时间 趋于无穷大时系统的输出状态。研究系统的时 间响应，必须对动态和稳态过程的特点以及有 关的性能指标加以探讨。
应是非衰减振荡过程，这与二阶系统欠阻尼 阶跃响应非常相似，又因二阶系统在数学 分析、模型设计上都比较容易，而且高阶 系统又能转化（简化）成二阶系统（主导 极点），所以二阶系统是我们研究的重点。
第三章 控制系统的时域分析
3.4.1 二阶系统的数学模型 系统闭环传递函数为： 2 式中 称为阻尼系数或阻尼比， n为无阻尼自 然角频率，二者为二阶系数的两个特征参数。 二阶系统的特征方程为：
n 2 n 2 1 1 H s 2 s 2n s n 2 s s s1 s s2 s n 2 n 2 1 s s1 s1 s2 s s1 s2 s2 s1 s s2
故 h t 1
3.3.3 单位脉冲响应
1 K t e T
t T
t 0
第三章 控制系统的时域分析
3.3.4 单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲响应的关系 2 t 1 t d1 t d t
dt dt K s G s R s G s
1 1 1 T T s 2 Ts 1 s 2 s s 1 T
t T
对 C（s）进行拉氏反变换，则
c t t T Te
其中 t-T为稳态分量， Te 趋于零。
t 0
t T
为暂态分量，当t→∞ 时，暂态分量
第三章 控制系统的时域分析
当 r t t 时，R s 1 ，故系统单位脉冲响应的象函数为： 1 1 1 K s G s R s Ts 1 T s 1 T 对 K s 进行拉氏反变换，则
第三章 控制系统的时域分析
3.4.2欠阻尼下二阶系统的动态性能指标的计 算 ⑴ 上升时间 tr、 tr d
式中： tg ⑵ 峰值时间 tp t p
h t 1 ent 1 nt
t 0
上式表明，临界阻尼的二阶系统的单位阶跃响应曲线为单调 非周期、无超调的曲线。 ⑷ 过阻尼 （ ζ ＞1） 过阻尼时，二阶系统的特征根是两个不相等的实根如图所示：
第三章 控制系统的时域分析
过阻尼时二阶系统的特征根
s12 n 1 2 n
s1,2 n jn 1 2 n jd S1,2欠阻尼状态下的闭环极点在平面上的位置如图所示：
欠阻尼状态下的闭环极点
第三章 控制系统的时域分析
若其特征根矢量与负实轴的夹角为β，则
cos
n 2 1 H s G s R s 2 s 2n s n 2 s s 2n s n n 1 1 s s n 2 d 2 s s n 2 d 2 s n 2 d 2
在建立了系统数学模型（动态微微分方程、传递函数） 的基础上，就可以分析评价系统的动静（暂、稳） 态特性，并进而寻求改进系统性能的途径。 经典控制理论中，时域分析法、根轨迹法、频率特性 法是分析控制系统特性常用的三种方法，其中的时 域分析法适用于低阶次（三阶以下）系统，比较准 确直观，又称直接分析法，可提供输出响应随时间 变化的全部信息。 时域分析法就是一种在给定输入条件下，分析系统输 出随时间变化的方法，通常用暂态响应性能指标来 衡量。
第三章 控制系统的时域分析
3.2.3 典型输入信号 为了对系统性能进行分析、比较，给出了几种典型输入信号 （1）阶跃输入
A=1时称为单位阶跃信 （2）斜坡（匀速）
第三章 控制系统的时域分析
（3）抛物线（匀加速）
（4）脉冲
第三章 控制系统的时域分析
3.2.4 脉冲响应函数 单位脉冲函数δ(t)输入作用下的输出响应称王称为脉冲响 应函数g(t)。 关于脉冲响应函数，有如下几点需要说明： （1）系统输入一个单位脉冲函数，其输出响应拉氏变换 为其传函。 W(s)=Xc(s)/Xr(s)=L[g(s)]/L[δ(t)]=L[g(t)] (零初始线性定常) （2）利用g(t)求出任意输入信号下的输出响应 （3）知道系统的单位阶跃响应就可以知道其脉冲响应。 δ（t）=d(t)/dt 由于阶跃输入，系统处于最不利工作条件下，所以，人们 常用它来作为输入检验瞬态响应指标，其它典型输入下 的响应指标长能直接或间接地用阶跃响应指标得到。
当初始条件为零时，则有
上式表明，对系统的斜坡响应求导得系统的阶跃响应，对系统的阶跃响 应求导即为系统的脉冲响应。对于线形定常数系统上述结论均成立， 即系统对输入信号导数（或积分）的响应，等于系统对输入信号响应 的导数（或积分）。
第三章 控制系统的时域分析
3.4 二阶系统的动态响应
为了兼顾控制系统的稳定性和快速性相矛盾 的瞬态指标，我们总希望系统阶跃响
第三章 控制系统的时域分析
3.1 时域分析法介绍 所谓时域分析法，是指利用解析方法或实验方法求取系统在一特定的输入作用下
其输出的时间响应特性。在热工过程中，常采用的输入为阶跃函数。时域分
析法是一种最基本的控制系统的分析方法，具有以下特点。 ⑴ 具有直观、准确、物理概念清晰、易于理解等特点。
⑵ 尤其适合于一阶和二阶系统，可用解析方法求出其理论解，但其计算量会随
t T
上式表明，对于一阶系统，以初始速率不变时的 直线和稳态值交点处的时间为T。若由实验测 得响应曲线，符合以上特点，可确定为一阶系 统，并可确定时间常数T。
第三章 控制系统的时域分析
3.3.2 单位斜坡响应
C s G s R s
当 r t t 1 t 时，R s 12 , 故系统单位阶跃响应的象函数 s 为：
t 0
第三章 控制系统的时域分析
可见，无阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是围绕1的等幅 振荡曲线，其振荡频率为ωn ，系统不能稳定工作。 ⑶ 临界阻尼 （ ζ =1）
临界阻尼时二阶系统的特征根
Baidu Nhomakorabea
s1,2 n
第三章 控制系统的时域分析
如是两个相等的负实根 n 2 n 2 n 1 1 1 1 H s 2 s 2n s n 2 s s n 2 s s s n s n 2 故
第三章 控制系统的时域分析
⑵ 无阻尼 0 无阻尼时，二阶系统的特征根为两个共轭纯虚根，根 s1,2 jn 如图所示。
无阻尼状态下的闭环极点
故 h t 1 cos nt
n 2 1 1 s H s 2 s n 2 s s s 2 n 2
第三章 控制系统的时域分析
3.3.1 单位阶跃响应 1 当 r t 1 t 时，R s ，故系统单位阶跃响应的象 s 函数为： 1 1 1 H s G s R s
s Ts 1 s
对 H（s）进行拉氏变换，则
h t 1 e
第三章 控制系统的时域分析
3.3 一阶系统的动态响应 用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。一些控制 元部件及简单系统如RC网络、液位控制系统都可用 一阶系统来描述。 一阶系统的传递函数为：
C s 1 G s R s Ts 1
其中 T称为一阶系统的时间常数，它是唯一表征一阶 系统特征的参数，所以一阶系统时间响应的性能指 标与 密切相关。一阶系统如果作为复杂系统中的一 个环节时称为惯性环节。
故
h t 1 e nt cos d t 1 1 e nt 1 2 e nt 1
2
1
2
sin d t
1 2 cos d t sin d t
sin d t
t 0
由上式可见，二阶系统欠阻尼时的单位阶跃响应曲线是衰 减振荡型的，其振荡频率为 ω d，故称为ω d 为阻尼振荡 频率。而且当时间t 趋于无穷时，系统的稳态值为1，故 稳态误差为0。
s1 s1 s2
n 2
e
s1t
s2 s2 s1
n 2
e
s2t
t 0
第三章 控制系统的时域分析
可见，响应的暂态分量是由两个单调衰减的 指数项组成，所以过阻尼二阶系统的单位 阶跃响应曲线为单调非周期、无振荡、无 超调的曲线。
第三章 控制系统的时域分析
综观全部曲线可以得出以下结论： ⑴ 过阻尼（ ζ ＞1） 时，其时间响应的调节时间 最长，进入稳态很慢，但无超调量。 ⑵ 临界阻尼（ ζ =1） 时，其时间响应也没有超 调量，且响应速度比过阻尼要快。 ⑶ 无阻尼（ ζ =0） ,其响应是等辐振荡，没有稳 态。 ⑷ 欠阻尼（0＜ ζ ＜1） 时，上升时间比较快， 调节时间比较短，但有超调量，但如果选择合 理的 值，有可能使超调量比较小，调节时间 也比较短。
着系统阶次的升高而急剧增加，可实际中有许多高阶系统在多数情况下可近 似为一阶或二阶系统。因此，对一阶、二阶系统的研究将成为研究高阶系统 的基础，具有较大的实际意义。对于不能用一阶、二阶系统近似的高阶系统 可借助于计算机进行辅助计算或采用其他方法间接进行分析。 ⑶ 对于已有的系统，可以方便地利用实验方法求取瞬态响应。
s2 2n s n2 0 当阻尼比取不同值时，二阶系统的特征根在 平 面上分布位置不同，其单位阶跃响应也不同， 以下分别进行讨论。
n G s 2 s 2n s n 2
第三章 控制系统的时域分析
⑴ 欠阻尼 0 1 欠阻尼二阶系统是最为常见的，欠阻尼二阶系统的特征根为：
第三章 控制系统的时域分析
y(t)
p
5%,2%
1.0
0
tp
ts
t
稳定系统的单位阶跃响应具有衰减振荡
第三章 控制系统的时域分析
3.2.2 稳态性能指标
系统在稳态运行时，它的输出应该达到由给 定输入所定的希望值，但由于系统结构、 参数等各种因素，输出的实际值与希望值 有偏差。我们把t趋于无穷大时，系统希望 值与实际值之差定义为稳态误差ess。稳态 误差是评价系统稳态性能的指标。
第三章 控制系统的时域分析
3.2.1 动态性能指标 如下图所示的稳定系统的单位阶跃响应具有衰减振荡，系 统各动态性能指标参数如下： ⑴ 上升时间tr 。对于具有振荡的系统，指单位阶跃响应从 零第一次上升到稳态值所需的时间。对于单调变化的系 统，是指单位阶跃响应从稳态值的10%上升到90%所需 的时间。 ⑵ 峰值时间tp 。单位阶跃响应超过稳态值，到达第一个峰 值所需的时间。 ⑶ 调节时间ts 。单位阶跃响应与稳态值之间的偏差达到规 定的允许范围（±5%或±2%），且以后不再超出此范 围的最短时间。调节时间又称为过渡过程时间。 ⑷ 超调量 % 。单位阶跃响应的最大值超过稳态值的百分 比。
三种响应之间具有如下关系：
1 H s G s R s G s s 1 C s G s R s 2 G s s
K s H s s C s s2
dh t d 2c t K s dt dt 2
第三章 控制系统的时域分析
3.2时域性能指标 一个控制系统控制品质的优劣，常用一些性能指 标来评价。性能指标可以用计算的方法得到， 也可以从控制过程曲线(被调量的阶跃响应曲 线)上直观地得出。 控制系统的时间响应，从时间顺序上，可以划分 为动态和稳态两个阶段。其中动态过程是指系 统在输入信号作用下，系统输出量从初始状态 到接近最终状态的响应过程；其稳态是指时间 趋于无穷大时系统的输出状态。研究系统的时 间响应，必须对动态和稳态过程的特点以及有 关的性能指标加以探讨。
应是非衰减振荡过程，这与二阶系统欠阻尼 阶跃响应非常相似，又因二阶系统在数学 分析、模型设计上都比较容易，而且高阶 系统又能转化（简化）成二阶系统（主导 极点），所以二阶系统是我们研究的重点。
第三章 控制系统的时域分析
3.4.1 二阶系统的数学模型 系统闭环传递函数为： 2 式中 称为阻尼系数或阻尼比， n为无阻尼自 然角频率，二者为二阶系数的两个特征参数。 二阶系统的特征方程为：
n 2 n 2 1 1 H s 2 s 2n s n 2 s s s1 s s2 s n 2 n 2 1 s s1 s1 s2 s s1 s2 s2 s1 s s2
故 h t 1
3.3.3 单位脉冲响应
1 K t e T
t T
t 0
第三章 控制系统的时域分析
3.3.4 单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲响应的关系 2 t 1 t d1 t d t
dt dt K s G s R s G s
1 1 1 T T s 2 Ts 1 s 2 s s 1 T
t T
对 C（s）进行拉氏反变换，则
c t t T Te
其中 t-T为稳态分量， Te 趋于零。
t 0
t T
为暂态分量，当t→∞ 时，暂态分量
第三章 控制系统的时域分析
当 r t t 时，R s 1 ，故系统单位脉冲响应的象函数为： 1 1 1 K s G s R s Ts 1 T s 1 T 对 K s 进行拉氏反变换，则
第三章 控制系统的时域分析
3.4.2欠阻尼下二阶系统的动态性能指标的计 算 ⑴ 上升时间 tr、 tr d
式中： tg ⑵ 峰值时间 tp t p
h t 1 ent 1 nt
t 0
上式表明，临界阻尼的二阶系统的单位阶跃响应曲线为单调 非周期、无超调的曲线。 ⑷ 过阻尼 （ ζ ＞1） 过阻尼时，二阶系统的特征根是两个不相等的实根如图所示：
第三章 控制系统的时域分析
过阻尼时二阶系统的特征根
s12 n 1 2 n
s1,2 n jn 1 2 n jd S1,2欠阻尼状态下的闭环极点在平面上的位置如图所示：
欠阻尼状态下的闭环极点
第三章 控制系统的时域分析
若其特征根矢量与负实轴的夹角为β，则
cos
n 2 1 H s G s R s 2 s 2n s n 2 s s 2n s n n 1 1 s s n 2 d 2 s s n 2 d 2 s n 2 d 2