最大利润问题

《数学建模与计算》

问题一最大利润问题

摘要：通过讨论利润分配问题，在Shapley值法的基础上，综合考虑价值创造、创新、风险承担和资源投入对利润生成的影响，创建了基于Shapley 值法的新模型。并通过数值举例，表明了该新模型的实用性、灵活性，同时该模型更好的确保分配结果的公平性和有效性。联盟作为一种新的合作模式，公平合理的利益分配机制关系到联盟的成败。本文在国内外研究的基础上，应用模糊综合评价法对传统的Shapley值法进行改进，引入综合修正因子的概念，以更公平合理地对联盟者之间利益进行分配，促进联盟长期稳定的发展。

关键词：利益分配，Shapley值法

1.引言

联盟作为一种新的合作模式，是在竞争与合作并存的市场环境下，由供应链上相互独立的实体为实现共同目标而组成的联盟，每个合作者在各自优势领域为联盟贡献自己的核心能力，以实现优势互补、风险共担和利益共享。联盟通过合作者协调一致的行动来降低整个供应链的运营成本，从而实现联盟利益最大化的目标。吸引企业组成联盟的最大动因就是使自身的利益最大化，而组成联盟的个人是独立实体，有着各自的利益需求，如果个人对联盟的投入没有得到相应的回报，那么必然会对联盟的运作产

生不利影响。因此，公平合理的利益分配机制是联盟持久存在和稳定发展的重要基础之一，关系到联盟的成败。

现阶段关于联盟者之间的利益分配问题的研究，大多数是从产品转移定价研究转变过来的]1[，Karl Morasch[2]和Srinagesh Gavimeni[3]等从委托代理理论和合作理论的角度出发，研究了在生产型合作企业中传递价格和利益共享从而确定了在不同联盟结构下联盟的利益分配结构。在国内联盟利益分配的研究方面，魏修建[4]从资源结构以及资源对联盟的贡献程度的角度探讨了利益分配问题，并提出联盟进行利益分配的思路和框架；魏纪泳等人[5]首先运用TOPSIS法描述利益相关者参与企业群体决策的多种优化方案，再运用Shapley值法来计算优化方案中不同利益相关者合作的影响指数，通过评估得到其分配收益；孙洪杰[6]等在研究共生理论的基础上，提出了基于共生理论的供应链联盟利益分配机制。

现有的文献大多只是从理论上分析联盟的分配方式，对联盟存在的风险、不确定性、信息不完全和“时间动态”性等对利益分配的影响则研究较少；同时，根据联盟的特点采用博弈论进行研究时，大多都采用合作博弈中的Shapley值法来求解利益分配问题，然而对Shapley值法存在的不足和理论的限制性则不够重视。本文根据从供应链联盟风险的角度出发，将模糊决策理论和Shapley值法应用于供应链者之间利益分配，并对相关问题进行进一步的探讨。

2. Shapley值法模型

Shapley值法是多人合作联盟博弈理论中一种解的概念，代表了合作博弈的一个或多个支付向量，简单而较合理地实现了联盟总体利益在各成员之间的公平有效的分配。设有n个局中人组成的集合为N，即N={1,2,3…n}，S为N中的任一子集，表示局中人可能形成的一个联盟，V(S)称为联盟S 的特征函数，表示联盟S通过联盟具有的优势所获得的最大收益。N人合作博弈有很多解，寻求一个最为合理的唯一解就是解决问题的目标。用φi(V)表示局中人I能够从合作获利中获得的报酬，Ф(V)={φ1(v),φ2(v),φ3(v)…φn(v)}为一个分配方案。

Shapley值法关于联盟合作博弈中的合理分配有如下的公理：

参与人因合作而分配到的利益与他所被赋予的记号无关。

设λ是N={1,2,3…n}的一个排列，即N 上的一个一对一映射，如λi 是i 的对应，对供应链联盟博弈V ，则

(λV)( S )= V(λS )

成员对于供应链联盟没有做出贡献，就不能从联盟中获得报酬。

如果对于所有包含i 的子集S ，都有V(S\i)= V(S)，则

φi (v)=0，且)()(1N v v n

i i =∑=ϕ

局中人同时进行两项合作时，总分配分别是两项合作之和。

对于定义在N 上的任意两个特征函数u 和v ，则

φi (u+v)=φi (u)+φi (v)

如果对每个博弈，存在唯一的Shapley 值Ф(V)={φ1(v)，φ2(v)，φ3(v)…φn (v)}，其中

φi (v)=)]\()([)(i s v s v s w si s -∑∈，i=1，2，…，n (2-1)

!

!1!)(n s s n s w ）（）（--= (2-2) 其中s i 是I 中包含i 的所有子集，s 是子集中的元素数目，w （s ）是加权因子。

Shapley 值法按照供应链联盟的各成员企业的贡献大小进行分配，在一定程度上体现了供应链联盟利益分配的“公平”与“合理”。然而用Shapley 值法进行利益分配也存在一定的不足，如假定每个参与者参与合作的成功率都为1，这一假设过于严格，不符合现实情况，因此有必要将风险系数考虑进来，已有一些学者[7]运用层次分析法来计算联盟合作过程中各伙伴所承担的风险，并将风险量化为具体的基于风险的利益分配权重指数，即合作风险系数。

同时运用Shapley 值法来进行利益分配，只考虑了对供应链联盟产生的收益如何进行分配，而并没有考虑到收益是如何取得的。对于在供应链联盟中资本增值能力强的核心企业，其资本增值率较高（即投入一定的资本能够产生较高的回报），则按照前面提到的按贡献大小分配的原则其应该获

得更高的份额，因此Shapley值法只按照企业的平均贡献来分配收益是不太公平的，长此以往必将损害供应链联盟中贡献大的企业的积极性，从而威胁到供应链联盟的稳定发展。因此引入考虑供应链联盟中各企业面临的合作风险系数以及企业资本增值率等因素的影响而产生的综合修正因子p i，这种经过修正的方法可以更好的体现供应链联盟按实际贡献分配的原则。

组合预测，就是将若干种单一预测方法赋予不同的权值，从而形成综合的预测模型。在组合预测中，权重选取十分重要，合理的权重会大大提高预测精度。常见的权重选取方法有：算术平均法、标准差法、方差倒数法、均方倒数法、离异系数法、AHP法、德尔菲法、最优加权法等。AHP法与德尔菲法均为主观赋权，不可避免地会受到人为因素的影响；最优加权法预测的精度最高，但是计算复杂，往往需要求解线性规划或非线性规划，且求得的权重可能为负数，往往只能得到次优解，在实际应用中有较大的局限。在对物流需求进行预测时，为有效降低预测误差常会进行组合预测，而这时为各个单一的预测方法分配的权重应反映这种单一的预测方法对总预测结果贡献的大小。误差越大，预测效果越差，则在组合中的权重越小；预测误差越小，预测效果越好，则它在组合预测中的权重应该越大。Shapley 值法是用于解决多人合作对策问题的一种数学方法。它主要集中应用在合作收益在各合作方之间的分配，Shapley值实现的是每个合作成员对该合作联盟的贡献大小，突出反映了各个成员在合作中的重要性。Shapley值法的最大优点在于其原理和结果易于被各个合作方视为公平，结果易于被各方接受。

上述Shapley值修正算法既考虑了各成员企业对联盟的贡献，又考虑了各金业的风险承担，但却没有考虑企业在联盟中的投资额大小这一因素。而资本本来就是获取利益的一个重要源泉，投资额的大小也是企业参与利益分配的一个重要因素。因此，投资额大小在利益分配中也应当有一定的权重影响。投资额应当包括企业的所有投入，具体包括：启动资金、人力资本和融资成本等。

引入风险因子后的Shapley修正模型和考虑投资额大小的利益分配模型，分别从不同角度反映了利益分配策略在某种分配原则上的合理性。实际上利益分配策略对联盟企业而言是一个非常敏感的话题，直接影响企业联盟的稳定性及各成员的积极性，因此应当全盘考虑。在本文中，考虑每