逆变换与逆矩阵精品教案

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人教A版高中数学选修4-2-3.1.1 逆变换与逆矩阵-教案设计

逆变换与逆矩阵【教学目标】一、知识与技能：会用代数或几何方法判断一个二阶矩阵是否存在逆矩阵，存在情况下，会求逆矩阵二、过程与方法：讲练结合法三、情感态度和价值观：体会问题的探究与深入方法【教学重难点】求二阶逆矩阵【教学过程】一、问题情景⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 1T 变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x −−→−2T变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x （1）这个对应终归是什么对应？ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x（2）这个对应是否一定可以实现？在学过的恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换中，哪些可以实现，那些不能？由此得到能实现此这种变换的条件是什么？（不一定能实现；恒等、伸压、反射、旋转、切变可以实现，投影不能实现；是一一对应的变换可以实现，不是一一对应的不能实现）（3）对应的矩阵如何表示？若T 1对应变换矩阵为A ，T 2对应的变换矩阵为B ，BA=E 二、问题的深入1．相关定义以上变换T 2．T 1称作对方的逆变换，T 1．T 2称互逆的相应的矩阵A ．B 满足：AB=BA=E ，称A 是可逆的，B 称A 的逆矩阵例1．A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0112，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2110，C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2110，问B ．C 是否为A 的逆矩阵？解答：B 不是，C 是思考1：一个矩阵A 存在逆矩阵，逆矩阵唯一吗？从直观角度上看，逆变换是唯一的，逆矩阵也应该唯一；可以进行验证：设A 的逆矩阵为B 1．B 2，则有：B 1=B 1E=B 1（AB 2）=（B 1A ）B 2=EB 2=B 2这样，一个矩阵A 存在逆矩阵，则其逆矩阵唯一，记为A -1从几何角度是一个办法，但不是最佳办法，因为许多矩阵不能看出是什么变换。

所以从一般的角度加以考虑。

首先，零矩阵一定没有逆矩阵设二阶非零矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 的逆矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121y y x x ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121y y x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001即方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④dy cx ③by ax ②dy cx ①by ax 100122221111 有解，①②组成的x 1，y 1的方程组要有解；③④组成的x2．y2的方程组也要有解现用消去法解①②方程组。

湘教版高中地数学选修4-2-2.5 逆变换与逆矩阵-教案设计

逆变换与逆矩阵【教学目标】一、知识与技能：通过具体图形变换，理解逆变换和逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在；会证明逆矩阵的唯一性和（AB ）＝B A 等简单性质，并了解其在变换中的意义；了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。

二、方法与过程回顾可逆变换的特殊性及逆变换概念，按照变换复合的观点引入逆变换，寻求可逆变换存在的条件。

三、情感、态度与价值观培养学生积极主动探索的思维品质和数学的质疑精神，发展提出问题、分析问题、解决问题的能力和获取数学知识的能力。

【教学重点】定理1、定理2及应用。

【教学难点】矩阵可逆条件的探索。

【教学过程】一、复习引入：1．设A ，B 是平面上的两个变换，将平面上每个点先用变换A 变到，再用变换B 将变到，则从到也是平面上的一个变换，称为A ，B 的复合变换，也称为B 与A 的乘积，记作BA ．2．A ＝和B ＝ BA ＝＝3．矩阵S ＝称为纯量矩阵。

S ＝称为零矩阵，S ＝，称为单位矩阵。

4．交换律，消去律对矩阵乘法不成立。

1-1-1-P `P `P ``P P ``P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111d cb a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222d c b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222d c b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111d c b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++1212121212121221d d b c c d a c d b b a c b a a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛k k 00⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10015．满足结合律。

二、新课讲解对平面上的每个点P ，若变换A 将P 变到A （P ），则变换B 将A （P ）变回P 。

即BA （P ）＝P 。

按照变换复合的观点，这就是说复合变换BA 是恒等变换。

反过来，对平面上的每个点P ，也有AB （P ）=P ，变换AB 是恒等变换。

逆变换的定义：设A 是平面上的变换，如果存在平面上的变换B 使BA 与AB 都等于恒等变换E ，就称变换A 是可逆变换，变换B 称为变换A 的逆变换。

人教版高中选修4-2一逆变换与逆矩阵课程设计

人教版高中选修4-2一逆变换与逆矩阵课程设计一、课程设计说明1.1 课程设计背景逆变换和逆矩阵是高中数学中的重要概念之一，是线性代数的基础知识。

逆变换和逆矩阵在工程、物理、经济等领域中有广泛的应用。

在高中数学选修课程中，逆变换和逆矩阵是必须掌握的知识点之一。

1.2 设计目标本课程设计旨在通过理论讲解、模型建立和题型讲解等多种方式，使学生掌握逆变换和逆矩阵的基本概念、性质和特点，培养学生运用逆变换和逆矩阵解决实际问题的能力。

1.3 设计内容本课程设计分为以下三个部分：1.逆变换的基本概念和性质2.矩阵的逆3.运用逆变换和逆矩阵解决实际问题二、课程设计实施计划2.1 教学目标在完成本课程设计后，学生应达到以下目标：1.掌握逆变换和逆矩阵的基本概念、性质和特点。

2.熟练掌握求解矩阵的逆的方法。

3.运用逆变换和逆矩阵解决实际问题的能力。

2.2 教学计划本课程设计分为以下三个部分：2.2.1 逆变换的基本概念和性质•介绍逆变换的定义和性质。

•介绍逆变换的求解方法。

•练习选择题和填空题。

2.2.2 矩阵的逆•介绍矩阵的逆的定义和性质。

•介绍求解矩阵的逆的方法。

•练习选择题和填空题。

2.2.3 运用逆变换和逆矩阵解决实际问题•给出具体的实际问题。

•引导学生将实际问题转化为数学问题。

•通过逆变换和逆矩阵求解实际问题。

•练习计算题。

三、教学方法3.1 教学理念本课程设计采用启发式教学法，注重知识的系统性、普遍性和实际性。

以应用为导向，以培养学生的数学思维能力和创新能力和发展学生综合实践能力为目标。

3.2 实施方式•讲授：采用板书、幻灯片等方式进行理论讲解。

•练习：采用大量的习题和例题进行练习巩固。

•互动：采用问答、讨论等方式提高学生的参与度。

四、考核方式4.1 考核方式以期中期末为主要考核方式，包含选择题、填空题、计算题等多个类型的考试题目。

比例约为30%的总课时。

4.2 考核标准根据学生的学习成果和教学要求，采用标准答案和量化评价相结合的方式，确保考核公正、透明、科学。

《2.1.2 逆矩阵的性质》教案1

《2.1.2 逆矩阵的性质》教案1教学目标1. 理解变换、矩阵的逆变换和逆矩阵；2. 掌握逆矩阵的两个性质。

教学重点逆变换和逆矩阵的概念。

教学难点逆矩阵的两个性质。

教学过程1. 逆变换和逆矩阵1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，（I 是恒等变换）则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。

2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E 2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。

符号、记法：1A -，读作Ａ的逆。

注意：有些二阶矩阵是不可逆的。

2. 逆矩阵的性质1.二阶矩阵A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的。

2.设二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且111()AB B A ---=【随堂练习】对于伸缩变换12''x k x y k y =⎧⎨=⎩(0)k ≠，对应的变换矩阵A=12 00 k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换（先T A 后T B ）的结果与恒等变换的结果相同？思路分析：利用伸缩变换计算公式解决。

答案：由题意知，进行第二次变换121'1'x x k y y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，对应的变换矩阵，121 010 k B k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，从而可知，AB BA E ==，技巧点拨：本题主要考查利用伸缩变换的思想求逆矩阵。

例题分析例题1 用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在,请把它求出来;若不存在,请说明理由.()011;10A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()102.10B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦思路分析：根据题设条件找出对应的变换矩阵，从而判断逆矩阵是否存在。

答案：(1) 矩阵 A 为反射变换矩阵,它对应的几何变换为以直线 y=x 为反射轴的反射变换,因此,它存在逆矩阵,即为其本身,故 101.10A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(2) 矩阵 B 为投影变换矩阵,它对应的几何变换为将平面上所有的点沿垂直于 x 轴方向投影到直线 y=x 上,这个变换把多个向量变为同一个向量,因此,它不存在逆变换,即矩阵 B 不存在逆矩阵.技巧点拨：求逆矩阵是否存在的关键是找出相应的变换，通过几何变换来确定并找出逆矩阵。

北师大版高中数学选修4-2逆变换与逆矩阵教案.docx

逆变换与逆矩阵教学目标1.理解逆矩阵的概念，了解逆变换的概念2.能判断一个矩阵是否存在逆矩阵，掌握六种变换除了投影变换不存在逆变换，其他的都有逆变换的结论3.能求一个二阶矩阵以及两个二阶矩阵乘积的逆矩阵4.理解二阶矩阵消去律的条件一．回顾复习，引入新课1.矩阵乘法的简单性质2.矩阵乘法的几何意义3.初等变换，初等变换矩阵，初等变换的复合问题：对于下列给出的变换对应的矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换（先A T 后B T ）的结果与恒等变换的结果相同？（1）以y 轴为反射轴作反射变换；（2）绕原点逆时针旋转︒30作旋转变换；（3）纵坐标不变，沿x 轴方向将横坐标压缩为原来的21作伸压变换；（4）沿x 轴方向，将y 轴作投影变换；（5）横坐标x 不变，纵坐标依横坐标的比例增加，且)2,(),(y x x y x +→作切变变换.二．建构数学，新授内容1.逆变换2.逆矩阵3.相关结论（1）（2）（3）思考：M 的逆矩阵M 1-和函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=有什么异同？三．应用示例，例题分析例1.用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由. （1）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001；（2）B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3001；（3）C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000；（4）D ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=12101例2.求矩阵A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1223的逆矩阵.例3.求下列矩阵AB 的逆矩阵. （1）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2001，B ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=10211；（2）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0211，B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=021210.思考：1.已知A,B,C为二阶矩阵，且AB=AC，若矩阵A存在逆矩阵，B=C是否成立？2.已知A,B,C为二阶矩阵，且BA=CA，若矩阵A存在逆矩阵，B=C是否成立？四．小结。

2.逆变换与逆矩阵-湘教版选修4-2矩阵与变换教案

2.逆变换与逆矩阵-湘教版选修4-2矩阵与变换教案一、逆变换在矩阵与变换中，逆变换是一种重要的变换。

逆变换的本质是将原变换的作用反转，即将输出值映射回原输入值。

在这个过程中，需要寻找一个新的变换，使得先作用原来的变换再作用新的变换后，得到的结果是原来的输入值。

考虑一个简单的例子：将一个点绕原点旋转α角度，在用一个向量β将其平移后得到新的点。

我们可以用一个组合变换来描述这个过程：T(x,y) = (x,y)Rα(β1,β2) = (x,y)(cosα, sinα, -sinα, cosα)(1,0,0,1)+ (β1,β2)其中，Rα(β1,β2)表示先将点绕原点旋转α角度，再将其平移β1单位水平方向，β2单位垂直方向。

现在，我们想要逆转这个变换，将终点坐标(x’,y’)反向还原回起始坐标(x,y)，也就是满足下面的等式：(x', y') = (x,y)Rα(β1,β2)这个等式求解出来即可得到新的逆变换：(x,y) = (x', y')R-α(-β1,-β2) = (x', y')(cosα, -sinα, sinα, cosα)(-β1,-β2)其中，R-α(-β1,-β2)表示先将点绕原点旋转-α角度，将其平移β1单位水平方向，β2单位垂直方向，即反向执行原来的变换。

二、逆矩阵逆变换的本质是求解一个矩阵的逆矩阵。

对于任意一个可逆矩阵A，存在一个和A相乘等于单位矩阵的矩阵B，使得两个矩阵相乘的结果为单位矩阵：A ×B = B × A = I其中，A和B的乘积顺序并不影响结果，因此称A和B互为逆矩阵。

逆矩阵也满足以下性质：•对于任意可逆矩阵A和其逆矩阵B，A × B = B × A = I•对于任意可逆矩阵A，它的逆矩阵唯一对于一个2x2矩阵A = [a, b; c, d]，其逆矩阵可以通过以下公式求解：B = 1/(ad - bc) × [d, -b; -c, a]如果一个矩阵不可逆，则其行列式等于0。

一、逆矩阵与逆变换

逆矩阵与逆变换教学目标1.逆矩阵的概念；2.逆矩阵的性质。

教学过程探究：对于一个线性变换ρ，是否存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ？对于一个二阶矩阵A ，是否存在一个二阶矩阵B,使得BA=AB=E 2？变换ρ：将向量α沿逆时针方向绕原点旋转30°；变换σ：将向量α沿顺时针方向绕原点旋转30°，则任意向量经上述两种变换后，仍得其本身。

1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，（I 是恒等变换），则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。

若变换变换ρ和变换σ对应的矩阵分别为A 、B ，则有BA=AB=E 22.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E 2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。

符号、记法：1A -，读作Ａ的逆。

一般地，设A 是一个二阶可逆矩阵，对应的线性变换为ρ，由矩阵与线性变换的对应关系可以看出，A 的逆矩阵就是ρ的逆变换所对应的矩阵。

3.逆矩阵的性质:性质1:若逆矩阵存在，则可以证明其具有唯一性。

性质2：设A 、B 是二阶矩阵，如果A 、B 都可逆，则AB 也可逆，且111()AB B A ---=。

课堂练习：1.下列变换不存在逆变换的是（）A.沿x 轴方向，向y 轴作投影变换。

B.60o R 变换。

C.横坐标不变，纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。

D.以y 轴为反射变换2.设A,B 可逆，下列式子不正确的是（）A.111()AB A B ---=B. 111()AB B A ---=C.11()A A --= D. 2112()()A A --= 3.关于x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是4.矩阵0111⎛⎫ ⎪⎝⎭的逆矩阵为5.A ＝1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭13223122⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=答案：1.A 2. A 3.1001⎛⎫⎪-⎝⎭4.1110-⎛⎫⎪⎝⎭5.1132231322⎛⎫+⎪⎪⎪-- ⎪⎝⎭。

高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵教案苏教版选修42(1)

2.4 逆变换与逆矩阵2．4.1逆矩阵的概念课标解读1.理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件．2．会证明逆矩阵的惟一性和(AB )－1＝B －1A －1等简单性质．3．会从几何变换的角度求出AB 的逆矩阵.1．逆变换二阶矩阵A 对应着平面上的一个几何变换，它把点(x ，y )变换到点(x ′，y ′)．反过来，如果已知变换后的结果(x ′，y ′)，有的变换能“找到回家的路”，让它变回到原来的(x ，y )，我们称它为原变换的逆变换．2．逆矩阵对于二阶矩阵A ，B ，若AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记作：A －1＝B .3．逆矩阵的性质(1)若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是惟一的．(2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. (3)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .4．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，当ad －bc ≠0，矩阵A 可逆，且它的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.1．2.2节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？为什么？【提示】恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换，而投影变换不存在；因为只有一一映射的变换才存在逆变换，而恒等、反射、伸压、旋转、切变变换为一一映射、投影变换不是一一映射．2．是否每个二阶矩阵都可逆？【提示】不是，只有当⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d中ad－bc≠0时，才可逆，如当A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，因为1×0－0×0＝0，找不到二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E成立，故A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0不可逆．3．若二阶矩阵A，B，C都是可逆矩阵，如何求(ACB)－1?【提示】根据逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得：(ACB)－1＝[]AC B－1＝B－1(AC)－1＝B－1C－1A－1.利用几何变换的观点研究矩阵的逆矩阵从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由．(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1；(3)C ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12；(4)D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 【思路探究】矩阵→对应的几何变换→ 判断是否存在逆变换→若存在写出逆变换→逆矩阵【自主解答】 (1)矩阵A 对应的是伸压变换，它将平面内点的横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴方向压缩为原来的12，因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴方向伸长为原来的2倍，所对应的变换矩阵记为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002.(2)矩阵B 对应的是切变变换，它将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x －2y ，y )．它存在逆变换：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )，所对应的变换矩阵记为B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1. (3)矩阵C 对应的是投影变换，它将平面内的点垂直投影到直线y ＝x 上，它不是一一映射，在这个变换下，直线y ＝x 上的点有无穷多个原象，而平面上除直线y ＝x 外其他点没有原象，它的逆变换不存在，因此矩阵C 不存在逆矩阵．(4)矩阵D 对应的是绕原点逆时针方向旋转90°的旋转变换，因此它存在逆变换：绕原点顺时针旋转90°的旋转变换，所对应的变换矩阵记为D －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 0.用几何变换的观点判断矩阵的逆矩阵的存在及求解问题，一般思路是：(1)弄清矩阵所对应的几何变换；(2)根据逆变换的定义判断该变换是否具有逆变换；(3)若有逆变换，找到逆变换；(4)将逆变换写成逆矩阵．若将本例中矩阵变为下列矩阵，情况如何？(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －1212 32；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0；(3)C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101；(4)D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.【解】 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 30° －sin 30°sin 30° cos 30°，它表示的变换为将平面内的点绕原点逆时针旋转30°的旋转变换，其逆变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转30°的旋转变换，故A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 12－12 32. (2)矩阵B 表示的是将平面内所有点垂直投影到x 轴上的投影变换，它不是一一对应的变换，所以不存在逆变换，故不存在逆矩阵．(3)矩阵C 表示的是将平面内所有点的纵坐标不变，横坐标依纵坐标比例增加，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y y 的切变变换，其逆变换为将平面内所有点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标比例减少，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y y 的切变变换，故C －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1.(4)矩阵D 表示的是将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x 轴方向拉伸为原来2倍的伸压变换，其逆变换为将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x 轴方向压缩为原来的12的伸压变换，故D －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12.求矩阵A 的逆矩阵求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 356的逆矩阵．【思路探究】思路一：设出A －1，利用AA －1＝E ，构建方程组求解．思路二：利用公式A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc 求解．【自主解答】法一设矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 356⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 5x ＋6z 5y ＋6w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，2y ＋3w ＝0，5x ＋6z ＝0，5y ＋6w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，z ＝53，w ＝－23.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 153－23.法二注意到2×6－3×5＝－3≠0，故A 存在逆矩阵A－1，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－3－3－3－5－32－3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 153－23.求一个矩阵A的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义AB＝BA＝E，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d：①若ad－bc＝0，则A的逆矩阵不存在．②若ad－bc≠0，则A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.求下列矩阵的逆矩阵．(1)A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 3；(2)B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 34 5.【解】法一利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A存在逆矩阵A－1，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31－11－2111＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.(2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B存在逆矩阵B－1，且B－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－2－3－2－4－22－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52322 －1.法二利用待定系数法．(1)设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a ＋c b ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1. 从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy z w ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.解得x ＝－52，z ＝2，y ＝32，w ＝－1.从而B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.求矩阵AB 的逆矩阵已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101，求矩阵AB 的逆矩阵．【思路探究】思路一：A ，B →A －1，B －1→(AB )－1＝B －1A －1思路二：A，B→AB→(AB)－1【自主解答】法一因为A＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012，且1×12－0＝12≠0，∴A－1＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤12121212112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，同理B－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1.因此(AB)－1＝B－1A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.法二因为A＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1，∴AB＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1.＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋0×01×1＋0×10×1＋12×00×1＋12×1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 112.且1×12－0×1＝12≠0，∴(AB)－1＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤1212－11212112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.已知矩阵A，B，求矩阵AB的逆矩阵的一般思路：先求A－1，B－1，再求(AB)－1＝B－1A－1或先求AB，再求(AB )－1.已知关于直线y ＝2x 的反射变换对应的矩阵为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－354545 35，切变变换对应的矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－21，试求出(AB )－1.【解】反射变换和切变变换对应的矩阵都是可逆的，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3545 45 35，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1，(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 45 35＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45－25 115. (教材第65页习题2.4第5题)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4，试求A －1. (2013·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B .【命题意图】考查逆矩阵、矩阵的乘法，以及考查运算求解能力．【解】设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.1．对任意的二阶非零矩阵A ，B ，C ，考察下列说法： ①(AB )－1＝B －1A －1； ②A (BC )＝(AB )C ； ③若AB ＝AC ，则B ＝C . 其中正确的是________．【解析】 ①中只有当A ，B 都可逆方可，对任意的非零矩阵不一定成立，故①不正确． ②为矩阵乘法的结合律故正确．③中只有当A 存在逆矩阵方可，故③不正确．【答案】 ② 2．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1b 0d 可逆的条件是________．【解析】当1×d －0×b ＝d ≠0时可逆．【答案】 d ≠03．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k1(k ≠0)，则A －1等于________．【解析】设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a b ak ＋c bk ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0，k ＋c ＝0，d ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－k ，d ＝1.∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－k1. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－k14．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy 12，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 13－1 13，则x ＋y ＝________. 【解析】 ∵AA－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 1 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 13－1 13 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x －y 13x ＋13y 0 1＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，13x ＋13y ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－13.∴x ＋y ＝0. 【答案】 0 n1．已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转π4，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．【解】这个变换的逆变换是作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转π4变换，其矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos －π4 －sin －π4sin －π4 cos －π4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －22－22 －22.2．求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1的逆矩阵．【解】法一待定矩阵法：设矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ z w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝1，w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1，w ＝0，故所求逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0.法二 A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111中，0×1－1×1＝－1≠0，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1 －1－1－1－1 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0. 3．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵．【证明】因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以B 是A 的逆矩阵．4．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵．【解】因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，所以MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12. 设矩阵MN 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 2b c 2d 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，c 2＝0，d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝0，d ＝2.故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 5．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，请说明理由．【解】 (1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－12. (2)变换矩阵A 是可逆的．设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b1.若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1. 【解】设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1231，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以x 1＋2x 2＝1,3x 1＋x 2＝0，y 1＋2y 2＝0,3y 1＋y 2＝1，即x 1＝－15，y 1＝25，x 2＝35，y 2＝－15，故所求的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1525 35 －15. 7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .【解】因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1.因为AX ＝B ，所以A －1(AX )＝A －1B .又因为(A －1A )X ＝A －1(AX )，所以(A －1A )X ＝A －1B ，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. 教师备选8．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程．【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，从而M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12. (2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：2x ′－y ′＝4，所以2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.2．4.2二阶矩阵与二元一次方程组课标解读1.能用变换与映射的观点认识线性方程组的意义． 2．会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、惟一性．3．了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求解矩阵.1．二阶行列式将矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d两边的“[]”改为“||”，把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a bc d称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a bc d ＝ad－bc.2．二阶行列式与二元一次方程组关于x，y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax＋by＝m，cx＋dy＝n，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪a bc d记为D，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪m bn d记为D x，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪a mc n记为D y，则当D≠0时方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x＝D x Dy＝D yD.3．二元一次方程组与逆矩阵及几何变换关于x，y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax＋by＝m，cx＋dy＝n.(1)逆矩阵与二元一次方程组令A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d为系数矩阵，X＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy为待求向量，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mn是经A将X变换后的向量，则上述二元一次方程组可记为以下矩阵方程：AX ＝B ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n . 当A 是可逆矩阵时，上式两边同时左乘A －1，则有X ＝A －1B ，其中A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－bad －bc－c ad －bc a ad －bc . (2)二元一次方程组与几何变换从几何变换的角度看，解这个方程组实际上就是已知变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 和变换后的象⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，去求在这个变换的作用下的原象．1．二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 与二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的主要区别是什么？【提示】二阶矩阵对应的是变换，是4个数构成的数的方阵，而行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc 则是一个数．写法上也不同，二阶矩阵是用括号，二阶行列式用绝对值号或两竖线表示．二阶矩阵反应的是变换，二阶行列式是用来判断矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 是否可逆的．2．二元一次方程组的系数矩阵满足什么条件时，方程组有惟一解？【提示】当关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝mcx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 是可逆的，则方程组有惟一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n .3．结合上一节试总结求逆矩阵的常用方法有哪几种？【提示】 (1)待定矩阵法：利用AA －1＝E 得到方程组，再用行列式法解方程组即可． (2)行列式法：若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，且det(A )≠0，则A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d det A －b det A－c det Aadet A.利用行列式解方程组利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.【思路探究】将方程化成一般形式→求出D ，D x 、D y →求解【自主解答】先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 234＝－2≠0，此方程组存在惟一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 14＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4，所以x ＝D x D＝3，y ＝D yD＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用行列式解方程组的一般思路：先将方程组化成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n .再分别求出D ，D x，D y然后用求解公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝DxDy ＝DyD求解．利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y －1＝0，－x ＋4y －3＝0.【解】先将方程组写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组有惟一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 1－1 3＝3×3－1×(－1)＝10.所以x ＝D x D ＝139，y ＝D y D ＝109. 故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.利用行列式知识求矩阵的逆矩阵利用行列式知识求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －11 2的逆矩阵A －1.【思路探究】思路一：(待定矩阵法)设待求矩阵→ 利用AA －1＝E 构建二元一次方程组→用行列式解方程组 →A －1思路二：(用行列式法)计算Det(A )→A －1【自主解答】法一 (待定矩阵法)设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －c 4b －d a ＋2c b ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧4a －c ＝1，a ＋2c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧4b －d ＝0，b ＋2d ＝1.先将a ，c 看成未知数，则D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 －11 2＝9≠0.D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －10 2＝2，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4110＝－1，所以a ＝29，c ＝－19，同理可得：b ＝19，d ＝49，故A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2919－19 49. 法二 (用行列式法求逆矩阵)∵det(A )＝4×2－1×(－1)＝9≠0，∴A 可逆，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2919－19 49.利用行列式知识求逆矩阵，有两种情况，其一，是利用待定矩阵法时，对构建的方程组求解时用行列式知识；其二是计算det(A )时用．判断下列矩阵是否有逆矩阵，若有，求出逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 3；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a311.【解】 (1)∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2143＝2×3－4×1＝2，∴A 存在逆矩阵，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－42 22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－2 1.(2)∵det(B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 311＝a －3，当a ＝3时，B 不存在逆矩阵；当a ≠3时，B 存在逆矩阵，其逆矩阵B－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a －3－3a －3－1a －3 a a －3.利用逆矩阵的知识解方程组利用逆矩阵知识求解例1中的方程组．【思路探究】找到A ，X ，B →对应矩阵方程AX ＝B →A －1→X ＝A －1B →得解【自主解答】令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，AX ＝B ，因为： A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2－2－2－3－2 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用逆矩阵的知识解方程组一般思路；先由方程组找到A ，X ，B ，找到其对应的矩阵方程AX ＝B ，再求出A －1然后由X ＝A －1B ，求出x ，y 即可．利用逆矩阵知识解变式1中的方程组．【解】令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －3－1 4，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，AX ＝B ，因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49 1319 13，所以X ＝A－1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49 1319 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤139109.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.从几何变换的角度研究方程组解的情况已知二元一次方程组AX ＝B ，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试从几何变换的角度研究方程组解的情况．【思路探究】找到矩阵A 对应的几何变换→ 判断几何变换的逆变换情况→方程组解的存在情况【自主解答】对方程AX ＝B ，由于A 对应的是将平面上的点(向量)保持纵坐标不变，而将横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )的切变变换，2分因此，它存在惟一的逆变换：将平面上的点(向量)保持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x －2y ，y )的切变变换，即A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1，于是原方程组的解X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32在变换矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1对应的变换作用之后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.从几何变换的角度研究方程组解的情况，关键是找到系数矩阵A 对应的几何变换，将方程组解的情况转化为判断几何变换的逆变换的存在情况研究．若将本例中A 变为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，情况如何？【解】矩阵A 对应的是投影变换，它把平面上的点垂直投影到直线y ＝x 上．于是，该方程组的求解就转化为已知投影变换的象B ，试求它的原象，注意到当B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32时，它不在直线y ＝x 上，故它没有原象，也即方程组无解．(教材第61页例7)利用逆矩阵的知识解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，4x ＋5y －6＝0.(2013·徐州模拟)利用矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，4x ＋2y ＝3.【命题意图】本题主要考查逆矩阵的求法及运算求解能力．【解】方程组可写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3142⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，系数行列式为3×2－4×1＝2≠0，方程组有惟一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3142－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32，因此原方程组的解为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－232⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12.1．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝－5，则x 的值为________．【解析】 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝2x －(－3x )＝5x ＝－5， ∴x ＝－1. 【答案】－12．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝32x －y ＝1的解是________．【解析】二元一次方程组改写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －32 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －32 －1.则det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －32 －1＝5，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1535－25 15. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－15 35－25 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1. ∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＝3，2x －y ＝1的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－13．若二阶矩阵X ，满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 2－1 1则X ＝________.【解析】因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－1 1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 1＝7≠0，所以X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 27－37 17⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 47－107 －57. 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1747－107 －57 4．已知某点在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换作用下得到点(2,1)，则该点坐标为________．【解析】设该点的坐标为(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1002＝2≠0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002可逆，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝错误!)，所以所求点的坐标为错误!.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，121．利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，2x ＋3y －4＝0.【解】先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋3y ＝4.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪122 3＝1×3－2×2＝－1，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 243＝1×3－2×4＝－5， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 124＝1×4－2×1＝2，所以x ＝D x D ＝－5－1＝5，y ＝D y D ＝2－1＝－2，故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－2.2．利用行列式知识求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤235 6的逆矩阵．【解】设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则由AA －1＝E 得 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 35 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋3c 2b ＋3d 5a ＋6c 5b ＋6d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3c ＝1，5a ＋6c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋3d ＝0，5b ＋6d ＝1.先将a ，c 看成未知数，则D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2356＝－3，D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1306＝6，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2150＝－5，所以a ＝D aD ＝－2，c ＝D c D ＝53，同理可得b ＝1，d ＝－23，故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 53－23.3．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋my ＝x－2x ＋4y ＝y 有惟一解，求m 的取值范围．【解】该二元一次方程组的一般形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＝0，2x －3y ＝0，其用矩阵形式表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 m 2 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.因为该方程组有惟一解，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 m2 －3≠0，解得m ≠－32. 4．利用逆矩阵解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，3x ＋4y ＝1；(2)⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2x ＋3y ＝5. 【解】 (1)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝4－6＝－2≠0，则矩阵A 存在逆矩阵A －1，且 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－2 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32 －12，这样，Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.(2)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11 2 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05. 同(1)，可以计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11 23的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 1525 15，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 15 25 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤05＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.5．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －2－1 4，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，试解方程组AZ ＝B .【解】 ∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝12－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵A 存在逆矩阵A－1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110 310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310， ∴Z ＝A－1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 6．已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.【证明】因为A 是可逆矩阵，则原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，因A －1是惟一存在的，所以Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00是原方程组的解且是惟一的．7．试从几何变换的角度分析方程组AZ ＝B 解的情况，这里A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35. 【解】由于A 对应的是沿y 轴的切变变换，它有逆变换，且其对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－1 1，即A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1，于是原方程组的解Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35在A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1作用之后的向量，即Z ＝A －1B .因为A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且有Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤35＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.故原方程组有惟一解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.教师备选8．试从几何变换的角度说明方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝3，y ＝2，解的存在性和惟一性．【解】设A ＝错误!)，X ＝错误!，B ＝错误!，则AX ＝B .因为矩阵A 对应的变换是切变变换，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 1，所以方程组的解X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32在变换矩阵A －1作用之后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.逆变换与逆矩阵初等变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵二阶行列式与逆矩阵可逆矩阵与二元一次方程组综合应用一、求逆矩阵求逆矩阵是逆变换与逆矩阵的重点内容，其方法有两种：方法一：用代数方法：即待定矩阵法和行列式法求解；方法二：从几何变换的角度求解．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45－13，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 3 1，求 (AB )－1.【解】法一 ∵AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 5－13⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 3 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －1×4＋5×3 2×4＋5×1－1×－1＋3×3 －1×2＋3×1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 1310 1， ∴det(AB )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11 1310 1＝11－130＝－119.∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1119 13119 10119 －11119.法二 ∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45－13，∴det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪45－1 3＝12＋5＝17， A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤317 －517117 417；又∵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 3 1，∴det(B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12 3 1＝－1－6＝－7.∴B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1727 37 17. ∴(AB )－1＝B －1A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1727 37 17⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤317 －517117 417 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－17×317＋27×117 －17×－517＋27×417 37×317＋17×117 37×－517＋17×417 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1119 1311910119 －11119. 二、二元一次方程组的解的情况的判定及求解方法 1．二元一次方程组的解的情况的判定．常用两种方法：法一：利用Det(A )与0的大小情况判定．法二：从几何变换的角度判定．2．二元一次方程组的求解常用两种方法： (1)用行列式法求解记D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪mb nd ，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪am cn ，于是方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D x D，y ＝DyD .(2)用逆矩阵法求解写出系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则det(A )＝ad －bc ，若det(A )＝0，判定方程组解的情况；若det(A )≠0，方程组有惟一解，求出A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d det A －b det A－c det Aadet A，令⎣⎢⎡⎦⎥⎤αβ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α，y ＝β.即为方程组的解．解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，2x ＋3y ＝6.【解】法一方程组可写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤112 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤76. 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 123＝1×3－1×2＝1≠0，所以方程组有惟一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤112 3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1－2 1. 所以原方程组的解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1－2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤76＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3×7－1×6－2×7＋1×6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤15－8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝－8.法二记D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 3＝1×3－1×2＝1≠0， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 163＝7×3－6×1＝15， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 726＝1×6－2×7＝－8.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝－8.三、函数方程思想本章中求矩阵的逆矩阵及解二元一次方程体现了函数方程思想的广泛应用．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1，求A －1.【解】法一设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －z y －w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝1，y －w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1.解得x ＝12，y ＝12，z ＝－12，w ＝12，故A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1212－12 12. 法二矩阵A 表示的变换为线性变换，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －y ，y ′＝x ＋y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′＋12y ′，y ＝－12x ′＋12y ′，所以逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1212－12 12. 综合检测(四)1．求下列矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2345.【解】法一 (1)∵|A |＝1×3－2＝1，∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.(2)∵|B |＝2×5－4×3＝－2，∴B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5232 2 －1. 法二 (1)设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则AA －1＝E ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a ＋c b ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝1，b ＋d ＝0，2a ＋3c ＝0，2b ＋3d ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，c ＝－2，d ＝1.∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.同理求出B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.2．试从代数和几何角度分别求矩阵的乘积⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0的逆矩阵．【解】代数角度：⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 110，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 110＝－1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤211 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －2， ∴(⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －2. 几何角度：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应的变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例增加，即(x ，y )→(x ＋2y ，y )，又切变变换的逆变换为切变变换．∴该切变变换的逆变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例减小，即(x ，y )→(x －2y ，y )，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1.矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的变换为关于直线y ＝x 的反射变换，其逆变换为其本身，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0.∴(⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －2. 3．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－3232 12，求A －1.【解】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－32 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 121＋32－32 1－32.4．用矩阵方法求二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＝4，3x ＋y ＝6的解．【解】方程组可写为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －53 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤46，令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －53 1，则det(M )＝2×1－3×(－5)＝17，∴M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 117517－317 217，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤46＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.5．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1224.(1)计算det(A )，det(B )；(2)判断矩阵AB 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵，若不可逆，说明理由．【解】(1)det(A )＝1×3－2×(－2)＝7， det(B )＝1×4－2×2＝0. (2)矩阵AB 不可逆．理由如下：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1224＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 104 8，det(AB )＝0， ∴AB 不可逆．6．利用行列式求M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221的逆矩阵．【解】设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 1的逆矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，由MN ＝E 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2c b ＋2d 2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，2a ＋c ＝0.⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2d ＝0，2b ＋d ＝1.先将a ，c 看成未知数，则D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 22 1＝－3， D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 20 1＝1，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1120＝－2，所以a ＝－13，c ＝23，同理可得b ＝23，d ＝－13，故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2323 －13.7．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．【解】依题意，得det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －31 －1＝2×(－1)－1×(－3)＝1，故M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3－12，从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤135，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤135 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．8．m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 7－2 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有惟一解？【解】二元一次方程组即为⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋7y ＝2mx ＋my ，－2x ＋3y ＝－my ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－2m x ＋7－m y ＝0，－2x ＋m ＋3y ＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2m 7－m －2 m ＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00. ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－2m 7－m －2 m ＋3 ＝(－1－2m )(m ＋3)＋2(7－m ) ＝－2m 2－9m ＋11，令－2m 2－9m ＋11＝0，得m ＝1或m ＝－112，。

逆变换与逆矩阵

题型一
题型二
题型三
题型三
题型四
逆矩阵的性质及其应用
1
2
1
3
,B=
【例 3】已知 A=
2 3
a b
解:方法一:设 A-1=
, 求(AB)-1.
4 5
1 1
a
b
,则
c
d
+ = 1,
= 3,
2 + 3 = 0,
= -1,
即
∴
+ = 0,
= -2,
2 + 3 = 1.
是唯一的.
如果B1,B2都是A的逆矩阵,则B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2,从而
B1=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1)=B2E2=B2,即B1=B2.所以如果矩阵A是
可逆的,则A的逆矩阵也是唯一的.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型四
逆变换
' = ,
【例 1】切变变换 ρ:
' = -2 +
1
a
-2
b
1
, 则AA-1=E2,即 AA-1=
c
0
=
0
1
c
d
d
,
0
1
1 2
-2 = 1,
= 1,
= 2,
则 -2 = 0, 即
故A-1=
.

=
0,
= 0,
= 1.
0 1
= 1.
(2)矩阵 B 对应的是投影变换,不存在逆矩阵.
反思除利用AA-1=E2求A-1外,也可利用线性变换的逆变换求解.

《逆变换与逆矩阵》讲义

《逆变换与逆矩阵》讲义在数学的广袤天地中，逆变换与逆矩阵是两个极其重要的概念，它们在解决各种线性问题时发挥着关键作用。

接下来，让我们一同深入探索这一充满魅力的领域。

首先，我们来理解一下什么是变换。

简单地说，变换就是将一个向量空间中的向量通过某种规则映射到另一个向量空间中的过程。

比如说，在平面直角坐标系中，将一个点沿着某个方向移动一定的距离，这就是一种简单的变换。

那么逆变换又是什么呢？想象一下，我们进行了一个变换操作，就好像把一个物体从原来的位置移动到了新的位置。

而逆变换呢，就是要把这个物体从新的位置再准确无误地放回原来的位置。

也就是说，逆变换是能够抵消原变换效果的一种操作。

为了更清晰地理解逆变换，我们来举个例子。

假设在平面直角坐标系中，有一个变换 T 把点（x, y) 变成了（x ＋ 2, y ＋ 3) 。

那么它的逆变换 T^（－1) 就应该把（x ＋ 2, y ＋ 3) 变回（x, y) ，经过简单的计算可以知道，这个逆变换 T^（－1) 就是把点（x'， y'）变成（x' 2, y' 3) 。

接下来，我们引入逆矩阵的概念。

在线性代数中，如果一个矩阵 A 乘以另一个矩阵 B 的结果是单位矩阵 I ，那么矩阵 B 就被称为矩阵 A 的逆矩阵，通常记作 A^（－1) 。

为什么要研究逆矩阵呢？这是因为很多线性问题都可以通过矩阵来表示和解决。

而有了逆矩阵，我们就能够在很多情况下找到原问题的解。

比如说，对于一个线性方程组，如果我们能够将其系数组成一个矩阵 A ，那么当矩阵 A 存在逆矩阵 A^（－1) 时，就可以通过左乘逆矩阵 A^（－1) 来快速求出方程组的解。

那么如何判断一个矩阵是否存在逆矩阵呢？这就涉及到矩阵的行列式。

如果一个矩阵的行列式不等于零，那么这个矩阵就是可逆的，也就是存在逆矩阵；反之，如果行列式为零，则矩阵不可逆。

再来说说求逆矩阵的方法。

常见的方法有伴随矩阵法和初等变换法。

3.1逆变换与逆矩阵课件人教新课标

切变变换，和恒等变换对应的二阶矩阵分别为
10
k 1
,
1 0
k 1
和E2
.
根据矩阵与线性变换的对应关系，把上面的结论用矩阵的语言叙述为：
对于二阶矩阵 10
k 1
,
存在二阶矩阵
1 0
-k 1
，使得
1 - k 1 k 1 k 1 - k 0 1 0 1 0 10 1 E2.
思考
对于另一类切变变换、伸缩变换和反射变换等线性变换，能否找到一个线性变换，使得它们的复合变换是恒等变换I呢？
R300 (( R300 ) ) R300 (I ) R300.
因此，
R
-300
.即旋转变换
R
的逆变换是唯一的
300
.
3 用矩阵的语言叙述为：矩阵 2
1 2
- 1 2 的逆矩阵是唯一的 . 3 2
一般地，可逆的二阶矩阵的逆矩阵都是唯一的.
性质1
设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的.
我们把A的逆矩阵记为A-1，读作A的逆矩阵或A的逆.
从而A-1A AA-1 E2.
探究
设，是两个可逆的线性变换，那么它们的复合变换仍可逆吗？
性质2
设A，B是二阶矩阵，如果 A，B都可逆，则 AB也可逆，且（ AB）-1 B-1A-1.
作业：P50 习题3.1
3 - 1 3
2 2 ， 2
1 2
3 2
-
1 2
1
2 3
和E2
,
根据矩阵与线性变换
的对应关
系，
2
把上面的结论用矩阵的语言叙述为：
3
对于二阶矩阵 2

逆变换与逆矩阵

科目数学主备人时间课题 2.4逆变换与逆矩阵课时 1 教学目标 1．理解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组。

2．会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组。

教学重、难点从几何变换的角度求出AB 的逆矩阵。

教学过程设计（教法、学法、课练、作业）个人主页一：情境引入问题：消元法二求解元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m cx ＋dy ＝n 当ad －bc≠0时，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝md －bnad －bcy ＝an －cm ad －bc二：数学建构二阶行列式定义：det(A) ＝a bc d ＝ad －bc因此方程组的解为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝m bn da bc d y ＝a m c n a bc d记：D ＝a bc d ，D x ＝m bn d ，D y ＝a m c n ，所以，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝D xD y ＝D yD三：例题讲解例1 求下列行列式的值⑴ 2143⑵21 43- ⑶21 - 40 ⑷ 2b a d c解：⑴2143=1×4-2×3=-2 ⑵2143-=1×4-2×（-3）=10⑶21- 40=-1×4-2×0=-4 ⑷2b a d c=2（ad-bc ）例2 若x= θθsin con θθcon sin （θ∈R ）试求f(x)=x 2+2x-3 的最值。

解：∵x= θθsin con θθcon sin =con 2θ-sin 2θ=con2θ ∴-1≤x ≤1∵f(x)=x 2+2x-3=(x+1)2-4∴当x=-1时f(x) 取得最小值 -4；当x=1时f(x)取得最大值0 例3 利用行列式求解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x例4 利用行列式求解A ＝⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-的逆矩阵应用：一、用逆矩阵方法求二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x 的解解：已知方程组可以写为：⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡74令M=⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12- 其行列式3312-=3×1-3×（-2）=9≠0∴M -1 =⎢⎢⎢⎣⎡93-91 ⎥⎥⎥⎦⎤9392 = ⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12即方程组的解为：⎩⎨⎧==1y 2x二、用几何变换的观点讨论方程的解（1）⎩⎨⎧x ＋12y ＝3 y ＝2（2）AX ＝B ，其中A ＝11⎡⎢⎣ 00⎤⎥⎦，B ＝22⎡⎤⎢⎥⎣⎦教后反思。

人教A版高中数学选修4-2课件 3逆变换和逆矩阵课件

1
逆变换与逆矩阵
教育目标: 1.通过具体的图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件,通过具体的投影变换,说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在. 2.会证明逆矩阵的惟一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质. 3.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵. 4.会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去率. 5.了解二阶行列式的定义,会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组.
11
5．矩阵ca
db的行列式为
a c
b d
ad
bc
,则如果
a c
b d
0
则矩阵 a b 存在逆矩阵.
cdLeabharlann 几何解释6.矩阵是否可逆的判断
代数解释
行列式映射观点
逆变换与逆矩阵
几何变换方法
7.逆矩阵的求解
待定系数方法公式法
行列式方法
d
b
8.矩阵ca
b
d
的逆矩阵为
．
ad
bc
c
ad
bc
a
ad bc ad bc
11.逆矩阵与二元一次方程组密切相关，用逆矩阵的知识理解二元一次方程组的求解过程是为了让学生更好的认识两者，理解它们间的相互为用、相辅相成.
逆变换与逆矩阵
12.
逆变换与逆矩阵
12. AX=B X= A-1B 13. AXC=B X= A-1BC-1
14.
逆变换与逆矩阵
15.用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组的解的情况并不比消元法优越多少.但是,当方程组中的未知元很多时,矩阵就变成了研究它的一个强有力的工具.
3．例1的设计起着承上启下的作用，所举的几个例子也是学生熟知的，学生可以从几何变换的角度借助直观找到答案．所以，例1的目的在于帮助学生从几何的角度理解逆矩阵的意义，并为后续学习积累丰富的感性认识．

「精品」高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组教学案苏教版选修4_2

2．4.2 二阶矩阵与二元一次方程组1．把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝mcx ＋dy ＝n写成矩阵形式为AZ ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，称为系数矩阵，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，当A 可逆时，方程组有唯一解，当A 不可逆时，方程组无解或有无数组解．3．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝m zx ＋dy ＝n，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b nd ，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪am cn ，当D ≠0时，方程组有唯一组解，为x ＝D x D ，y ＝D yD .4．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0cx ＋dy ＝0，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，当D ＝0时，此方程组有非零解．5．二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆的充要条件是det(A )≠0且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dA－bA －cAa A.[对应学生用书P34][例1] 求⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值(其中λ∈R )．[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值． [精解详析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8＝(λ－2)(5λ＋8)－(2λ－2)(3λ＋5) ＝－λ2－6λ－6＝－(λ＋3)2＋3≤3，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值为3.(1)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 与它的行列式det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的意义是不同的．矩阵A 不是一个数，而是4个数按顺序排列成的一个数表，行列式det(A )是由矩阵A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．1．计算下列行列式的值： (1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 6 2－5 －3；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪6 2－5 －3＝6×(－3)－(－5)×2＝－8；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ＝cos 2 θ－(－sin 2 θ)＝1. 2．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪ x 2 y 2－1 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x y －y ，求x ＋y 的值．解：x 2＋y 2＝－2xy ⇒x ＋y ＝0.[例2] 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 1，判断AB 是否可逆，若可逆求出逆矩阵．[思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解． [精解详析]AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3－3 1. 因det(AB )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13－31＝－1＋9＝8≠0，故AB 可逆，∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤18 －3838 －18.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，利用行列式求矩阵A 的逆矩阵的步骤如下：(1)首先计算det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，当det(A )≠0时，逆矩阵存在．(2)利用A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dA－bA －cAa A，求出逆矩阵A －1.3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 1；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 01；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a001.解：(1)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－11 11＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 1212 12.(2)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 a 01＝1≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －a 0 1. (3)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 00 1＝a ，当a ＝0时，矩阵不可逆，当a ≠0时，矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a 0 0 1. 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 96 x 2存在逆矩阵，求x 的取值范围．解：据题意det(A )≠0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 96 x 2≠0.∴3x 2－54≠0. ∴x ≠±3 2.故x 的取值范围是{x |x ∈R 且x ≠±32}.[例3] 分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，－x ＋4y ＝3.[思路点拨] 求出相应行列式的值，利用x ＝D xD ，y ＝D y D求解，或求出方程组对应的逆矩阵，利用逆矩阵法求解．[精解详析] 法一：(行列式解法)D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 －2－1 4＝12－2＝10，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 4＝4＋6＝10，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－1 3＝9＋1＝10，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD ＝1010＝1y ＝D yD ＝1010＝1.法二：(逆矩阵解法)已知方程组可以写成矩阵形式⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －2－1 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13. 令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －2－1 4，则其行列式det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝3×4－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵M 存在逆矩阵M －1，且 M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110 310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310，这样⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2515110 310 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.利用逆矩阵解二元一次方程组的步骤为：(1)将二元一次方程组化成标准形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f .并写成矩阵形式．(2)判定系数矩阵是否可逆，即看⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 是否为零．若可逆则二元一次方程组有唯一解，若不可逆，方程组无解或解不唯一．(3)若可逆，求逆矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 1－(4)利用矩阵乘法求解：即计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f .5．利用行列式解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.解：(1)因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－1 3＝3×3－1×(－1)＝10. 所以x ＝D x D ＝139，y ＝D y D ＝109. 故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.(2)先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 4＝－2≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 14＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4，所以x ＝D x D＝3，y ＝D yD＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.[例4] m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？[思路点拨] 先求出方程组对应行列式，利用行列式值为0时方程组有非零解求解．[精解详析] 二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －2y x －4y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mx my ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝mx ，x －4y ＝my ，即⎩⎪⎨⎪⎧－m x －2y ＝0，x －＋m y ＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－m －2 1 －＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.∴当⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－m －2 1 －＋m ＝0，即－(3－m )(4＋m )＋2＝0时，方程组有非零解． ∴当m ＝－1±412时，方程有非零解．齐次线性方程组有非零解的充要条件为对应系数成比例，即a c ＝b d，此时，该齐次线性方程组的一组非零解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－b a 1.6．齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＝0x －2y ＝0存在非零解吗？如果存在，求出一组非零解．解：因D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －41 －2＝－4＋4＝0，所以存在非零解．其中一组非零解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.7．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋my ＝0，4x －11y ＝0有非零解，求m 的值．解：D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 m4 －11＝－33－4m ，令D ＝0，则得m ＝－334.[对应学生用书P36]1．求下列行列式的值：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 2－1 5；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4.解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－15＝3×5－(－1)×2＝15＋2＝17. (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4＝28－(－72)＝28＋72＝100. 2．已知矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆，求函数f (x )＝ax 2－7x ＋4的最小值．解：∵矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax 13 1x ＝ax ·1x －3×1＝a －3＝0，即a ＝3，∴f (x )＝3x 2－7x ＋4 ＝3(x 2－73x ＋4936)＋4－4936×3＝3(x －76)2－112.∴当x ＝76时，函数f (x )有最小值－112.3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，解方程AX ＝B . 解：因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 02 1＝1≠0，所以A 的逆矩阵存在，且A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－2 1，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－21⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3. 4．已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.证明：因为A 是可逆矩阵，则原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，因为A －1是唯一存在的，所以Z＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00是原方程组唯一的解． 5．分别利用行列式法及逆矩阵法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝03x ＋4y －6＝0.解：法一：方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝53x ＋4y ＝6，D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝4－6＝－2， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 26 4＝20－12＝8， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 536＝6－15＝－9，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝DxD＝－4，y ＝D yD ＝92.法二：方程组用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤56. 故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2341－⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －2－3 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 926．试写出齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝0，4x ＋6y ＝0，的矩阵形式及该方程组的一组非零解．解：齐次线性方程组改写成矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2346 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 346＝2×6－3×4＝0，∴此齐次线性方程组有非零解如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－23就是它的一组非零解．7．当λ为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤2213 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？解：由题意知二元一次方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝λx ，x ＋3y ＝λy ，即⎩⎪⎨⎪⎧－λx ＋2y ＝0，x ＋－λy ＝0.D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ 21 3－λ＝(2－λ)(3－λ)－2＝λ2－5λ＋4，当D ＝0即λ＝1或4时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤221 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解． 8．如果建立如下字母与数字的对应关系 a b c … y z ↔ ↔ ↔ … ↔ ↔ 1 2 3 … 25 26并且发送方按可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321进行加密．(1)若要发出信息work hard ，试写出所要发送的密码； (2)将密码93,36,60,21,159,60,110,43恢复成原来的信息．解：(1)若要发出信息work hard ，则其编码为23,15,18,11,8,1,18,4.把上述编码按顺序分成四组并写成列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811，⎣⎢⎡⎦⎥⎤81，⎣⎢⎡⎦⎥⎤184，计算它们在矩阵A 对应的变换下的象，可得A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤160 61， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 47，A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4317， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤184＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102 40，于是，得到所要发送的密码为160,61,123,47,43,17,102,40.(2)因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5321＝5×1－2×3＝－1，所以A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5.把接受到的密码按顺序分成四组并写成列向量，计算它们在矩阵A －1对应的变换作用下的象，可得A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤9336＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9336＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤15 6， A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤315，A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤15960＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15960＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2118， A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11043＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11043＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤195. 于是密码恢复成编码15,6,3,15,21,18,19,5，再根据已知的对应关系，即得到原来的信息of course.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 2.4.1 逆矩阵的概念》1

逆变换与逆矩阵学习目标:1通过图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件, 能通过具体的投影变换,说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在;2会证明逆矩阵的唯一性和AB-1=B-1A-1等简单性质;的逆矩阵;4会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律;学习重点：会判别逆矩阵是否存在,如何求逆矩阵;学习难点：熟练运用公式求逆矩阵学习过程：1复习与回忆复习：〔1〕矩阵乘法的法那么是:〔2〕矩阵乘法MN的几何意义：对向量连续实施的两次几何变换先TN,后TM的复合变换〔3〕矩阵乘法不满足交换律师这可能是第一次遇到乘法不满足交换律的情况此时,可以从几何变换角度进一步明确乘法一般不满足交换律而在适当时候,有些特殊几何变换如两次连续旋转变换可满足交换律练一练〔1〕矩阵A=，矩阵B=，试求：①AB; ②BA〔2〕矩阵A=，矩阵B=，试求：①AB; ②BA2创设情境由前面学习我们知道:二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换，它把点〔，〕变换到点〔′，′〕反过来:假设知道变换后的结果〔′，′〕,能否“找到回家的路〞,再让它变回到原来的〔，〕呢？如图示：〔，〕〔′，′〕情境分析〔1〕从变换结果来看，虽然经历了“走过去〞又“回过来〞的两次变换，但是最终还是回到了原地，变回了“自己〞〔2〕从矩阵变换的角度来看：“走过去〞对应变换矩阵A，“回过来〞对应着变换矩阵B，先后两次连续的变换对应着两个矩阵的乘积，即BA〔3〕再从变换结果来看，上述问题就变成了：对于以下给出的变换矩阵A，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次变换〔先TA后TB〕的结果与恒等变换的结果相同引例分析例1 对于以下给出的变换矩阵A，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次变换〔先T A后T B〕的结果与恒等变换的结果相同？〔1〕；〔2〕；〔3〕．解：〔1〕对于反射变换TA，满足条件的变换即为其自身，即B=A；对于旋转变换TA，存在旋转变换TB，即B为绕原点顺时针旋转600的变换矩阵；〔3〕对于投影变换T A，不存在满足条件的变换矩阵B原因：投影变换不是一一映射；3数学建构在数的运算中，当数a≠0时，ab=ba=1,其中b=a−1,b称为a的倒数〔或称a的逆〕在矩阵运算中，单位矩阵E相当于数的乘法运算中的1，那么对于矩阵A,如果存在一个矩阵B,有AB=BA=E，那么称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，通常记做A-1逆矩阵的概念〔1〕定义：在矩阵运算中，单位矩阵E相当于数的乘法运算中的1，那么对于矩阵A,如果存在一个矩阵B,有AB=BA=E，那么称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，通常记A的逆矩阵为A-1有了逆矩阵的定义，我们自然会去想：对于一个任意的二阶矩阵M，满足什么条件，它是可逆的？如果它是可逆的，如何求出它的逆矩阵呢？例2 求矩阵A=的逆矩阵解：设矩阵A 的逆矩阵为，那么有故解得a =38, b =−18, c =−78, d =58,一般的，对于二阶可逆矩阵A=〔ad -bc ≠0〕,1它的逆矩阵为A -1=2矩阵A 可逆的充要条件：ad -bc ≠0求一个矩阵的逆矩阵常用的方法有三种：〔1〕几何变形法〔2〕待定系数法〔3〕公式法逆矩阵的性质性质1：假设二阶矩阵A 是可逆矩阵，那么 A 的逆矩阵A -1是唯一的。

高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2.4.1 逆矩阵与逆变换教案2数学教案

2.4.1逆矩阵与逆变换一、引入例1 对于下列给出的变换矩阵A，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先T A 后T B）的结果与恒等变换的结果相同？（1）以x为反射轴的反射变换；（2）绕原点逆时针旋转60º作旋转变换；（3）横坐标不变，沿y轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换；（4）沿y轴方向，向x轴作投影变换；（5）纵坐标y不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且满足（x，y）（x＋2y，y）二、逆变换与逆矩阵若逆矩阵存在，则可以证明其具有唯一性。

三、用几何变换的观点求解逆矩阵A=1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦，B＝12⎡⎢⎢⎣1⎤⎥⎦，C＝1⎡⎢⎣-1⎤⎥⎦，D＝11⎡⎢⎣⎤⎥⎦四、用代数方法求解逆矩阵A＝57⎡⎢⎣13⎤⎥⎦B＝12⎡⎢⎣-1-4⎤⎥⎦五、从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵若二阶矩阵A，B均可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1例4 （1）A＝1⎡⎢⎣-1⎤⎥⎦，B＝1⎡⎢⎣-1⎤⎥⎦（2）A＝1⎡⎢⎣2⎤⎥⎦，B＝1⎡⎢⎢⎢⎣121⎤⎥⎥⎦六、研究：二阶矩阵满足消去律的条件反例：书P46习题2。

「精品」高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念教学案苏教版选修4_2

2．4.1 逆矩阵的概念1．逆矩阵的定义对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记为A －1. 2．逆矩阵的性质(1)若二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1. (2)已知A 、B 、C 为二阶矩阵且AB ＝AC ，若A 存在逆矩阵，则B ＝C . 3．逆矩阵的求法(1)公式法：对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，若ad －bc ≠0，则A 必可逆，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .(2)待定系数法． (3)逆变换法．[对应学生用书P30][例1] 求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 22 1的逆矩阵．[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解． [精解详析] 法一：待定系数法：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 22 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001. 即⎣⎡⎦⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎡⎦⎤1 00 1，故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤－1 2 2 －3.法二：公式法：ad －bc ＝3×1－2×2＝－1≠0，∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2 －3.用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1，再由AA －1＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1.1．(江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B .解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 2．已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤21 －3－1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：由M ＝⎣⎡⎦⎤21 －3－1，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0，故M－1＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32.从而由⎣⎡⎦⎤21－3－1 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤13 5得⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32 ⎣⎡⎦⎤13 5＝⎣⎡⎦⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎡⎦⎤ 2－3，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．[例2] 用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵． (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 01－10.[思路点拨] A 为伸压变换矩阵，B 为旋转变换矩阵，只需找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．[精解详析](1)矩阵A 为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换，因此它存在逆变换T A －1：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x轴方向压缩为原来的12，所对应的变换矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1.(2)矩阵B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°.它存在逆变换T B －1：将平面内的点绕原点逆时针旋转90°，所对应的变换矩阵为B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来”，即对应的变换是一一映射．关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1232－32 －12，求A －1.解：矩阵A 对应的变换是旋转变换R 240°，它的逆变换是R －240°∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－－－－－＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 －32 32 －12. 4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 5，求A －1. 解：因矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200 15.[例3] 若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 005，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301，求矩阵AB 的逆矩阵．[思路点拨] 根据公式(AB )－1＝B －1A －1，先求出B －1、A －1，再利用矩阵乘法求解． [精解详析] 因为矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 15. 而矩阵B 对应的变换为切变变换，其逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1，∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 15＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－350 15.(1)要避免犯如下错误(AB )－1＝A －1B －1. (2)此题也可以先求出AB 再求其逆．5．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－323212，求A －1.解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，则A ＝MN . ∵1×1－0×(－1)＝1≠0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，同理N －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12.由逆矩阵的性质，得A －1＝(MN )－1＝N －1M －1＝⎣⎢⎦⎥－32 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1＝⎣⎢⎦⎥－32 1－32.6．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201，求曲线x 2＋y 2＝1在矩阵(AB )－1变换下的曲线方程．解：(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1. 设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，P 点在(AB )－1对应变换下变成Q (x ′，y ′)则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y .′∴P (x ′＋2y ′，y ′)．又P 点在圆上，∴(x ′＋2y ′)2＋(y ′)2＝1. 展开整理为(x ′)2＋4x ′y ′＋5(y ′)2＝1. 故所求曲线方程为x 2＋4xy ＋5y 2＝1.[例4] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，求满足AXB ＝C 的矩阵X .[思路点拨] 由AXB ＝C 得X ＝A －1CB －1，从而求解．[精解详析] ∵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2，∴X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3 1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01.此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵，若位置错误，则得不到正确结果，原因是矩阵乘法并不满足交换律．7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7.若矩阵X 满足AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，试求矩阵X .解：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2z y －2w 3x －7z 3y －7w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝1，y －2w ＝0，3x －7z ＝0，3y －7w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－2，z ＝3，w ＝－1.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1.因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以A －1AX ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以X ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤19 8.8．若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解：因为M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.法一：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°，知M 是绕原点O 逆时针旋转90°的旋转变换矩阵，于是M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－－－－－＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－10.法二：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则ad －bc ＝1≠0.∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－10.[对应学生用书P32]1．求下列矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2345.解：法一：利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 31 －11－21 11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1－2 1. (2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B 存在逆矩阵B －1，且 B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－2 －3－2－4－2 2－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.法二：利用待定系数法． (1)设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋c b ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1.从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1－2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.解得x ＝－52，z ＝2，y ＝32，w ＝－1.从而B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 322 －1.2．已知可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a27 3的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2－7 a ，求a ，b 的值．解：根据题意，得AA －1＝E ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ b －2－7 a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab －2×7 －2a ＋2a 7b －21 －2×7＋3a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，－14＋3a ＝1，解得a ＝5，b ＝3.3．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵．证明：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以B 是A 的逆矩阵． 4．求矩阵乘积AB 的逆矩阵． (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 004；(2)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234.解：(1)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 14. (2)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 －1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－3212. 5．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如果不可逆，请说明理由．解：(1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 21－1 2. (2)变换矩阵A 是可逆的，理由如下：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，试求曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的线性变换作用下的函数解析式．解：M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2， ∴M －1N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x 2y即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝2y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝12y ′.代入y ＝cos x 得12y ′＝cos 2x ′故曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的变换作用下解析式为y ＝2cos 2x . 7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4. (1)求矩阵A 的逆矩阵B ；(2)若直线l 经过矩阵B 变换后的方程为y ＝x ，求直线l 的方程．解：(1)设矩阵A 的逆矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12. (2)设直线l 上任一点P (x ，y )经过B 对应变换变为点P (x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－2x ＋y ，y ′＝32x －12y ，又y ′＝x ′，所以－2x ＋y ＝32x －12y ，即直线l 的方程为7x －3y ＝0.8．已知曲线C 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换作用下的象为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．解：矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换为：平面内点的纵坐标沿y 轴方向缩短为原来的12，横坐标沿x 轴方向缩短为原来的13，其逆变换为：将平面内点的纵坐标沿y 轴方向拉伸为原来的2倍，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来的3倍，故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 00 2. 设圆x 2＋y 2＝1上任一点P (x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 00 2对应的伸缩变换作用下的象为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13x ′，y ＝y ′2，代入x 2＋y 2＝1，得x29＋y24＝1.故曲线C 的方程为x 29＋y 24＝1.。

一、逆变换与逆矩阵(优秀经典公开课比赛课件).

2 2
二阶矩阵B（逆时针旋转30°对应的矩阵），使得
AB=BA= E2 ，其对应的变换形式为 I
知识应用
例1对于下列给出的变换矩阵A,是否存在矩阵 B使得连续进行两次变换的结果与恒等变换的结果相同?
(1) 以x轴为反射轴作反射变换; (2) 绕原点逆时针旋转600作旋转变换; (3) 横坐标不变,沿y轴方向将纵坐标伸为原来的
2倍作伸压变换; (4) 沿y轴方向,向x 轴作投影变换; (5) 纵坐标y不变,横坐标依纵坐标的比例增加,
且(x,y) (x+2y,y) 的切变变换.
建构数学
对于二矩阵 A,B 若有
AB=BA= E2
则称 A 是可逆的, B 称为A 的逆矩阵.
通常记 A的逆矩阵为 A-1 思考： A的逆矩阵有多少个？性质1（逆矩阵的唯一性）：
设A 是二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的.
例2 用几何的观点判断下列矩阵是否存在逆
矩阵,若存在把它求出来;若不存在,说明理由.
(1)
A

0 1
1 0
(2)
1
B

2
0
0 1
(3)
C

0 1
1
0

(4)
D

1 1
0 0
结论：当一个矩阵表示的是平面上向量到向量的一一映射时，它才是可逆的。
逆矩阵与逆变换
探究：
对于一个线性变换，是否存在一个线性变换，使得
I ?
对于一个二阶矩阵A,是否存在一个二阶矩阵B，使得
AB=BA= E2
一个向量顺时针旋转30°，再逆时针旋转30°

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