2019数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 章末优化总结 Word版含解析

章末检测(二)

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2在R 上是偶函数”的推理过程是( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．演绎推理

D ．非以上答案

解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 答案：C

2．下面四个推理不是合情推理的是( ) A ．由圆的性质类比推出球的有关性质

B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°

C ．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分

D ．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的

解析：A 是类比推理，B 、D 是归纳推理，C 不是合情推理． 答案：C

3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2>0”，你认为这个推理( )

A ．大前提错误

B ．小前提错误

C ．推理形式错误

D ．是正确的

解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a 是实数”，结论是“a 2>0”．显然结论错误，原因是大前提错误．

答案：A

4．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1

n

，计算得

f (2)＝32，f (4)>2，f (6)>52，f (8)>3，f (10)>7

2，观察上述结果，可推测出一般结论为( )

A ．f (2n )＝n ＋22

B ．f (2n )>n ＋2

2

C ．f (2n )≥n ＋2

2

D ．f (n )>n

2

解析：观察所给不等式，不等式左边是f (2n )，右边是n ＋2

2，故选B.

答案：B

5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，…，可归纳猜想出S n 的表达式为( )

A.2n n ＋1

B.3n －1n ＋1

C.2n ＋1n ＋2

D.2n n ＋2

解析：由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝4

3；

又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝6

4；

又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85；

……

由S 1＝22＝2×11＋1，S 2＝43＝2×22＋1，S 3＝64＝2×33＋1，

S 4＝85＝2×4

4＋1，…，

可以猜想S n ＝2n

n ＋1.

答案：A

6．如果两个数之和为正数，则这两个数( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数

解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．

答案：C

7．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－

12＋13－14＋…＋1n －1

＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋1

2n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )

A ．n ＝k ＋1时等式成立

B ．n ＝k ＋2时等式成立

C ．n ＝2k ＋2时等式成立

D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立

解析：因为假设n ＝k (k ≥2为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B

8．用数学归纳法证明12

＋22

＋…＋(n －1)2

＋n 2

＋(n －1)2

＋…＋22

＋12

＝n 2(n 2＋1)

3

时，从

n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )

A ．(k －1)2＋2k 2

B ．(k ＋1)2＋k 2

C ．(k ＋1)2

D.1

3

(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 解析：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，

∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2. 答案：B

9.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →

时，其离心率为

5－1

2

，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )

A.

5＋1

2

B.

5－1

2

C.5－1

D.5＋1

解析：如图所示，设双曲线方程为x 2

a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，

B (0，b )，A (a,0)．

∴FB →＝(c ，b )，AB →

＝(－a ，b )． 又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝b 2－ac ＝0. ∴c 2－a 2－ac ＝0.∴e 2－e －1＝0.

∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A.

答案：A

10．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >13

24的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1

时，不等式左边的变化情况为( )

A ．增加

1

2(k ＋1)

B ．增加12k ＋1＋1

2(k ＋1)

C ．增加1(k ＋1)＋(k ＋1)，减少1

k ＋1