高等数学-第六章 定积分的应用

定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n
s lim 0
M i1M i
i1
并称此曲线弧为可求长的.
y Mi1
A M0 O
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
y f (x) (a x b)
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
O a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
x (t) y (t)
右下图所示图形面积为
b
A a f1(x) f2 (x) dx
O axxdx b x
例1. 计算两条抛物线 y2 x , y x2 在第一象限所围
图形的面积 .
解: 由
y2 x y x2
y
得交点 (0, 0) , (1, 1)
y2 x (1,1)
1
AdA (
x x2)dx
0
2
3
x2
2πa
O
r
r a
2π
sa
1 2 d
0
a2
1 2 1 ln
2
1 2
2π 0
a π 1 4 π2 a ln(2 π 1 4 π2 ) 2
三、已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), A(x)在[a,b]
上连续, 则对应于小区间[x , x dx] 的体积元素为
r 2 ( ) r2 ( ) d (自己验证)
因此所求弧长
s r 2 ( ) r2 ( ) d
例11.
计算摆线
x y
a (t a (1
sin t) cos t )
(a
0)
一拱
(0
t
2
π)
的弧长 .
y
解:
ds
(
d d
xt )2
(
d d
y t
)
2
d
t
O
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
x b , 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在[a ,b]上任取子区间[x, x d x]，在其上所作的功元
素为
dW F(x)dx
a x xdx b x
因此变力F(x) 在区间 [a ,b]上所作的功为
b
W a F (x) dx
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
弧微分: d s (d x)2 (d y)2
直角坐标方程 曲线方程 参数方程方程
极坐标方程 d s r 2 ( ) r2 ( ) d
3. 已知平行截面面积函数 A(x) 的立体体积
b
V a A(x) d x
旋转体的体积
绕 x 轴 : A(x) π y2 y y(x)
绕 y 轴 : A(y)πx2
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
n
表示为
U
lim
0 i1
f
(i )xi
定积分定义
b
n
a
f
(x) dx
lim
0 i1
f
(i )xi
二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
1 22 dy
O 1
3 37 5 5 1 ln(6 37) ln(2
4
x2y3 0 x
x y2
5)
作业
P284 3; 12; 18
第三节
第六章
定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到
y
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
V d π[( y)]2dy c
d
y x (y)
c
O
x
例13.
计算由椭圆
x2 a2
y2 b2
1 所围图形绕
x
轴旋转而
转而成的椭球体的体积.
y
解: 方法1 利用直角坐标方程
b
y b a2 x2 (a x a) a
O x ax
则 V 2 a π y2 dx 0
a
kq r2
d
r
kq a
例2. 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气
体, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从
点 a 处移动到点 b 处 (如图), 求移动过程中气体压力所
作的功 .
解: 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强
p 与体积 V 成反比 , 即 p k k , 故作用在活塞上的
y
4
1 2
y
2
)
dy
O
yx4 x
(2, 2)
1 2
y2
4y
1 6
y3
4 2
18
例3.
求椭圆
x2 a2
y2 b2
1
所围图形的面积
.
解: 利用对称性 , 有 d A y dx
y
b
a
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
O xxdxa x
x a cos t y bsin t
(0 t 2 π)
特别当b
=
a
时,
就得半径为a
的球体的体积
4 3
πa3 .
例14.
计算摆线
yx
a (t sin t) a (1 cos t)
(a
0)的一拱与
y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 0≤ t ≤2π
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
Vx
2π a πy2 dx 2
5
3
1
π
0
6422
5π2 a3
x a (t sin t)
y
a
(1
cos
t)
(a 0)
y 2a
x x2 ( y)
绕 y 轴旋转而成的体积为
O
πa 2πa x
Vy
2a 0
π
x22 ( y) d
y
2 0
a
π
x12
(
y)
d
y
x x1( y)
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
O
x
例5. 计算阿基米德螺线 r a (a 0) 对应 从 0 变
到 2 所围图形面积 .
解: A 2π 1 (a )2 d 02
a2 2
1
3
3
2π 0
2πa x
a 2(1 cos t) d t
2a sin t dt 2
s
2 0
π
2a
sin
t 2
d
t
2a
2
cos
t 2
2 0
π
8a
例12. 求阿基米德螺线 r a (a 0)相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解: ds r2( ) r2( ) d a2 2 a2 d
a 1 2 d
如何用定积分表示体积 ? 提示:
A( y) 2x y tan 2 tan y R2 y2
V 2 tan Ry R2 y2 dy 0
y
R
O R (x, y) x
内容小结
1. 平面图形的面积
直角坐标方程
边界方程
参数方程 A
t2 (t) (t) d t
t1
极坐标方程
A
1 2
2
(
)
d
2. 平面曲线的弧长
dU f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长
dV A(x) d x
因此所求立体体积为
b
V a A(x) d x
A(x)
a x x dx b x
特别 , 当考虑连续曲线段 y f (x) (a x b)绕 x轴
轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V
b
π[
f
(
x)]2
dx
a
y
ຫໍສະໝຸດ Baiduy f (x)
当考虑连续曲线段
O ax b x
x ( y) (c y d)
注意上下限 !
2 π
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
0
π a3
2π
(t
sin
t)2
sin
t
dt
0
6π3a3 注
例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并
与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积
解: 如图所示取坐. 标系, 则圆的方程为
x2 y2 R2
2πa
O
x
d
4 π3 a2 3
例6. 计算心形线 r a(1 cos ) (a 0) 所围图形的
面积 .
解: A 2 π 1 a2 (1 cos )2 d 02
a2
π
4
cos
4
d
0
2
令t
2
π
8a2 2 cos4t dt 0
3π a2 2
(利用对称性)
d
O
2a x
二、平面曲线的弧长
1
x3
1
3 30
1
3
y x2
O xx d x1 x
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
的面积 .
解: 由 y2 2x 得交点 y x4
(2, 2) , (8, 4)
y
ydy y
y2 2x (8, 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
A
d
A 4
2
(
( t )
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
r r( ) ( ) 令 x r( )cos , y r( )sin , 则得
弧长元素(弧微分) :
ds [x( )]2 [ y( )]2 d
(利用对称性)
2
π
b2 a2
a (a2 x2 ) dx
0
2
π
b2 a2
a
2
x
1 3
x3
a 0
4 π ab2 3
y
方法2 利用椭圆参数方程
b
x a cos t
y
b sin
t
O x ax
π
则
V 2
a
π
y2 dx
2π
2 ab2 sin3t d t
0
0
2 π ab2 2 1 3
4 π ab2 3
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
A(x) 1 (R2 x2 ) tan (R x R)
2
利用对称性
V 2 R 1 (R2 x2 ) tan d x
02
2 tan R2x 1 x3 R 2 R3 tan
3 03
y
Ox
R x
思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ?
大家好
第六章 定积分的应用
利用元素法解决: 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
第一节
第六章
定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ?
一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的
一个整体量 ;
三、已知平行截面面积函数的 立体体积
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线 y f (x) ( 0) 与直线
y y f (x)
x a , x b (a b) 及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
Oa x bx x dx
dA f (x) dx
b
A a f (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
V xS
力为
F pS k
功元素为
x dW Fdx k dx
x
S
O a x x dx b x
所求功为
W
b k dx ax
k
ln
x
b a
k ln
b a
二、液体的侧压力
设液体密度为
深为 h 处的压强: p g h
• 当平板与水面平行时,
思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .
提示: 交点为(1, 1), (9, 3), 以 x 为积分变量 , 则要分
两段积分, 故以 y 为积分变量.
y
A 3 (2y 3) y2 dy 32
1
3
3 y
s
弧线段部分
3
1 1 4 y2 dy
直线段部分
3 1
应用定积分换元法得
A 4
0
π bsin t (a sin t) dt
4ab
π
2 sin2 t dt
0
4
2
ab
1 2
π 2
π ab
当 a = b 时得圆面积公式
2. 极坐标情形
设( ) C[ , ] , ( ) 0 , 求由曲线 r ( ) 及
射线 , 围成的曲边扇形的面积 . 在区间[ , ]上任取小区间 [ , d ]
0
π a πy2 dx
0
O
y πa 2πa x
2 π π a2 (1 cos t)2 a(1 cost) d t 0
利用对称性
2 π a3 π (1 cos t)3 d t 16 π a3 π sin6 t d t (令 u t )
0
02
2
32 π a3
π 2
sin 6
u
du
32 π a3
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) ,
求电场力所作的功 .
解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
F
k
q r2
则功的元素为
dW
k r
q
2
d
r
q O
1 1
a r r dr b
r
所求功为
W
b
a
k r
q
2
d
r
kq
1 r
b
a
kq( 1 a
1) b
说明:
电场在 r a 处的电势为