陀螺

上述结论，具有普遍意义，它对于任何既具有相对 速度，又具有牵连角速度的物体，都是适用的。
二、转动惯量
转动惯量是表示物体旋转运动中惯性大小的物理量。受同
样力矩作用时，转动惯量大的物体，产生的角加速度小，即转速不 容易改变；转动惯量小的物体，产生的角加速度大，即转速容易改 变。
质点对某一转轴的转动惯量(J质) ：
M附 f附 s
L盘 2 ms
∑ms2为“薄圆盘”相对y轴的转动惯量(Jy)。而“薄圆盘” 对各轴的转动惯量的关系是： Jx=2Jy=2Jz。 L盘 2J y J x 故“薄圆盘”的陀螺力矩： 将Jz用J盘来表示，陀螺力矩为： L盘 J 盘
2. 陀螺转子的陀螺力矩公式
附 1 2 2v相对
方向为：相对速度顺着牵连角速度的转向旋转90°。 物体存在附加加速度的同时， 必然存在附加惯性力(f附)。 f附方向：与附加加速度的方向相反。 大小为：
f附 m附 2mv 相对
式中m为滑块的质量。
若两个矢量不相垂直，则应将相对速度矢量分解为 两个分量，其中只有与牵连角速度矢量垂直的分量才产 生附加加速度和附加惯性力。
1 v相对 t
所以
由于
t
1 v相 对
（二）相对速度使牵连切线速度发生变化而产生的加 速度α2
设直杆从起始位置转过一个微小的角度(△θ) ，滑块的转 动半径r增大到了r+△r，引起滑块的牵连切线速度从v牵,切增 大到v„牵,切。因此，沿牵连切线速度的方向产生了加速度α2， 其大小为：
第二篇 陀螺仪表与惯性导航系统
陀螺仪表与惯性导航系统都是利用惯性元件
和惯性测量原理来测量飞机的飞行参数，本 书首先讲述惯性元件的基本知识，然后分别 讲述姿态仪表、航向仪表和惯性导航系统 。
第八章 惯性元件
8.1 陀螺原理
一、概述
niuer.avi
1、陀螺(gyroscope) 测量物体相对惯性空 间转角或角速度的装置。
三、陀螺力矩的方向
方向与自转角速度的方向和牵连角速度的方向有关。 牵连角速度矢量沿转子自转的方向转动90°，就是陀螺 力矩矢量的方向。
如牵连角速度矢量朝z轴的 正方向，自转角速度矢量朝x轴 的正方向，则牵连角速度矢量 沿转子旋转方向转动90°，将 指向Y轴的负方向，这就是陀螺 力矩矢量的方向。
四、陀螺力矩的大小
进动性、稳定性 (一)进动性(precession)

1、定义 受外力矩作用时，两自由度陀螺转动方向 (指角速度矢量方向)与外力矩作用方向相互垂 直的特性，称为两自由陀螺的进动性。 s17.swf s16.swf
进动性(precession)
2、进动方向 角动量矢量(或自转角速度矢量)沿最短途 径转向外力矩矢量的方向。
· ·章动－－当陀螺受到冲击力矩作用时，自转轴将在 原来的空间方向附近作高频微幅园锥形振荡运动。频率 很高，大于几百赫；振幅很小，小于角分量级； 会很 快衰减。 S5.swf
应用：稳定器、测量基准等
2、影响稳定性的因素
（1）转子自转角速度越大，稳定性越高，
即 Ω ↑ω ↓；
（2）转子对自转轴的转动惯量越大，稳定性越 高，即 J↑ω ↓； （3）干扰力矩越小，稳定性越高，即M↓ω ↓； （4）转轴与外框轴垂直时(θ =0)，稳定性最高，
飞机转弯时，会出现上仰或下俯的现象。原因就是陀螺力 矩的作用。
二、陀螺力矩产生的原因 陀螺力矩，是陀螺在复合运动中，由于转子自转运动和 框架牵连运动的相互作用而产生的。 陀螺转子各质点瞬时的直线运动是相对运动，其速度等 于转子自转使质点产生的切线速度(v相对)；旋转运动是牵连 运动，其角速度等于陀螺绕内外框轴旋转的角速度(ω)。由于 两个速度的相互作用，产生了附加加速度和附加惯性力。
整个陀螺转子的陀螺力矩(L)，就是所有“薄圆盘”的陀螺力 矩的总和，即 L L盘 J 盘 J 盘 或 L J 两个角速度矢量不垂直时：只有与另一个角速度矢量垂直 的角速度分量才产生陀螺力矩， 故
整个陀螺转子，可以看成由许多 “薄圆盘”叠成。 1.“薄圆盘”的陀螺力矩公式 (1)质点的附加加速度和附加惯性力 在“薄圆盘”中任选一个质点m，其相对速度仅垂直分量 rΩsinγ产生附加加速度。附加加速度为： 附 2v相对, 垂 2r sin 附加惯性力为： f附 2mr sin f附 2sm 因m至y轴的距离为s(s=rsinγ)，故
即 θ ↓ω ↓。
陀螺的稳定性与进动性密切相关，稳定性越高，进 动角速度越小；反之，进动角速度越大。
两自由度陀螺 特性演示
两陀螺特性.mpg1.mpg
(三)两自由度陀螺相对于地球的运动 ——表观运动
1、现象

两自由度陀螺在地球北极(或南极)， 自转轴与地球自转轴垂直，则自转 轴在水平面内相对地球子午面顺时 针转动，每24小时转动一周。 S9.swf
（一）陀螺力矩与有关各因素的关系 分析：陀螺力矩与转子的转动惯量、自转角速度和牵 连角速度三个因素有关。 自转角速度和牵连角速度愈大，各质点的附加加速度 就愈大，陀螺力矩也就愈大；转子的转动惯量愈大，说明 转子的质量愈大，或者质量的分布离自转轴愈远，故陀螺 力矩也愈大。 即： L J
（二）陀螺力矩公式的推导
进动方向

或右手螺旋法则：将 右手大拇指伸直，其 余四指以最短路线从 角动矢量方向握向外 力矩矢量的方向，则 大拇指的方向就是进 动角速度矢量的方向 s17.swf
3、影响进动性的因素
由于 ω =M/Hcosθ = M/JΩ cosθ
（1）转子自转角速度越大，进动角速度越小，即Ω ↑ω ↓；
（2）转子对自转轴的转动惯量越大，进动角速度越小，即 J↑ω ↓；
刚体是由许多质点组成的。 刚体的转动惯量为：
J
J 质 mr 2

mr 2
刚体质量越大，各质点对转轴半径越大，转动惯量越大。
同一刚体对不同的转轴，有不同的转动惯量。
如，薄圆盘对x、y，z轴的转动惯量：
Jx

mr 2
Jy
2

mz 2
2 2
Jz
my
2
而薄圆盘任意质点m与x、y、z轴的距离：
一、陀螺力矩的现象 实验：电动机通电旋转后，柔韧转子随着以角速度Ω旋转(自 转)，由于离心力的作用，转子被拉平。如果支架又绕竖轴作 牵连旋转，则柔韧转子的便不再是平面了。 说明：转子上存在力矩作用，这个力矩就是陀螺力矩(L)。
结论： 物体同时绕两个互相平行的轴旋转时，会产生陀螺力矩； 陀螺力矩的矢量垂直于两个转轴所组成的平面。
（各质点的相对速度矢量与牵连 角速度矢量的夹角不同，附加加速度 和附加惯性力的大小也不同。）
陀螺力矩的产生
转子上、下半部质 点的附加惯性力，组成 了一个力偶，它对y轴的 力矩，就是陀螺力矩。 陀螺力矩实质上是 一个惯性力矩。 陀螺力矩，是陀螺 在复合运动中，由于转 子自转运动和框架牵连 运动的相互作用而产生 的。

陀螺在地球赤道上，自转轴与地平 面垂直，则自转轴在垂直平面内相 对地平面转动，每24小时转动一周。 S10.swf
表观运动现象


陀螺放在地球上任意纬度处，自转轴与地平面平行，朝 向南北方向，则自转轴方向逐渐改变，相对地球作园锥 轨迹运动，每24小时转动一周。 s11.swf 如果开始时，陀螺自转轴与地平面垂直，则自转轴逐渐 偏离地垂线，仍然相对地球作园锥运动，每24小时转动 一周。
(2)质点的附加惯性力矩 质点m对y轴的附加惯性力矩(M附) ：
将前式中f附之值代入上式，得： M附 2ms 2 (3) 整个“薄圆盘”的陀螺力矩(L盘) 应等于所有质点的附加惯性力矩的总和，即 L盘 M 附1 M 附2 M 附n L盘 M附 或 将前式代入 L盘 2ms 2 或 2

陀螺自转轴与地球自转 轴相互平行或重合时 （不管陀螺在地球上什 么地方），不存在相对 运动。 s12.swf
结论：不管陀螺在地球上什么地方，只要陀螺自 转轴与地球自转轴不平行或不重合都存在相对运 动。 原因：陀螺自转轴相对惯性空间保持稳定，地球 相对惯性空间运动。
表观运动的大小：
ω ev=ω e sinφ ω eh=ω e cosφ 式中：φ —纬度；ω e、ω ev、ω eh—地球 自转角速度及垂直分量、水平分量。 则ω ′ev=－ω ev=－ω e sinφ
ω ′eh=－ω eh=－ω e cosφ
式中：ω ′ev—陀螺自转轴相对地球运动角速度的垂直分量； ω ′eh—自转轴相对地球运动角速度的水平分量。
（ω ′ev使陀螺自转轴偏离当地子午线，引起航向仪表误差； ω ′eh使自转轴偏离当地地垂线，引起姿态仪表误差。 怎样减小这些误差？）
8.1.4 陀螺力矩
相对运动与牵连运动所组成的运动叫做复合运动。 复合运动可以是由两个直线运动组成的；也可以是由两个 圆周运动组成的；还可以是由一个直线运动和一个圆周运动组 成的。 设滑块在直杆上作匀速直线运动， 其相对速度为v相对；直杆又绕转轴(O 点)作匀速旋转，其牵连角速度为ω。 作这种复合运动的滑块，会产生 加速度。
（3）外力矩越大，进动角速度越大，即M↑ω ↑；
（4）自转轴与外框轴垂直时(θ =0)， 进动角速度最小，即θ ↓ω ↓。
特殊情况

框架自锁：如果θ =90°， 自转轴与外框轴重合，陀 螺失去一个转动自由度。

“飞转”：当θ较大，或 “框架自锁”时，陀螺在 外力矩的作用下可能会绕 内、外框轴高速转动。应 尽量避免陀螺“飞转”。
t v'牵, 切 ( r r )
2
v'牵,切 v牵,切
由于：
v牵 , 切 r
( r r ) r r 故 2 t t r 又 v相对 所以 2 v相 对 t
（三）附加加速度和附加惯性力
科氏加速度：物体在复合运动中，由于相对速度和牵连速 度相互作用的结果，产生了两个大小相等、方向相同的加 速度α1和α2，这两个加速度之和，称为附加加速度，也称 为科里奥利加速度。其大小为：
种类：普通刚体转子陀螺、挠性陀螺、激
光陀螺、光纤陀螺、粒子陀螺、低温超导 陀螺等。
刚体转子陀螺：能够绕一个支点高速旋转
的物体
2、刚体转子陀螺

刚体转子陀螺结构： 转子、内框、外框和 基座
3、刚体转子陀螺分类
根据自转轴具有的自由度：两自由度陀螺、单 自由度陀螺 根据动力：电动、气动

8.1.2 陀螺原理的基础知识 一、复合运动、附加加速度和附加惯性力
（一）牵连切线速度使相对速度发生变化而产生的加 速度α1
设滑块(m)起始位置在A点，经过一个很短的时问(△t)之后， 直杆转动了一个微小的角度(△θ)，滑块运动到B点。由于相对 速度的方向改变，滑块产生了加速度α1。 α1的方向与牵连切线速度的方向相同；加速度α1的大小：
v相对 1 t
从三角形BCD可知，当角度△θ很小时， △v相对=v相对△θ。代入上式得：
设：
转子自转角速度矢量朝x轴的 正方向，牵连角速度矢量朝z轴的 正方向。
则转子上半部各质点的相对 速度，或垂直于牵连角速度矢量 的相对速度分量，朝y轴的负方向； 转子下半部各质点的相对速度， 或垂直于牵连角速度矢量的相对 速度分量，朝y轴的正方向。
可知： 转子上半部质点的附加加 速度朝x轴的正方向，附加惯性 力朝x轴的负方向； 转子下半部各质点的附加 加速度朝x轴的负方向，附加惯 性力朝x轴的正方向。
进动现象
s19.swf
(二)稳定性(stability of gyroscope)
1、稳定性定义 两自由度陀螺能够抵抗干扰力矩，力图保持其自 转轴相对惯性空间方向稳定的特性，称为陀螺的 稳定性。 S2.swf
两种表现形式：
·
漂移－－在干扰力矩作用下，陀螺产生很小进动。
（目前常用陀螺漂移率12°—1°/小时，惯性级陀螺漂移 率0.01°～0.001°/小时。） S4.swf
r y z
故
Jx

mr 2

m( y2 z 2 )

my 2 mz 2 J z J y
由于薄圆盘是对称的，Jy=Jz ， 所以
J x 2J y 2J z
Hale Waihona Puke 薄圆盘对圆心轴的转动惯量，等于对直径轴转动惯量的两倍。
8.1.3 两自由度陀螺的特性
两陀螺特性.mpg1.mpg