泛函分析试卷

泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）

1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.

A ．10<<-≤-αα，　y x Ty Tx B.1≥-≤-αα，　y x Ty Tx

2345、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有p

q

+的值为（ ）.

A. 1-

B.

12 C. 1 D. 12

- 二、填空题（每个3分，共15分）

1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。

2、任何赋范线性空间的共轭空间是（ ）。

3、1l 的共轭空间是（ ）。

4、设X 按内积空间成为内积空间，则对于X 中任意向量x,y 成立不等式（ ）当且仅当x 与y 线性相关时不等式等号成立。

5、设T 为复希尔伯特空间X 上有界线性算子，则T 为自伴算子的充要条件是（ ）。

三、判断题（每个3分，共15分）

12345则1 2,1，令

(,)|()()|,d x y x t y t d t =-⎰

证明(,)x

d 成为度量空间。 3、证明n

R 按范数||||max ||i i

x ξ=组成的赋范线性空间X 与n

R 按范数1

||||||n

i i x ξ==∑组成的赋

范线性空间Y 共轭。

4、设X 是可分Banach 空间，M 是X '中的有界集，证明M 中每个点列含有

一个弱*收敛子列。

5、设H 是内积空间，M 为H 的子集，证明M 在H 中的正交补是H 中的闭线性子空间。

泛函分析期末考试试卷答案

一、 选择题

1、A

2、D

3、B

4、D

5、D 二、填空题

1、柯西点列

2、巴拿赫空间

3、∞

l 4、||≦||x||||y|| 5、对于一切x ∈X,是实数 三、判断题

1、对

2、对

3、错

4、错

5、错

x +1

l 1l 令e 则令f 反之，对12(,)n b l ηηη∞∀=∈L L ，作1l 上泛函()f x 如下：

1121(),(,)n

i i n i f x x l ξηξξξ==∀=∈∑L L ，显然f 是1

l 上线性泛函，又因为

因此，1'(),f l ∈并且有sup .i i

f b η∞≤=综上1'().l l ∞=

五、证明题（共50分）

1、 证：反证法。若T 为定义在整个空间X 上的闭算子，

由于X 为闭集，而X 为Banach 空间，由闭图像定理可知，T 为X 到X 的有界闭算子， 这与T 为无界闭算子矛盾，原命题成立。

2、证：由定义，对于,[0,1],x y C ∀∈显然(,)0,d x y ≥且如果()(),[0,1],x t y t t =∈显然(,)0,

d x y =反之如果(,)0,d x y =因为|()()|0,x t y t -≥所以()(),..[0,1],x t y t a

e =于

由于(),()x t y t 为连续函数，若0[0,1],t ∃∈使得00()(),x t y t ≠则存在0,δ>使得在00(,)[0,1]t t δδ-+⊂区间上，均有

()(),x t y t ≠这与()(),..x t y t a e =相矛盾，所以()(),[0,1].x t y t t ≡∈此外，对于,,[0,1],x y z C ∀∈

即三点不等式成立。因此(,)x d 成为度量空间。 3

在同

构的意义下X ’=Y 。

4、证： 设{},n f M ⊂存在0,,1,2,.n K f K n >≤=L 设{}n x 是X 的可数稠密子集.考察有界数列

{}11().n n f x ∞

=由Weierstrass 定理，存在收敛子列{}{}1,11()().n n f x f x ⊂同理{}1,21().n n f x ∞

=也有收敛子

列{}2,2()n f x .一般地，若已有子列{},1()k n k n f x ∞=收敛，考察{},11().k n k n f x ∞

+=.由于数列的有界性可找到收敛子列{}1,11()k n k n f x ∞

++=K K 我们用对角线法则,取泛函列{}{},11k k n n k f f ∞

∞

==⊂,{},k k f 在稠密子集

{}n x 上点点收敛.事实上,由定义,对任意i ,{},1()i n i n f x ∞=是收敛的，而{},k k k i f ∞=是{},1i n n f ∞

=的子列，因

此{},1()k k i k f x ∞

=也是收敛的， {},k k f 在{}n x 上点点收敛,即 {},k k f 弱*收敛。 5、证：对于,,,,a R x y M z M ⊥∀∈∀∈∀∈

则,,,0,x y z x z y z +=+=,,0,ax z a x z ==

因此M ⊥为H 的线性子空间。

另外，对于任意M ⊥中的聚点x ，即存在由M ⊥中互异的点组成的点列{},n x 使得