刚体的简单运动(精选)
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刚体的简单运动
A 图6-6
a
C
(3).如图6-7所示机构中， M为AB上的点。且 O1 A O2 B r,
AM BM。若O1A按 t 的规律绕 O1 轴转动， O1O2 AB l 。 则M点的轨迹是（ ）B
M A.半径为 r 圆 B.半径为 l 圆 1 C.半径为 l 圆 2 D.与AB 平行的直线 A O1
vA ＝0.86m/s 答案：
r
A
r
图6-9
4、如图6-10,摆式运输机构中,摆杆O1 A O2 B r 10cm,
O1O2 AB, 已知 O1 A 与 O2 B 成 60角时,铰接在摆
杆上的平板CD 的端点D 的加速度大小。
答案：
0.5 2rad / s, 0.5 3rad / s
d dt
故
a r
an
即
a a an
§4 .轮系的传动比
v r11 r22
传动比：
ω1 r1
ω2 r2Leabharlann 1 r2 i12 2 r1
ω1 r1
v
r2 ω2
2n 转速 n 转/分， rpm； 角速度 (1 s ) 60
概念题 1)转动刚体的角加速度为正时，则刚体 （1）越转越快 （2）越转越慢 （3）不一定
O2 图6-7
（4）半径为 R 的飞轮,绕垂直与图面的O轴转动。图示瞬时， a A 的大小、方向均为已知，则 轮缘上A点加速度 此时 A点速度大小为（ C ） A. B. C. D.
Ra A Ra A sin Ra A cos Ra A cos
A
O
a
图6-8
3、平板 A放置在两个半径为 r 25cm的圆筒上,如图6-9所示。 2 a 0 . 5 cm s 在某瞬时,平板具有向右的匀加速度 A ,在同一瞬 2 时的圆筒周边上一点的加速度 a 3m s ,假设平板 A与圆 筒之间无滑动,试求该瞬时平板A 的速度 A 。
第七章 刚体的简单运动
第7 章刚体的简单运动❒刚体的平行移动❒刚体绕定轴的转动❒转动刚体内各点和速度和加速度❒速度和加速度的矢量表示❒结论与讨论平移的实例平移的实例A Bo 1o 2特征：如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直线始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平动或移动。
直线平动：如果刚体上各点的运动轨迹为直线曲线平动：如果刚体上各点的运动轨迹为曲线ABA 1B 1B 2B 3B 4A 2A 3A 4Or Ar BABA B +=r r 常矢量-AB ★刚体平动时，其上各点的轨迹的形状完全一样。
A B v v =AB a a =★刚体平动时，其上各点的轨迹的形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
刚体的平动可归结为研究刚体内任一点的运动。
例题1已知：OA ＝l ；ϕ＝ωt 求：T 型杆的速度和加速度ϕOABC解：T 型杆作平动，建立图示坐标系，取M 点为研究tl l x M ωϕsin sin ==tl dt dx v MM ωωcos ==tl dtdv a M M ωωsin 2-==xM已知：OA＝O1B＝l；O1A杆的角速度ω和角加速度α。
1求：C点的运动轨迹、速度和加速度。
解：板运动过程中，其上任意直线始终平行于它的初始位置。
因此，板作平移。
1、运动轨迹C点的运动轨迹与A、B两点的运动轨迹形状相同，即以O点为圆心l为半径的圆弧线。
2、速度v C = v A =v B = ωl3、加速度42ωα+=l 22)()(n CC A C a a a a +==τ22)()(n AA a a +=τ222)()(l l ωα+=已知：O 1A ＝O 1B ＝l ；O 1A 杆的角速度ω和角加速度α。
求：C 点的运动轨迹、速度和加速度。
A §7-2 刚体绕定轴的转动z三维定轴转动刚体ϕ特征：如刚体在运动时，其上有两点保持不动。
ϕ＝f (t )B刚体转动的运动方程刚体转动的角速度刚体转动的角加速度dtd ϕω=22dtd dt d ϕωα==讨论（1）匀速转动ω=常量ϕ＝ϕ0+ ωt30602n n ππω==（2）匀变速转动α=常量ϕαωωαωϕϕαωω221202200=-++=+=tt t§7-3 刚体内各点的速度和加速度M 0MORϕωS ＝R ϕωϕR dtd R dt dS v ===vR ——转动半径vOω★转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体的角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。
第7章刚体的简单运动
2 =0.2 × (-2)=-0.4 m/s aM= r
B
vM
M
aM
r A
aMn
O
aMn = r = 0.2×12= 0.2 m/s2
2
vA
B
vM
M
aM
r
vA = vM = 0.2m/s aA = aM = - 0.4m/s
2
aMn
O
aA
A
vA
作业： 7－ 1，4 ，6 ，7
d d 2 2 dt dt
0 t 0 t 匀变速运动: 2 2 2 1 2 0 0 0 t t 2
二.解题步骤及注意问题
1.解题步骤:
①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。 ②选好坐标系：直角坐标法，自然法。 ③根据已知条件进行微分，或积分运算。 对常见的特殊运动， ④用初始条件定积分常数。 可直接应用公式计算。 ２．注意问题： ①几何关系和运动方向。 ②求轨迹方程时要消去参数“t”。 ③坐标系（参考系）的选择。
第七章
刚体的简单运动
刚体运动的分类：
1、平行移动；
2、定轴转动；
3、平面运动；
4、定点运动；
5、一般运动。
§7-１刚体的平行移动(平动）
1 定义 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于
初始位置，称为平动。
★
2
速度和加速度
rA rB BA
d rA d rB d BA dt dt dt
三.例题 [例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长
l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开
曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。 求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
B
vM
M
aM
r A
aMn
O
aMn = r = 0.2×12= 0.2 m/s2
2
vA
B
vM
M
aM
r
vA = vM = 0.2m/s aA = aM = - 0.4m/s
2
aMn
O
aA
A
vA
作业： 7－ 1，4 ，6 ，7
d d 2 2 dt dt
0 t 0 t 匀变速运动: 2 2 2 1 2 0 0 0 t t 2
二.解题步骤及注意问题
1.解题步骤:
①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。 ②选好坐标系：直角坐标法，自然法。 ③根据已知条件进行微分，或积分运算。 对常见的特殊运动， ④用初始条件定积分常数。 可直接应用公式计算。 ２．注意问题： ①几何关系和运动方向。 ②求轨迹方程时要消去参数“t”。 ③坐标系（参考系）的选择。
第七章
刚体的简单运动
刚体运动的分类：
1、平行移动；
2、定轴转动；
3、平面运动；
4、定点运动；
5、一般运动。
§7-１刚体的平行移动(平动）
1 定义 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于
初始位置，称为平动。
★
2
速度和加速度
rA rB BA
d rA d rB d BA dt dt dt
三.例题 [例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长
l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开
曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。 求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
理论力学第七章刚体的简单运动
解：1） aτ = α R = a M ⋅ sin θ a M sin θ 40 × sin 30° ∴α = = = 50 rad/s 2 0.4 R 1 Q ω 0 = 0 ,∴ ϕ = ω 0 t + α t 2 = 25 t 2 2
转动方程 = 25t 2 ϕ ∴
& Q 2） ω = ϕ = 50 t ∴ v M = Rω = 20 t = 100 m / s
逆时针为正
顺时针为负
dω d 2ϕ & = = ϕ& = f ′′(t ) (代数量) α= 2 dt dt 角加速度表征角速度变化的快慢。单位:rad/s 角加速度表征角速度变化的快慢。单位:rad/s2
同号，则是加速转动； 如果ω与α同号，则是加速转动； 异号，则是减速转动。 如果ω与α异号，则是减速转动。
⇒ ω 1 R1 = ω 2 R2 ⇒ ω 1 = R2 ω2 R1
齿轮传动比： 齿轮传动比： ——主动轮和从动轮的角速度的比值。 主动轮和从动轮的角速度的比值。
i 12 R2 Z2 ω1 = = = ω2 R1 Z1
14
7-4
轮系的传动比
2.外啮合 2.外啮合
当各轮规定有正向时，角 当各轮规定有正向时， 取代数值， 速度ω 取代数值，传动比也 取代数值。 取代数值。
第七章 刚体的简单运动
7-1 刚体的平行移动 刚体有两种简单的运动： 1 刚体有两种简单的运动： ）刚体的平行移动 2）刚体的定轴转动 一.刚体平动的定义: 刚体平动的定义: 刚体内任一直线，在运动过程中始终平 刚体内任一直线， 行于初始位置。 行于初始位置。 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
第七章刚体的简单运动
均相同，但 (2) 任一质点运动 , , 不同；即各质点的位矢在相同的时 v, a 间内转过的角度是相同的。
（3）各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心 在轴线上，这个平面我们称为转动平面。 (4) 运动描述仅需一个坐标．
§6– 4 轮系的传动比
1 R1 O1 A B
第六章 刚体的简单运动
本章将研究刚体的两种最基本的运动 ——— 平动和转动. 注意这两种运动在概念上的独立性和不相容性, 以及实现这两 种运动 的约束条件.
§ 7 – 1 刚体的平行移动( 平动 )
定义: 刚体在运动时, 如果刚体上的任意一固连直线始终 与其初始位置保持平行, 则这种运动称为平动.
1 2 两个圆盘的角速度 和角加速度 不相等。
1 2
§ 6 – 5 以矢量表示的角速度和角加速度 ·以矢积表示的 点 的速度和加速度
一. 角速度矢量 – 右手定则 二. 定轴转动刚体的角加速度
z( k )
矢量
O'
k d k dt
三. 欧拉公式 — 转动刚体上点的速度的矢量表示
此机构有4 个构件 6个铰链约束 组成. 其中有一个构件作平动.
平动
平动的性质: 作平动的刚体, 其上各点的轨迹的形状相同; 在 每一瞬时,各点的速度和加速度也都相同.( 三相同) A
证: 任取平动刚体上的两点A , B， 由平动的定义可知 , AB连线 在运动中方向始终不变, ( 定向) 且 A, B为 刚体上的两点, ( 定长 ) 所以,
同一根绳上各点的速度相同， 而加速度 也相同。
A B C D
M 2 o2 R 2
第六章 刚体的简单运动
当t =1 s时, =1 rad/s 2 rad/s2 vM = r = 0.2×1= 0.2 m/s
aM
B
vM
M
n aM
r
aM
A
aM r =0.2×(-2)=-0.4 m/s2
n aM r 2 = 0.2×12= 0.2 m/s2
O
2 2
vA
aM ( aM ) ( a )
例2
图示为卷筒提取重
物装置 , 卷筒 O 的半径 r=0.2m,B为定滑轮.卷筒在 制动阶段,转动方向如图示,
M r O B
其转动方程为 = 3t – t 2.
式中 以 rad度计, t以s计. 求t=1s时卷筒边缘上任一 点M的速度和加速度,以及 重物A的速度和加速度.
A
vA
解：取卷筒为研究对象. = 3t – t2 d d & = 3 -2 t 2 dt dt
s R v R
a
an
v
2
1 R 2 R 2 R
v
方向：永远指向转动 中心。
2 a a2 an R 2 4
a
a an
M
v
速度
v R
的方向。 方向：垂直于“转动半径”，顺着
加速度
a R
方向：沿轨迹切向， 与 相同。 方向：永远指向转动 中心。
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1 角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
d 大小 dt 作用线 沿轴线滑动矢量 右手螺旋规则 指向
k
角加速度矢量 d d k k dt dt
aM
B
vM
M
n aM
r
aM
A
aM r =0.2×(-2)=-0.4 m/s2
n aM r 2 = 0.2×12= 0.2 m/s2
O
2 2
vA
aM ( aM ) ( a )
例2
图示为卷筒提取重
物装置 , 卷筒 O 的半径 r=0.2m,B为定滑轮.卷筒在 制动阶段,转动方向如图示,
M r O B
其转动方程为 = 3t – t 2.
式中 以 rad度计, t以s计. 求t=1s时卷筒边缘上任一 点M的速度和加速度,以及 重物A的速度和加速度.
A
vA
解：取卷筒为研究对象. = 3t – t2 d d & = 3 -2 t 2 dt dt
s R v R
a
an
v
2
1 R 2 R 2 R
v
方向：永远指向转动 中心。
2 a a2 an R 2 4
a
a an
M
v
速度
v R
的方向。 方向：垂直于“转动半径”，顺着
加速度
a R
方向：沿轨迹切向， 与 相同。 方向：永远指向转动 中心。
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1 角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
d 大小 dt 作用线 沿轴线滑动矢量 右手螺旋规则 指向
k
角加速度矢量 d d k k dt dt
运动学(刚体简单运动)
刚体的简单运动刚体的定轴转动三定轴转动刚体上点的加速度刚体定轴转动时各点均作圆周运动由自然法知转动刚体内一点的切向加速度大小等于刚体的角加速度与该点到轴线的垂直距离的乘积方向沿圆周的切线方向指向由角加速度决定
刚体的简单运动
§1 刚体的平行移动 §2 刚体的定轴转动 结论与讨论
习题
刚体的平行移动
刚体的简单运动
一、刚体平动的定义
在刚体上任取一条直线，若在运动过程中这 条直线始终与其初始的空间位置平行，则该 运动称为刚体的平行移动，简称平动。
刚体的平行移动
刚体的简单运动
二、刚体平动的运动分析
rA rB rBA rA rB rBA v A vB a A aB
刚体平移可归结为刚体内任一点（通常是质心）的运动。
2 O1 950 99.48rad/s 60
O
2
Z1 20 O1 99.48 39.79rad/s Z2 50
vC O2 AO2 0.25 39.79 9.95m/s
刚体的定轴转动
刚体的简单运动
例三 曲柄滑杆机构中,滑杆上有一圆弧滑道,其半径R=100mm, 圆心O1在导杆BC上.曲柄OA=100mm，以等角速度 4 rad 绕 s O轴转动.求导杆BC的运动规律以及当曲柄与水平线间的交角为 30时,导杆BC的速度和加速度。
刚体的简单运动
例六 图示一减速箱，由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1＝10， Z2＝60 ， Z3＝12 ， Z4＝70 。（1）求减速箱的总传动比i13（2） 如果n1=3000rpm，求n3 。
n1 n1 n2 Z 2 Z 3 i13 i12 i23 34.8 n3 n2 n3 Z1 Z 2
刚体的简单运动
§1 刚体的平行移动 §2 刚体的定轴转动 结论与讨论
习题
刚体的平行移动
刚体的简单运动
一、刚体平动的定义
在刚体上任取一条直线，若在运动过程中这 条直线始终与其初始的空间位置平行，则该 运动称为刚体的平行移动，简称平动。
刚体的平行移动
刚体的简单运动
二、刚体平动的运动分析
rA rB rBA rA rB rBA v A vB a A aB
刚体平移可归结为刚体内任一点（通常是质心）的运动。
2 O1 950 99.48rad/s 60
O
2
Z1 20 O1 99.48 39.79rad/s Z2 50
vC O2 AO2 0.25 39.79 9.95m/s
刚体的定轴转动
刚体的简单运动
例三 曲柄滑杆机构中,滑杆上有一圆弧滑道,其半径R=100mm, 圆心O1在导杆BC上.曲柄OA=100mm，以等角速度 4 rad 绕 s O轴转动.求导杆BC的运动规律以及当曲柄与水平线间的交角为 30时,导杆BC的速度和加速度。
刚体的简单运动
例六 图示一减速箱，由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1＝10， Z2＝60 ， Z3＝12 ， Z4＝70 。（1）求减速箱的总传动比i13（2） 如果n1=3000rpm，求n3 。
n1 n1 n2 Z 2 Z 3 i13 i12 i23 34.8 n3 n2 n3 Z1 Z 2
刚体的简单运动
rA = rA( t), rB = rB (t)
而
r B = r A + r AB
d rB d drA d rAB ∴v B = = ( rA + rAB ) = = v A (Q = 0) dt dt dt dt
d 2 rB d 2 d 2 rA 同理 :a B = 2 = 2 ( rA + rAB ) = 2 = a A dt dt dt
2πn πn n ω= = ≈ (rad/s) 60 30 10
2.角加速度 角加速度: 角加速度 设当t 时刻为ω , t +△t 时刻为ω+△ω
∆ω = dω = d 2ϕ =ϕ& = f ′′( t ) & ∴角加速度 :ε = lim 单位:rad/s2 (代数量 代数量) 单位 代数量 dt dt 2 ∆t → 0 ∆ t
§7.1 刚体的平行移动
刚体平移的定义: 一.刚体平移的定义 刚体平移的定义 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持方向不变。 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持方向不变。 [例]
它的轨迹
可以是直线 可以是曲线
动画
平移实例
二. 刚体平移的特点: 刚体平移的特点 平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹,速度 加速度都一样 平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹 速度,加速度都一样。 速度 加速度都一样。 AB在运动中方向和大小始 在运动中方向和大小始 终不变。 终不变。
aτ εR ε tg α = = 2 = 2 an ω R ω
结论: 结论 ① v方向与ω 相同时为正 , ⊥R ,与 R 成正比。 方向与 与 成正比。 都一致,且 ②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角α 都一致 且 小于90 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为: 小于 o , 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为
理论力学 刚体的简单运动
如图，在轴线上任选一点O为原点， 动点的矢径用 r 表示，则点M的速度可 以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示， 即
v wr
w r w r sin q w R v
将上式对时间求一阶导数，有
dv d a (w r ) dt dt dw dr r w dt dt
此处有影片播放
摆式输送机的料槽
夹板锤的锤头
直线行驶的列车车厢
运动方程、速度和加速度公式 rA rB BA
v A vB
aA aB
结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形 状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速 度也相同。 因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体 内任一点的运动。
k
作业：习题 7-4、7-5、7-6、 7-9。
v 2 r2w 2
t a 2 r2a 2
于是可得
r1 w2 w1 , r2
即
r1 a 2 a1 r2
w1 a 1 r2 w 2 a 2 r1
例7-2 一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 为 j t 2 4t ，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的 速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长 的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加 速度。 a M t v an 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为 R
za
R
M
a r aw v a w v O a r
an
w r
例7-1 刚体绕定轴转动,已知转轴通过坐标原点O, t t 角速度矢为 w 5sin i 5cos j 5 3k 。 2 2 求：t =1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及
刚体简单运动
t
S A 0l sin t 4
S A 0l sin t 4
o1
l
刚体的简单运动
解：
ds vA l 0 cos t dt 4 4
B
o2
aAn
A
vA
aAt
M
l
dv a l 0 sin t dt 16 4
2
v 2 2 an l 0 cos t l 16 4
2 2
vM v A
aM a A
刚体的简单运动
2. 定轴转动刚体的运动
刚体的简单运动
2. 定轴转动刚体的运动
刚体在运动时，其上有两点始终保持不动
刚体的简单运动
定轴转动刚体的运动 定轴转动刚体的运动方程
＝f t
逆时针为正
刚体的瞬时角速度
d ＝ dt
刚体的瞬时角加速度
d ＝ dt
4
u
ut S a a arctan l
VC
t
l u
ds dt
t
l u
u l a u 2t 2 1 2 l
au / 2l
t l u
例4 电影胶片以恒速v从卷盘中拉出，从而带动卷盘和 尚未拉出的胶片一起作绕固定轴的转动。若胶片的厚 度为δ，正滚动着的胶片的半径为r，试求卷盘的角加 速度ε，设s与r相比很大。 s 解：
滑移矢量
刚体的简单运动
2. 刚体上一点的速度：
dr v r v r sin R dt
3. 刚体上一点的加速度
dv d a ( r ) dt dt r v
坐标原点过转轴
刚体的简单运动-平动和定轴转动
刚体的简单运动
理论力学讲义
第七章 刚体的简单运动
在工程实际和日常生活中，我们所遇到的一般都是物体的运动，如汽车、轮 船、电机转子、齿轮等，在考虑这些物体的运动时可把他们作为刚体，为研究比 较复杂的刚体运动，我们先研究两种比较简单的刚体运动：平行移动和定轴转动。
§7-1 刚体的平行移动
平行移动也称平动。就是在运动过程中，刚体内任一直线始终与它的最初位 置平行。如：
周交点为 M，动平面与圆周交点为 M’，以 M 点作弧坐原点，并规定 s,ϕ 正向一
致, 于是有：
o1
ϕ
a aτ
an α
v
R
M’
M (+)
S
s = Rϕ,
将此式对时间求导，得 M 点速度 v = ds = R dϕ = Rω dt dt
即：转动刚体内任一点的速度的大小等于刚体的角速度与该点到轴线距离的乘 积，方向沿圆轴的切线指向转动方向，垂直轴线的截面上速度分布如下
把上式对时间求一阶及二阶导数，并注意 BA 是恒矢量，得：
drA = drB dt dt
即： vA = vB
d 2rA = d 2 rB dt 2 dt 2
即： a A = aB
可见，在每一瞬间，平动刚体内各点的速度和加速度均相同。 由以上可见，若刚体上某一点的运动已知，则其他点的运动也就知道了。也 就是说确定了刚体的运动。故研究刚体的平动归结为研究点的运动。
1. 在每一瞬时，转动刚体内各点的速度和加速度的大小分别与这些点到轴 线的垂直距离成正比。
2. 在每一瞬时，刚体内各点的加速度 a 于半径间夹角α 都相等，刚体内
垂直于轴线的截面上加速度的分布如下：
α α
ω
ω
O
α
α
第七章 刚体的简单运动
在工程实际和日常生活中，我们所遇到的一般都是物体的运动，如汽车、轮 船、电机转子、齿轮等，在考虑这些物体的运动时可把他们作为刚体，为研究比 较复杂的刚体运动，我们先研究两种比较简单的刚体运动：平行移动和定轴转动。
§7-1 刚体的平行移动
平行移动也称平动。就是在运动过程中，刚体内任一直线始终与它的最初位 置平行。如：
周交点为 M，动平面与圆周交点为 M’，以 M 点作弧坐原点，并规定 s,ϕ 正向一
致, 于是有：
o1
ϕ
a aτ
an α
v
R
M’
M (+)
S
s = Rϕ,
将此式对时间求导，得 M 点速度 v = ds = R dϕ = Rω dt dt
即：转动刚体内任一点的速度的大小等于刚体的角速度与该点到轴线距离的乘 积，方向沿圆轴的切线指向转动方向，垂直轴线的截面上速度分布如下
把上式对时间求一阶及二阶导数，并注意 BA 是恒矢量，得：
drA = drB dt dt
即： vA = vB
d 2rA = d 2 rB dt 2 dt 2
即： a A = aB
可见，在每一瞬间，平动刚体内各点的速度和加速度均相同。 由以上可见，若刚体上某一点的运动已知，则其他点的运动也就知道了。也 就是说确定了刚体的运动。故研究刚体的平动归结为研究点的运动。
1. 在每一瞬时，转动刚体内各点的速度和加速度的大小分别与这些点到轴 线的垂直距离成正比。
2. 在每一瞬时，刚体内各点的加速度 a 于半径间夹角α 都相等，刚体内
垂直于轴线的截面上加速度的分布如下：
α α
ω
ω
O
α
α
第6章 刚体的简单运动
因为每转等于2 rad，所以以转数表示有
rad
392 .8 62 .5 转 2π
运动学/刚体的简单运动
例7-5 减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮Ⅱ和Ⅲ 安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别 为z1=36、z2=112、z3=32和z4=128。如主动轴Ⅰ的转速 n1=1450r/min，试求从动轮Ⅳ的转速n4。 解： 从齿轮Ⅰ到齿轮Ⅳ的传 动比为
理 论 力 学
第二部分 运 动 学
第6章
刚 体 的 简 单 运 动
2013年7月25日
运动学/刚体的简单运动
第6章 刚体的简单运动
§6-1 §6-2 §6-3 刚体的平行移动(平移) 刚体的定轴转动 转动刚体内各点的速度和加速度
§6-4 轮系的传动比 §6-5 角速度和角加速度的矢量表示 点的速度和加速度的矢积表示
当ｔ＝5s时,
v M 20 5 100 m/s
2 v M 100 2 n aM 25000 m/s 2 R 0 .4
运动学/刚体的简单运动
§6-4 轮系的传动比
一、齿轮传动 机械中常用齿轮传动机构，以达到传递转动和变速 的目的。
运动学/刚体的简单运动
外啮合
内啮合
• 齿轮传动特点
因此，平移刚体的运动学问题，可归结为点的
运动学来处理，即刚体上任何一点的运动，就可代
表刚体上其它各点6-2
刚体的定轴转动
运动学/刚体的简单运动
一、刚体定轴转动的定义 刚体在运动过程中，其
上或其扩部分有两点保持不 动时，称刚体绕定轴转动， 简称转动。过两固定点的不 动直线称为轴线或转轴（图 中z轴即为转轴）。 二、刚体定轴转动的特点 不在轴线上的各点均作圆周运动：圆周所在平面垂 直转轴；圆心均在轴线上；半径为点到转轴的距离。
rad
392 .8 62 .5 转 2π
运动学/刚体的简单运动
例7-5 减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮Ⅱ和Ⅲ 安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别 为z1=36、z2=112、z3=32和z4=128。如主动轴Ⅰ的转速 n1=1450r/min，试求从动轮Ⅳ的转速n4。 解： 从齿轮Ⅰ到齿轮Ⅳ的传 动比为
理 论 力 学
第二部分 运 动 学
第6章
刚 体 的 简 单 运 动
2013年7月25日
运动学/刚体的简单运动
第6章 刚体的简单运动
§6-1 §6-2 §6-3 刚体的平行移动(平移) 刚体的定轴转动 转动刚体内各点的速度和加速度
§6-4 轮系的传动比 §6-5 角速度和角加速度的矢量表示 点的速度和加速度的矢积表示
当ｔ＝5s时,
v M 20 5 100 m/s
2 v M 100 2 n aM 25000 m/s 2 R 0 .4
运动学/刚体的简单运动
§6-4 轮系的传动比
一、齿轮传动 机械中常用齿轮传动机构，以达到传递转动和变速 的目的。
运动学/刚体的简单运动
外啮合
内啮合
• 齿轮传动特点
因此，平移刚体的运动学问题，可归结为点的
运动学来处理，即刚体上任何一点的运动，就可代
表刚体上其它各点6-2
刚体的定轴转动
运动学/刚体的简单运动
一、刚体定轴转动的定义 刚体在运动过程中，其
上或其扩部分有两点保持不 动时，称刚体绕定轴转动， 简称转动。过两固定点的不 动直线称为轴线或转轴（图 中z轴即为转轴）。 二、刚体定轴转动的特点 不在轴线上的各点均作圆周运动：圆周所在平面垂 直转轴；圆心均在轴线上；半径为点到转轴的距离。
第六章刚体的简单运动
6.2 刚体的定轴转动
2.匀变速转动
刚体角加速度不变的转动，称为匀变速转动。
0 t
1 2 j j 0 0 t t 2
2 (j j0 )
2 2 0
其中ω0和j0分别是t =0时的角速度和转角。
6.2 刚体的定轴转动
一、转动刚体内各点的速度 以固定点O´为弧坐标s 的原点，按j角的正向规 定弧坐标s的正向，于是
rA rB BA
当刚体平移时，线段AB的长度 和方向都不改变。 因此只要把 点B的轨迹沿BA方向平行移动一段距离BA，就能与点A的 轨迹完全重合。 刚体平移时，其上各点的轨迹不一定是直线，也可能 是曲线，但是它们的形状是完全相同的。
6.1
速度、加速度
刚体的平移
rA rB BA
上式对时间t求导数，得 drA drB d BA dt dt dt 而
6.2 刚体的定轴转动
设轮Ⅰ是主动轮，轮Ⅱ是从动轮。 1 传动比： i12 2 1 n1 1 j1 R2 z 2 i12 2 n2 2 j 2 R1 z1 不仅适用于圆柱齿轮传动，也适用于轴成任意角度的圆 锥齿轮传动、摩擦传动等。 有时为了区分轮系中各轮的转向。对各轮都规定统 一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而转 动比也取代数值： 1 R2 z2 i12 2 R1 z1 正号表示两轮转向相同，负号表示转向相反。
j f (t )
这个方程称为刚体绕定轴转动的转动方程。
6.2 刚体的定轴转动
二、角速度 转角j 对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度， 用ω表示，即
dj dt
角速度表示刚体转动的快慢和方向。
单位一般用rad/s（弧度/秒）。
理论力学刚体的简单运动课件
A
vMr0.36 m s－ 1
理论力学 刚体的简单运动
vM at
aM M
O an
αω
加速度的两个分量
at r0.36m s－ 2
a nr2 0 .64m 8 s－ 2
总加速度 aM 的大小和方向
aMat2an20.74m 1 s－ 2
A
tan2 0.55,6
29
理论力学 刚体的简单运动
vM at
速度和加速度。(O 1 A O 2 B O 1 O 2 A)B
aN
vN aM
v 理论力学 刚体的简单运动 M
思考2：试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的
速度和加速度。(O 1 A O 2 B O 1 O 2 A)B
aMt
aMn
vM
理论力学 刚体的简单运动
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
例 题 6- 1
O1 l A
O
（+）
荡木用两条等长的钢索
平行吊起，如图所示。钢索
长为长l，度单位为m。当荡
O2
木摆动时钢索的摆动规律
M
l B
为
0
s inπ 4
t，其中
t
为
时间，单位为s；转角φ0的单
位为rad，试求当t=0和t=2 s时，
荡木的中点M的速度和加速
度。
理论力学 刚体的简单运动
O1 φl
2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
速度 v r 大 方 小 向 右 手 r法 si则 n R v
加速度 advdr
dt dt
vMr0.36 m s－ 1
理论力学 刚体的简单运动
vM at
aM M
O an
αω
加速度的两个分量
at r0.36m s－ 2
a nr2 0 .64m 8 s－ 2
总加速度 aM 的大小和方向
aMat2an20.74m 1 s－ 2
A
tan2 0.55,6
29
理论力学 刚体的简单运动
vM at
速度和加速度。(O 1 A O 2 B O 1 O 2 A)B
aN
vN aM
v 理论力学 刚体的简单运动 M
思考2：试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的
速度和加速度。(O 1 A O 2 B O 1 O 2 A)B
aMt
aMn
vM
理论力学 刚体的简单运动
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
例 题 6- 1
O1 l A
O
（+）
荡木用两条等长的钢索
平行吊起，如图所示。钢索
长为长l，度单位为m。当荡
O2
木摆动时钢索的摆动规律
M
l B
为
0
s inπ 4
t，其中
t
为
时间，单位为s；转角φ0的单
位为rad，试求当t=0和t=2 s时，
荡木的中点M的速度和加速
度。
理论力学 刚体的简单运动
O1 φl
2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
速度 v r 大 方 小 向 右 手 r法 si则 n R v
加速度 advdr
dt dt
06刚体的简单运动
结论:
刚体平动的问题可归结为点的运动问题来处理。
2
例题
刚体的基本运动
例 题 1
荡木用两条等长的钢索
O1 φ O2
平行吊起，如图所示。钢索
l
l
A M
长为l，长度单位为m。当荡
B
木摆动时钢索的摆动规律
O
（+）
为 0 sin转角φ0 的单 位为rad，试求当t=0和t=2 s时，
表示摆对铅直线的偏角， φ0为最大偏角；T 表示摆的 周期。已知摆的重心C到轴 O的距离为l，试求在初瞬
C1
时和经过平衡位置(φ=0)时
重心的速度和加速度。
14
例题
刚体的基本运动
解：
和角加速度
d dt
2
例 题 3
将转动方程对时间求导，得摆的角速度
2π T
2
O φ
φ0 l C0 C C1
B
O
降落，初速v0=4 m/s，求当物体落下
距离s =2 m时轮缘上一点 M 的速度 和加速度。
17
s
A
例题
刚体的基本运动
解:
M
例 题 4
根据 v2 – v02 = 2as，得M点的速度
v 2as v0 5.96 m / s
2
R
O
v
M点的切向加速度 M点的法向加速度
B
at
dv dt
不动直线称为转轴（轴线、轴）
不在转轴上的点作圆周运动
6
2.运动方程(转动方程)
=f（t）
转角的正负由右手螺旋法则确定。 即从Oz轴正端俯视，自固定平面N0至动 平面N，若是逆时针转动，则角为正 值，反之，则角为负值。 单位：弧度（rad）
第7章 刚体的简单运动
第七章 刚体的简单运动在工程实际中，最常见的刚体运动有两种基本运动形式：平动和转动。
一些较为复杂的刚体运动，如车轮在直线轨道上的滚动等，都可以归结为这两种基本运动的组合。
因此，平动和转动是分析一般刚体运动的基础。
§7-1 刚体的平行移动平动是刚体最简单的一种运动。
例如，车刀的刀架，摆式输送机的料槽，以及沿直线轨道行驶的列车的车厢等，都是平动的实例。
这些刚体的运动具有一个共同的特点：运动时，刚体上任一直线始终与原来位置保持平行。
刚体的这种运动称为平行移动，简称为平动。
刚体作平动时，刚体上的点可以是直线运动(刀架)，也可以是曲线运动(送料槽)。
现在就一般情形，研究刚体内各点的运动轨迹，速度和加速度。
刚体作平动在刚体上任取一线段AB 。
该刚体的运动可由AB 在空间的位置确定。
为研究刚体内各点的运动，可以O 为参考点，向A 、B 两点分别引矢径r A 和r B ，则点A 和B 的运动方程分别为r A =r A (t), r B =r B (t)AB B A r r r += (*)由于刚体作平动，在运动中矢量AB 的大小和方向都不改变，所以AB 为一常矢量。
这说明：点A 和B 不仅运动轨迹形状相同，而且运动规律也相同。
如上面的各例中，刀架上各点的轨迹是相互平行的直线；料槽上各点的轨迹都是半径等于AC 的圆弧。
将式(*)对时间t 取一阶和二阶导数，同时注意到常矢量AB 的导数等于零，于是有B A v v =B A a a =这说明：刚体内任意两点的速度、加速度相等。
综合以上分析，可得如下结论：(1) 刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；(2) 同一瞬时各点的速度彼此相等，各点的加速度也彼此相等。
因此，在研究刚体平动时，只要知道刚体上某一点的运动，就能知道所有点的运动。
所以，刚体的运动可归结为点的运动。
§7-2 刚体绕定轴的转动定轴转动是工程中常见的一种运动，如电动机的转子，机床中的胶带轮、齿轮以及飞轮等的运动，都是定轴转动的实例。
(完整版)6刚体的简单运动
an
v2
1 R 2
R
R 2
方向：与速度垂直并指向轴线
4 速度与加速度分布图
1、定轴转动刚体上各点的速度和加速度的大小均与该点到转轴 的垂直距离成正比。
2、在任一瞬时，刚体上所有各点的加速度a与该点轨迹半径的 夹角θ都具有相同值而与该点位置无关。
v R
a at2 an2 R 2 4
tan at an 2
0 t
d (0 t)dt
0
0t
1 t 2
2
0
0t
1 2
t 2
计算机硬盘驱动器的马达以匀变速转动，启动后为了能
尽快达到最大工作转速，要求在3秒内转速从0增加到
3000r/min，求马达的角加速度及转过的转数。
解： 马达的初始角速度 0 0
3秒后
n
30
3000 100
30
rad
s
0 t
d
dt
——表征刚体转动的快慢和转向； 是代数量，单位为：rad/s
3)角加速度
d
dt
d 2
dt 2
——表征角速度随时间变化的快慢; 是代数量，单位：rad/s2
两种特殊情形
1）匀速转动
d 常数
dt
d dt
0 t
0 t
2）匀变速转动
d =常数
dt
d dt
0 dt
简化：刚体上任取一条直线A1A//z轴。 由于A1A作平动，取A代表直线运动。 即：刚体转动简化为与转轴垂直的平面
图形的运动；平面上各个点的运动代表了对应 的整个刚体的点的运动规律。
3、转动刚体的转动方程、角位移、角速度和角加速度
f ( t ) 转动方程