2021届高三10月月考数学试题
【精准解析】新疆库车市第一中学2021届高三10月月考数学试题
2020-2021学年度库车市第一中学高三年级10月月考卷考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题(共60分)1. 已知集合{}220A x x x =--≤，(){}ln 1B x y x ==-，则AB =（ ）．A. (]0,2B. ()(),12,-∞-+∞C. [)1,1- D.()()1,00,2-⋃【答案】C 【解析】 【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域可得集合A ，B ，利用交集运算求解即可. 【详解】{}2|20{|12}A x x x x x =--≤=-≤≤(){}{}ln 11B x y x x x ==-=<所以{|11}A B x x ⋂=-≤< 故选：C.【点睛】本题主要考查了求集合的交集，一元二次不等式的解法以及对数函数的定义域，属于基础题.2. 设x ∈R ，则“38x >”是“2x” 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式38x >可得2x >， 求解绝对值不等式2x可得2x >或2x <-，据此可知：“38x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 已知命题:p x R ∀∈，21x x >-，0:q x R ∃∈，0sin 1x >，下列合题为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ⌝∨C. p ⌝D. p q ∧⌝【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质以及三角函数的有界性分别判断命题p ，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【详解】解：∵22131()024x x x -+=-+>恒成立， ∴x R ∀∈，21x x >-恒成立，即命题p 是真命题， ∵x R ∀∈，sin 1x ，∴0:q x R ∃∈，0sin 1x >为假命题， 则p q ∧⌝为真命题，其余为假命题， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题的真假关系是解决本题的关键．比较基础．4. 函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是 A. （-2,-1） B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）【答案】C 【解析】 试题分析：()()()()2102220,1120,0020,1120f e f e f e f e ---=--<-=--<=+-=+-()()100f f ∴<，所以零点在区间（0，1）上考点：零点存在性定理5. 下列说法错误的是（ ）A. 命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题是：“若3x ≠，则2430x x -+≠”B. “1x >”是“0x >”的充分不必要条件C. 若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个假命题D. 命题p ：“存在x ∈R 使得210x x ++<”，则p ⌝：“对于任意x ∈R ，均有210x x ++>” 【答案】D 【解析】 【分析】根据逆否命题的概念，可直接判断A ；根据充分条件和必要条件的概念，可判断B ；根据复合命题真假的判定方法，可判断C ；根据含有一个量词的命题的否定，可判断D.【详解】A 选项，命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题是：“若3x ≠，则2430x x -+≠”，故A 正确；B 选项，由1x >能推出0x >；由0x >不能推出1x >，所以“1x >”是“0x >”的充分不必要条件；故B 正确；C 选项，若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个假命题；故C 正确；D 选项，命题p ：“存在x ∈R 使得210x x ++<”，则p ⌝：“对于任意x ∈R ，均有210x x ++≥”，故D 错.故选：D.【点睛】本题主要考查逆否命题的概念，考查充分不必要条件的判定，考查且命题的真假，考查特称命题的否定，属于基础题型. 6. 函数xx y e=的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【详解】当0x >时，x xx x y e e==，1x xy e -'=，则()0,1x ∈，0y '>，函数x x y e=在()0,1上单调递增；当1x >时，0y '<，函数x xy e=在()1,+∞上单调递减；且当x →+∞时，0y →，又因为函数为奇函数，故选B.点睛：本题主要考查了已知函数的解析式，找到相对应的函数的图象，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化；知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项，注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口． 7. 将()y f x =的图象向右平移π3个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到πy sin x 6⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，则()f x (= ) A. cos2xB. 1sinx 2C. 1πcos x 26⎛⎫+⎪⎝⎭D.πsin 2x 6⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将πy sin x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象所有点的横坐标缩短到原来的12倍，再把所得图象向左平移π3个单位，即可得到()f x 的图象，得解． 【详解】解：将πy sin x 6⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象所有点的横坐标缩短到原来的12倍得到πy sin 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把所得图象向左平移π3个单位，得到()ππf x sin 2x cos2x 36⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于简单题．8. 已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点34(,)55P -，则sin(2)2θπ-的值为（ ） A. 725-B.725C. 45-D.35【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意求出4sin 5θ=，3cos 5θ=-，再求sin(2)2θπ-即可. 【详解】解：∵ 终边与单位圆交于点34(,)55P -， ∴ 4sin 5θ=，3cos 5θ=-， ∴227sin(2)cos 2sin cos 225θθθθπ-=-=-=， 故选：B.【点睛】本题考查三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式，是基础题. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间(),0-∞上单调递增的是（ ） A. ()21f x x=B. ()21f x x =+C. ()2f x x =D. ()2xf x -=【答案】A 【解析】 【分析】可以判断B ，C ，D 选项的函数在（-∞，0）上都单调递减，从而B ，C ，D 都错误，只能选A ． 【详解】A ：由2y x 在（-∞，0）上单调递减，则()21f x x=在（-∞，0）上单调递增， 且该函数是偶函数，∴该选项正确； B ：()21f x x =+在（-∞，0）上单调递减，∴该选项错误；C ：()2f x x =在（-∞，0）上单调递减，∴该选项错误；D ：()2xf x -=在（-∞，0）上单调递减，∴该选项错误． 故选：A ．【点睛】本题考查偶函数的定义，函数增减性的定义，以及二次函数和指数函数的单调性．属于较易题.10. 以下四组数中大小比较正确的是（ ） A. 3.1log log 3.1ππ<B. 0.30.30.50.4<C. 0.20.1-ππ-<D. 0.30.70.40.1<【答案】C 【解析】 【分析】结合指数函数、对数函数、幂函数性质即可求解【详解】对A ， 3.1log 1,log 3.11ππ><，故 3.1log log 3.1ππ>，错误； 对B ，0.3y x=在第一象限为增函数，故0.30.30.50.4>，错误；对C ，xy π=增函数，故0.20.1-ππ-<，正确；对D ，0.30.30.40.1>，0.30.70.10.1>，故0.30.70.40.1>，错误； 故选：C【点睛】本题考查根据指数函数，对数函数，幂函数性质比较大小，属于基础题 11. 若1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，则曲线()y f x =在（1，()1f ）处的切线方程是（ ）. A. 1y =- B. 10x y +-= C. y e = D. y ex =【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知()01f '=，即可求出a 得值，再求出(1)f 的值可得切点，斜率(1)0k f '==，即可写出方程.【详解】由题意可得：()1ln xf x ae x '=++，因为1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，所以(1)10f ae '=+=， 解得1a e=-，所以()1ln x f x e x x e =-+， 可得()11ln11f e e=-⨯+=-，切点为()1,1-，斜率(1)0k f '==，所以切线为：1y =- 故选：A【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线的斜率，涉及极值点处的导函数值等于0，属于中档题.12. 已知函数()221tan 2sin cos 1tan xf x x x x-=-+给出下列三个结论：①函数()f x 的最小正周期是π；②函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；③函数()f x 的图像关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称. 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将函数进行化简得到())4f x x π=+，再对照选项进行判断.【详解】因()2222sin 1cos 2sin cos cos 2sin 2)sin 41cos x x f x x x x x x x xπ-=-=-=++. 对①，函数的周期为22T ππ==，故①正确； 对②，因为ππππ028842x x -≤≤⇒≤+≤，所以()f x 在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，故②错误； 对③，)π484f ππ⎛⎫=-+= ⎪-⎝⎭π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故③错误. 故选：B【点睛】本题考查同角三角函数基本关系、倍角公式、余弦函数的图象与性质，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用，考查运算求解能力.第II 卷（非选择题）二、填空题(共20分)13.函数()2log 21y x =+-的定义域是______ . 【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据被开方数大于等0，分母不为0及对数函数的定义域列出不等式组，求解即可.【详解】由10210x x ->⎧⎨->⎩112x x <⎧⎪⇒⎨>⎪⎩，解得112x <<，所以函数()2log 211y x x=+--的定义域为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查求具体函数的定义域，属于基础题. 14. 曲线ln y x x =⋅上点(1,0)处的切线方程为_______ 【答案】1y x =-【解析】 【分析】利用切点和斜率求得切线方程. 【详解】令()ln f x x x =⋅，则()()''ln 1,1ln111fx x f =+=+=，所以曲线ln y x x =⋅上点(1,0)处的切线方程为()011y x -=⨯-，即1y x =-. 故答案为：1y x =-【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，属于基础题.15. 已知()2tan 3πα-=-，则()()()cos 3sin cos 9sin απαπαα-++-+的值为_____________.【答案】15- 【解析】 【分析】根据诱导公式化简已知与待求式，待求式分子分母同除以cos α即可求解. 【详解】()2tan 3πα-=-,2tan 3α∴=,()()()cos 3sin cos 3sin 13tan 121cos 9sin cos 9sin 19tan 165απααααπααααα-++---∴====--+-+-+-+故答案为：15-【点睛】本题主要考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系，考查了运算能力，属于中档题.16. 若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.【答案】0 【解析】 【分析】由题意转化为()=1f x 求解，再根据分段函数按0x ≤和0x >两种情况求解即可.【详解】已知函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，令()10y f x =-=，即()1f x =，①当0x ≤时，()xf x e =，由1x e =，解得0x =.②当0x >时，()21f x x =-，由211x -=，解得x =，所以x =.综上，函数()1y f x =-的零点是0.故答案为：0【点睛】本题考查函数与方程的应用，分段函数的应用，函数值的求法以及函数的零点的求法，考查分类讨论以及计算能力，属于基础题.三、解答题(共70分)17. 已知函数()()2sin 2g x x =，将其向右平移8π个单位长度后得到函数()y f x =． （1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间． （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域．【答案】（1）π；()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）2⎡⎤⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()f x 的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求出()f x 的值域．【详解】解：（1）将函数()2sin(2)g x x =的图象向右平移8π个单位长度后， 得到函数()2sin(2)4y f x x π==-的图象，故()f x 的最小正周期为22ππ=． 由3222()242k x k k Z πππππ+-+∈， 可得37222()44k x k k Z ππππ++∈．得37()88k x k k Z ππππ++∈．所以递减区间为37[,]()88k k k Z ππππ++∈． （2）[0,]2x π∈，则32444x πππ--，2[44x ππ∴-∈-，3]4π，2sin(2)[4x π-∈-，1]，()2sin(2)[2,2]4f x x π=-∈-．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．18. 已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωφ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动12π个单位长度，得到()y g x =图象，求函数()y g x =在R 上的单调递增区间.【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，【解析】 【分析】（1）由题意求出A ，T ，利用周期公式求出ω，利用当512x π=时取得最大值2，求出ϕ，即可得到函数的解析式． （2）由（1）知()sin()f x x π=-223，由正弦函数的图象变换可求()2sin(2)6g x x π=-，利用正弦函数的单调性即可得解． 【详解】解：（1）由图象可知，2A =， 周期45[()]3123T πππ=--=， ∴2||ππω=，0>ω，则2ω=， 从而()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5(12π，2)， 得5sin()16πϕ+=，则5262k ππϕπ+=+，k Z ∈， 即23k πϕπ=-+，k Z ∈，又||2ϕπ<，则3πϕ=-，()2sin(2)3f x x π∴=-．（2）由（1）知()sin()f x x π=-223，因此()2sin[2()]2sin(2)1236g x x x πππ=+-=-， 令222262k x k πππππ--+，k Z ∈，可得：63k x k ππππ-+，k Z ∈，所以函数的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，【点睛】本题主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于中档题． 19. 已知α是锐角，且()()()()()()sin cos 2tan tan sin f παπααπαπαπα----=+--．（1）化简()fα；（2）若31cos 25απ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，求()f α的值，【答案】（1）cos α-；（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用诱导公式和同角三角函数间的关系进行化简即可；（2）利用诱导公式化简31cos 25απ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得1sin 5α=，从而得cos α=结果【详解】（1）()()sin cos tan cos sin tan f a αααααα-==-．（2）31cos sin 25παα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，∴1sin 5α=，∴cos α=()cos f a α=-= 【点睛】此题考查诱导公式和同角三角函数间的关系的应用，属于基础题 20. 设函数()xf x xe =.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）y x =；（2）增区间(1,)-+∞，减区间(,1)-∞-. 【解析】 【分析】（1）先求出(0),f 再由求导公式和法则求出导数, 再求出切线的斜率(0)f '的值, 求出切线方程；（2 )由(1)求出(),f x '再令()0f x '>, 求得函数的单调递增区间，令()0f x '<, 求得函数的单调递减区间.【详解】（1）由题意得(0)0f =，则切点为(0,0)，又()(1)x x xf x e xe x e '=+=+，则(0)1f '=，则切线的斜率1k =，故在点(0,(0))f 处的切线方程为y x = （2）()f x 的定义域为R ，由（1）知, ()(1)x f x x e '=+令()0f x '>得10x +>, 即1x >-，则函数()f x 单调递增区间是 (1,)-+∞， 令()0f x '<得10x +<, 即1x <-，则函数()f x 单调递减区间是 (,1)-∞-， 故()f x 的单调递增区间是 (1,)-+∞，单调递减区间是 (,1)-∞-.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，利用导数求函数的单调性， 属于基础题.21. 设函数32()23(1)68f x x a x ax =-+++，其中a R ∈,已知()f x 在3x =处取得极值． （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在点()1,16A 处的切线方程．【答案】（1） ()32212188f x x x x =-++;（2） 16y =．【解析】分析：求出原函数的导数，根据()f x 在3x =处取得极值，得到()30f '=，由此求得a 的值值，则函数的解析式可求；（2）由（1）得到()262418f x x x '=-+，求得()10f '=，所以()f x 在点(1,16)A 处的切线方程可求.详解：（1）()()26616f x x a x a =+'-+.因为()f x 在3x =处取得极值，所以()()3696136=0f a a +⨯'=⨯-+， 解得3a =，所以()32212188f x x x x =-++.（2）A 点在()f x 上，由（1）可知()262418f x x x =-+'，()1624180f =-+='，所以切线方程为16y =.点睛：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答此题需要注意的是函数的极值点处的导数等于零，但导数为零的点不一定是极值点，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题. 22. 已知函数21()ln 22f x ax x =--. （1）当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若0a >，求函数()f x 的单调区间.【答案】（1）32y =-；（2）()f x 在(0,)a 单调递减，在()a+∞单调递增. 【解析】 【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义求出曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线斜率()1f ' 的值，根据直线的点斜式方程可得切线方程；（2）先求出函数的导数，根据()0f x '>解关于x 的不等式可得函数的单调递增区间，根据()0f x '<解关于x 的不等式可得函数的单调递减区间.【详解】（1）当1a =时，函数()21ln 22f x x x =--，()1f x x x'=-， ∴()()310,12f f '==-， ∴曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为32y =-. （2）()21(0)ax f x x x-'=>.令()210ax f x x -'=<，解得0x <<；令()210ax f x x -'=>，解得x >∴()f x 在0,a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭单调递减，在a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭单调递增. 【点晴】本题主要考查利用导数求曲线的切线方程以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 处的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，此处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程00()()y y f x x x '-=⋅-. 23. 已知函数()214ln 22x a x f x x =---，其中a 为正实数. （1）若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值； （2）求函数()y f x =的单调区间；（3）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，求证：()()126ln f x f x a +<- 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析 【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得()12f '=，解得a 的值；（2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（3）先根据韦达定理得12124,x x x x a +==，再化简()()12f x f x +，进而化简所证不等式为ln ln 20a a a a --+>，最后利用导函数求函数()ln ln 2g x x x x x =--+单调性，进而确定最小值，证得结论 试题解析：(1)因为()214ln 22f x x a x x =---，所以()4af x x x=--'， 则()132f a ='-=,所以a 的值为1．(2) ()244a x x af x x x x-+=--=-'，函数()y f x =的定义域为()0,+∞，1若1640a -≤,即4a ≥,则()0f x '≤,此时()f x 的单调减区间为()0,+∞;2若1640a ->,即04a <<,则()0f x '=的两根为2±此时()f x 的单调减区间为(0,2-,()2+∞,单调减区间为(2+．(3)由(2)知，当04a <<时，函数()y f x =有两个极值点12,x x ,且12124,x x x x a +==．因为()()2212111222114ln 24ln 222f x f x x a x x x a x x +=---+--- ()()()2212121214ln 42x x a x x x x =+--+-()2116ln 4244ln 2a a a a a a =----=+- 要证()()126ln f x f x a +<-,只需证ln ln 20a a a a --+>． 构造函数()ln ln 2g x x x x x =--+，则()111ln 1ln g x x x x x+-='=--， ()g x '在()0,4上单调递增,又()()1110,2ln202g g ='-'=-,且()g x '在定义域上不间断, 由零点存定理，可知()0g x '=在()1,2上唯一实根0x , 且001ln x x =． 则()g x 在()00,x 上递减, ()0,4x 上递增,所以()g x 的最小值为()0g x ．因为()00000000011ln ln 2123g x x x x x x x x x ⎛⎫=--+=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭, 当()01,2x ∈时, 00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则()00g x >,所以()()00g x g x ≥>恒成立． 所以ln ln 20a a a a --+>,所以()()126ln f x f x a +<-，得证．。
2021届江西省临川第一中学暨临川一中实验学校高三第一次月考数学(文)试题(解析版)
2021届江西省临川第一中学暨临川一中实验学校高三第一次月考数学（文）试题一、单选题1．若集合{P x N x =∈≤，a = ）A ．aP B ．{}a P ∈C ．{}a P ⊆D ．a P ∉【答案】D【解析】由a N =，结合元素与集合、集合与集合的关系即可得解. 【详解】因为a N =，集合{P x N x =∈≤，所以a P ∉，{}a P ⊆/. 故选：D. 【点睛】本题考查了元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.2． 设x ∈R ，则“38x >”是“2x ” 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式38x >可得2x >， 求解绝对值不等式2x可得2x >或2x <-，据此可知：“38x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．已知1275a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1357b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）． A ．b a c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C【解析】先与0比较，c 小于0，再a 与b 比较，即可判断大小. 【详解】12125757a -⎛⎫=⎛⎫= ⎝⎭⎪⎭⎪⎝<135()7b =，因此c a b << 故选：C. 【点睛】本题考查比较大小、指数函数单调性、对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.4．已知集合{}0M x x a =-=，{}10N x ax =-=，若M N N =，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．1-C ．1或1-D ．以上答案都不对 【答案】D 【解析】由M N N =，转化为N M ，分N =∅和 N ≠∅两种情况讨论求解.【详解】已知集合{}{}0M x x a a =-==，{}10N x ax =-=， 因为MN N =，所以N M ，当N =∅时，0a =，符合题意； 当N ≠∅时，{}110N x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，则1a a=，解得1a =±， 综上：实数a 的值是0或1或-1 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算和集合的基本关系的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.5．若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x -=-，则()6f -=（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】本题先根据题意判断函数是周期为4的周期函数，再根据奇函数求解即可. 【详解】解：∵()f x 是R 上的奇函数，∴()00f =， ∵()()2f x f x -=-，∴()()(4)(2)22(())()f x f x f x f x f x -=--=--=--=， ∴函数()f x 的周期为4， ∴()()()6200f f f -=-=-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数的周期性，是基础题.6．平面向量a 与b 的夹角为60︒，()2,0,1a b ==，则2+a b 等于( ) A ．22 B ．23C ．12D ．10【答案】B【解析】因为||2,||1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，故||||cos 601a b a b ⋅=⋅=，则244423a b +=++=，应选答案B ．7．高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数()v f h =的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由函数的自变量为水深h ，函数值为水的体积，得到水深h 越大，水的体积v 就越大，而且增的速度先慢后快再慢的，即可求解. 【详解】由图可知水深h 越大，水的体积v 就越大，故函数()v f h =是个增函数，故排除A ，C 项，由鱼缸形状可知，下面细中间粗，上面较细，所以随着水深的增加，体积的变化的速度是先慢后快再慢的，所以B 正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的应用问题，重点考查分析问题和解决问题的能力.8．已知直线l 过点(0,2)-，当直线l 与圆222x y y +=相交时，其斜率k 的取值范围是（ ） A．(-B．(,)-∞-⋃+∞C．44⎛- ⎝⎭D．,44⎛⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由圆的方程可得圆的圆心和半径，再由直线与圆相交的性质即可得1d =<，即可得解.【详解】圆222x y y +=的方程可变为()2211x y +-=，圆心为()0,1，半径为1，因为直线l 过点(0,2)-，且斜率为k ，所以直线l 的方程为2y kx +=即20kx y --=， 若要使直线l 与圆相交，则圆心到直线l的距离1d =<，解得((),k ∈-∞-⋃+∞. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9．已知函数25(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---⎪=⎨>⎪⎩，，是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -<B ．32a --C ．2a -D ．以上答案都不对 【答案】B【解析】设2()5(1)g x x ax x =---，()(1)ah x x x =>，由25(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---⎪=⎨>⎪⎩，，在R 上是增函数，则()g x 在1x ≤时单调递增，()h x 在()1,+∞上递增，且()(1)1g h ≤，从而可求. 【详解】函数25,(1)(),(1)x ax x f x a x x⎧---⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，设2()5(1)g x x ax x =---，，()(1)ah x x x=>，， 由分段函数的性质可知，函数2()5g x x ax =---在(],1-∞单调递增，函数()a h x x=在(1,)+∞单调递增，且()(1)1g h ≤，∴1206a a a a⎧-⎪⎪<⎨⎪--⎪⎩，∴203a a a -⎧⎪<⎨⎪-⎩解得32a -- 故选：B. 【点睛】考查分段函数在R 上的单调性，既需要分段考虑，又需要整体考虑，基础题. 10．定义在R 上的函数()y f x =，恒有()(2)f x f x =-成立，且()(1)0f x x '⋅->，对任意的12x x <，则()()12f x f x <成立的充要条件是（ ）． A ．211x x >≥ B ．122x x +>C ．122x x +≤D ．2112x x >≥【答案】B【解析】根据题中条件，先得到()f x 关于1x =对称；判定函数单调性，分别讨论11x ≥，11<x 两种情况，结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】由()(2)f x f x =-，得函数()f x 关于1x =对称， 由()(1)0f x x '⋅->得，当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 为增函数， 当1x <时，()0f x '<，此时函数()f x 为减函数， 因为12x x <，若11x ≥时，函数()f x 在1x >上为增函数，满足对任意的12x x <，()()12f x f x <，此时122x x +>；若11<x ，∵函数()f x 关于1x =对称，则()()112f x f x =-，则121x ->，由()()12f x f x <得()()()1212f x f x f x =-<，此时122x x -<，即122x x +>；即对任意的12x x <，()()12f x f x <得122x x +>； 反之也成立，所以对任意的12x x <，则()()12f x f x <成立的充要条件为“122x x +>”. 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据条件判断函数的对称性和单调性之间的关系，利用条件进行转化是解决本题的关键，属于常考题型.11的直线l 与椭圆22221x y a b +=（0a b >>）交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ） A．3B ．12C．2D ．13【答案】A【解析】由题意，2b ac =，得)22ac a c =-，20e +=，所以2e =， 故选C ．点睛：由椭圆的对称性可知，两个焦点关于原点对称，则直线l 是过原点的直线，且其交点投影恰好是椭圆焦点，由垂径的交点坐标为2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则有22b ac =，整理后同除以2a20e +=，求出离心率．12．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称.据此可推测，对任意的非零实数,,,,,a b c m n p ，关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是（ ） A ．{1,6}- B ．{2,4} C ．{2,5,4,7} D ．{1,4,8,16}【答案】D【解析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2bx a =-对称．而选项D 中4811622++≠. 故选：D. 【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f tg x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 二、填空题13．函数y =________． 【答案】[0,3]【解析】. 【详解】因为20x ≥，所以299x -≤，又要使根式有意义，则290x -≥，所以2099x ≤-≤，所以03≤≤，故函数y =[0,3]. 故答案为：[0,3]. 【点睛】本题考查了具体函数值域的求解，属于基础题.14．已知()f x 为奇函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则()y f x =的解析式为______.【答案】()ln()3,00,0ln 3,0x x x f x x x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩【解析】由()f x 为奇函数，可得()f x 的定义域关于原点对称，且()()f x f x =--，且当0x >时，0x -＜，将x -代入()()f x f x =--可得答案. 【详解】解：由()f x 为奇函数，可得()f x 的定义域关于原点对称，且()00f =，()()f x f x =--，当0x >时，0x -＜，故()(ln 3()3])[ln x f x f x x x x =--=--=++-，∴()ln()3,00,0ln 3,0x x x f x x x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩.故答案为：()ln()3,00,0ln 3,0x x x f x x x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩. 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数解析式，相对简单. 15．若函数()2cos()f x x m ωθ=++对任意的实数f()()99t t f t ππ+=-都有且()3,9f π=-则m =_______ .【答案】1- 或5-【解析】对任意的实数f()99t t f t 都有ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,说明函数图像的一条对称轴为9x π=，()39f π=-，则23m ±+=- ，1m =- 或5m =-.16．如图，在长方体1111ABCD A B C D －中，16,3,8AA AB AD ===， 点M 是棱AD 的中点，N 在棱1AA 上，且满足12AN NA ＝，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点(含边界)，若1C P ∥平面CMN ，则线段1C P 长度最小值是________.【解析】取11A D 的中点Q ,过点Q 在面11ADD A 作MN 的平行线交1DD 于E则易知面1//C QE 面CMN ,在1C QE ∆中作1C P QE ⊥,则1C P .三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若223cos cos 20A A +=，且ABC 为锐角三角形，7a =，6c =，求b 的值；（2）若a =3A π=，求b c +的取值范围．【答案】（1）b ＝5（2）b c +∈【解析】（1）运用二倍角的余弦公式，化简整理可得cos A ，再由余弦定理，解方程可得b ；（2）运用正弦定理和两角和差的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围； 【详解】解：（1）22223cos cos223cos 2cos 10A A A A +=+-=，∴21cos 25A =，又A 为锐角，1cos 5A =， 而2222cos a b c bc A =+-，即2121305b b --=， 解得5b =或135b =-（舍去），5b ∴=；（2）由正弦定理可得22(sin sin )2sin sin 36b c B C B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，203B π<<， ∴5666B πππ<+<， ∴1sin 126B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，∴b c+∈．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．18．某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人.为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，将两组的分数分成5组：[100,110),[110,120)，[120,130),[130,140)，[]140,150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两恰为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？附：随机变量22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【答案】（1）5；（2）列联表见解析，没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”.【解析】（1）由分层抽样的概念可得抽取的100名学生中，男女生的人数，进而可得样本中分数小于110分的学生中，男女生的人数，根据列举法可得所有的基本事件数及符合要求的基本事件数，再由古典概型的概率公式即可得解；（2）由频率分布直方图可得分数不小于130分的学生中，男女生的人数，即可完成列联表，计算出2K后，与2.706比较即可得解.【详解】（1）由题意，抽取的100名学生中，男生10030060500⨯=人，女生10020040500⨯=人，所以分数小于110分的学生中，男生有600.005103⨯⨯=人，记为A，B，C，女生有400.005102⨯⨯=人，记为D ，E ，则从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，有基本事件为：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),C D ，(),C E ，(),D E ，共10种；其中恰为一男一女的基本事件为：(),A D ，(),A E ，(),B D ，(),B E ，(),C D ，(),C E ，共6种； 故所求概率63105P ==； （2）分数不小于130分的学生中，男生有()0.020.005160150+⨯⨯=人， 女生有()400.03250.0051015⨯+⨯=人， 所以可得22⨯列联表如下：所以22100(15254515)251.7862.7066040307014K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用及古典概型概率的求解，考查了独立性检验的应用，属于中档题.19．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MNAT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果． 试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点T ，连接，由N 为中点知，.又，故平行且等于，四边形AMNT 为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面，N 为的中点，所以N 到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故145252BCMS=⨯⨯=. 所以四面体的体积14532N BCM BCMPA V S -=⨯⨯=. 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭3 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 与点Q 均在椭圆C 上，且,P Q 关于原点对称，问：椭圆上是否存在点M （点M 在一象限），使得PQM ∆为等边三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，2165215M ⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）根据已知条件，列出不等式组，求解2,1a b ==，即可求解椭圆的椭圆的方程；（2）设直线OM 的斜率为k ，则直线:OM y kx =，代入椭圆的方程，解得M 点的坐标，同理可得直线PQ 的方程，代入求解所以2165215M M x y ==，即可求解点M 的坐标．试题解析：（1）由题意222221314{a bc a a b c +===+，解得2,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）由题意知直线PQ 经过坐标原点O ，假设存在符合条件的点M ，则直线OM 的斜率存在且大于零，,OM PQ OM ⊥= ① 设直线OM 的斜率为k ，则直线:OM y kx =，联立方程组22{14y kxx y =+=，得M M x y ==所以OM =②同理可得直线PQ的方程为1,y x OP k =-=③ 将②③代入①式得= 化简得21110k-=，所以11k=所以M M x y ==，综上所述，存在符合条件的点1515M ⎛ ⎝⎭【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的几何性质的应用、函数与方程思想等知识点的综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力以及转化与化归思想的应用，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，转化为方程的根与系数的关系、判别式和韦达定理的应用是解答的关键，试题运算量大，有一定的难度，属于难题．21．已知函数2()x f x e a =-，()x g x e b =-，且()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线（e 为自然对数的底数）. （1）求b a -；（2）设函数ln 21()()()22h x f x g x mx =--+-，讨论函数()h x 的零点个数. 【答案】（1）1ln 222b a -=-（2）见解析 【解析】（1）由()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线，分别对()f x 与()g x 求导并求出切线方程，列出等量关系可得b a -；（2）利用换元将2()2x xh x e e m '=--转化为二次函数，分类讨论对其单调性，对图像特点进行分析，分情况讨论出函数()h x 的零点个数. 【详解】（1）2()2=1xf x e '=，可得ln 2ln 21,()222x f a =--=-. ()f x 在ln 21(,)22a --处的切线方程为1ln 2()22y a x --=+，即ln 2122y x a =++-. ()1x g x e '==，0,(0)1x g b ==-. ()g x 在(0,1)b -处的切线方程为(1)y b x --=，1y x b =+-， 故ln 21122a b +-=-， 可得1ln 222b a -=-. （2）由（1）可得22ln 21()()22xx x x h x ea eb mx e e mx =----+-=--， 2()2x x h x e e m '=--，令x t e =，则22y t t m =--，=1+8m ∆，1m 时，220t t m --=有两根，12,t t 且120t t <<，12()2()()0x x h x e t e t '=--=，得：2ln x t =，在2(ln ),t -∞上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞上，()0h x '>， 此时，2(ln )(0)0h t h <=.又x →-∞时，(),h x x →+∞→+∞时，()h x →+∞. 故在2(ln ),t -∞和2(ln ,)t +∞上，()h x 各有1个零点.1m =时，1()2()(1)2x x h x e e '=+-()h x 最小值为(0)0h =，故()h x 仅有1个零点.01m <<时，12()2()()x x h x e t e t '=--.其中120t t <<，同1m ，()h x 在2(ln ),t -∞与2(ln ,)t +∞上， ()h x 各有1个零点，0m =时，2()x x h x e e =-，仅在(0)0h =有1个零点， 108m -<<时，对方程220,180t t m m --=∆=+>. 方程有两个正根12,t t ，12()2()()x xh x e t e t '=--.在1(,ln )t -∞上，()0h x '>，在12(ln ,ln )t t 上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞，()0h x '>.由1212120t t t t ⎧+=⎪⎨⎪<<⎩，可得1211042t t <<<<，故22ln 0,(ln )(0)0t h t h <<=.11110,120,ln 0t t t -<-><，故1(ln )0h t <.故在1(,ln )t -∞上，1()(ln )0h x h t <<， 在12(ln ,ln )t t 上，()0h x <，在2(ln ,)t +∞上，()h x 有1个零点：0x =.18m ≤-时，2()20x x h x e e m '=--≥恒成立，()h x 为增函数，()h x 仅有1个零点：0x =.综上，0m ≤或1m =时，()h x 有1个零点，01m <<或1m 时，()h x 有2个零点.【点睛】本题考查导数的应用，利用导数求切线是常考点，利用导数讨论零点个数是难点，通常结合分类讨论思想进行分析解决，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线(0)l y kx x ≥：＝与曲线1C ，2C 的交点分别为A B ，（A B ，异于原点），当斜率(k ∈时，求·OA OB 的取值范围. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为2cos ρθ=；2C 的直角坐标方程为2x y =；（2）(2,.【解析】（1）由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，利用平方关系可得1C 的普通方程，再将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入普通方程中化简求得极坐标方程；曲线2C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=可化为22cos sin ρθρθ=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式即可得解；（2）分别联立射线(0)l y kx x ≥：＝与曲线1C ，2C 的极坐标方程，求出A B ，两点的极坐标，进而得出·OA OB 的取值范围． 【详解】（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即2220x x y -+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，由2cos sin ρθθ=两边同时乘ρ，得22cos sin ρθρθ=，结合cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线2C 的直角坐标方程为2x y =；（2）设射线(0)l y kx x ≥：＝的倾斜角为ϕ，则射线的极坐标方程为θϕ=，且(k tan ϕ=∈.联立2cos ρθθϕ=⎧⎨=⎩得2A OA cos ρϕ== ，联立2cos sin ρθθθϕ⎧=⎨=⎩得2sin cos B OB ϕρϕ==，所以(2sin ·222cos 2,A B OA OB cos tan k ϕρρϕϕϕ⋅==∈=⋅=，即·OA OB 的取值范围是(2,. 【点睛】本题考查三种方程间的互化，考查极坐标方程的应用，考查逻辑思维能力和转化能力，属于中档题.23．设命题p ：实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，命题q ：实数x 满足302x x -≤-． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()2,3；（2）12a <≤．【解析】（1）若1a =，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）利用p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【详解】解：由()()30x a x a --<，其中0a >，得3a x a <<，0a >，则p ：3a x a <<，0a >．由302x x -≤-解得23x <≤．即q ：23x <≤．（1）若1a =，则p ：13x <<，若p q ∧为真，则p ，q 同时为真，即2313x x <≤⎧⎨<<⎩，解得23x <<，∴实数x 的取值范围()2,3．（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件， ∴332a a >⎧⎨≤⎩，即12a a >⎧⎨⎩，解得12a <≤．【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，转化为q 是p 的充分不必要条件是解决本题的关键，属于基础题.。
2021届广东省深圳高级中学高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2021届广东省深圳高级中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．设集合2{|0}M x x x =-≥，{|2}N x x =<，则M N =（ ）A ．{|0}x x ≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x ≤≤D ．{|0x x ≤或12}x ≤<【答案】D【解析】先解不等式得集合M ，再根据交集定义求结果. 【详解】2{|0}(,0][1,)M x x x =-≥=-∞+∞ (,0][1,2)MN ∴=-∞故选：D 【点睛】本题考查集合交集、解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．已知i 为虚数单位，则复数131ii-+的虚部为（ ） A ．2- B ．2i -C ．2D ．2i【答案】A【解析】先化简复数z ，然后由虚部定义可求． 【详解】()()()()131********i i i ii i i -----===++-﹣1﹣2i ， ∴复数131ii-+的虚部是﹣2， 故选A ． 【点睛】该题考查复数代数形式的运算、复数的基本概念，属基础题．3．设a R ∈，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】【详解】【分析】试题分析：若1a =-，则直线 10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，充分性成立；若直线 10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，则 1a =或，必要性不成立． 【考点】充分必要性．4．设向量a ，b 满足(3,1)a b +=，1a b ⋅=，则||a b -=（ ） A ．2 B 6C ．22D 10【答案】B【解析】由题意结合向量的运算法则，以及向量的模的运算公式，即可求解. 【详解】由题意结合向量的运算法则，可知：()222431416a b a b a b -=+-⋅=+-⨯=故选：B. 【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．在6x x ⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154-B ．154C ．38-D ．38【答案】C 【解析】【详解】因为1r T +=66((rr r x C x-⋅⋅,可得1r =时，2x 的系数为38-，C 正确.6．已知函数()()1f x x x =+，则不等式()()220f x f x +->的解集为（ ）A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．(,2)(1,)-∞-+∞【答案】D【解析】判断出()f x 的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为()()22f xf x <-，【详解】()()1f x x x =+()()()()11f x x x x x f x ∴-=--+=-+=-()f x ∴为奇函数，当0x ≥时，()2f x x x =+，可知()f x 在[)0,+∞上单调递增；()f x ∴在(],0-∞上也单调递增，即()f x 为R 上的增函数；由()()220f xf x +->()()22f x f x ⇒>--()()22f x f x ⇒>-，22x x ∴>-，解得：2x <-或1x >故选：D. 【点睛】本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较，属于常考题型.7．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作直线与C 及其渐近线分别交于Q ，P 两点，且Q 为2PF 的中点．若等腰三角形12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距．则C 的离心率为（ ）A 2215-+ B ．43C 2215+ D ．32【答案】C【解析】先根据等腰三角形的性质得12QF PF ⊥，再根据双曲线定义以及勾股定理列方程，解得离心率. 【详解】连接1QF ，由12PF F △为等腰三角形且Q 为2PF 的中点，得12QF PF ⊥，由2PF c =知22c QF =．由双曲线的定义知122cQF a =+，在12Rt FQF 中，()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22284708470a ac c e e ∴+-=∴+-= 2157e +∴=（负值舍去）． 故选：C 【点睛】本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()f x 的解析式，再利用正弦函数的性质求得ϕ的取值范围． 【详解】将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度得到()sin(22)y f x x ϕ==-的图象．若函数()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，则22πϕ-≤-，且222ππϕ-≤，求得04πϕ<≤①．令22x k ϕπ-=，求得2k x πϕ=+，Z k ∈，故函数的零点为2k x πϕ=+，k Z ∈． ∵()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上， ∴51226k πππϕ-<+<-， ∴512262k k ππππϕ--<<--②． 由①②令1k =-，可得124ππϕ<≤， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的性质综合应用，属于中档题．二、多选题9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是（ ）注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980-1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人．A ．互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多 【答案】ABC【解析】根据饼状图确定互联网行业从业人员中“90后”占总人数比例，即可判断A; 根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数比例，即可判断B;饼状图确定“80前”的人数占总人数的比例,两者比较可判断C;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例不可确定，即可判断D. 【详解】由题图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的56%，超过一半，A 正确； 互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，超过20%，所以互联网行业从业人员（包括“90后”“80后”“80前”）从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B 正确；互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56%17%9.52%⨯=，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C 正确； 互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D 不一定正确． 故选：ABC 【点睛】本题考查饼状图与条形图，考查数据分析与判断能力，属基础题. 10．对于实数a 、b 、m ，下列说法正确的是（ ） A ．若22am bm >，则a b > B ．若a b >，则a ab bC ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ D ．若0a b >>且ln ln a b =，则()23,a b +∈+∞ 【答案】ABCD【解析】首先可根据22am bm >以及20m >判断出A 正确，然后将B 项分为0a b >>、0a b 以及0a b >≥三种情况进行讨论，即可判断出B 正确，再然后通过判断0a m a b m b +->+即可得出C 正确，最后可根据题意得出1a b =以及122a b a a，设()()121f a a a a=+>，通过函数()f a 的单调性即可判断出D 正确.【详解】A 项：因为22am bm >，20m >，所以a b >，A 正确；当0a b 时，22a aa b b b ，当0a b >≥时，22a a ab b b ，综上所述，a ab b 成立，B 正确；C 项：因为0b a >>，0m >， 所以0a m b a b mb a ma m a ab mb ab amb m bb b mb b mb b m，C 正确；D 项：因为0a b >>，ln ln a b =，所以1a b =，1a >，122a b a a， 设()()121f a a a a =+>，因为2120f aa，所以函数()f a 在区间()1,+∞上单调递增， 故13f af ，即()23,a b +∈+∞，D 正确，故选：ABCD. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的证明以及导数的灵活应用，考查通过去绝对值证明绝对值不等式，考查化归与转化思想以及函数方程思想，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.11．已知函数()122log xf x x =-，且实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <.若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x b < D ．0x c <【答案】ABC【解析】先判断()f x 单调性，根据题设条件，得到()()(),,f a f b f c 的符号，结合零点的定义，即可求解. 【详解】由题意，函数()1222log 2log xxf x x x =-=+，可知函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则()()(),,f a f b f c 可能()()()0,0,0f b f a f c >><或()()()0,0,0f a f b f c <<<，又由实数0x 是函数()y f x =的一个零点，即()00f x =, 综上可得，只有x c >成立，结合选项，可得不等式中可能成立的是0x a <，0x a >和0x b <. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了函数的零点的概念，以及指数函数、对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，结合函数零点的概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 12．已知函数()ln f x x =，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则（ ） A．12= B ．12128x x <C ．1232x x +<D ．2212512x x +>【答案】AD【解析】根据()()12f x f x =''，即可判断A 选项；再结合均值不等式即可判断其它选项. 【详解】由题意知1()(0)f x x x'=->，因为()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行， 所以()()12f x f x ''=，1211x x -=-，12=，A 正确； 由基本不等式及12x x ≠，可得12=>12256x x >，B错误；1232x x +>>，C 错误；2212122512x x x x +>>，D 正确．故选：AD本题考查利用导数的几何意义处理切线平行的问题，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.三、填空题13．已知cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=__________．【答案】43【解析】先利用已知条件和同角三角函数的关系求出tan θ的值，再利用正切的二倍角公式可求出tan 2θ的值. 【详解】解：因为cos 5θ=-，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin θ===， 所以sin tan 2cos θθθ==-， 所以222tan 2(2)4tan 21tan 1(2)3θθθ⨯-===---，故答案为：43． 【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法． 14．一组数据的平均数是8，方差是16，若将这组数据中的每一个数据都减去4，得到一组新数据，则所得新数据的平均数与方差的和是________． 【答案】20【解析】根据新数据与原数据平均数与方差的关系直接求解,即得结果. 【详解】因为原数据平均数是8，方差为16，将这组数据中的每一个数据都减去4，所以新数据的平均数为844-=，方差不变仍为16，所以新数据的方差与平均数的和为20． 故答案为：20本题考查新数据与原数据平均数与方差的关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点．60ABC ∠=︒，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥РABC -的体积为1V ，三棱锥O ABC -的体积为2V ．若12V V 的最大值为3．则球O 的表面积为________． 【答案】649π【解析】先求出ABC 的外接圆半径，根据题意确定12V V 的最大值取法，再根据12V V 的最大值为3，解得球半径，最后根据球的表面积公式得结果. 【详解】如图所示，设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则1OO ⊥平面ABC ． 设球O 的半径为R ，1OO d =，则2432sin sin 603AC r ABC ===∠︒，即233r =．121313P ABCABCP ABC ABC h S h V V d d S --⋅⋅==⋅⋅所以当P ，O ，1O 三点共线时，12max3V R dV d ⎛⎫+==⎪⎝⎭，即2R d =． 由222R d r =+，得2169R =，所以球O 的表面积26449S R ππ==． 故答案为：649π【点睛】本题考查三棱锥及其外接球的体积，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属中档四、双空题16．已知直线:2l y x b =+与抛物线()2:20C y px p =>相交于A 、B 两点，且5AB =，直线l 经过C 的焦点．则p =________，若M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为________．【答案】2【解析】将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得p 的值，设点()00,M x y ，可得()200040y x x =≥，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得MN 的最小值. 【详解】由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． 直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-． ∴直线l 的方程为2y x p =-．设()11,A x y 、()22,B x y ，联立222y x p y px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由韦达定理得1232p x x +=， 又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =，∴抛物线2:4C y x =．设()()000,0M x y x ≥，由题意知2004y x =，则()()()2222200000334188x y x x MNx =-+=-+=-+≥，当01x =时，2MN 取得最小值8，MN ∴的最小值为．故答案为：2；. 【点睛】本题考查利用抛物线的焦点弦长求参数，同时也考查了抛物线上的点到定点距离最值的求解，考查了抛物线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.五、解答题17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题①2252b c +=；②ABC 的面积为；③26AB AB BC +⋅=-.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在已知2b c -=，A 为钝角，sin A （1）求边a 的长；（2）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】选择条件见解析；（1）8a =；（2）1764.【解析】（1）方案一：选择条件①，结合向量数量积的性质可求bc ，进而可求b ，c ，然后结合余弦定理可求；方案二：选择条件②：由已知即可直接求出b ，c ，然后结合余弦定理可求； 方案三：选择条件③，由已知结合三角形的面积公式可求bc ，进而可求b ，c ，然后结合余弦定理可求．（2）由余弦定理可求cos C ，然后结合同角平方关系及二倍角公式，和差角公式即可求解． 【详解】方案一：选择条件①（1）由22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩，A 为钝角，sin A 1cos 4A =-，则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin 8C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos 32C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=； 方案二：选择条件②（1）sin A =1sin 2ABC S bc A ===△24bc =， 由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩，则22212cos 3616264644a b c b A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=； 方案三：选择条件③：（1）A 为钝角，sin A =1cos 4A =-，2()cos 6AB AB BC AB AB BC AB AC bc A +⋅=⋅+=⋅==-，24bc =，由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得6b =，4c =，则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin C ==， ∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭171322=-⨯=. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，和差角公式、二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nS n =+. 【解析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项列方程组可求解. （2）利用裂项求和法即可求解. 【详解】 （1）611=a ，1511a d ∴+=，①2a ，5a ，14a 成等比数列，∴2111(4)()(13)a d a d a d +=++，化简得212d a d =，②又因为0d ≠且由①②可得，11a =，2d =.∴数列的通项公式是21n a n =-（2）由（1）得111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+， 12111111(1)23352121n n S b b b n n ∴=++⋯+=-+-+⋯+--+11(1)221n =-+21nn =+ 所以21n nS n =+. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 19．如图所示，在三棱柱中111ABC A B C -，侧面11ABB A 是矩形，2AB =，122AA =，D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于O ，且CO ⊥面11ABB A .（1）求证：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求二面角D BC A --的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）105. 【解析】（1）推导出DB ⊥AB 1，1CO AB ⊥，从而AB 1⊥平面BDC ，由此能证明AB 1⊥BC ，（2）以O 为坐标原点，OA ，O 1B ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D BC A --的余弦值． 【详解】解：（1）由于侧面11ABB A 是矩形，D 是中点， 故12tan 2AB B ∠=，2tan 2ABD ∠=，所以1AB B ABD ∠=∠，又1190BAB AB B ∠+∠=， 于是190BAB ABD ∠+∠=，1BD AB ⊥，而CO ⊥面1ABB A ，所以1CO AB ⊥1AB ⊥面BCD ，得到1BC AB ⊥（2）如图，建立空间直角坐标系，则20,3,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，26,0,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,0,33C⎛⎫⎪⎝⎭，6,0,03D⎛⎫⎪⎪⎝⎭可以计算出面ABC的一个法向量的坐标为()11,2,2n=-而平面BCD的一个法向量为()20,1,0n=设二面角D BC A--的大小为θ，则121210cos5n nn nθ⋅==【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．20．如图，设点A，B的坐标分别为(3,0)-，(3,0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为23-.（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M､N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足//AP OM，//BP ON，求MON△的面积.【答案】（1）(221332x yx+=≠；（2）62.【解析】（1）先设动点坐标，根据条件斜率之积为23-列方程即得解；（2）由平行条件得斜率关系得23OM ONk k=-，即得坐标关系121223y yx x=-；设直线MN的方程x my t =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得韦达定理，代入121223y y x x =-可得22223t m =+，再求三角形面积，将22223t m =+代入化简即得解. 【详解】（1）由已知设点P 的坐标为(),x y ，由题意知(23AP BP k k x ⋅==-≠，化简得P的轨迹方程为(22132x y x +=≠.（2）证明：由题意M N 、是椭圆C 上非顶点的两点，且//AP OM ，//BP ON ， 则直线AP ，BP 斜率必存在且不为0，又由已知23AP BP k k =-⋅. 因为//AP OM ，//BP ON ，所以23OM ON k k =-. 设直线MN 的方程为x my t =+，代入椭圆方程22132x y+=，得()222324260m ymty t +++-=，设,M N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2121222426,3232mt t y y y y m m-+=-=++. 又()2121222221212122636OM ONy y y y t k k x x m y y mt y y t t m -===+++-， 所以222262363t t m -=--，得22223t m =+.又1212MONSt y y ∆=-=， 所以2MONS∆==，即MON △的面积为定值2.【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆中的定值问题的求解，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算分析推理能力》 21．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()f p 的最大值点0p ； （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ;（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】（1）0.1；（2）（i ）490；（ii ）应该对余下的产品作检验.【解析】（1）利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得()()182220C 1f p p p =-，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意01p <<的条件；（2）先根据第一问的条件，确定出0.1p =，在解（i ）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii ）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果. 【详解】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为()()182220C 1f p p p =-. 因此()()()()()1817172222020C 211812C 1110f p p p p p p p p ⎡⎤='---=--⎣⎦.令()0f p '=，得0.1p =.当()0,0.1p ∈时，()0f p '>；当()0.1,1p ∈时，()0f p '<. 所以()f p 的最大值点为00.1p =； （2）由（1）知，0.1p =.（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知()180,0.1Y B ~，20225X Y =⨯+，即4025X Y =+.所以()40254025490EX E Y EY =+=+=.（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于400EX >，故应该对余下的产品作检验. 【点睛】该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论. 22．已知0a >，函数()ln (1),()x f x x a x g x e =--=.（1）经过原点分别作曲线(),()y f x y g x ==的切线12l l 、，若两切线的斜率互为倒数，证明：211e e a e e--<<； （2）设()(1)()h x f x g x =++，当0x ≥时，()1h x ≥恒成立，试求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）](,2-∞.【解析】（1）求出两条直线的斜率，设1l 与曲线()y f x =的切点为()11,x y 1111111e e x y ax a x ⇒==-⇒=-，令11()ln 1m x x x e=-+-利用导数单调性可得答案；（2）构造函数()(1)()h x f x g x =++ln(1)e xx ax =+-+，求其导数利用函数的单调性，得出()h x 在区间()00,x 上递减，在区间()0,x +∞递增，又()0(0)1h x h <=，得到实数a 的取值范围. 【详解】（1）设切线22:l y k x =，切点为()22,x y .则22e x y =，()22222e x y k g x x ===' 22x 22e e 1x x x ⇒=⇒=，2e y =2e k ⇒=.由题意，知切线1l 的斜率为1211e k k ==，方程为1ey x =.设1l 与曲线()y f x =的切点为()11,x y . 则()111111y k f x a x x =-='= 1111111e ex y ax a x ⇒==-⇒=-. 又()111ln 1y x a x =--，消去1y ､a 后，整理得1111ln 10ex x -+-=. 令11()ln 1m x x x e=-+-，则 22111()x m x x x x-'=-=. 于是，()m x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增.若1(0,1)x ∈，由112e 0e e m ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，()110e m =-<， 则11,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.而111e a x =-在11,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减， 故211e e a e e--<<. 若()11,x ∈+∞，因为()m x 在区间()1,+∞上单调递增，则()0m e =，所以，1110a x e=-=，这与题设0a >矛盾. 综上，211e e a e e--<<. （2）注意到，()(1)()h x f x g x =++ ln(1)e x x ax =+-+1()e 1x h x a x =++'⇒-.第 1 页 共 6 页 i .当2a ≤时，由1x e x ≥+，则1()e 1x h x a x =+-+' 11201x a a x ≥++-≥-≥+. 于是，()h x 在区间[]0,+∞上递增，()0()1h x h x ≥=恒成立，符合题意. ii .当2a >时，由[0,)x ∈+∞，且2221(1)e 1()e 0(1)(1)x xx h x x x +-=-=≥+'+'， 则()h x '在区间[]0,+∞上递增.又(0)20h a '=-<，则存在0(0,)x ∈+∞，使得()00h x '=.于是，()h x 在区间()00,x 上递减，在区间()0,x +∞递增.又()0(0)1h x h <=，此时，()1h x ≥不恒成立，不符合题意.综上，实数a 的取值范围是](,2-∞.【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线的切线及结合方程有零点存在得到不等式的证明；考查利用导数处理函数最值和不等式恒成立的问题.。
【KS5U发布】辽宁省沈阳二中2021届高三上学期10月月考试题 数学(理) Word版含答案
沈阳二中2022——2021学年度上学期10月份小班化学习成果 阶段验收高三（ 15 届）数学（理科）试题命题人：高三数学组 审校人：高三数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.） 1．已知集合A ＝{x|0<log 4x<1}，B ＝{x|x≤2}，则A∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．(1,2] 2．有关下列命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为:若“x 2=1则x ≠1” B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R,使得x 2+x+1<0”的否定是:“∀x ∈R,均有x 2+x+1<0” D ．命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为真命题3．已知函数()()2531m f x m m x--=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数,则m 的值为（ ）A ．2B ．-1C ．-1或2D ．04．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13 5．函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为 （ ）A ．)(],4(Z k k k ∈-πππB ．)(]8,8(Z k k k ∈+-ππππC ．)(]8,83(Z k k k ∈+-ππππ D ．)(]83,8(Z k k k ∈++ππππ6．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值（ ）A ．2413- B. 2213-C. 2313-D. 231-7．已知函数2()ln(193)1f x x x =++，则1(lg 2)(lg )2f f +等于（ ）A ．-1 B.0 C. 1 D. 28．tan70°cos10°(1－3tan20°)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．29．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.3210．.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(－∞，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0，1)D ．(0，＋∞)11. 设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则 （ ） A ． 32παβ-=B.32παβ+=C.22παβ-=D.22παβ+=12. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=， 若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[-第Ⅱ卷 （90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13.计算定积分=+⎰-dx x x 112)sin (__________14..设()f x R 是上的奇函数，且2'(1)0,0(1)()2()0f x x f x xf x -=>+-<当时，，则不等 式()0f x >的解集为15.对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数②当且仅当()x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最小值是-1 ③该函数的图象关于直线52()4x k k Z ππ=+∈对称。
山东省临沂市沂水二中北校区2021届高三上学期10月月考数学试卷(理科) Word版含解析
山东省临沂市沂水二中北校区2021届高三上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜log2x＜2}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x＜4}2．（5分）设x∈R ，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．C．2D．103．（5分）在△ABC中，设命题p ：==，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．（5分）已知函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，则a的最大值是（）A．0B．1C．2D．36．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．27．（5分）函数y=sin（x ﹣）的一条对称轴可以是直线（）A．x =B．x =πC．x=﹣πD．x=8．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b ，则=（）A．2B．C．D．19．（5分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D ．10．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为（）A．13 B．8C．9D．10二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．（5分）在数列{a n}中，a1=15，3a n+1=3a n﹣2（n∈N+），则该数列中相邻两项的乘积是负数的为．12．（5分）向量=（1，sinθ），=（1，cosθ），若•=，则sin2θ=．13．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．14．（5分）设f1（x）=cosx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）=f′n（x）n∈N*，若△ABC的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=，则sin2A的值是．15．（5分）给出下列命题：①函数y=cos（2x ﹣）图象的一条对称轴是x=②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；④存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；其中正确的命题为（写出全部正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16．（12分）已知集合A={x|2x＜8}，B={x|x2﹣2x﹣8＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（Ⅰ）求集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．17．（12分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，假如p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点P（1，2cos2θ）在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且．（1）求cos2θ；（2）求P，Q的坐标并求sin（α+β）的值．19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b2+c2）=3a2+2bc．（Ⅰ）若，求tanC的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC 的面积，且b＞c，求b，c．20．（13分）定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m．（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求实数m的取值范围．21．（14分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．山东省临沂市沂水二中北校区2021届高三上学期10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜log2x＜2}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x＜4}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：直接求出集合B，然后求出A∩B即可．解答：解：由于集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜log2x＜2}={x|2＜x＜4}，所以A∩B={x|2＜x＜3}．故选B．点评：本题考查对数函数的基本性质，集合的基本运算，考查计算力量．2．（5分）设x∈R ，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．C．2D．10考点：平面对量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．解答：解：由于x∈R ，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），所以|+|=，故选B．点评：本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算力量．3．（5分）在△ABC中，设命题p ：==，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：依据正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行推断即可得到结论．解答：解：由正弦定理可知，若===t，则，即a=tc，b=ta，c=bt，即abc=t3abc，即t=1，则a=b=c，即△ABC是等边三角形，若△ABC是等边三角形，则A=B=C=，则===1成立，即命题p是命题q的充要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，利用正弦定理是解决本题的关键．4．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a考点：对数值大小的比较；不等式比较大小．分析：依据指数函数和对数函数的单调性推断出abc的范围即可得到答案．解答：解：∵a=20.1＞20=10=ln1＜b=ln＜lne=1c=＜log31=0∴a＞b＞c故选A．点评：本题主要考查指数函数和对数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．5．（5分）已知函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，则a的最大值是（）A．0B．1C．2D．3考点：利用导数争辩函数的单调性．专题：计算题．分析：依据f（x）在区间[1，+∞）上单调递减，可得f'（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，建立等量关系，求出参数a最大值即可．解答：解：∵f（x）=ax﹣x3∴f′（x）=a﹣3x2∵函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，∴f′（x）=a﹣3x2≤0在区间[1，+∞）上恒成立，∴a≤3x2在区间[1，+∞）上恒成立，∴a≤3．故选D．点评：本小题主要考查运用导数争辩函数的单调性及恒成立等基础学问，考查综合分析和解决问题的力量．6．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数奇偶性的性质结合函数图象即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，故选：B点评：本题主要考查函数值的计算，依据函数的奇偶性以及函数图象进行转化时解决本题的关键．7．（5分）函数y=sin（x ﹣）的一条对称轴可以是直线（）A．x =B．x =πC．x=﹣πD．x=考点：正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用正弦函数的对称性可求得其对称轴方程为：x=kπ+（k∈Z），从而可得答案．解答：解：由x ﹣=kπ+（k∈Z）得：x=kπ+（k∈Z），∴函数y=sin（x ﹣）的对称轴方程为：x=kπ+（k∈Z），当k=1时，x=π，∴方程为x=π的直线是函数y=sin（x ﹣）的一条对称轴，故选：B．点评：本题考查正弦函数的对称性，求得其对称轴方程为：x=kπ+（k∈Z）是关键，属于中档题．8．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b ，则=（）A．2B．C．D．1考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，进而利用两角和公式对等号左边进行化简求得sinA和sinB的关系，进而利用正弦定理求得a和b的关系．解答：解：∵bcosC+ccosB=2b，∴sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA=2sinB，∴=2，由正弦定理知=，∴==2，故选：A．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．考查了同学分析和运算力量．9．（5分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D ．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：分别画出y=2x，y=x2的图象，由图象可以函数与x轴有三个交点，且当x＜﹣1时，y＜0，故排解BCD，问题得以解决．解答：解：y=2x﹣x2，令y=0，则2x﹣x2=0，分别画出y=2x，y=x2的图象，如图所示，由图象可知，有3个交点，∴函数y=2x﹣x2的图象与x轴有3个交点，故排解BC，当x＜﹣1时，y＜0，故排解D故选：A．点评：本题主要考查了图象的识别和画法，关键是把握指数函数和幂函数的图象，属于基础题．10．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为（）A．13 B．8C．9D．10考点：函数的零点；函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=f（x），知函数y=f（x）（x∈R）是周期为2的函数，进而依据f（x）=1﹣x2与函数g（x）=的图象得到交点为9个．解答：解：由于f（x﹣2）=f（x），所以函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数．由于x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，所以作出它的图象，利用函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数，可作出y=f（x）在区间[﹣5，6]上的图象，如图所示：故函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为9，故选C．点评：本题的考点是函数零点与方程根的关系，主要考查函数零点的定义，关键是正确作出函数图象，留意把握周期函数的一些常见结论：若f（x+a）=f（x），则周期为a；若f（x+a）=﹣f（x），则周期为2a；若f（x+a）=，则周期为2a，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．（5分）在数列{a n}中，a1=15，3a n+1=3a n﹣2（n∈N+），则该数列中相邻两项的乘积是负数的为a23•a24．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：把等式3a n+1=3a n﹣2变形后得到a n+1﹣a n等于常数，即此数列为首项为15，公差为﹣的等差数列，写出等差数列的通项公式，令通项公式小于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集中的最小正整数解，即可得到从这项开头，数列的各项为负，这些之前各项为正，得到该数列中相邻的两项乘积是负数的项．解答：解：由3a n+1=3a n﹣2，得到公差d=a n+1﹣a n=﹣，又a1=15，则数列{a n}是以15为首项，﹣为公差的等差数列，所以a n=15﹣（n﹣1）=﹣n+，令a n=﹣n+＜0，解得n ＞，即数列{a n}从24项开头变为负数，所以该数列中相邻的两项乘积是负数的项是a23a24．故答案为：a23•a24点评：此题考查同学机敏运用等差数列的通项公式化简求值，把握确定一个数列为等差数列的方法，是一道综合题．12．（5分）向量=（1，sinθ），=（1，cosθ），若•=，则sin2θ=．考点：平面对量的综合题．专题：计算题．分析：由==可求解答：解：∵==∴sin2θ=故答案为：点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，三角函数的二倍角公式的应用，属于基础试题13．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．解答：解：∵二次函数f （x）=x2+mx ﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．14．（5分）设f1（x）=cosx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）=f′n（x）n∈N*，若△ABC的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=，则sin2A的值是．考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：由已知分别求出f2（x），f3（x），f4（x），f5（x），可得从第五项开头，f n（x）的解析式重复消灭，每4次一循环，结合f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=求出cosA，进一步得到sinA，则答案可求．解答：解：∵f1（x）=cosx，∴f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，f5（x）=f4′（x）=cosx，…从第五项开头，f n（x）的解析式重复消灭，每4次一循环．∴f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=0．∴f2021（x）=f4×503+1（x）=f1（x）=cosx．∵f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=．∴cosA=．∵A为三角形的内角，∴sinA=．∴sin2A=2sinAcosA=．故答案为：．点评：本题考查了导数及其运算，关键是找到函数解析式规律性，是中档题．15．（5分）给出下列命题：①函数y=cos （2x﹣）图象的一条对称轴是x=②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；④存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；其中正确的命题为①②（写出全部正确命题的序号）．考点：命题的真假推断与应用．专题：计算题；简易规律．分析：①由x=时，y=﹣1，可得结论；②利用函数图象，求解；③依据图象的平移规律可得结论；④依据sinx+cosx=sin（x+）≤＜，可以推断．解答：解：①函数y=cos（2x ﹣），x=时，y=﹣1，所以函数y=cos（2x ﹣）图象的一条对称轴是x=，正确；②在同一坐标系中，画出函数y=sinx和y=lgx的图象，所以结合图象易知这两个函数的图象有3交点，正确；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin[2（x ﹣）+]，即y=sin（2x ﹣）的图象，故不正确；④sinx+cosx=sin（x+）≤＜，故不存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；故答案为：①②．点评：本题利用三角函数图象与性质，考查命题的真假推断与应用，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16．（12分）已知集合A={x|2x＜8}，B={x|x2﹣2x﹣8＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（Ⅰ）求集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系推断及应用．专题：集合．分析：（I）解指数不等式求出A，解二次不等式求出B，进而可得集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B ，则，解不等式组可得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由2x＜8，得2x＜23，x＜3．（3分）解不等式x2﹣2x﹣8＜0，得（x﹣4）（x+2）＜0，所以﹣2＜x＜4．（6分）所以A={x|x＜3}，B={x|﹣2＜x＜4}，所以A∩B={x|﹣2＜x＜3}．（9分）（Ⅱ）由于C⊆B，所以（11分）解得﹣2≤a≤3．所以，实数a的取值范围是[﹣2，3]．（13分）点评：本题考查的学问点是集合的包含关系推断及应用，集合的交集运算，解不等式，难度不大，属于基础题．17．（12分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，假如p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易规律．分析：易得p：k＞0，q ：或，由p∧q是假命题，p∨q是真命题，可得p，q一真一假，分别可得k的不等式组，解之可得．解答：解：∵函数y=kx+1在R上是增函数，∴k＞0，又∵曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，∴△=（2k﹣3）2﹣4＞0，解得或，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q 假，则，∴；②若p假q 真，则，解得k≤0，综上可得k的取值范围为：（﹣∞，0]∪[，]点评：本题考查复合命题的真假，涉及不等式组的解法和分类争辩的思想，属基础题．18．（12分）在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点P（1，2cos2θ）在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且．（1）求cos2θ；（2）求P，Q的坐标并求sin（α+β）的值．考点：两角和与差的正弦函数；平面对量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：（1）利用向量数量积运算得出sin2θ﹣2cos2θ=﹣1，再利用二倍角余弦公式求出cos2θ．（2）由（1）可以求出P，Q的坐标，再利用任意角三角函数的定义求出α，β的正、余弦值．代入两角和的正弦公式计算．解答：解（1）=（1，2cos2θ），=（sin2θ，﹣1），∵，∴sin2θ﹣2cos2θ=﹣1，∴，∴．（2）由（1）得：，∴，∴∴，，由任意角三角函数的定义，，同样地求出，，∴点评：本题考查向量的数量积运算、任意角三角函数的定义、利用三角函数公式进行恒等变形以及求解运算力量．19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b2+c2）=3a2+2bc．（Ⅰ）若，求tanC的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC 的面积，且b＞c，求b，c．考点：余弦定理的应用．专题：综合题；解三角形．分析：（Ⅰ）由3（b2+c2）=3a2+2bc，利用余弦定理，可得cosA ，依据，即可求tanC的大小；（Ⅱ）利用面积及余弦定理，可得b、c的两个方程，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）∵3（b2+c2）=3a2+2bc，∴=∴cosA=，∴sinA=∵，∴∴∴∴tanC=；（Ⅱ）∵ABC 的面积，∴，∴bc=①∵a=2，∴由余弦定理可得4=b2+c2﹣2bc ×∴b2+c2=5②∵b＞c，∴联立①②可得b=，c=．点评：本题考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查同学的计算力量，属于中档题．20．（13分）定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m．（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求切线方程，就是求k=f′（1），f（1），然后利用点斜式求直线方程，问题得以解决；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x），要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，转化为求最值问题．解答：解：（1）∵f（x）=x2+x∴f′（x）=2x+1，f（1）=2，∴f′（1）=3，∴所求切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣2x+m﹣x2﹣x=x3﹣3x+m﹣x2∴h′（x）=x2﹣2x﹣3，当﹣4＜x＜﹣1时，h′（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，h′（x）＜0，当3＜x＜4时，h′（x）＞0，要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得，而h（﹣1）=，h（4）=m ﹣，∵m+，∴，即m．点评：导数再函数应用中，求切线方程就是求某点处的导数，再求参数的取值范围中，转化为求函数的最大值或最小值问题．21．（14分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用三角函数的定义求出φ的值，由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的周期，从而可求ω，进而可求函数f（x）的解析式；（2）利用正弦函数的单调增区间，可求函数f（x）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x ）恒成立，等价于，由此可求实数m的取值范围．解答：解：（1）角φ的终边经过点，∴，…（2分）∵，∴．…（3分）由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，得，即，∴ω=3…..（5分）∴…（6分）（2）由，可得，…（8分）∴函数f（x ）的单调递增区间为k∈z…（9分）（3 ）当时，，…（11分）于是，2+f（x）＞0，∴mf（x）+2m≥f（x ）等价于…（12分）由，得的最大值为…（13分）∴实数m 的取值范围是．…（14分）点评：本题考查函数解析式的确定，考查三角函数的性质，考查分别参数法的运用，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．。
2020-2021学年江苏省扬州中学高三(上)月考数学试卷(10月份)
2020-2021学年江苏省扬州中学高三（上）月考数学试卷（10月份）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A.{1，4}B.{2，3}C.{9，16}D.{1，2}2.（单选题，5分）点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q 点的坐标为（）A. (−12，√32)B. (−√32，−12)C. (−12，−√32)D. (−√32，12)3.（单选题，5分）若幂函数f（x）的图象过点(√22，12)，则函数g(x)=f(x)e x的递增区间为（）A.（0，2）B.（-∞，0）∪（2，+∞）C.（-2，0）D.（-∞，-2）∪（0，+∞）4.（单选题，5分）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）A. f(x)=sin|x|2+cosxB. f(x)=sinx•ln|x|2+cosxC. f(x)=cosx•ln|x|2+cosxD. f(x)=cosxx5.（单选题，5分）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：M1(R+r)2 + M2r2=（R+r）M1R3．设α=rR ．由于α的值很小，因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3，则r的近似值为（）A. √M2M1RB. √M22M1RC. √3M2M13 RD. √M23M13 R6.（单选题，5分）已知函数f(x)={x，0≤x≤1，ln(2x)，1＜x≤2，若存在实数x1，x2满足0≤x1＜x2≤2，且f（x1）=f（x2），则x2-x1的最大值为（）A. e2B. e2−1C.1-ln2D.2-ln47.（单选题，5分）若2x-2y＜3-x-3-y，则（）A.ln（y-x+1）＞0B.ln（y-x+1）＜0C.ln|x-y|＞0D.ln|x-y|＜08.（单选题，5分）设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A，B，若函数y=2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（）A.不存在B.有且只有一条C.至少有两条D.有无数条9.（多选题，5分）5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出做出预测．由如图提供的信息可知（）A.运营商的经济产出逐年增加B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势10.（多选题，5分）下列说法正确的是（）A.“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件＜a＜2”是“（a-1）-2＜（2a-3）-2”的充要条件B.“ 43C.命题“∀x∈R，x2+1＜0”的否定是“∃x∈R，使得 x2+1≥0”D.已知函数 y=f （x）的定义域为 R，则“f （0）=0”是“函数 y=f （x）为奇函数”的必要不充分条件11.（多选题，5分）已知函数y=f（x）是奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=-f （1-x），当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x-1），以下4个结论正确的有（）A.函数 y=f （x）的图象关于点（1，0）成中心对称B.函数 y=f （x）是以2为周期的周期函数C.当x∈（-1，0）时，f （x）=-log2 （1-x）D.函数 y=f （|x|）在（-1，0）上单调递增12.（多选题，5分）关于函数f（x）=alnx+ 2x，下列判断正确的是（）A.当a=1时，f （x）≥ln2+1B.当a=-1时，不等式 f （2x-1）-f （x）＞0 的解集为(12，1)C.当a＞e时，函数 f （x）有两个零点D.当f （x）的最小值为2时，a=213.（填空题，5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（-x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，-3）处的切线斜率是___ ．14.（填空题，5分）函数y=cosx+cos2x的最小值是___ ．15.（填空题，5分）设a=log49，b=2-1.2，c= (827)−13，则将a，b，c按从大到小排序：___ ．16.（填空题，5分）若函数f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）的两个不同极值点x1，x2满足f（x1）+f（x2）≤0恒成立，则实数a的取值范围为___ ．17.（问答题，10分）在① A⊆B；② ∁R B⊆∁R A；③ A∩B=A；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．问题：已知集合A={x|log2（x-1）＞1，x∈R}，B={x|（x-a）（x-4+a）＞0，x∈R}，是否存在实数a，使得______？18.（问答题，12分）已知f（α）= sin(5π−α)cos(π+α)cos(3π2+α)cos(α+π2)tan(3π−α)sin(α−3π2)．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos(3π2−α)=35，求f（α）的值．19.（问答题，12分）随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增．根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：i i 对应的机动车纯增数量y （单位：万辆）具有线性相关关系．（1）求机动车纯增数量（单位：万辆）关于时间变量x 的回归方程，并预测2025～2030年间该市机动车纯增数量的值；附：回归直线方程 y ̂=b ̂x +a ̂ 中斜和截距的最小二乘估计公式分别为： b̂=∑x i y i −nxyn i=1∑x i 2n i=1−nx2=i −x )i −y n i=1)∑(x −x )2n â=y −b̂x ． （2）该市交通管理部门为广解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：附：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，n=a+b+c+d ．20.（问答题，12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面AA 1C 1C⊥平面AA 1B 1B ，∠BAA 1=45°，CA=CB ，点O 在棱AA 1上，CO⊥AA 1． （1）求证：AA 1⊥BC ；（2）若BB 1= √2 AB=2，直线BC 与平面ABB 1A 1所成角为45°，D 为CC 1的中点，求二面角B 1-A 1D-C 1的余弦值．21.（问答题，12分）已知函数f（x）=x|2a-x|+2x，a∈R．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在实数a∈[-2，2]，使得关于x的方程f（x）-tf（2a）=0有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．22.（问答题，12分）若函数f（x）=e x-ae-x-mx（m∈R）为奇函数，且x=x0时f（x）有极小值f（x0）．（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；恒成立，求实数m的取值范围．（3）若f（x0）≥- 2e2020-2021学年江苏省扬州中学高三（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A.{1，4}B.{2，3}C.{9，16}D.{1，2}【正确答案】：A【解析】：由集合A中的元素分别平方求出x的值，确定出集合B，找出两集合的公共元素，即可求出交集．【解答】：解：根据题意得：x=1，4，9，16，即B={1，4，9，16}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，4}．故选：A．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.（单选题，5分）点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为（）A. (−12，√32)B. (−√32，−12)C. (−12，−√32)D. (−√32，12)【正确答案】：A【解析】：由题意推出∠QOx角的大小，然后求出Q点的坐标．【解答】：解：点P从（0，1）出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，所以∠QOx= 2π3，所以Q（cos 2π3，sin 2π3），所以Q (−12，√32)．故选：A．【点评】：本题通过角的终边的旋转，求出角的大小是解题的关键，考查计算能力，注意旋转方向．3.（单选题，5分）若幂函数f（x）的图象过点(√22，12)，则函数g(x)=f(x)e x的递增区间为（）A.（0，2）B.（-∞，0）∪（2，+∞）C.（-2，0）D.（-∞，-2）∪（0，+∞）【正确答案】：A【解析】：先求幂函数f（x），再利用导数判定函数g（x）的单调递增区间．【解答】：解：设幂函数f（x）=xα，它的图象过点（√22，12），∴（√22）α= 12，∴α=2；∴f（x）=x2；∴g（x）= x2e x ，g′（x）= x(2−x)e x，令g′（x）＞0，即2-x＞0，解得：0＜x＜2，故g（x）在（0，2）递增，故选：A．【点评】：本题考查了幂函数的定义以及利用导数判定函数的单调区间问题，是中档题．4.（单选题，5分）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）A. f (x )=sin|x|2+cosx B. f (x )=sinx•ln|x|2+cosxC. f (x )=cosx•ln|x|2+cosx D. f (x )=cosx x【正确答案】：B【解析】：根据题意，依次分析选项中函数是否符合函数的图象，综合即可得答案．【解答】：解：根据题意，依次分析选项： 对于A ， f (x )=sin|x|2+cosx，其定义域为R ，不符合题意；排除A ；对于C ，f （x ）= cosx•ln|x|2+cosx，其定义域为{x|x≠0}，有f （-x ）=cos (−x )ln|−x|2+cos (−x ) = cosx•ln|x|2+cosx=f （x ）， 即函数f （x ）为偶函数，其图象关于y 轴对称，不符合题意；排除C ， 对于D ，f （x ）= cosxx，其定义域为{x|x≠0}， 有f （-x ）=cos (−x )x =- cosx x=-f （x ）， 即函数f （x ）为奇函数，其图象关于原点对称， 当x→+∞时，f （x ）→0，不符合题意；排除D ； 故选：B ．【点评】：本题考查根据函数的图象选择解析式，注意结合函数的奇偶性、定义域等性质运用排除法进行分析，属于基础题．5.（单选题，5分）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： M 1(R+r )2+ M 2r 2 =（R+r ） M1R 3 ． 设α= rR ．由于α的值很小，因此在近似计算中 3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3，则r 的近似值为（ ）A. √M2M1RB. √M22M 1RC. √3M2M 13RD. √M23M 13R【正确答案】：D【解析】：由α= rR．推导出 M 2M 1= 3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3，由此能求出r=αR= √M 23M 13R ．【解答】：解：∵α= rR ．∴r=αR ，r 满足方程： M 1(R+r )2 + M 2r 2 =（R+r ） M1R3 ． ∴11+2•r R +r 2R2•M 1 + R 2r2•M 2 =（1+ r R）M 1，把 α=r R代入，得： 1(1−α)2•M 1+1α2•M 2 =（1+α）M 1， ∴ M 2α2 =[（1+α）- 1(1−α)2 ]M 1=(1+α)3−1(1+α)2•M 1 =α(α2+3α+3)(1+α)2M 1， ∴ M2M 1=3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3， ∴r=αR= √M23M 13R ．故选：D ．【点评】：本题考查点到月球的距离的求法，考查函数在我国航天事业中的灵活运用，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题． 6.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x ，0≤x ≤1，ln (2x )，1＜x ≤2，若存在实数x 1，x 2满足0≤x 1＜x 2≤2，且f （x 1）=f （x 2），则x 2-x 1的最大值为（ ） A. e 2B. e 2−1C.1-ln2D.2-ln4【正确答案】：B【解析】：画出函数图象得到x2-x1=x2-ln（2x2），令g（x）=x-ln（2x），x∈(1，e2]，根据函数的单调性求出其最大值即可．【解答】：解：画出函数f（x）的图象，如图示：结合f（x）的图象可知，因为x1=ln（2x2），所以x2∈(1，e2]，则x2-x1=x2-ln（2x2），令g（x）=x-ln（2x），x∈(1，e2]，则g′(x)=x−1x，所以g（x）在(1，e2]上单调递增，故g(x)max=g(e2)=e2−1，故选：B．【点评】：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，是一道常规题．7.（单选题，5分）若2x-2y＜3-x-3-y，则（）A.ln（y-x+1）＞0B.ln（y-x+1）＜0C.ln|x-y|＞0D.ln|x-y|＜0【正确答案】：A【解析】：方法一：由2x-2y＜3-x-3-y，可得2x-3-x＜2y-3-y，令f（x）=2x-3-x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），结合函数的单调性可得x，y的大小关系，结合选项即可判断．方法二：根据条件取x=-1，y=0，即可排除错误选项．【解答】：解：方法一：由2x-2y＜3-x-3-y，可得2x-3-x＜2y-3-y，令f（x）=2x-3-x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），所以x＜y，即y-x＞0，由于y-x+1＞1，故ln（y-x+1）＞ln1=0．方法二：取x=-1，y=0，满足2x-2y＜3-x-3-y，此时ln（y-x+1）=ln2＞0，ln|x-y|=ln1=0，可排除BCD．故选：A．【点评】：本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于基础试题．8.（单选题，5分）设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A，B，若函数y=2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（）A.不存在B.有且只有一条C.至少有两条D.有无数条【正确答案】：B【解析】：设AB方程为y=m，根据△ABC是等边三角形计算m的值，得出结论．【解答】：解：根据题意，设直线l的方程为y=m，则A（log2m，m），B（log2m-1，m），AB=1，设C（x，2x），∵△ABC是等边三角形，∴点C到直线AB的距离为√32，∴m-2x= √32，∴x=log2（m- √32），又x= 12（log2m+log2m-1）=log2m- 12，∴log 2（m- √32 ）=log 2m- 12 =log 2 m √2∴m - √32 = m√2 ，解得m=2√3+√62， 故而符合条件的直线l 只有1条． 故选：B ．【点评】：本题考查了指数函数图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，属于中档题．9.（多选题，5分）5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出做出预测．由如图提供的信息可知（ ） A.运营商的经济产出逐年增加B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【正确答案】：ABD【解析】：根据统计图中的信息，逐个分析选项，即可判断出正误．【解答】：解：对于选项A：由图可知，运营商的经济产出逐年增加，所以选项A正确，对于选项B：由图可知，设备制造商的经济产出在2020～2023年间增长较快，后几年增长逐渐趋于平缓，所以选项B正确，对于选项C：由图可知，设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而2029年、2030年信息服务商在总经济产出中处于领先地位，所以选项C错误，对于选项D：由图可知，在2020～2025年间信息服务商与运营商的经济产出的差距不大，后几年中信息服务商的经济产出增长速度明显高于运营商的经济产出增长速度，两种差距有逐步拉大的趋势，所以选项D正确，故选：ABD．【点评】：本题主要考查了简单的合情推理，考查了统计图的应用，考查了学生逻辑思维能力，是基础题．10.（多选题，5分）下列说法正确的是（）A.“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件＜a＜2”是“（a-1）-2＜（2a-3）-2”的充要条件B.“ 43C.命题“∀x∈R，x2+1＜0”的否定是“∃x∈R，使得 x2+1≥0”D.已知函数 y=f （x）的定义域为 R，则“f （0）=0”是“函数 y=f （x）为奇函数”的必要不充分条件【正确答案】：ACD【解析】：直接利用充分条件和必要条件判定A和B的结论，直接利用命题的否定的应用判定C的结论，直接利用奇函数的性质判定D的结论．【解答】：解：对于A：当“a＞1”时，“a2＞1”成立，但是当“a2＞1”时，“a＞1或a＜-1”，故选项A正确．对于B：“（a-1）-2＜（2a-3）-2”的充要条件是：a-1＞2a-3，整理得a＜2，故选项B错误．对于C：命题“∀x∈R，x2+1＜0”的否定是“∃x∈R，使得 x2+1≥0”．故选项C正确．对于D：函数y=f （x）的定义域为R，当“f（0）=0”时，函数f（x）不一定为奇函数，但是，当函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，故选项D正确．故选：ACD．【点评】：本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，奇函数的性质，命题的否定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.（多选题，5分）已知函数y=f（x）是奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=-f （1-x），当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x-1），以下4个结论正确的有（）A.函数 y=f （x）的图象关于点（1，0）成中心对称B.函数 y=f （x）是以2为周期的周期函数C.当x∈（-1，0）时，f （x）=-log2 （1-x）D.函数 y=f （|x|）在（-1，0）上单调递增【正确答案】：ABC【解析】：直接利用函数的周期确定B的结论，直接利用函数的对称性判定A的结论，直接利用函数的解析式的求法判定C的结论，直接利用函数的图象和偶函数的性质判定D的结论．【解答】：解：对于B：函数y=f（x）是奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=-f（1-x），整理得f（x+2）=f（x），所以函数为周期为2的函数，故B正确．对于C：由于0＜x＜1，所以2＜x+2＜3，由于x∈（2，3）时，f（x）=log2（x-1），所以f（x）=f（x+2）=log2（x+1），设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，由于f（x）=-f（-x）=-log2（-x+1），故C正确．对于A：根据函数的性质，函数的图象关于（1，0）对称，故A正确．对于选项D：函数 y=f （|x|）的图象是将函数y=f（x）的图象关于y轴对称，在（-1，0）上单调递减，故D错误．故选：ABC．【点评】：本题考查的知识要点：函数的性质，单调性，周期性，函数的解析式的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．12.（多选题，5分）关于函数f（x）=alnx+ 2，下列判断正确的是（）xA.当a=1时，f （x）≥ln2+1B.当a=-1时，不等式 f （2x-1）-f （x）＞0 的解集为(1，1)2C.当a＞e时，函数 f （x）有两个零点D.当f （x ） 的最小值为2时，a=2 【正确答案】：ABD【解析】：对于A ，代入a 的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到函数的最小值即可，对于B ，代入a 的值，求出函数的导数，得到函数的单调性，问题转化为关于x 的不等式组，解出即可，对于C ，求出函数的单调性，求出函数的最小值，根据a 的范围判断最小值的范围即可判断， 对于D ，由最小值是2，得到关于a 的方程，解出即可．【解答】：解：对于A ：a=1时，f （x ）=lnx+ 2x ，f′（x ）= x−2x 2 ， 令f′（x ）＞0，解得：x ＞2，令f′（x ）＜0，解得：0＜x ＜2， 故f （x ）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增， 故f （x ）≥f （2）=ln2+1， 故A 正确；对于B ：a=-1时，f （x ）=-lnx+ 2x，f′（x ）= −x−2x 2 ＜0， f （x ）在（0，+∞）递减，不等式f （2x-1）-f （x ）＞0，即f （2x-1）＞f （x ），故 {2x −1＞0x ＞02x −1＜x ，解得： 12＜x ＜1，故B 正确；对于C ：f′（x ）= a x- 2x2 =ax−2x 2， ∵a ＞e ，令ax-2＞0，解得：x ＞ 2a，令ax-2＜0，解得：0＜x ＜ 2a， 故f （x ）在（0， 2a ）递减，在（ 2a ，+∞）递增， 故f （x ）min =f （ 2a ）=aln 2a+ 22a=a （ln2-lna ）+a=aln 2e a，∵0＜ 2e a ＜2，故1＜ 2e a ＜2时，ln 2ea ＞0，f （x ）min ＞0，函数无零点， 故C 错误；对于D ：结合C ，f （x ）min =aln 2e a=2，解得：a=e ， 故D 正确； 故选：ABD ．【点评】：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.（填空题，5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（-x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，-3）处的切线斜率是___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：由偶函数的定义可求得x＞0时，f（x）的解析式，求得导数，由导数的几何意义，代入x=1，计算可得所求值．【解答】：解：f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（-x）+3x，可得x＞0时，-x＜0，f（x）=f（-x）=lnx-3x，导数为f′（x）= 1x-3，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线斜率是k=1-3=-2．故答案为：-2．【点评】：本题考查函数的奇偶性和解析式的求法，以及导数的运用：求切线的斜率，考查转化思想和运算能力，属于中档题．14.（填空题，5分）函数y=cosx+cos2x的最小值是___ ．【正确答案】：[1]- 54【解析】：利用二倍角公式整理函数解析式，值函数的解析式关于cosx的一元二次函数，设cosx=t，函数的顶点为最低点，此时函数值为最小值．【解答】：解：y=cosx+cos2x=cosx+2cos2x-1，设cosx=t，则-1≤t≤1，函数f（t）min=f（- 14）= 12- 14-1=- 54，故答案为：- 54．【点评】：本题主要考查了二次函数的性质．考查了学生的换元思想的运用．15.（填空题，5分）设a=log49，b=2-1.2，c= (827)−13，则将a，b，c按从大到小排序：___ ．【正确答案】：[1]a＞c＞b【解析】：可以得出 log 49＞32＞1 ， (827)−13=32，2-1.2＜1，然后即可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】：解：∵ log 49＞log 48=log 4432=32＞1 ， (827)−13=32 ，2-1.2＜20=1，∴a ＞c ＞b ．故答案为：a ＞c ＞b ．【点评】：本题考查了对数的运算性质，分数指数幂的运算，对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．16.（填空题，5分）若函数f （x ）=x （x-1）（x-a ），（a ＞1）的两个不同极值点x 1，x 2满足f （x 1）+f （x 2）≤0恒成立，则实数a 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1]a≥2【解析】：把x 1，x 2代入到f （x ）中求出函数值代入不等式f （x 1）+f （x 2）≤0中，在利用根与系数的关系化简得到关于a 的不等式，求出解集即可．【解答】：解：因f （x 1）+f （x 2）≤0，故得不等式x 13+x 23-（1+a ）（x 12+x 22）+a （x 1+x 2）≤0．即（x 1+x 2）[（x 1+x 2）2-3x 1x 2]-（1+a ）[（x 1+x 2）2-2x 1x 2]+a （x 1+x 2）≤0． 由于f′（x ）=3x 2-2（1+a ）x+a ．令f′（x ）=0得方程3x 2-2（1+a ）x+a=0． 因△=4（a 2-a+1）≥4a ＞0，故 {x 1+x 2=23(1+a )x 1x 2=a3 代入前面不等式， 两边除以（1+a ），并化简得 2a 2-5a+2≥0．解不等式得a≥2或a≤ 12 （舍去）因此，当a≥2时，不等式f （x 1）+f （x 2）≤0成立．【点评】：考查学生求导数及利用导数研究函数极值的能力，灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决数学问题的能力．17.（问答题，10分）在① A⊆B；② ∁R B⊆∁R A；③ A∩B=A；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．问题：已知集合A={x|log2（x-1）＞1，x∈R}，B={x|（x-a）（x-4+a）＞0，x∈R}，是否存在实数a，使得______？【正确答案】：【解析】：由集合知识可以解出集合A，对集合B进行分类求解，再利用集合的子集，交集，补集解出．【解答】：解：由log2（x-1）＞1得x-1＞2即x＞3，故A=（3，+∞）选① ：A⊆B当a＞2时，B=（-∞，4-a）∪（a，+∞），∵A⊆B∴2＜a≤3；当a＜2时，B=（-∞，a）∪（4-a，+∞），∵A⊆B∴4-a≤3即1≤a＜2；当a=2时，B=（-∞，2）∪（2，+∞），此时A⊆B综上：1≤a≤3选② ③ ：答案同①故答案为：1≤a≤3．【点评】：本题属于结构不良试题，补充条件后，试题完整，利用集合的相关知识解决，属于基础题．18.（问答题，12分）已知f（α）= sin(5π−α)cos(π+α)cos(3π2+α)cos(α+π2)tan(3π−α)sin(α−3π2)．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos(3π2−α)=35，求f（α）的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用诱导公式，和同角三角函数的基本关系关系，可将f （α）的解析式化简为f （α）=-cosα；（2）由α是第三象限角，且 cos (3π2−α)=35 ，可得cosα=- 45 ，结合（1）中结论，可得答案．【解答】：解：（1）f （α）= sin (5π−α)cos (π+α)cos(3π2+α)cos(α+π2)tan (3π−α)sin(α−3π2)= sinα•(−cosα)•sinα(−sinα)•(−tanα)•cosα =-sinα•cosα•sinαsinα•sinα=-cosα （2）∵ cos (3π2−α) =-sinα= 35，∴sinα=- 35 ，又由α是第三象限角， ∴cosα=- 45 ， 故f （α）=-cosα= 45【点评】：本题考查的知识点是三角函数的化简求值，熟练掌握和差角公式，诱导公式，同角三角函数的基本关系关系，是解答的关键．19.（问答题，12分）随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增．根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：i i 对应的机动车纯增数量y （单位：万辆）具有线性相关关系．（1）求机动车纯增数量（单位：万辆）关于时间变量x 的回归方程，并预测2025～2030年间该市机动车纯增数量的值；附：回归直线方程 y ̂=b ̂x +a ̂ 中斜和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑x i y i −nxyni=1∑xi 2n i=1−nx2=i −x )i −y ni=1)∑(x −x )2n a ̂=y −b ̂x ． （2）该市交通管理部门为广解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：附：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，n=a+b+c+d ．【正确答案】：【解析】：（1）由已知求得 b ̂ 与 a ̂ 的值，可得线性回归方程，取x=7求得y 值得结论； （2）求出K 2的值，结合临界值表得结论．【解答】：解：（1） x =1+2+3+4+55=3 ， y =3+6+9+15+275=12 ，∑x i 5i=1y i =1×3+2×6+3×9+4×15+5×27 =237．b ̂=i 5i=1i −5xy∑x 25−5(x )2= 237−5×3×1255−45=5.7 ，a ̂=y −b̂x =12−5.7×3=−5.1 ， 则y 关于x 的线性回归方程为 y ̂=5.7x −5.1 ． 取x=7，可得 y ̂=5.7×7−5.1=34.8 ．故预测2025～2030年间该市机动车纯增数量的值约为34.8万辆； （2）根据2×2列联表，计算可得 K 2=220×(90×40−20×70)2110×110×160×60=556≈9.167＞6.635， ∴有99%的把握认为“对限行的意见与是拥有私家车”有关．【点评】：本题考查线性回归方程的求法，考查独立性检验的应用，考查计算能力，是中档题． 20.（问答题，12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面AA 1C 1C⊥平面AA 1B 1B ，∠BAA 1=45°，CA=CB ，点O 在棱AA 1上，CO⊥AA 1． （1）求证：AA 1⊥BC ；（2）若BB 1= √2 AB=2，直线BC 与平面ABB 1A 1所成角为45°，D 为CC 1的中点，求二面角B 1-A 1D-C 1的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）由平面AA 1C 1C⊥平面AA 1B 1B ，推出OC⊥平面AA 1B 1B ，故OC⊥OB ；易证Rt△AOC≌Rt△BOC ，故OA=OB ，从而得AA 1⊥OB ，再由线面垂直的判定定理得证；（2）以O 为原点，OA 、OB 、OC 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，由（1）知，OC⊥平面AA 1B 1B ，故∠CBO 为直线BC 与平面ABB 1A 1所成角，可得OA=OB=OC=1，写出B 、A 1、B 1、D 的坐标，根据法向量的性质求得平面A 1B 1D 的法向量 m ⃗⃗ ，由OB⊥平面AA 1C 1C ，知平面A 1C 1D 的一个法向量 n ⃗ = OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由cos ＜ m ⃗⃗ ， n ⃗ ＞= m ⃗⃗⃗ •n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |即可得解．【解答】：（1）证明：∵平面AA 1C 1C⊥平面AA 1B 1B ，平面AA 1C 1C∩平面AA 1B 1B=AA 1，OC⊥AA 1，∴OC⊥平面AA 1B 1B ， ∴OC⊥OB ，∵CA=CB ，OC=OC ，∠COA=∠COB=90°， ∴Rt△AOC≌Rt△BOC ， ∴OA=OB ， ∵∠BAA 1=45°，∴∠ABO=∠BAA 1=45°，∠AOB=90°，即AA 1⊥OB ， 又OC⊥AA 1，OB∩OC=O ，OB 、OC⊂平面BOC ， ∴AA 1⊥平面BOC ， ∴AA 1⊥BC ．（2）解：以O 为原点，OA 、OB 、OC 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知，OC⊥平面AA 1B 1B ， ∵直线BC 与平面ABB 1A 1所成角为45°， ∴∠CBO=45°，∵AB= √2 ，∴OA=OB=OC=1，∴B （0，1，0），A 1（-1，0，0），B 1（-2，1，0），D （-1，0，1）， ∴ A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，1）， B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，-1，1）， 设平面A 1B 1D 的法向量为 m ⃗⃗ =（x ，y ，z ），则 {m ⃗⃗ •A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ •B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即 {z =0x −y +z =0 ，令x=1，则y=1，z=0，所以 m ⃗⃗ =（1，1，0），∵OB⊥平面AA 1C 1C ，∴平面A 1C 1D 的一个法向量 n ⃗ = OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，0）， ∴cos ＜ m ⃗⃗ ， n ⃗ ＞= m⃗⃗⃗ •n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |= √2×1= √22 ， 由图可知，二面角B 1-A 1D-C 1为锐角， 故二面角B 1-A 1D-C 1的余弦值为 √22 ．【点评】：本题考查空间中线与面的位置关系、二面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）已知函数f （x ）=x|2a-x|+2x ，a∈R ． （1）若函数f （x ）在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a∈[-2，2]，使得关于x 的方程f （x ）-tf （2a ）=0有3个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）写出f （x ）的分段函数，求出对称轴方程，由二次函数的单调性，可得a-1≤2a ，2a≤a+1，解不等式即可得到所求范围；（2）方程f （x ）-tf （2a ）=0的解即为方程f （x ）=tf （2a ）的解．讨论 ① 当-1≤a≤1时， ② 当a ＞1时， ③ 当a ＜-1时，判断f （x ）的单调性，结合函数和方程的转化思想，即可得到所求范围．【解答】：解：（1）∵ f (x )={x 2+(2−2a )x ，x ≥2a−x 2+(2+2a )x ，x ＜2a 为增函数，由于x≥2a 时，f （x ）的对称轴为x=a-1； x ＜2a 时，f （x ）的对称轴为x=a+1， ∴ {a −1≤2a 2a ≤a +1解得-1≤a≤1； （2）方程f （x ）-tf （2a ）=0的解即为方程f （x ）=tf （2a ）的解． ① 当-1≤a≤1时，f （x ）在R 上是增函数，关于x 的方程f （x ）=tf （2a ）不可能有3个不相等的实数根． ② 当1＜a≤2时，2a ＞a+1＞a-1，∴f （x ）在（-∞，a+1）上单调递增，在（a+1，2a ）上单调递减， 在（2a ，+∞）上单调递增，所以当f （2a ）＜tf （2a ）＜f （a+1）时，关于x 的方程f （x ）=tf （2a ）有3个不相等的实数根，即4a ＜t•4a ＜（a+1）2． ∵a ＞1，∴ 1＜t ＜14(a +1a +2) ．设 ℎ(a )=14(a +1a +2) ，因为存在a∈[-2，2]，使得关于x 的方程f （x ）=tf （2a ）有3个不相等的实数根，∴1＜t ＜h （a ）max ．又h （a ）在（1，2]递增，所以 ℎ(a )max =98，∴ 1＜t ＜98． ③ 当-2≤a ＜-1时，2a ＜a-1＜a+1，所以f （x ）在（-∞，2a ）上单调递增， 在（2a ，a-1）上单调递减，在（a-1，+∞）上单调递增， 所以当f （a-1）＜tf （2a ）＜f （2a ）时，关于x 的方程f （x ）=tf （2a ）有3个不相等的实数根， 即-（a-1）2＜t•4a ＜4a ．∵a ＜-1，∴ 1＜t ＜−14(a +1a−2) ． 设 g (a )=−14(a +1a −2) ，因为存在a∈[-2，2]，使得关于x 的方程f （x ）=tf （2a ）有3个不相等的实数根，所以1＜t ＜g （a ）max ． 又可证 g (a )=−14(a +1a −2) 在[-2，-1）上单调递减， 所以 g (a )max =98 ，所以 1＜t ＜98 ．．综上，1＜t＜98【点评】：本题考查分段函数的单调性的判断和运用，注意运用二次函数的对称轴和区间的关系，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及函数方程的转化思想的运用，考查运算化简能力，属于中档题．22.（问答题，12分）若函数f（x）=e x-ae-x-mx（m∈R）为奇函数，且x=x0时f（x）有极小值f（x0）．（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；恒成立，求实数m的取值范围．（3）若f（x0）≥- 2e【正确答案】：【解析】：（1）依题意，f（x）+f（-x）=0在定义域上恒成立，由此建立方程，解出即可；（2）求导后分m≤2及m＞2讨论即可；（3）可知e x0+e−x0=m，进而得到f（x0），研究其单调性，结合已知可得x0≤1，由此可求得实数m的取值范围．【解答】：解：（1）由函数f（x）为奇函数，得f（x）+f（-x）=0在定义域上恒成立，∴e x-ae-x-mx+e-x-ae x+mx=0，化简可得（1-a）（e x+e-x）=0，故a=1；，（2）由（1）可得f（x）=e x-e-x-mx，则f′(x)=e x+e−x−m=e2x−me x+1e x① 当m≤2时，由于e2x-me x+1≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故不存在极小值；② 当m＞2时，令e x=t，则方程t2-mt+1=0有两个不等的正根t1，t2（t1＜t2），故可知函数f（x）=e x-e-x-mx在（-∞，lnt1），（lnt2，+∞）上单调递增，在（lnt1，lnt2）上单调递减，即在lnt2出取到极小值，所以，实数m的取值范围为（2，+∞）；（3）由x0满足e x0+e−x0=m代入f（x）=e x-e-x-mx，消去m得f(x0)=(1−x0)e x0−(1+x0)e−x0，构造函数h（x）=（1-x）e x-（1+x）e-x，则h′（x）=x（e-x-e x），当x≥0时，e−x−e x=1−e2xe x≤0，故当x≥0时，h′（x）≤0恒成立，故函数h（x）在[0，+∞）上单调减函数，其中ℎ(1)=−2e ，则f(x0)≥−2e，可转化为h（x0）≥h（1），故x0≤1，由e x0+e−x0=m，设y=e x+e-x，可得当x≥0时，y′=e x-e-x≥0，∴y=e x+e-x在（0，1]上递增，故m≤e+1e，综上，实数m的取值范围为(2，e+1e]．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，同时也涉及了奇函数的定义，考查转化思想及逻辑推理能力，属于中档题．。
内蒙古202届高三数学上学期0月大联考试题理
内蒙古2021届高三数学上学期10月大联考试题 理(试卷总分:150分 考试时间：120分钟)注意事项：1。
答题时，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2。
答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3。
答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5。
考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷(选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ＝R ，A ＝{x ｜x ≤－1｝，B ＝｛x ｜x ≥1｝,C ＝{x|x ≥0}，则集合(U(A ∪B ）)∩C ＝A 。
{x|x ≥－1} B.{x|x ≤1} C.｛x|0≤x ≤1} D.｛x|0≤x 〈1｝2.已知i 为虚数单位，复数z ＝12a i (a ∈R)在复平面内对应点(x,y)，则A.y ＝－2x ＋1 B 。
y ＝2x －1 C.y ＝－2x ＋5 D 。
y ＝3x －13.设向量a ，b 满足|a ＋b|,|a －b 则a ·b ＝A.1B.2 C。
3 D。
54。
函数y＝(x3－x）2|x|的图象大致是5。
我国古代劳动人民在筑城筑堤、挖沟挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一些有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收人我国古代数学名著《九章算术》中。
《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示是一个阳马的三视图，则它的体积为A.12B.1C.2 D。
36.在等比数列｛a n｝中，a3＝6,前三项和S3＝18，则公比q的值为A。
1 B。
－12C.1或－12D。
－1或－127.已知圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx＋my＝2上，22m n+A.15B。
2021-2022年高三上学期10月月考数学(理)试题含答案
2021-2022年高三上学期10月月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集集合{}{}1,2,5,4,5,6U A C B ==，则集合A. B. C. D.2.若，则下列不等式中成立的是A. B. C. D.3.函数的零点有A.0个B.1个C.2个D.3个 4.设0.13592,1,log 210a b g c ===，则a,b,c 的大小关系是 A. B. C. D.5.下面几种推理过程是演绎推理的是A.两条直线平行，同旁内角互补，如果是两条平行直线的同旁内角，则B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D.在数列中，()11111,221n n n a a a n a -⎛⎫==+≥ ⎪-⎝⎭，计算，由此猜测通项 6.已知函数的导函数为，且满足，则A. B. C.1 D.e7.函数)0,0y a a =>≠的定义域和值域都是，则A.1B.2C.3D.48.函数满足，那么函数的图象大致为9.设函数是定义在R 上周期为3的奇函数，若，则有 A. B. C.D.10.已知()32log ,03,,,,1108,333x x f x a b c d x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是A.B. C. D.第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上.11. __________.12.设实数满足240,0,0.x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪>⎩则的最大值为_________.13.观察下列式子222222131151117:1,1,1222332344+<++<+++<，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为__________________________.14.在等式“”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数依次为_______、_______.15.下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab ”；②若命题，则；③若命题“”与命题“”都是真命题，则命题q 一定是真命题；④命题“若，则()1log 1log 1a a a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭”是真命题. 其中正确命题的序号是_________.（把所有正确命题序号都填上）三、解答题：本大题有6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16. （本题满分12分）已知集合{}{}22log 8,0,14x A x x B xC x a x a x +⎧⎫=<=<=<<+⎨⎬-⎩⎭. （I ）求集合；（II ）若，求实数a 的取值范围.17. （本题满分12分）设命题p ：函数在R 上是增函数，命题()2:,2310q x R x k x ∃∈+-+=，如果是假命题，是真命题，求k 的取值范围.18. （本题满分12分）已知函数.（I ）若函数的图象在处的切线方程为，求a,b 的值；（II ）若函数在R 上是增函数，求实数a 的最大值.19. （本题满分12分）已知二次函数()()2,f x x bx c b c R =++∈. （I ）若，且函数的值域为，求函数的解析式；（II ）若，且函数在上有两个零点，求的取值范围.20. （本题满分13分）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为161,04815,42x x y x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤10⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（I ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（II ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a （1≤a ≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）.21. （本题满分14分）设，函数.（I）求的单调递增区间；（II）设，问是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（III）设是函数图象上任意不同的两点，线段AB的中点为，直线AB的斜率为为k.证明：.T *35356 8A1C 訜21153 52A1 务24278 5ED6 廖37058 90C2 郂40714 9F0A 鼊B21961 55C9 嗉35803 8BDB 诛e24194 5E82 庂F。
湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
2025届高三10月联考数学注意事项：1.答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后、再选涂其他答案：回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x ln x =0}，B ={m ,m 2}.若B ⊆A ，则m =（）A.-1B.0C.1D.22.已知a ，b ∈R ，则“a 2>b 2”是“e a>e b”的（） π4A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知a +b i(a ,b ∈R )是关于x 的方程x 2+2x +c =0(c ∈R )的一个根，则a =（）A.-2B.2C.-1D.14.设θ是锐角，cos ⎛⎝θ+=cos ⎛ ⎝θ-tan θ，则tan θ=（⎫⎪π4⎭）⎫⎪⎭+1-1⎧-x 2+ax x <0,5.已知函数f (x )=⎨,在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）⎩e x -ax ,x ≥0A.[1,+∞)B.[0,1]C.[-1,1]D.(-∞,1]6.已知点A (-1,1)，B (1,-1)，C (3,3).动点P 满足|PA |2+|PB |2+|PC |2=70，则PA ⋅PB 的最大值为（）A. B.-1C.30D.317.存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有（）21829xy A.f (e|x |)=x3B.f (x |x |)=x 3+1C.f (x 2+2x )=|x |D.f (cos 2x )=cos x8.已知A ，B 是双曲线C :-=1的左、右顶点，P 为双曲线上一点，且若tan ∠APB =，则△PAB 的面积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知函数f (x )=x 3-ax ，则（）A.∀a ∈R ，f (x )为奇函数B.当a <0时，f (x )单调递增C.∃a ∈R ，使得f (x )恰有一个极值点D.当a >0时，f (x )存在三个零点10.已知正项等比数列{a n }的前n 项积为T n ，且m ，n ，p 是互不相等的正整数，则（）A.若m +n =2p ，则a m a n =a 2p B.若a m a n =a 2p ，则m +n =2p C.若T m =T n ，则T m +n =1D.若T m +n =1，则T m =T n11.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 中，E 为棱BB 1的中点，P 为平面ABCD 上的动点，设直线A 1P 与底面ABCD 所成的角为α，直线EP 与底面ABCD 所成的角为β，平面PA 1D 1与底面ABCD 的夹角为γ，平面PC 1D 1与底面ABCD 的夹角为θ，则（）A.若α=β，则点P 在圆上B.若γ=θ，则点P 在双曲线上C.若α=θ，则点P 在抛物线上D.若β=θ，则点P 在直线上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.__________.12.设向量 a =(1,2)， b =(2,3)，则(λa +b )⊥ b ，则λ=13.已知x ，y ，a >0，且x ++≥8恒成立，则a 的取值范围是4y a x __________.2xy__________.14.已知函数f (x )=cos 2x ⋅sin 2x 在[a ,b ]上单调递减，则b -a 的最大值为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2=5a 2.（1）若sin B =C ，求cos A ；24x （2）若AB ⋅AC =8，求△ABC 的面积的最大值.16.（15分）如图，A 1，A 2分别为椭圆C :+=1的左、右顶点，P 为第一象限C y 上一点，且23PO =PA 2，过点P 的直线l 与C 有唯一的公共点P .（1）求l 的方程；（2）过原点O 作直线l 的平行线与椭圆C 交于M ，N 两点，证明：P ，M ，A 1，N 四点共圆，并求该圆的标准方程.17.（15分）如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PC 的中点，且平面PBD ⊥平面BEF .（1）证明：PA =PC；（2）若PB =，当四棱锥P -ABCD 的体积最大时，求平面PAB 与平面BEF 的夹角的余弦值.18.（17分）若数列{c n }共有m (m ∈N *,m ≥3)项，∀i (i ∈N *,i ≤m )都有ln c i +ln c m +1-i =R ，其中R为常数，则称数列{c n }是一个项数为m 的“对数等和数列”，其中R 称为“对数等和常数”.已知数列{a n }是一个项数为m 的对数等和数列，对数等和常数为R .（1）若m =9，a 1=1，a 5=4，求a 9的值；a +1im -a （2）定义数列{b n }满足：b i =，i =1，2，3，…，m .i（i ）证明：数列{b n }是一个项数为m 的对数等和数列；（ii ）已知数列{b n }是首项为1024，公比为的等比数列，若R =0，求∑i m=1ia i 的值.1419.（17分）已知函数f (x )=a xlog a x （a >0，且a ≠1）.（1）当a =e 时，证明：f (x )为增函数；（2）若f (x )存在两个极值点x 1，x 2.（i ）求a 的取值范围；（ii ）设f (x )的极大值为M ，求M 的取值范围.2025届高三10月联考·数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】A⎧m 2=1【解析】因为A ={-1,1}，B ⊆A ，所以⎨，即得m =-1.⎩m =-12.【答案】D【解析】当a =-2，b =1时，a 2>b 2，但是e a<e b，故a 2>b 2¿e a>e b，当a =1，b =-2时，e a>e b，但是a 2<b 2，故e a>e b¿a 2>b 2，故“a 2>b 2”是“e a>e b ”的既不充分也不必要条件.3.【答案】C【解析】由已知可得-2=a +b i +a -b i ，解得a =-1.4.【答案】Cπ4π4⎫⎪⎭cos ⎛ ⎝θ-1+tan θ【解析】依题意有tan θ>0，且tan θ=cos ⎝ ⎛θ+==1-tan θ⎫⎪⎭，故tan2θ+2tan θ-1=0，结合tan θ>0，解得tan θ=-1.5.【答案】B【解析】因为f (x )在R 上单调递增，所以当x <0，y =-x 2+ax 单调递增，所以a≥0，当x≥0时，f '(x )=e x-a ≥0，由f (x )单调递增可知a ≤1，且当x =0，0≤f (0)=1，所以a 的取值范围是[0,1].故选：B.6.【答案】C【解析】设P (x ,y )，则PA 2+PB 2+PC 2=(x +1)2+(y -1)2+(x -1)2+(y +1)2+(x -3)2+(y -3)2=3(x 2+y 2-2x -2y )+22=70，故P (x ,y )的轨迹方程为(x -1)2+(y -1)2=18.PA ⋅PB =|PO |2-|OA |2=|PO |2-2，而|PO |≤+=，故PA ⋅PB ≤30，选C.7.【答案】B【解析】对于A ，令x =±1，则f (e)=±1，有2个函数值对应，故A 错误；π45π4对于C ，取x =0，可知f (x 2+2x )=f (0)=0，再取x =-2，可知f (x 2+2x )=f (0)=2，故C 错误；对于D ，取x =，，f (0)=，故D 错误；对于B 选项，令t =x |x |，对于每一个t ，都有唯一的x 与之对应，也即有唯一的x 3+1与之对应，因此符合函数定义，故B 正确.8.【答案】A【解析】不妨设P 在第一象限，设PA ，PB 的倾斜角分别为α，β，则tan(β-α)=tan ∠APB =.22故tan β-tan α=，注意到tan αtan β===1y P，1+tan αtan βx P -182因此tan β-tan α=+tan αtan β)=，解得tan α=tan β===x =y P =4.1||故△PAB 的面积为S =2AB ⋅y P =.9.【答案】ABD【解析】对于A 选项，f (-x )=f (x )，正确；对于B 选项，f '(x )=3x 2-a >0，f (x )单调递增，正确；对于C 选项，f '(x )=0恰有一个解，则a =0，但此时f (x )无极值点，故C错误；对于D 选项，f (x )=x (x +x -，存在三个零点0，故D 正确.10.【答案】ACD【解析】对于A ，B 选项，根据通项公式，a m a n =a 1qm -1a 1q n -1=a 21q m +n -2=a 2p =a 21q2p -2，故A 正确；若q =1，则a m a n =a 2p 恒成立，故B 错误；对于C ，D ，由T m =T n ，不妨设m <n ，则a m +1a m +2 a n =1，则a m +1a n =1.而T 2m +n =(a 1a m +n )(a 2a m +n -1)(a 3a m +n -2) (a m +n a 1)=1，可知T m +n =1，反之也成立，故C ，D 均正确.【答案】AC【解析】对于A 选项，如图1，连接PA ，PB ，由α=β，可知∠APA 1=∠BPE ，故PA =2PB ，以A点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建系，B (b ,0)，设P (x ,y )，则x 2+y 2=4(x -b )2+4y 2，即3x 2+3y 2-8bx +4b 2=0，故P 点的轨迹为圆，A 正确；对于B 选项，如图2，作PT ⊥AD 于T ，TR ⊥A 1D 1于R ，则tan γ=，同理作PM ⊥CD 于M ，RTPTMN ⊥C 1D 1于N ，则tan θ=，由γ=θ可知，PT =PM ，故P 为∠ADC 的平分线，点P MNPM的轨AA 1PA 迹为直线，B 错误；对于C 选项，如图3，tan α=，tan θ=，由α=θ可知，PM =PA ，根据抛物线的定义可MNPM知点P 的轨迹为抛物线，C 正确；对于D 选项，由C 选项可知PM =2PB ，显然不是直线，D 错误.图1图2图3图413812.【答案】-【解析】λa + b =(λ+2,2λ+3)，由(2 a + b )⋅b =0，得2(λ+2)+3(2λ+3)=0，解得λ=-.13813.【答案】[4,+∞)a 2x 4y x y 4ax【解析】x ++≥x +=x +≥，故≥8，即a ≥4.14.【答案】2π312⎡π⎢⎣65π⎤6⎥⎦【解析】考虑f (x )的周期为π，不妨设x ∈[0,π]，f '(x )=2cos 2x cos 2x -2sin x cos x ⋅sin 2x =2cos 2x (cos 2x -2sin 2x )=2cos 2x (2cos 2x -1)，令f '(x )≤0，即cos 2x ≤，解得x ∈,，故b -a ≤.2π315.【解析】（1B =C =，又b 2+c 2=5a 2，所以b =，c =，b 2+c 2-a 2从而cos A ===2bc （2）由余弦定理可知b 2+c 2-2bc cos A =a 2，则bc cos A =2a 2，又AB ⋅AC =bc cos A =8，故a =2，即b 2+c 2=20，故2bc ≤20，即bc ≤10，1从而S △ABC =bc sin A ==≤3，2当b =c =时取等号，即△ABC 的面积的最大值为3.⎛3⎫316.【解析】（1）法一：由PA 2=PO 可得P ⎝ 1,2⎭⎪，设直线l :y =k (x -1)+2，222⎛3⎫2联立椭圆方程3x +4y =12得3x +4⎝kx -k +2⎭⎪=12，即(3+4k2)x2-(8k -12)x +(2k -3)2-12=0.由∆=(8k -12)2-4(3+4k 2)⎡⎣(2k -3)2-12⎦⎤=0，解得k =-，12因此直线l 的方程为：y =-x +212.法二：3x 2+4y 2=12，则y =，'1'1y =，令x =1，则y =-，2212故直线l 的方程为：y =-x +2，12（2）依题意，直线MN 的方程为y =-x ，联立椭圆3x 2+4y 2=12可得x 2=3，即x =即M ⎛⎝ ，N ，P ⎛⎝1,⎫⎭⎪，A 1(-2,0)32.设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，代入A 1，P ，M ，可得：⎧133⎪+D+E+F=⎨⎪44-2D2+F=⎪⎪⎪15-++F=0⎪⎩4⎧1⎪D=8⎪⎪1，解得⎨E=，⎪4⎪15⎩⎪F=-422114154此时圆方程为x+y+8x+y-=0，因为点N也在此圆上，所以P，M，A1，N四点共圆，其标⎛1⎫2⎛1⎫2965准方程为⎝x+16⎭⎪+⎝y+8⎭⎪=256.17.【解析】证明：（1）设AC BD=O，OP EF=Q，过点D作DH⊥BQ于H，由面PBD⊥面BEF，且面PBD 面BEF=BQ，故DH⊥面BEF，即DH⊥EF；因为E，F分别为PA，PC的中点，因此EF//AC，因此DH⊥AC.由底面ABCD为正方形可知AC⊥BD，因此AC⊥面PBD，由PO⊂面PBD，故AC⊥PO，因为O为AC的中点，因此PA=PC；（2）不妨设AB=O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(-1,0,0)，D(0,-1,0)，由（1）可知，点P在yOz平面内，设P(0,y0,z0)，由PB2=2PD2，即(y0-1)2+z20=2(y0+1)2+2z20，即(y0+3)2+z20=8，当P-ABCD的体积最大时，z0=⎛13⎛13此时P(0,-3,，则E⎝2,-2，F⎝-2,-2，⎛15 则FE =(1,0,0)，BE =⎝ 2,-2，AB =(-1,1,0).设面PAB 的法向量为 m =(a ,b ,c )，则⎨⎧⎪ m ⋅ A B =0，即⎨⎧⎪1-a 5+b =0⎪⎩ m ⋅ BE =0⎪⎩2a -2b +=0，令a =1，则m =.设面BEF 的法向量为 n =(x ,y ,z )，则⎨⎧⎪ n ⋅ FE =0，即⎨⎧⎪15x =0⎪⎩ n ⋅ BE =0⎪⎩2x -2y +=0，令z =5，则n =(0,，m ⋅n则cos <m ,n >=| m |⋅| n |==，即平面PAB 与平面BEF .18.【解析】（1）依题意R =ln a 5+ln a 5=ln16，又R =ln a 1+ln a 9，所以ln a 9=R =ln16，即a 9=16.a m -i +1a （2）（i ）依题意b i i ia =，则b m +1-a i m +1-i=，因此b i b m +1-i =1，从而ln b i +ln b m +1-i =0，即数列{b n }是一个项数为m 的对数等和数列.1⎛1⎫m -1（ii ）依题意，b m =b 1qm -1⇒1024=1024⎝ 4⎭⎪，14⎫⎪12⎭即⎛⎝m -1=⎛ ⎝20，即m =11，则b i =1024q i -1=46-i ⎫⎪⎭，又R =0，故ln a i +ln a m +1-i =0，即a i a m +1-i 2i ia 1a 此时b i m -i +1a ==，即2i 1i a b =1，=2i -6==4i -6，a i ，注意到i ⨯2i -6=(i -1)2i -5-(i -2)2i -6，20481所以∑mia i =∑11i ⨯2i -6=∑11⎡⎣(i -1)2i -5i =1i =1i =-(i -2)2i -6⎤⎦=10⨯26-(-1)⨯2-32=51.ln x ，f '(x )=e x⎛⎝ln x +⎫⎪1x ⎭，1x 121x x 19.【解析】（1）依题意f (x )=e x设p (x )=ln x +，则p '(x )x -1x2=-=，当0<x <1时，p (x )单调递减，当x >1时，p (x )单调递增，故p (x )≥p (1)=1>0，即f '(x )>0，f (x )单调递增.（2）（i ）设a =e t(t ≠0)，则f (x )=e txln x ，e tx t e x txx1t则f '(x )=e txln x +=⎛⎝x ln x +⎫⎪1t ⎭.1e 设g (x )=x ln x ，则g '(x )=1+ln x ，即g (x )在⎛⎝0,⎫⎭⎪上单减，在⎛ ⎝,+∞⎫⎭⎪1e上单增，当t <0时，令g (x )=-，由g (1)=0，且g (x )在(1,+∞)上单调递增，1t故g (x )=-仅有一个零点x 01t，不符合题意；⎡1⎫当t >0时，g (x )∈⎢⎣-e ,+∞⎭⎪，11e t ①当t ≤e 时，则-≤-，此时g (x )≥-，f '(x )≥0，f (x )单调递增，不符合题意；1e 1t 1t ②当t >e 时，则-<-<0，此时g (x )=-存在两个零点x 1<x 21t，1t 当x ∈(0,x 1)时g (x )>-，f '(x )>0；当x ∈(x 1,x 2)时，g (x )<-，f '(x )<0；1t当x ∈(x 2,+∞)时，g (x )>-，f '(x )>0，f (x )存在两个极值点，符合题意1t.综上可知，a ∈(e e,+∞).⎫⎪1e ⎭（ii ）由（i ）可知M =f (x 1)，且x 1∈⎛ ⎝0,，满足x 1ln x 1=-，1t1故M =f (x 1)=e tx 1ln x 1=-x 1(ln x 1)2e -ln x1，1t1r 2ln r -r +1设r =-ln x 1∈(1,+∞)，则M =-err 2=-er，1'21(r -1)2设h (r )=2ln r -r +r ，则h (r )=r -1-r 2=-r 2<0，故h (r )单调递减，且h (1)=0，则h (r )∈(-∞,0)，2ln r -r +1即M =-er∈(-1,0).。
天津市经济技术开发区第一中学2021届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析
当 时， 时， ，当 时， ， 是极大值点．
∴ 极大值 ．
（3）由（2）知 时， 的极大值为 ，
∴ ，即 ，
设 ，易知函数 在 上是增函数，而 ，
∴由 得 ．
【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，掌握导数与极值的关系是解题关键．本题属于中档题．
2Hale Waihona Puke .已知函数（1）若 ，求函数 在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）若关于 的不等式 恒成立，且 的最小值是 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）答案见解析；（3）证明见解析．
【答案】
【解析】
【分析】
不等式变形为 （ ），然后求出函数 的最小值即可得．
【详解】∵ ，∴不等式 可化为 ，
设 ， ，
当 时， ， 递减， 时， ， 递增，
∴ ，
不等式 在 上恒成立，则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是分离参数法，转化为求函数的最值．
16.函数 是定义在 上的奇函数，对任意的 ，满足 ，且当 时， ，则 __________．
故选：D．
【点睛】本题考查命题的真假判断，考查了充分不必要条件的定义，命题的否定，基本不等式，函数的奇偶性与对称性等知识，属于中档题．
8.将函数 的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的 ，再把所得图象上的所有点向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，若函数 在 处取得最大值，则函数 的图象（）
A 关于点 对称B. 关于点 对称
10.函数 ，若函数 恰有 个零点，则 的取值范围为（）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
2021届高三新题数学10月新高考复习专题二二次函数、方程与不等式(原卷版)
【答案】（1） ；（2）分类讨论，答案见解析．
16．（2018·兰州市第四中学高二期中）某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低 （ ）个百分点，预测收购量可增加 个百分点.
其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)
【答案】①②
23．（2020·全国课时练习）若 ， ，则 的最小值为___________.
25．正数a，b满足 ＋ ＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是______．
专题二二次函数、方程与不等式
一、单选题
1．（2020·全国高一学业考试）关于x的不等式 的解集为 ，且： ，则a=（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国课时练习）函数 ，记 的解集为 ，若 ，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国课时练习）不等式 的解集为 则函数 的图像大致为（）
（1）要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？
（2）长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？
19．（2016·河南许昌·高二月考（理））某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为 万元时，经销A，B商品中所获得的收益分别为 万元与 万元，其中 如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．
A．如果 ,那么 B．如果 ,那么
C．对任意正实数 和 ，有 ，当且仅当 时等号成立D．对任意正实数 和 ，有 ,当且仅当 时等号成立
2021黑龙江高考数学试卷
2021黑龙江高考数学试卷篇一：2021届黑龙江省哈尔滨六中高三(上)10月月考数学试卷(理科)解析版2021-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）哈尔滨市第六中学2021届高三10月月考数学试卷（理工类）1．（5分）（2021?浙江模拟）设集合，，则m∩n=（）a．（1，+∞）b．[1，2）c．（1，2）d．[1，2]22．（5分后）（2021?上饶校级一模）未知i为虚数单位，a∈r，若a1+（a+1）i为氢铵虚数，则复数z=a+（a2）i在为丛藓科扭口藓平面内对应的点坐落于（）a．第一象限b．第二象限c．第三象限d．第四象限3．（5分后）（2021?郴州演示）未知a＞1，，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件就是（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜14．（5分）（2021?南昌校级二模）已知函数，为了得到函数g（x）=sin2x+cos2x的图象，只需要将y=f（x）的图象（）a．向右平移c．向右平移个单位长度个单位长度b．向左平移d．向左平移个单位长度个单位长度5．（5分）（2021秋?哈尔滨校级月考）已知函数＞4a，则实数a的取值范围是（）a．（∞，1）b．（∞，0）c．d．（1，+∞），若f（f（1））6．（5分后）（2021秋?哈尔滨校级月托福）未知α就是△abc的一个内角，且则sin2α+cosα的值（）a．b．c．d．或2，7．（5分）（2021秋?正定县校级期末）定义在r上的函数f（x）满足：f（x）=f （x），f（x+1）=，当x∈（1，0）时，f（x）=21，则f（log220）=（）d．xa．b．c．8．（5分后）（2021春?哈尔滨校级期中）数列{an}就是等比数列，若a2=1，a5=，设立sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，若3sn≤m+2m对任意n∈n恒成立，则m的取值范围为（）a．4≤m≤2b．m≤4或m≥2c．2≤m≤4d．m≤2或m≥42*9．（5分后）（2021?内黄县校级一模）未知a，b，c分别为△abc内角a，b，c的对边，且a，b，c成等比数列，且b=a．b．c．，则d．+=（）10．（5分后）（2021春?哈尔滨校级期中）平行四边形abcd中，ad=1，∠bad=60°，e为cd中点．若a．1b．=1，则|ab|=（）c．d．11．（5分后）（2021?锦州一模）未知f（x），g（x）都就是定义在r上的函数，g （x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a?g（x）（a＞0，且a≠1），若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）x，a．6b．7c．8d．912．（5分后）（2021?绍兴校级演示）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足用户以下两个条件：（1）对任一的x∈（1，+∞）恒存有f（2x）=2f（x）设立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2x；记函数g（x）=f（x）k（x1），若函数g（x）恰存有两个零点，则实数k的值域范围就是（）a．[1，2）b．c．d．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分后）（2021春?日照校级期末）若||=5，||=3，|||=7，则、的夹角为______．14．（5分后）（2021春?文峰区校级期末）未知数列{an}中，a3=2，a7=1，且数列{高数列，则a5=______．15．（5分）（2021?辽宁校级模拟）已知就是以o为直角顶点的全等直角三角形，则△oab的面积就是______．16．（5分后）（2021?甘肃二模）未知函数f（x）=个相同的求解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（1x+x2）+的取值范围是______．，若方程f（x）=a存有四=，若△oab}为等三、答疑题：（本大题共70分后，求解应允写下必要的文字说明，证明过程或编程语言步骤）17．（10分后）（2021?河南演示）在直角坐标系xoy中，圆c的参数方程为参数），以o为极点，x轴的非负半轴为极轴创建极坐标系．（1）谋圆c的极坐标方程；（φ（2）直线l的极坐标方程就是2ρsin（θ+）=3，射线om：θ=与圆c的交点为o、p，与直线l的交点为q，求线段pq的长．18．（12分）（2021?黄浦区二模）在△abc 中，记∠bac=x（角的单位是弧度制），△abc的面积为s，且=8，4≤s≤4．（1）求x的取值范围；（2）根据（1）中x的值域范围，求函数f（x）=2sin（x+2）+2cosx2的最大值和最小值．19．（12分后）（2021?衡阳三模）在△abc中，角a、b、c面元的边为a、b、c，且满足用户cos2acos2b=（1）求角b的值；（2）若且b≤a，谋的取值范围．20．（12分后）（2021?成都校级演示）未知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n 项和sn八十2肢snansn+2an=0．（1）谋an．（2）若bn=2n1，记{}前n项和为tn，求证：tn＜3．21．（12分后）（2021秋?哈尔滨校级月托福）数列{an}的前n项和为sn，且满足用户s1=2，sn+1=3sn+2．（1）谋数列{an}的通项公式an；（2）设立，求证：b1+b2+…+bn＜1．222．（12分）（2021?哈尔滨校级四模）设函数f（x）=x+bln（x+1），其中b≠0．（ⅰ）当b=时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（ⅱ）当b＜时，求函数f （x）的极值点（ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都设立．2021-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分后，在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的）哈尔滨市第六中学2021届高三10月月托福数学试卷（理工类）1．（5分后）（2021?浙江演示）设立子集a．（1，+∞）b．[1，2）c．（1，2），d．[1，2]，，则m∩n=（）【分析】由题意，可以先化简两个子集，得，再由交集的运算求出交集，即可选出正确答案．【答疑】求解：由题意，，∴m∩n={x|1≤x＜2}∩{x|x＞1}=（1，2），故选c．【评测】本题考查谋子集的交，求解分式不等式，指数不等式，解题的关键就是恰当化简两个子集及认知缴的运算．2．（5分）（2021?上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈r，若a1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a2）i在复平面内对应的点位于（）a．第一象限b．第二象限c．第三象限d．第四象限【分析】由复数为氢铵虚数求出a，进一步算出z的座标得答案．【答疑】求解：由a1+（a+1）i为氢铵虚数，得22，解得a=1．∴z=a+（a2）i=1i．则复数z=a+（a2）i在复平面内对应的点的坐标为（1，1），位于第四象限．故选：d．【评测】本题考查了复数的等式表示法及其几何意义，就是基础题．3．（5分）（2021?郴州模拟）已知a＞1，，则f（x）＜1设立的一个充份不必要条件是（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜1【分析】求出不等式的解集即不等式成立的充要条件；据当集合a?集合b且b?a时，a是b的充分不必要条件．【答疑】求解：f（x）＜1设立的充要条件就是∵a＞1∴x+2x＜0∴2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是1＜x＜0故选项为b【评测】本题考查不等式的边值问题就是不等式的充要条件；据子集之间的关系推论条件关系．4．（5分）（2021?南昌校级二模）已知函数=sin2x+cos2x的图象，只须要将y=f（x）的图象（）a．向右位移c．向右位移个单位长度个单位长度b．向左位移d．向左位移个单位长度个单位长度，为了获得函数g（x）2【分析】利用二倍角公式、两角和高的正弦公式化珍函数f（x）和g（x）的解析式，再根据函数y=asin（ωx+?）的图象转换规律，得出结论．【答疑】求解：由于函数=sin2x，函数g（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），个单位长度，即可获得g（x）的图象，故将y=f（x）的图象向左平移故挑选d．【点评】本题主要考查函数y=asin（ωx+?）的图象变换规律，以及二倍角公式、两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．5．（5分后）（2021秋?哈尔滨校级月托福）未知函数＞4a，则实数a的值域范围就是（）a．（∞，1）b．（∞，0）c．d．（1，+∞），若f（f（1））【分析】根据分段函数值的求法，先求出f（1）=3，再求f（3）=1+3a，得到关于a的不等式解得即可．1【解答】解：f（1）=2+1=3，f（3）=log33+3a=1+3a，∴f（f（1））=1+3a，∴1+3a＞4a，解得a＜1，故选：a．【评测】本题考查了分段函数的函数值的带发修行，和不等式的数学分析，属基础题．6．（5分）（2021秋?哈尔滨校级月考）已知α是△abc的一个内角，且则sin2α+cosα的值为（）2，篇二：2021年黑龙江中考演示(二)数学试卷（二）一．选择题（共12小题）1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（）a．总体b．个体c．样本的容量d．从总体中提取的一个样本2．“λ＜1”是“数列an=n2λn（n∈n）为递增数列”的（）a．充份不必要条件b．必要不充分条件c．充要条件d．既不充分也不必要条件3．为了研究某药品的疗效，挑选出若干名志愿者展开临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kpa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．例如图就是根据试验数据做成的频率分布直方图．未知第一组与第二组共计20人，第三组中没疗效的存有6人，则第三组中存有疗效的人数为（）2*a．6b．8c．12d．184．正六棱柱abcdefa1b1c1d1e1f1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线e1d与bc1所成的角是（）a．90°b．60°c．45°d．30°5．王明早晨在6：30～7：00之间离开家去上学，送奶员在早上6：45～7：15之把牛奶送到王明家，则王明离开家之前能取到牛奶的概率为（）a．b．c．d．6．如图是“二分法”解方程的流程图．在①～④处应填写的内容分别就是（）a．f（a）f（m）＜0；a=m；是；否b．f（b）f（m）＜0；b=m；就是；否c．f（b）f（m）＜0；m=b；是；否d．f（b）f（m）＜0；b=m；否；就是7．已知向量=（0，1，1），（4，1，0），|λ+|=且λ＞0，则λ=（）a．2b．2c．3d．38在区间[1，5]和[2，4]分别挑一个数，记作a，b，则方程则表示焦点在x轴上且距心率大于的椭圆的概率为（）a．b．c．d．9．例如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=2，aa1=1，则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值（）a．b．c．d．10．未知中心在原点的椭圆与双曲线存有公共焦点，且左右汪点分别为f1f2，且两条曲线在第一象限的交点为p，△pf1f2就是以pf1为底边的等腰三角形．若|pf1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1?e2的取值范围是（）a．（0，）b．d．=+λc．11．未知o就是平面上一定点，apbpc就是平面上不共线的三个点，动点p满足用户（+）λ∈[0，+∞），则点p的轨迹一定通过△abc的（）a．外心b．内心c．战略重点d．正三角形12．已知a，b是抛物线y=4x上异于顶点o的两个点，直线oa与直线ob的斜率之积为22定值4，△aof，△bof的面积为s1，s2，则s1+s2的最小值为（）a．8b．6c．4d．2二．填空题（共4小题）2213．椭圆5xky=5的一个焦点是（0，2），那么k=．14．设立，，就是单位向量，且15．存在两条直线x=±m与双曲线，则向量，的夹角等于．=1（a＞0，b＞0）相交于四点a，b，c，d，且216．例如图，在正三角形abc中，d，e，f分别为各边的中点，g，h分别为de，af 的中点，将△abc沿de，ef，df卷成正四面体pdef，则四面体中异面直线pg与dh阿芒塔的角的余弦值．三．解答题（共6小题）17．未知两个命题r：sinx+cosx＞m，s：x+mx+1＞0．如果任一的x∈r，r与s存有且仅有一个就是真命题，谋实数m的值域范围．18．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线．19.例如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，两端棱aa1⊥底面abcd，ab∥dc，aa1=1，ab=3k，ad=4k，bc=5k，dc=6k（k＞0）．（ⅰ）求证：cd⊥平面add1a1；（ⅱ）若直线aa1与平面ab1c所成角的正弦值，谋k的值．20．某校随机提取某次高三数学模拟考试甲、乙两班各10名同学的客观题成绩（满分60分后），统计数据后赢得成绩数据的茎叶图（以十位数字为茎，个位数字为叶），如图所示：（ⅰ）分别排序两组数据的平均数，并比较哪个班级的客观题平均值成绩更好；（ⅱ）从这两组数据中分别抽取一个数据，求其中至少有一个是满分（60分）的概率；（ⅲ）规定：客观题成绩不低于55分为“优秀客观卷”，从甲班的十个数据中任意抽取两个，21．例如图，四边形abcd就是边长为2的正方形，de⊥平面abcd，af∥de，de=2af，be与平面abcd所成角的正弦值．2（ⅰ）求证：直线ac∥平面efb；（ⅱ）谋直线ac与平面abe所成角的正弦值．22.已知椭圆c：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+2=0相切．（ⅰ）谋椭圆c的方程；（ⅱ）设a（4，0），过点r（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆于p，q两点，连结ap，aq分别交直线x=于m，n两点，试探究直线mr、nr的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．参考答案（二）1.a2.a3.c4.b5.a6.b7.d8．【答疑】求解：∵，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域例如图中阴影部分右图：则方程的概率为p==，故选b．表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆表示焦点在x轴上且离心率小于9．d．10．【解答】解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，pf1=r1，pf2=r2．由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，∴2c＜10，2c+2c＞10，?＜c＜5．?∴∴=；，故挑选c．=．，11．【解答】解：∵∴而λ=+（+λ=2+（）则表示与+）=设立它们等同于t，共线的向量而点d是bc的中点，所以即p的轨迹一定通过三角形的重心．故选c12．【答疑】求解：设a（x1，y1），b（x2，y2），则∵直线oa与直线ob的斜率之积为定值4，∴∴y1y2=4，∵△aof，△bof的面积为s1，s2，∴s1+s2=（y1+y2）≥?2|y1y2|=2，当且仅当|y1|=|y2|时取等号，故选：d．二．选择题（共4小题）2222=4，篇三：2021届黑龙江省大庆市高三第一次模拟考试数学(理科)(解析版)黑龙江省大庆市2021年高考数学一模试卷（理科）（解析版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分后，满分60分后）1．已知集合a={x|x2＜0}，b={x|x＜a}，若a∩b=a，则实数a的取值范围是（）a．（∞，2]b．[2，+∞）c．（∞，2]d．[2，+∞）【分析】化简a，再根据a∩b=a，求出实数a的值域范围．【解答】解：∵集合a={x|x2＜0}={x|x＜2}，b={x|x＜a}，a∩b=a，∴a≥2，故选：d．【评测】本题主要考查两个子集的关连的定义和带发修行，属基础题．2．若复数x满足x+i=a．b．10c．4d．，则复数x的有理函数（）【分析】利用复数代数形式的乘除运算求得复数x，再求其模即可．【答疑】求解：x+i=∴x=∴|x|=，，i=13i，故选：a．【评测】本题考查复数代数形式的秦九韶运算，属基础题．3．下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是（）a．y=x2b．y=x3c．y=ln|x|d．y=2x【分析】本题根据函数奇偶性定义，判断函数的是否为偶函数，再根据函数单调性判断函数是否为减函数，得到本题结论．【答疑】求解：选项a，y=x2是偶函数，当x＞0时，y=x在在（0，+∞）上单调递减，相左题意；选项b，y=x3，就是奇函数，相左题意；选项c，y=ln|x|就是偶函数，当x＞0时，y=lnx在在（0，+∞）上单调递减，符合题意；选项d，y=2x，不是偶函数，递增，不合题意．故挑选：c．【点评】本题考查了奇偶性与单调性，本题难度不大，属于基础题．4．双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=a．=1b．=1c．=1d．x，则该双曲线的方程是（）=1【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为y=x，且一个顶点的座标就是（2，0），可以确认双曲线的焦点在x轴上，从而可以谋双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的一个顶点为（2，0），∴其焦点在x轴，且虚半轴的长a=2，∵双曲线的一条渐近线方程为y=∴双曲线的方程就是故选：d．【评测】本题考查双曲线的直观性质，推论焦点边线与实半轴的短就是关键，属中档题．5．下列说法中不正确的个数是（）①命题“?x∈r，x3x2+1≤0”的驳斥就是“?x0∈r，x03x02+1＞0”；②若“p∧q”为假命题，则p、q均为假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”就是“b=a．ob．1c．2d．3”的既不充份也不必要条件．=1．x，∴b=2，【分析】①根据含有量词的命题的否定判断．②根据复合命题与简单命题之间的关系判断．③根据充分条件和必要条件的定义判断．【答疑】求解：①全称命题的驳斥就是特称命题，∴命题“?x∈r，x3x2+1≤0”的驳斥就是“?x0∈r，x03x02+1＞0”恰当．②若“p∧q”为假命题，则p、q至少有一个为假命题；故错误．③“三个数a，b，c成等比数列”则b2=ac，∴b=若a=b=c=0，满足b=，，但三个数a，b，c成等比数列不成立，”的既不充份也不必要条件，恰当．∴“三个数a，b，c成等比数列”就是“b=故不正确的是②．故挑选：b．【点评】本题主要考查命题的真假判断，解决的关键是对于命题的否定以及真值的判定的运用，属于基础题6．未知直线l⊥平面α，直线m?平面β，得出以下命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β．其中正确命题的序号是（）a．①②③b．②③④c．①③d．②④【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；当直线与平面都和同一平面横向时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题；当直线与平面都和同一平面横向时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则存有α和β平行于m，故④为假命题．l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，【解答】解：又由直线m?平面β，所以有l⊥m；即为①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m?平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；因为直线l⊥平面α且l∥m只须直线m⊥平面α，又由直线m?平面β可以得α⊥β；即为③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m?平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选c．【评测】本题就是对空间中直线和平面以及直线和直线边线关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推断，所以一定必须对课本科学知识掌控娴熟，对公理，定理以及推断认知细致，并会用．7．b]上的连续函数y=fb]，=记定义在区间[a，（x），如果存在x0∈[a，使得f（x0）设立，则表示x0为函数f（x）在[a，b]上的“平均值点”，那么函数f（x）=x3+2x在[1，1]上“平均值点”的个数为（）a．1b．2c．3d．4【分析】由崭新定义排序的定分数可以将问题转变为g（x）=x3+2x在x∈[1，1]上的零点个数，由零点认定定理和函数单调性可以得．【解答】解：由题意可得（x3+2x）dx=（x4+x2）=，∴函数f（x）=x3+2x在[1，1]上“平均值点”的个数为方程x3+2x=在[1，1]上根的个数，构造函数g（x）=x3+2x，则问题转化为g（x）在x∈[1，1]上的零点个数，求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[1，1]上单调递增，由g（1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[1，1]上存有唯一一个零点．故选：a．【评测】本题考查的定分数的运算，牵涉转变和数形融合的思想，属于中档题．8．（5分）（2021呼伦贝尔一模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为v，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则v，n的值是（）a．v=32，n=2b．c．d．v=16，n=4【分析】由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可．【答疑】求解：由三视图所述，几何体为底面就是正方形的四棱锥，所以v=，边长为4的正方体v=64，所以n=3．故选b【评测】本题考查学生的空间想象能力，就是基础题．9．（5分）（2021漳州一模）已知曲线f（x）=sin（wx）+相连的对称轴之间的距离为x0=（）a．b．c．d．]内的x0的值．cos（wx）（w＞0）的两条]，则，且曲线关于点（x0，0）成中心对称，若x0∈[0，【分析】利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0，【答疑】求解：∵曲线f（x）=sin（wx）+轴之间的距离为∴∴w=2∴f（x）=2sin（2x+）．=π，，cos（wx）=2sin（wx+）的两条相连的等距∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，∴f（x0）=0，即2sin（2x0+）=0，。
2021年10月广东省普通高中2022届高三上学期10月阶段性质量检测数学试卷及答案
2021年10月广东省普通高中2022届高三上学期10月阶段性质量检测数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分,考试时间120分钟。
本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形,解答题高考范围。
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ＝{x|－1≤x ≤5,x ∈Z},集合A ＝{0,1,2,3,4},B ＝{－1,0,1,2},则A ∩(∁U B)＝A.{0,1,2}B.{1,2}C.{3,4}D.{3,4,5}2.设命题p ：∃n ∈N *,n 2＋2n>3,则命题p 的否定是A.∃n ∉N *,n 2＋2n>3B.∃n ∈N *,n 2＋2n ≤3C.∀n ∈N *,n 2＋2n ≤3D.∀n ∈N *,n 2＋2n>33.函数f(x)＝1x＋4x 在[1,2)上的值域是 A.[5,172) B[4,172) C.(0,172) D.[5,＋∞) 4.已知sinθ－2cosθ＝0,θ∈(0,2π),则cos sin 2sin2θθθ--5.若1和2是函数f(x)＝4lnx ＋ax 2＋bx 的两个极值点,则log 2(2a －b)＝A.－3B.－2C.2D.36.已知函数f(x)＝lnx ＋ax 在函数g(x)＝x 2－2x ＋b 的递增区间上也单调递增,则实数a 的取值范围是A.(－∞,－1]B.[0,＋∞)C.(－∞,－1]∪[0,＋∞)D.(－1,0]7.在△ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,则“acosA ＝bcosB ”是“△ABC 是以A 、B 为底角的等腰三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.若对任意的x 2,x 2∈(m,＋∞),且x 1<x 2,都有122121x lnx x lnx x x --<2,则m 的最小值是(注：e ＝2.71828…为自然对数的底数) A.1e B.e C.1 D.3e二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
重庆南开中学2021届高三数学10月月考试题 理（含解析）(1)
重庆南开中学2021届高三10月月考数学（理）试题（解析版）本试卷是高三理科试卷，以基础知识和大体技术为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重骨干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、导数、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一.选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．【题文】1．复数Z (1)i i =+ (i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C ．第三象限D ．第四象限【知识点】复数的大体概念与运算L4【答案解析】B ∵i （1+i ）=i+i 2=-1+i ，∴i （1+i ）即复数为-1+i ， ∴-1+i 在复平面内对应的点（-1，1）位于第二象限．故答案为：B ．【思路点拨】由i （1+i ）=-1+i ，由此能求出复数i （1+i ）的复数在复平面内对应的点所在的象限． 【题文】2.角α终边通过点（1，-1），cos α=A.1B.-1C D ．【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1【答案解析】C 角α终边通过点（1，-1），因此cos α=2应选C 。
【思路点拨】可直接依照概念确信余弦值 【题文】3.设0.321log 3,2,log ,3a b c π===则 A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.b a c >>【知识点】指数对数B6 B7【答案解析】D 由题意得0log 31π<<,0.321>,21log 03<则b a c >>因此D 【思路点拨】依照指数对数性质求出范围再比较。
【题文】4.“sin x =”是“3x π=”的 A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1【答案解析】C 假设3x π=则sin 2x =，假设sin 2x =则3x π=还能为23π应选C. 【思路点拨】依照角的范围为任意角去取得必要不充分条件。
2021-2022年高三上学期10月月考试题数学(理)含答案
2021-2022年高三上学期10月月考试题数学（理）含答案一、填空题：1. 设全集为，集合，集合，则(∁)= ▲2. 命题“对，都有”的否定为 ▲3. 对于函数,“是奇函数”是“的图象关于轴对称”的_____▲_____条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）4. 函数)12(log 1)(21+=x x f 的定义域为 ▲5. 已知向量，，，若，则实数 ▲6. 过原点作曲线的切线，则此切线方程为 ▲7. 已知的零点在区间上，则的值为 ▲8. 已知为非零向量，且夹角为，若向量，则 ▲9. 函数]2,0[,sin 21π∈-=x x x y 的单调增区间为 ▲ 10. 设是定义在上周期为4的奇函数，若在区间，⎩⎨⎧≤<-<≤-+=20,102,)(x ax x b ax x f ，则 ▲ 11. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足2)()(+-=+-x x a a x g x f ，且，若，则 ▲12. 在面积为2的中，分别是的中点，点在直线上，则的最小值是 ▲13.若函数定义在上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为 ▲14. 已知函数)(|1|)(22R m x mx x x f ∈--+=，若在区间上有且只有1个零点，则实数的取值范围是 ▲二、解答题：15. 已知函数为定义在上的奇函数，且当时，.（1）求的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.16. 设集合，|lg ,0,3x a B x y a a R a x -⎧⎫==≠∈⎨⎬-⎩⎭. （1）当1时，求集合；（2）当时，求的取值范围．17. 如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，（1）若，求，的值；（2）若，，，且与的夹角为60°时，求 的值.18. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.（1）求的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.19.中心在原点，焦点在轴上的椭圆的焦距为2，两准线间的距离为10. 设过点作直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点（1）求椭圆的方程;（2）求证直线过轴上一定点（3）若过点作直线与椭圆只有一个公共点求过两点，且以为切线的圆的方程.20.已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数（为实常数）的单调区间；（3）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围．数学答题纸xx.10一、填空题(14×5＝70分)1、2、，3、充分不必要4、5、16、7、18、9、10、11、12、13、14、或二、解答题（共90分）19、（16分）（1）设椭圆的标准方程为依题意得：222,1,,210,c c a a c=⎧=⎧⎪⎪⎨⎨==⎪⎩⎪⎩得 所以，椭圆的标准方程为（2）设，，AP=tAQ ，则.结合⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+14514522222121y x y x ，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=t t x t x 233221. 设B (x ，0)，则，，所以，直线过轴上一定点B (1，0). （3）设过点的直线方程为：代入椭圆方程 得： 2222(45)50125200k x k x k +-+-=.依题意得：即2222(50)4(45)(12520)0k k k -+-=得：且方程的根为.当点位于轴上方时，过点与垂直的直线与轴交于点,直线的方程是：11),(,0)5y x E =-∴.所求的圆即为以线段为直径的圆，方程为：22324()(;5525x y -+-=同理可得：当点位于轴下方时，圆的方程为：22324()(.5525x y -++=20. 已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数（为实常数）的单调区间；（3）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围．解：（1）g （x ）＝lnx －x ＋1，g′（x ）＝1x －1＝1－x x ，当0＜x ＜1时，g′（x ）＞0；当x ＞1时，g′（x ）＜0，可得g （x ）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，故g （x ）有极大值为g （1）＝0，无极小值．（2）h （x ）＝lnx ＋|x －a|．当a ≤0时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h′（x ）＝1＋1x ＞0恒成立，此时h （x ）在（0，＋∞）上单调递增；当a ＞0时，h （x ）＝⎩⎨⎧lnx ＋x －a ，x ≥a ，lnx －x ＋a ，0＜x ＜a ．①当x ≥a 时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h′（x ）＝1＋1x ＞0恒成立，此时h （x ）在（a ，＋∞）上单调递增；②当0＜x ＜a 时，h （x ）＝lnx －x ＋a ，h′（x ）＝1x －1＝1－x x ．当0＜a ≤1时，h′（x ）＞0恒成立，此时h （x ）在（0，a ）上单调递增；当a ＞1时，当0＜x ＜1时h′（x ）＞0，当1≤x ＜a 时h′（x ）≤0，所以h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，a ）上单调递减．综上，当a ≤1时，h （x ）的增区间为（0，＋∞），无减区间；当a ＞1时，h （x ）增区间为（0，1），（a ，＋∞）；减区间为（1，a ）．（3）不等式（x 2－1）f （x ）≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立，即（x 2－1）lnx ≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立．当0＜x ＜1时，x 2－1＜0；lnx ＜0，则（x 2－1）lnx ＞0；当x ≥1时，x 2－1≥0；lnx ≥0，则（x 2－1）lnx ≥0．因此当x ＞0时，（x 2－1）lnx ≥0恒成立．又当k ≤0时，k （x －1）2≤0，故当k ≤0时，（x 2－1）lnx ≥k （x －1）2恒成立． 下面讨论k ＞0的情形．当x ＞0且x ≠1时，（x 2－1）lnx －k （x －1）2＝（x 2－1）[lnx －k(x －1)x ＋1]． 设h （x ）＝lnx －k(x －1)x ＋1（ x ＞0且x ≠1），222)1(1)1(2)1(21)('++-+=+-=x x x k x x k x x h ． 记△＝4（1－k ）2－4＝4（k 2－2k ）．① 当△≤0，即0＜k ≤2时，h′（x ）≥0恒成立，故h （x ）在（0，1）及（1，＋∞）上单调递增．于是当0＜x ＜1时，h （x ）＜h （1）＝0，又x 2－1＜0，故（x 2－1） h （x ）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．又当x＝1时，（x2－1）lnx＝k（x－1）2．因此当0＜k≤2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．②当△＞0，即k＞2时，设x2＋2（1－k）x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2（x1＜x2）．函数φ（x）＝x2＋2（1－k）x＋1图像的对称轴为x＝k－1＞1，又φ（1）＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故当x∈（1，k－1）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，从而h（x）在（1，k－1）在单调递减；而当x∈（1，k－1）时，h（x）＜h（1）＝0，此时x2－1＞0，于是（x2－1）h（x）＜0，即（x2－1）lnx＜k（x－1）2，因此当k＞2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x不恒成立．综上，当（x2－1）f （x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立时，k≤2，即k的取值范围是（－∞，2]．22481 57D1 埑S=}20695 50D7 僗lo37408 9220 鈠39810 9B82 鮂"p38024 9488 针T。
2021届新疆阿克苏地区库车市第一中学高三10月月考数学试题(解析版)
新疆阿克苏地区库车市第一中学2021届高三10月月考数学试题第I 卷（选择题）一、单选题(共60分)1. 已知集合{}220A x x x =--≤，(){}ln 1B x y x ==-，则AB =（ ）．A. (]0,2B. ()(),12,-∞-+∞C.[)1,1- D. ()()1,00,2-⋃ 『答案』C『解析』{}2|20{|12}A x x x x x =--≤=-≤≤(){}{}ln 11B x y x x x ==-=<所以{|11}A B x x ⋂=-≤< 故选：C.2. 设x ∈R ，则“38x >”是“2x ” 的（ ）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』A『解析』求解不等式38x >可得2x >， 求解绝对值不等式2x可得2x >或2x <-，据此可知：“38x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件. 本题选择A 选项.3. 已知命题:p x ∀∈R ，21x x >-，0:q x ∃∈R ，0sin 1x >，下列合题为真命题是（ ）A. p q ∧B. p q ⌝∨C.p ⌝ D. p q ∧⌝『答案』D『解析』∵22131()024x x x -+=-+>恒成立， ∴x ∀∈R ，21x x >-恒成立，即命题p 是真命题，∵x ∀∈R ，sin 1x ，∴0:q x ∃∈R ，0sin 1x >为假命题， 则p q ∧⌝为真命题，其余为假命题， 故选：D ．4. 函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是（ ）． A. （-2,-1） B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）『答案』C 『解析』()()()()2102220,1120,0020,1120f e f e f e f e ---=--<-=--<=+-=+-()()100f f ∴<，所以零点在区间（0，1）上5. 下列说法错误的是（ ）A. 命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题是：“若3x ≠，则2430x x -+≠”B. “1x >”是“0x >”的充分不必要条件C. 若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个假命题D. 命题p ：“存在x ∈R 使得210x x ++<”，则p ⌝：“对于任意x ∈R ，均有210x x ++>” 『答案』D『解析』A 选项，命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题是：“若3x ≠，则2430x x -+≠”，故A 正确；B 选项，由1x >能推出0x >；由0x >不能推出1x >，所以“1x >”是“0x >”的充分不必要条件；故B 正确；C 选项，若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个假命题；故C 正确；D 选项，命题p ：“存在x ∈R 使得210x x ++<”，则p ⌝：“对于任意x ∈R ，均有210x x ++≥”，故D 错.故选：D. 6. 函数xx y e=的图象大致为（ ）A. B.C. D.『答案』B『解析』当0x >时，x xx x y e e==，1xxy e -'=，则()0,1x ∈，0y '>，函数x x y e=在()0,1上单调递增；当1x >时，0y '<，函数x xy e=在()1,+∞上单调递减；且当x →+∞时，0y →，又因为函数为奇函数，故选B.7. 将()y f x =的图象向右平移π3个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到πy sin x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x (= ) A. cos2x B. 1sinx 2C. 1πcos x 26⎛⎫+⎪⎝⎭D. πsin 2x 6⎛⎫+⎪⎝⎭『答案』A『解析』将πy sin x 6⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象所有点的横坐标缩短到原来的12倍得到πy sin 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把所得图象向左平移π3个单位，得到()ππf x sin 2x cos2x 36⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选A ．8. 已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点34(,)55P -，则sin(2)2θπ-的值为（ ）A. 725-B.725C. 45-D.35『答案』B『解析』∵ 终边与单位圆交于点34(,)55P -，∴ 4sin 5θ=，3cos 5θ=-， ∴227sin(2)cos 2sin cos 225θθθθπ-=-=-=， 故选：B.9. 下列函数中，既是偶函数又在区间(),0-∞上单调递增的是（ ） A. ()21f x x =B. ()21f x x =+C. ()2f x x = D. ()2xf x -=『答案』A 『解析』A ：由2y x 在（-∞，0）上单调递减，则()21f x x =在（-∞，0）上单调递增， 且该函数是偶函数，∴该选项正确； B ：()21f x x =+在（-∞，0）上单调递减，∴该选项错误；C ：()2f x x =在（-∞，0）上单调递减，∴该选项错误；D ：()2xf x -=在（-∞，0）上单调递减，∴该选项错误． 故选：A ．10. 以下四组数中大小比较正确的是（ ）A. 3.1log log 3.1ππ<B. 0.30.30.50.4<C.0.20.1-ππ-<D. 0.30.70.40.1<『答案』C『解析』对A ， 3.1log 1,log 3.11ππ><，故 3.1log log 3.1ππ>，错误； 对B ，0.3y x =在第一象限为增函数，故0.30.30.50.4>，错误； 对C ，xy π=增函数，故0.20.1-ππ-<，正确；对D ，0.30.30.40.1>，0.30.70.10.1>，故0.30.70.40.1>，错误； 故选：C.11. 若1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，则曲线()y f x =在（1，()1f ）处的切线方程是（ ）. A. 1y =- B. 10x y +-= C.y e = D.y ex =『答案』A『解析』由题意可得：()1ln xf x ae x '=++，因为1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，所以(1)10f ae '=+=， 解得1a e=-，所以()1ln x f x e x x e =-+， 可得()11ln11f e e=-⨯+=-，切点为()1,1-，斜率(1)0k f '==，所以切线为：1y =- 故选：A.12. 已知函数()221tan 2sin cos 1tan xf x x x x-=-+给出下列三个结论： ①函数()f x 的最小正周期是π；②函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；③函数()f x 的图像关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称. 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1C.2 D. 3『答案』B『解析』因()2222sin 1cos 2sin cos cos 2sin 2)sin 41cos xx f x x x x x x x x π-=-=-=++. 对①，函数的周期为22T ππ==，故①正确； 对②，因为ππππ028842x x -≤≤⇒≤+≤，所以()f x 在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，故②错误；对③，)π484f ππ⎛⎫=-+= ⎪-⎝⎭π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故③错误. 故选：B.第II 卷（非选择题）二、填空题(共20分) 13.函数()2log 21y x =+-的定义域是______ . 『答案』1,12⎛⎫⎪⎝⎭『解析』由10210x x ->⎧⎨->⎩112x x <⎧⎪⇒⎨>⎪⎩，解得112x <<，所以函数()2log 21y x =+-的定义域为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭.14. 曲线ln y x x =⋅上点(1,0)处的切线方程为_______ 『答案』1y x =-『解析』令()ln f x x x =⋅，则()()''ln 1,1ln111fx x f =+=+=，所以曲线ln y x x =⋅上点(1,0)处的切线方程为()011y x -=⨯-，即1y x =-. 故答案为：1y x =-.15. 已知()2tan 3πα-=-，则()()()cos 3sin cos 9sin απαπαα-++-+的值为_____________.『答案』15-『解析』()2tan 3πα-=-,2tan 3α∴=, ()()()cos 3sin cos 3sin 13tan 121cos 9sin cos 9sin 19tan 165απααααπααααα-++---∴====--+-+-+-+故答案为：15-.16. 若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.『答案』0『解析』已知函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，令()10y f x =-=，即()1f x =，①当0x ≤时，()xf x e =，由1x e =，解得0x =.②当0x >时，()21f x x =-，由211x -=，解得x =，所以x =综上，函数()1y f x =-的零点是0.故答案为：0. 三、解答题(共70分)17. 已知函数()()2sin 2g x x =，将其向右平移8π个单位长度后得到函数()y f x =． （1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间．（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域． 解：（1）将函数()2sin(2)g x x =的图象向右平移8π个单位长度后， 得到函数()2sin(2)4y f x x π==-的图象，故()f x 的最小正周期为22ππ=． 由3222()242k x k k Z πππππ+-+∈，可得37222()44k x k k Z ππππ++∈．得37()88k x k k Z ππππ++∈．所以递减区间为37[,]()88k k k Z ππππ++∈．（2）[0,]2x π∈，则32444x πππ--，2[44x ππ∴-∈-，3]4π，sin(2)[4x π-∈，1]，()2sin(2)[4f x x π=-∈．18. 已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωφ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动12π个单位长度，得到()y g x =图象，求函数()y g x =在R 上的单调递增区间.解：（1）由图象可知，2A =， 周期45[()]3123T πππ=--=， ∴2||ππω=，0>ω，则2ω=，从而()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5(12π，2)， 得5sin()16πϕ+=，则5262k ππϕπ+=+，k Z ∈， 即23k πϕπ=-+，k Z ∈，又||2ϕπ<，则3πϕ=-，()2sin(2)3f x x π∴=-． （2）由（1）知()sin()f x x π=-223，因此()2sin[2()]2sin(2)1236g x x x πππ=+-=-， 令222262k x k πππππ--+，k Z ∈，可得：63k x k ππππ-+，k Z ∈，所以函数的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，19. 已知α是锐角，且()()()()()()sin cos 2tan tan sin f παπααπαπαπα----=+--．（1）化简()fα；（2）若31cos 25απ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求()f α的值， 解：（1）()()sin cos tan cos sin tan f a αααααα-==-．（2）31cos sin 25παα⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，∴1sin 5α=，∴cos 5α=()cos f a α=-= 20. 设函数()xf x xe =.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性.解：（1）由题意得(0)0f =，则切点为(0,0)，又()(1)x x xf x e xe x e '=+=+，则(0)1f '=，则切线的斜率1k =，故在点(0,(0))f 处的切线方程为y x = （2）()f x 的定义域为R ，由（1）知, ()(1)x f x x e '=+令()0f x '>得10x +>, 即1x >-，则函数()f x 单调递增区间是 (1,)-+∞， 令()0f x '<得10x +<, 即1x <-，则函数()f x 单调递减区间是 (,1)-∞-， 故()f x 的单调递增区间是 (1,)-+∞，单调递减区间是 (,1)-∞-.21. 设函数32()23(1)68f x x a x ax =-+++，其中a R ∈,已知()f x 在3x =处取得极值． （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在点()1,16A 处的切线方程． 解：（1）()()26616f x x a x a =+'-+.因为()f x 在3x =处取得极值，所以()()3696136=0f a a +⨯'=⨯-+， 解得3a =，所以()32212188f x x x x =-++.（2）A 点在()f x 上，由（1）可知()262418f x x x =-+'，()1624180f =-+='，所以切线方程为16y =.22. 已知函数21()ln 22f x ax x =--. （1）当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若0a >，求函数()f x 的单调区间. 解：（1）当1a =时，函数()21ln 22f x x x =--，()1f x x x'=-， ∴()()310,12f f '==-， ∴曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为32y =-.（2）()21(0)ax f x x x-'=>.令()210ax f x x -'=<，解得0x a<<；令()210ax f x x -'=>，解得x a>；∴()f x 在⎛⎝⎭单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增. 23. 已知函数()214ln 22x a x f x x =---，其中a 为正实数. （1）若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值；（2）求函数()y f x =的单调区间；（3）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，求证：()()126ln f x f x a +<- 解：(1)因为()214ln 22f x x a x x =---，所以()4a f x x x=--'， 则()132f a ='-=,所以a 的值为1．(2) ()244a x x a f x x x x-+=--=-'，函数()y f x =的定义域为()0,+∞， 1若1640a -≤,即4a ≥,则()0f x '≤,此时()f x 的单调减区间为()0,+∞;2若1640a ->,即04a <<,则()0f x '=的两根为2此时()f x 的单调减区间为(0,2,()2++∞,单调减区间为(2．(3)由(2)知，当04a <<时，函数()y f x =有两个极值点12,x x ,且12124,x x x x a +==． 因为()()2212111222114ln 24ln 222f x f x x a x x x a x x +=---+--- ()()()2212121214ln 42x x a x x x x =+--+- ()2116ln 4244ln 2a a a a a a =----=+- 要证()()126ln f x f x a +<-,只需证ln ln 20a a a a --+>．构造函数()ln ln 2g x x x x x =--+，则()111ln 1ln g x x x x x+-='=--， ()g x '在()0,4上单调递增,又()()1110,2ln202g g ='-'=-,且()g x '在定义域上不间断, 由零点存定理，可知()0g x '=在()1,2上唯一实根0x , 且001ln x x =． 则()g x 在()00,x 上递减, ()0,4x 上递增,所以()g x 的最小值为()0g x ．因为()00000000011ln ln 2123g x x x x x x x x x ⎛⎫=--+=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭, 当()01,2x ∈时, 00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则()00g x >,所以()()00g x g x ≥>恒成立． 所以ln ln 20a a a a --+>,所以()()126ln f x f x a +<-，得证．。
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2020—2021学年上学期高三数学10月份月考一、单选题（每小题5分） 1．复数11i i-+（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A. -1B. 1C. i -D. i2．αβ≠是cos cos αβ≠的( )条件.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于（ ）A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π34．函数1ln sin 1xy x x+=⋅-的图象大致为（ ）5．已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1ax ＋a －2，x <1在R 上单调递增，那么实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(1，2]6．已知△ABC 中，AB ＝2，B ＝π4，C ＝π6，点P 是边BC 的中点，则AP →·BC →等于( )A ．1B ．2C ．3D ．47．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1，则ω的最小值为( ) A.23 B ．34 C.43 D ．328．在ABC ∆中，已知点P 在线段BC 上，点Q 是AC 的中点，AQy AB x AP +=，0,0>>y x ，则yx 11+的最小值为（ ） A ．23B ．4 C.223+ D. 223+二、多选题（每小题5分，部分选对得3分）9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ） A ．若a b >，则sin sin A B >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形10．设点M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A ．若1122AM AB AC =+，则点M 是边BC 的中点 B ．2AM AB AC =-若，则点M 在边BC 的延长线上 C ．若AM BM CM =--，则点M 是ABC 的重心D ．若AM x AB y AC =+，且12x y +=，则MBC △的面积是的ABC 面积的1211．要得到函数x y cos =的图像，只需将函数)32sin(π+=x y 的图像上所有的点（ ）A ．先向右平移6π个单位长度，再将横坐标伸长到原来的21（纵坐标不变） B ．先向左平移个12π单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的21（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(ω＞0)，已知f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论： A ．f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点 B ．f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10上单调递增 D ．ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫125，2910 其中所有正确结论是( ) 三、填空题（每小题5分）13．若,x y 满足约束条件262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3x y +的最小值为_________．14．已知平面向量a ，b 满足a ＝(1，3)，|b |＝3，a ⊥(a －b )，则a 与b 夹角的余弦值为________．15．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e－x，x≤0－x2－2x＋1，x>0，若f(a－1)≥f(－a2＋1)，则实数a的取值范围是_____16．在面积为2的ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则2BCPBPC+•的最小值是______.四、解答题（第17题10分，第18——22题每题12分）17．化简下列各式并求值：（1）13312(lg50lg5)82log9log4-⨯+；（2）已知tan2x=，求2cos cos()23sin2x xxπππ⎛⎫++-⎪⎝⎭⎛⎫+⎪⎝⎭的值.18．已知函数()Asin()(0,0,||)2f x x Aπωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.（1）求A，ω和ϕ的值；（2）求函数()y f x=在[]1,2上的单调递减区间；19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos C sin B＝bsin B＋ccos C.(1)求角B的大小；(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．20．如图，已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin A＋(c－a)sin C＝b sin B，点D是AC的中点，DE⊥AC，交AB于点E，且BC＝2，DE＝62.(1)求B；(2)求△ABC 的面积．21．已知二次函数2()2f x x x =+. （1）求)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）讨论函数()()ln(1)g x f x a x =++的单调性。
22．已知向量()2sin 3a x x =，向量()cos ,2cos b x x =，函数()3f x a b =⋅-. （1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值以及取得最值时x 的值； （2）求证：存在大于3π的正实数0x ，使得不等式()23ln f x x>(0x e 有解.（其中e 为自然对数的底数）1、B2、B3、D4、A5、D.6、B. 7．A. 8、C 9、AC 10．ACD 11、BC 12．ACD 13．2- 14．2315．[－2，1] . 16、17、【详解】(1)13312(lg50lg5)8(lg10)212log 9log 442-⨯⨯==+-.(2)∵2cos cos()2sin cos 22tan 13cos sin 2x x x x x x x πππ⎛⎫++- ⎪--⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 又tan 2x =，∴原式2215=⨯+=. 18．【详解】（1）由题可得1A =，412()233T =-=，则2Tπωπ==，当56x =时，()f x 取得最大值，则52()62k k Z ππϕπ+=+∈，所以2()3k k Z πϕπ=-+∈，又因为||2ϕπ<，故3πϕ=-；（2）由（1）可知()sin()3f x x ππ=-，令322232k x k ππππππ+-+，k Z ∈， 则5112266k xk ++，k Z ∈， 故()f x 的单调递减区间为5[26k +，112]()6k k Z +∈，则()f x 在[1，2]上的单调递减区间为[1，11]6；19．解：(1)利用正弦定理，得sin Acos C sin B ＝cos C ＋sin C cos C ，即sin （B ＋C ）sin B＝cos C ＋sin C ，则sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin B sin C ，又sin C ≠0， 所以tan B ＝1，又0＜B ＜π，∴B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac ，所以当ac 最大时，S 最大．由已知及余弦定理，得2＝a 2＋c 2－2ac cos π4＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ，所以ac ≤22－2＝2＋2，当且仅当a ＝c 时取等号，所以△ABC 的面积的最大值为24×(2＋2)＝2＋12. 20．解：(1)∵a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ，∴a 2＋(c －a )·c ＝b 2，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，0<B <π，∴B ＝60°.(2)连接EC (图略)，D 是AC 的中点，又DE ⊥AC ，∴AE ＝CE ＝DE sin A ＝62sin A ，∠A ＝∠ECD ，∠BEC ＝2∠A ，在△BCE 中，EC sin B ＝BC sin ∠BEC ，即62sin A ·sin B ＝2sin 2A ，即化简整理得：cos A ＝22，∵0<A <π，∴A ＝45°，∠BEC ＝2∠A ＝90°，即CE ⊥AB ，AB ＝AE ＋BE ＝3＋1.∴S △ABC ＝12AB ·CE ＝12(3＋1)·3＝3＋32.21试题解析：（1）014=--y x（2）()()22ln 1(1)g x x x a x x =+++>-()()2212211x aag x x x x ++=++='++当0a ≥时，()g x '在()1,-+∞上恒正； 所以，()g x 在()1,-+∞上单调递增当0a <时，由()0g x '=得1x =-+所以当1,1x ⎛∈-- ⎝时，()()0,g x g x '<单调递减当1x ⎛⎫∈-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增. 综上所述，当0a ≥时，()g x 在()1,-+∞上单调递增； 当0a <时，当1,1x ⎛∈-- ⎝时，()g x 单调递减；当1x ⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()g x 单调递增.22、【详解】 （1）()232sin cos sin 222sin 23f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅-=+-=+=+ ⎪⎝⎭0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，sin 232x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()f x ⎡⎤∴∈⎣⎦，因此，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为；（2）存在大于3π的正实数0x ，使得不等式()ln f x x>(0x 有解，即存在大于3π的正实数0x ，使得不等式sin 23x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间(0x 有解，令()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()h x x =，则当3x π⎛∈⎝时，函数()y g x =单调递增，函数()y h x =单调递增，又03g π⎛⎫=⎪⎝⎭，033h ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，sin 32g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，2h==，∴函数()y g x =与函数()y h x =在3π⎛ ⎝有且仅有一个交点，故存在大于3π的正实数0x ，使得不等式()ln f x x>(0x 有解.。