最大利润问题

《数学建模与计算》
问题一最大利润问题
摘要：通过讨论利润分配问题，在Shapley值法的基础上，综合考虑价值创造、创新、风险承担和资源投入对利润生成的影响，创建了基于Shapley 值法的新模型。

并通过数值举例，表明了该新模型的实用性、灵活性，同时该模型更好的确保分配结果的公平性和有效性。

联盟作为一种新的合作模式，公平合理的利益分配机制关系到联盟的成败。

本文在国内外研究的基础上，应用模糊综合评价法对传统的Shapley值法进行改进，引入综合修正因子的概念，以更公平合理地对联盟者之间利益进行分配，促进联盟长期稳定的发展。

关键词：利益分配，Shapley值法
1.引言
联盟作为一种新的合作模式，是在竞争与合作并存的市场环境下，由供应链上相互独立的实体为实现共同目标而组成的联盟，每个合作者在各自优势领域为联盟贡献自己的核心能力，以实现优势互补、风险共担和利益共享。

联盟通过合作者协调一致的行动来降低整个供应链的运营成本，从而实现联盟利益最大化的目标。

吸引企业组成联盟的最大动因就是使自身的利益最大化，而组成联盟的个人是独立实体，有着各自的利益需求，如果个人对联盟的投入没有得到相应的回报，那么必然会对联盟的运作产
生不利影响。

因此，公平合理的利益分配机制是联盟持久存在和稳定发展的重要基础之一，关系到联盟的成败。

现阶段关于联盟者之间的利益分配问题的研究，大多数是从产品转移定价研究转变过来的]1[，Karl Morasch[2]和Srinagesh Gavimeni[3]等从委托代理理论和合作理论的角度出发，研究了在生产型合作企业中传递价格和利益共享从而确定了在不同联盟结构下联盟的利益分配结构。

在国内联盟利益分配的研究方面，魏修建[4]从资源结构以及资源对联盟的贡献程度的角度探讨了利益分配问题，并提出联盟进行利益分配的思路和框架；魏纪泳等人[5]首先运用TOPSIS法描述利益相关者参与企业群体决策的多种优化方案，再运用Shapley值法来计算优化方案中不同利益相关者合作的影响指数，通过评估得到其分配收益；孙洪杰[6]等在研究共生理论的基础上，提出了基于共生理论的供应链联盟利益分配机制。

现有的文献大多只是从理论上分析联盟的分配方式，对联盟存在的风险、不确定性、信息不完全和“时间动态”性等对利益分配的影响则研究较少；同时，根据联盟的特点采用博弈论进行研究时，大多都采用合作博弈中的Shapley值法来求解利益分配问题，然而对Shapley值法存在的不足和理论的限制性则不够重视。

本文根据从供应链联盟风险的角度出发，将模糊决策理论和Shapley值法应用于供应链者之间利益分配，并对相关问题进行进一步的探讨。

2. Shapley值法模型
Shapley值法是多人合作联盟博弈理论中一种解的概念，代表了合作博弈的一个或多个支付向量，简单而较合理地实现了联盟总体利益在各成员之间的公平有效的分配。

设有n个局中人组成的集合为N，即N={1,2,3…n}，S为N中的任一子集，表示局中人可能形成的一个联盟，V(S)称为联盟S 的特征函数，表示联盟S通过联盟具有的优势所获得的最大收益。

N人合作博弈有很多解，寻求一个最为合理的唯一解就是解决问题的目标。

用φi(V)表示局中人I能够从合作获利中获得的报酬，Ф(V)={φ1(v),φ2(v),φ3(v)…φn(v)}为一个分配方案。

Shapley值法关于联盟合作博弈中的合理分配有如下的公理：
参与人因合作而分配到的利益与他所被赋予的记号无关。

设λ是N={1,2,3…n}的一个排列，即N 上的一个一对一映射，如λi 是i 的对应，对供应链联盟博弈V ，则
(λV)( S )= V(λS )
成员对于供应链联盟没有做出贡献，就不能从联盟中获得报酬。

如果对于所有包含i 的子集S ，都有V(S\i)= V(S)，则
φi (v)=0，且)()(1N v v n
i i =∑=ϕ
局中人同时进行两项合作时，总分配分别是两项合作之和。

对于定义在N 上的任意两个特征函数u 和v ，则
φi (u+v)=φi (u)+φi (v)
如果对每个博弈，存在唯一的Shapley 值Ф(V)={φ1(v)，φ2(v)，φ3(v)…φn (v)}，其中
φi (v)=)]\()([)(i s v s v s w si s -∑∈，i=1，2，…，n (2-1)
!
!1!)(n s s n s w ）（）（--= (2-2) 其中s i 是I 中包含i 的所有子集，s 是子集中的元素数目，w （s ）是加权因子。

Shapley 值法按照供应链联盟的各成员企业的贡献大小进行分配，在一定程度上体现了供应链联盟利益分配的“公平”与“合理”。

然而用Shapley 值法进行利益分配也存在一定的不足，如假定每个参与者参与合作的成功率都为1，这一假设过于严格，不符合现实情况，因此有必要将风险系数考虑进来，已有一些学者[7]运用层次分析法来计算联盟合作过程中各伙伴所承担的风险，并将风险量化为具体的基于风险的利益分配权重指数，即合作风险系数。

同时运用Shapley 值法来进行利益分配，只考虑了对供应链联盟产生的收益如何进行分配，而并没有考虑到收益是如何取得的。

对于在供应链联盟中资本增值能力强的核心企业，其资本增值率较高（即投入一定的资本能够产生较高的回报），则按照前面提到的按贡献大小分配的原则其应该获
得更高的份额，因此Shapley值法只按照企业的平均贡献来分配收益是不太公平的，长此以往必将损害供应链联盟中贡献大的企业的积极性，从而威胁到供应链联盟的稳定发展。

因此引入考虑供应链联盟中各企业面临的合作风险系数以及企业资本增值率等因素的影响而产生的综合修正因子p i，这种经过修正的方法可以更好的体现供应链联盟按实际贡献分配的原则。

组合预测，就是将若干种单一预测方法赋予不同的权值，从而形成综合的预测模型。

在组合预测中，权重选取十分重要，合理的权重会大大提高预测精度。

常见的权重选取方法有：算术平均法、标准差法、方差倒数法、均方倒数法、离异系数法、AHP法、德尔菲法、最优加权法等。

AHP法与德尔菲法均为主观赋权，不可避免地会受到人为因素的影响；最优加权法预测的精度最高，但是计算复杂，往往需要求解线性规划或非线性规划，且求得的权重可能为负数，往往只能得到次优解，在实际应用中有较大的局限。

在对物流需求进行预测时，为有效降低预测误差常会进行组合预测，而这时为各个单一的预测方法分配的权重应反映这种单一的预测方法对总预测结果贡献的大小。

误差越大，预测效果越差，则在组合中的权重越小；预测误差越小，预测效果越好，则它在组合预测中的权重应该越大。

Shapley 值法是用于解决多人合作对策问题的一种数学方法。

它主要集中应用在合作收益在各合作方之间的分配，Shapley值实现的是每个合作成员对该合作联盟的贡献大小，突出反映了各个成员在合作中的重要性。

Shapley值法的最大优点在于其原理和结果易于被各个合作方视为公平，结果易于被各方接受。

上述Shapley值修正算法既考虑了各成员企业对联盟的贡献，又考虑了各金业的风险承担，但却没有考虑企业在联盟中的投资额大小这一因素。

而资本本来就是获取利益的一个重要源泉，投资额的大小也是企业参与利益分配的一个重要因素。

因此，投资额大小在利益分配中也应当有一定的权重影响。

投资额应当包括企业的所有投入，具体包括：启动资金、人力资本和融资成本等。

引入风险因子后的Shapley修正模型和考虑投资额大小的利益分配模型，分别从不同角度反映了利益分配策略在某种分配原则上的合理性。

实际上利益分配策略对联盟企业而言是一个非常敏感的话题，直接影响企业联盟的稳定性及各成员的积极性，因此应当全盘考虑。

在本文中，考虑每
一种分配策略合理性的权重，即赋予每种方法一个权重。

权重的确定方法有专家调查法和层次分析法。

设得到的Shapley 值修正算法与只考虑投资额大小的利益分配模型的权重向量。

它既考虑了各成员企业对联盟的贡献，及其风险承担，同时还考虑了企业投资额大小，是比较符合实际的有效的利益分配策略。

3.综合修正因子p i 的计算
联盟中各个人都存在一定的风险，如市场风险、合作风险、技术风险、信息风险、投资风险、环境风险、政策风险、解散风险和财务风险[8，9]等。

因此，本文将这九大风险设置成为风险评价的指标层，应用模糊综合评价法对其进行评价以确定修正因子p i ，步骤如下：
1.建立评价指标体系：综合分析文献]9,8[,本文将市场风险、合作风险、技术风险、信息风险、投资风险、环境风险、政策风险、解散风险和财务风险确立为指标层，综合风险为目标层。

2.指标权重的确定：本文使用1-9标度法，即把每一层次因素的单序排列计算问题可以简化成一系列成对因素的判断研究，因素间的比较判断量化采用“1-9标度法”。

然后根据数据计算各组指标的权重，并进行一致性检验。

① 计算判断矩阵每行元素的几何平均值：12(,,.....)n w w w w = ②将1w 归一化，即计算：1/n
i i i i w w w ==∑，1,2,......,i n = 得到
12(,,.....)n w w w w =,即为所求特征向量的近似值，也就是个因素的相
对权重。

③ 计算判断矩阵最大特征向量m ax λ：max 1()
/()n i i i c w n w λ==∑ 式
中：C 为判断矩阵；W 为其特征向量；n 为矩阵阶数。

④ 进行一致性检验：/0.1C R C I R I =< 式中：CI 为判断矩阵偏离
一致性指标：m ax ()/(1)C I n n λ=-- RI 为平均随机一致性指标，
其值见表1：
表1 平均随机一致性指标RI
3.建立评语集：V =（最高，很高，高，一般，低，很低，最低）=（0，0.1，0.3，0.5，0.7，0.9，1）。

4.确定隶属关系求得模糊矩阵：通常采用模糊统计法，由专家和供应链联盟相关人员对指标进行打分，统计打分结果进行归一化，从而得到模糊评价矩阵：
12(,,,)n R R R R =⋅⋅⋅
其中12(,,,)i i i in R r r r =⋅⋅⋅为第i 个元素的模糊评价向量。

5.模糊综合评价：评价因素的权重向量与模糊矩阵进行运算，求出模糊评
价结果：12[,,,]n P W R p p p ==⋅⋅⋅
将p i 的因素加入到公式（2-1）中去，得到改进后的公式为：
'\()[(1)()(1)(\)]i i i s i s s w s p v s p v s i ϕ∈=-
--∑，i=1，2，…，n
(3-1)
其中p i 为成员i 参加供应链联盟的综合修正因子，p s\i 为供应链联盟中去掉成员i 后的综合修正因子。

4.实例分析
甲拥有一幢私房，若该私房由甲自己使用，每年可获1000元，若转让给乙使用，每年可获利2000元，若转让给丙使用，每年可获利2500元，若三人共同使用，则可获利3000元。

显然以三人共同使用获利最多，问三
人如何分配所得的3000元？
由题意可得到以下条件：
I ＝{1,2,3}；v(1)=1000 ；
V(1,2)=2000 ；v(1,3)=2500 ；v(1,2,3)=3000。

运用合作博弈中的Shapley 值法来建立模型进行分配。

Ф(V)={φ1(v),φ2(v),φ3(v)}即表示甲、乙和丙组建供应链联盟后获得的利益的分配，其中φi (v)是分配给第I 合作人的部分。

对固定的I ，记S i 为包含I 的子集构成的集合。

结合公式(2-1)、(2-1)计算甲得到的收益如表2所示：
表2 甲可以从联盟中得到的收益
类似可以计算得到乙、丙得到的收益分别为：1090元和1365元。

假设根据模糊决策理论计算得出的p 1，3＝0.3，p 2，3＝0.2， p 1，2，3＝0.1，则运用公式(3-1)计算甲考虑综合修正因子后可以从供应链联盟中得到的收益为：
φ1´(v)=330
)2.01(50)1.01(610
25)3.01(310
---+--+=545元。

同理可计算乙考虑综合修正
因子后可以从供应链联盟中得到的收益φ2´(v)为1090元，丙考虑综合修正因子后可以从供应链联盟中得到的收益φ3´(v)为1365元。

5.小结
尽管应用Shapley值法分配联盟的收益比较可行，但也存在一些问题，如Shapley值法的应用需要知道联盟成员所有组合的具体效益值v，以确定分配时确定各成员的地位，获取分配的权重，然而这些数值在供应链联盟实际的获得中存在一定的困难。

如何通过比较各家企业各项竞争指标来估算各种组合的可能效益，保证所有组合的具体效益值v公平有效，从而得出Shapley值法所需要的数据并进行利益分配是一个值得进一步研究的问题。

最后Shapley值法的计算结果只是从理论上可以作为制订利益分配方案依据，由于Shapley值只是一类期望值，并不是总能合理地反映出各成员及各种要素的实际作用，因此在实际分配合作带来的利益时，有时也需要根据具体情况确定分配原则和方法。

本文在shapley值法的基础上，提出了Shapley值法新模型来解决利润分配问题。

通过数值举例，说明这一模型可以更好的解决利润分配问题，具有一定的实用性。

6.参考文献
[1] 吕显瑞.数学建模竞赛辅导教材.长春：吉林大学出版社,2002.
[2] 刘来福,曾文艺.数学模型与数学建模.北京：北京师范大学出版社，1997.
[3] 陈如栋,于延荣.数学模型与数学建模.北京：国防工业出版社,2006.
[4] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型（第三版）.北京：高等教育出版社,2003.
[5] 梁炼.数学建模.上海：华东理工大学大学出版社，2005.
[6] 周义仓，赫孝良.西安：西安交通大学出版社，1998.
[7] 邓俊辉.计算几何-算法与应用（第二版）.北京：清华大学出版社，2005.
[8] 刘卫国.MATLAB程序设计教程.北京：中国水电水利出版社,2005.
问题二生产计划问题
摘要：该问题是生产炊事用具，该公司生产的目的是为了获取最大利润。

因此，如果生产安排不合理将会使公司亏本，因此我们就应该安排一种合理的生产计划来解决这个问题。

关键词：生产计划，利润
1.引言
生产计划是关于企业生产运作系统总体方面的计划，是企业在计划期应达到的产品品种、质量、产量和产值等生产任务的计划和对产品生产进度的安排。

它反映的并非某几个生产岗位或某一条生产线的生产活动，也并非产品生产的细节问题以及一些具体的机器设备、人力和其他生产资源的使用安排问题，而是指导企业计划生产活动的纲领性方案。

2.整数线性规划基本理论
整数规划是一类要求变量取整数值的数学规划。

若在整数规划中目标函数和约束条件都是线性的，则称整数线性规划（ILP）。

问题表述
在一般的线性规划中，增加限定：决策变量是整数，其表述如下：
min x
c
f T
⎪⎩⎪⎨⎧==≥≥≡≤取整数，或或),...,2,1(,)
,...,2,1(,0,
)(..n j x n j x b Ax t s j j
整数线性规划问题的标准形式为：
min x c f T =
⎪⎩⎪⎨⎧==≥≡取整数),...,2,1(,)
,...,2,1(,0,
..n j x n j x b Ax t s j j
其中T n c c c ),...,,(c 21=,T n x x x x ),...,,(21=，n m ij a A ⨯=)(，T m b b b b ),...,,(21= 算法—分支定界法原理
求解ILP 问题时，如果可行域是有界的，理论上可以用穷举法求解，对于变量不太多时此法可行，当变量很多时这种穷举法往往是行不通的。

分支定界法是20世纪60年代初由Land,Doig 和Dakin 等人提出的可用于求解纯整数或混合整数线性规划问题的算法。

分支定界法比穷举法优越，它仅在一部分可行解的整数解中寻求最优解，计算量比穷举法小。

当然若变量数量很大，其计算工作量也是相当可观的。

分支定界法求解整数规划问题的步骤如下：
初始，将要求解的整数规划问题成为IL ，将与它相应的线性规划问题成为问题L 。

(1) 解问题L ，可能得到以下情况之一：
① L 没有可行解，这时IL 也没有可行解，则停止。

② L 有最优解，且解变量都是整数，因而它也是IL 的最优解，则停止。

③ L 有最优解，但不符合IL 中的整数条件，此时记它的目标函数值为0f 。

(2) 迭代
第一步：分支
在L 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量j x ，设其值为j l ，构造
两个约束条件：][j j l x ≤和1][+≥j j l x ，将这两个条件分别加入问题L ，将
L 分成两个后继问题1L 和2L 。

不考虑整数条件要求，求解1L 和2L 。

即以每个后继子问题为一分支并标明求解的结果，与其他问题的解的结果一样，找出最优目标函数值最小者作为新的下界，替换0f ，从已符合整数条件的各分支中，找出目标函数值最小者作为新的上界*f ，即有
0*
f f f
≥≥。

第二步：比较与剪支
各分支的最优目标函数中若有大于*f 者，剪掉这一支（即这一支所代表的子问题已无继续分解解的必要）：若小于*f ，且不符合整数条件，则重复第一步骤，一直到最后得到最优目标函数值*f f =为止，从而得到最优整数解*j
x ，.,...,2,1n j =
3.实例分析
生产炊事用具需要两种资源—劳动力和原材料，某公司制定生产计划，
每天供应原材料200kg,每天可供使用的劳动力为150h ，问怎样安排生产，可以使收益最大，并求各种产品的日产量。

模型假设：
(1) 我们假设外部市场是不变化的，各种常量不会变化。

(2) 每一天都有生产。

(3) 在生产过程中设备不会出现故障。

(4) 该生产是稳定的。

方法一：
解：设生产方案为：生产1x 件A 产品，生产2x 件B 产品，生产3x 件C 产品。

则有上表我们有：
max 321324x x x z ++=
⎪⎩⎪
⎨⎧=≥≤++≤++..3,2,1,0,200544,150637..321321j x x x x x x x t s j
且为整数
解之得：
1x =0，2x =50，3x =0
则目标函数的值为： 50×2=100 所以，生产方案应该为： (1) 只生产B 产品。

(2) 最大利润为100元。

方法二： 解：
),,,,(10
5
4
4
0163754321p p p p p A =⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡= ① 选取基矩阵),(21p p B =，解得基本解T x )0,0,0,50,0()1(=
② 选取基矩阵),(31p p B =，解得基本解T x )0,0,11/800,0,11/450()2(-= ③ 选取基矩阵),(41p p B =，解得基本解T x )0,200,0,0,50()3(-= ④ 选取基矩阵),(51p p B =，解得基本解T x )7/800,0,0,0,7/150()4(= ⑤ 选取基矩阵),(32p p B =，解得基本解T x )0,0,0,50,0()5(= ⑥ 选取基矩阵),(42p p B =，解得基本解T x )0,0,0,50,0()6(= ⑦ 选取基矩阵),(52p p B =，解得基本解T x )0,0,0,50,0()7(= ⑧ 选取基矩阵),(43p p B =，解得基本解T x )0,90,40,0,0()8(= ⑨ 选取基矩阵),(53p p B =，解得基本解T x )75,0,25,0,0()9(= ⑩ 选取基矩阵),(54p p B =，解得基本解T x )200,150,0,0,0()10(=
以上对所有的基矩阵都进行了计算，得到10个基本解，其中)1(x，)4(x，)5(x，
)6(
x，)7(x，)8(x，)9(x，)10(x是基本可行解，然后将上述8个基本可行解代入目标函数进行比较，得知T
)5( 为问题的最优解，此时目标函
,0(
x)0,0,0,
50
数的最优值为100。

4.程序代码
方法一程序代码：
function [x,y]=IntLp(f,G,,h,Geq,heq,lb,ub,x,id,options)
global upper opt c x0 A b Aeq beq ID options;
if nargin<10,
options=optimset({});
options.Display=’off’;
rgeScale=’off’;
end
if nargin<9,
id=ones(size(f));
end
if nargin<8,
x=[];
end
if nargin<7|isempty(ub),
lb=zeros(size(f));
end
if nargin<5,
heq=[];
end
if nargin<4,
Geq=[];
end
upper=inf;c=f;x0=x;
A=G;b=h;Aeq=Geq;
beq=heq;ID=id;ftemp=IntL_P(lb(:),ub(:));
function ftemp=IntLp(vlb,vub)
global upper opt c x0 A b Aeq beq ID options;
[x,ftemp,how]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0,x0,options);
if how<=0
return;
end;
if ftemp-upper>0.00005
return;
end;
if max(abs(x.*ID-round(x.*ID)))<0.00005
if upper-ftemp>0.00005
opt=x’;
upper=ftemp;
return;
else
opt=[opt;x’];
return;
end
end
notintx=find(abs(x-round(x))>=0.00005);
intx=fix(x);
tempvlb=vlb;tempvub=vub;
if vub(notintx(1,1),1)>=intx(notintx(1,1),1)+1
tempvlb(notintx(1,1),1)=intx(notintx(1,1),1)+1
ftemp=IntLP(tempvlb,vub);
end
if vlb(notintx(1,1),1)<=intx(notintx(1,1),1)
tempvlb(notintx(1,1),1)=intx(notintx(1,1),1)
ftemp=IntL_P(vlb,tempvlb);
end
调用IntLp.m求解：
c=[4,2,3];
a=[7,3,6;4,4,5];
b=[150;200];
[x,f]=IntLp(c,a,b,[],[],[0;0;0],[inf;inf;inf])
5.模型分析
该模型是从实际考虑，根据题目中的已知条件进行的假设，从题目可知，该生产总费用，是由两种费用累加得到的，所以我们可以先算出每一种的费用后再进行累加，其中生产准备费用是常量，因此我们就把问题转
化为线性规划问题。

当生产n件产品时，我们同样可以得出较好的结果，所以我们建立的模型和模型的假设都是非常合理的。

6.模型的优劣及改进
该模型是一个简单的线性规划模型，我们把总费用与各个变量之间复杂的关系进行分析，把各个变量进行分解，找到了他们的之间的相互约束条件，然后对问题进行整体考虑，又把各个变量统一在一起进行分析，这样，我们既考虑到了整体变量，又考虑到了局部变量，最后又从整体到局部进行整体分析，使得各种变量之间的关系清晰明了，从而得出问题的最优解决方案。

由于我们的模型是在外界市场需求固定的条件之下得出来的，所以我们的模型在外界市场变化的时候还需要添加相应的变化条件。

当我们把外界变化的约束添加以后，还是可以得出最优的结果。

7.参考文献：
[1] 朱德通. 最优化模型与实验.上海：同济大学出版社，2003.
[2] 张兴来. 数学建模简明教程.北京：中国矿业大学出版社，2001.
[3] 姜启源,金星.数学建模.北京：教育出版社，2006.
[4] 姜启源.数学模型(第二版).北京：高等教育出版社，1993.
[5] 冯杰，王勤 .数学建模原理与案例.北京：科学出版社 2007.。